המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי

צורתהפאה

E

V

F

פאון Polyhedron

ארבעון

קובייה

תמניון

תריסריון

עשרימון

צורת
הפאה

פאון
Polyhedron

מדור: מנסיוננו

כתבו: יופ ואן דורמולן ואברהם הרכבי

תקציר: המחברים מציגים דרך להוראת מושג המעגל כמושג חדש. דרך ההוראה נשענת על למידה חווייתית, כך שהתלמיד מתוודע אל תכונות המושג לפני שמובאת בפניו ההגדרה הפורמאלית.

מקור: על"ה 28, תשס"ב 2002

הבדלים בין המגדרים בלימודי המתמטיקה בכיתות ז'-יב' חלק Ι

מדור: מנסיוננו

כתבה: חנה דויד

תקציר: המחברת מביאה סקירת ספרות העוסקת במחקרים בילאומיים ובהשפעת ההבדלים בין המיגדרים על ההישגים במתמטיקה בעולם ובמיוחד בישראל, בשנים - 1999-1963. תוצאות המחקרים מתייחסות לשלש שכבות גיל: כיתה ד', כיתה ח', כיתה יב'.

הערה: חלק ΙΙ מופיע בעל"ה 28 .

מקור: על"ה 27 , תשס"ב 2001

הכשרת מורים - פתרון בעיות אלגוריתמיות בעזרת מחשב

מדור: מנסיוננו

כתבה: רונית הופמן

תקציר: המחברת משתפת אותנו בפעילויות הלקוחות מקורס המתקיים במכללת סמינר הקיבוצים ומיועד להכשיר מורים, כך שיוכלו לשלב מחשב בהוראת המתמטיקה. השילוב נעשה באמצעות שימוש בלומדות ייעודיות, וגם תוך שימוש בתוכנת exsel.

מקור: על"ה 27, תשס"ב 2001

מדוע הבת שלי צריכה לפתור מאות תרגילים כאלה?

מדור: צימוקים

כתבו: סגינה הור

תקציר: במאמר מוצג דו-שיח היתולי בין שני אנשי חינוך מתמטי. הדיון נסוב על היחס למקצוע המתמטיקה (תלמידים, מורים, הורים), על אופי התרגול במתמטיקה והמשתמע ממנו.

מקור: על"ה 27, תשס"ב 2001

הוכחה: איזה דבר נפלא

מדור: היסטוריה

כתבו: ישראל קליינר ונצה מובשוביץ-הדר

תקציר: במאמר מובאת סקירה היסטורית רחבה ומפורטת על התפתחות ההוכחה המתמטית.

מקור: על"ה 27, תשס"ב 2001

טיול מתמטי

מדור: זה רעיון

כתבה: גרייסי ויניצקי לנדמן

תקציר: במאמר מובא הרעיון של טיול מתמטי ככלי ללמידה חוויתית. המשתתפים בטיול מבצעים במהלכו משימות מתמטיות הכוללות פעילויות מסוגים שונים. מובאות שתי דוגמאות ייחודיות לטיול מתמטי בחיפה, אולם משימות רבות ניתן להתאים בקלות לכל אזור אחר.

מקור: על"ה 27, תשס"ב 2001

קידום חשיבה רב ייצוגית בתחילת לימודי האלגברה

מדור: מחקר

כתבו: אלכס פרידלנדר ומיכל טבח

תקציר: המחברים מדווחים על מחקר שערכו בחטיבת הביניים, בנושא מעבר בין ייצוגים שונים של מושג הפונקציה. במאמר קיימת התייחסות לתיאור סיטואציית הבעיה, הצגת שאלות חקר ושאלות משוב.

מקור: על"ה 27, תשס"ב 2001

אי המטמון - אי של אפשרויות

מדור: חקירה מתמטית

כתבה: עטרה שריקי

תקציר: במאמר מוצגת בעית "אי המטמון" ומוצעות שש דרכים שונות לפתרונה. בפתרונות נעשה שימוש בכלים מתחומים שונים של המתמטיקה. כן מוצגות בעיות נוספות הנגזרות מן הבעיה הבסיסית, ויש הכוונה לשינוי תנאי הבעיה המקורית. בסיום מובאת הצעה לדיון ב"יופי" של הוכחות.

מקור: על"ה 27, תשס"ב 2001

לזכרו של פרופ' שמואל אביטל (1915-2001)

מדור: מהמערכת

כתבו: המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים - הטכניון

תקציר: בחומר מתואר פועלו של פרופ' שמואל אביטל מאבות החינוך המתמטי בארץ.

מקור: על"ה 27, תשס"ב 2001

הגרף - סיפור על חקירה מתמטית

מדור: חקירה מתמטית

כתבה: לאה דולב

תקציר: המחברת מספרת את סיפורה של חקירה מתמטית, שראשיתה וצעה על-ידי שתי תלמידות. השאלות, שנשארו פתוחות בסיום עבודתן, הובילו לעיון בתחום המשוואות הדיפרנציאליות.

מקור: על"ה 27, תשס"ב 2001

המושג המתמטי 'קבוצה' ו'מודל האוסף'

כתבו: אפרים פישביין ומדלן בולצן

תקציר: במאמר מתואר מחקר שבדק את ההשפעה של המשמעות הראשונית הנאיבית שהלומד מיחס למושג על תפיסתו את המושג לאורך זמן. המחקר התייחס למושג המתמטי 'קבוצה' ובדק כיצד משפיעות התכונות השייכות למודל 'האוסף' - המודל הראשוני והאינטואיטיבי - אשר עומדות בסטירה לתכונות של המושג המתמטי הפורמלי. לדעת החוקרים ניתן ללמוד מהמחקר על הקשר שבין מודל סמוי לבין התפיסה המדעית והמתמטית גם עבור מושגים אחרים.

מקור: על"ה 26, תש"ס 2000

אינטואיציה כמטפורה

כתבה: אנה ספרד

תקציר: המאמר מציג את תרומתו הייחודית של פרופ' פישביין למחקר בתחום החינוך המתמטי. אשר בהיותו חלוץ בתחום זרע את הזרעים והניח את היסודות למחקרי ההמשך. המאמר סוקר את תחום המחקר המרכזי של פרופ' פישביין - חקר החשיבה וההסקה האינטואיטיבית ואף מוסיף עליו נדבך: 'השלכה מטפורית'. הכותבת מראה כיצד משפיעה השפה על עיצוב תפיסת המושג.

מקור: על"ה 26, תש"ס 2000

פיתוח מודעות, מוטיבציה ויכולת של המורה לאבחן מודלים סמויים של תלמידים

כתבה: אירית פלד

תקציר: המאמר מציג מודלים להכשרת מורים, המתבסס על גישתו של פישביין אל ההוראה: לפי פישביין התלמיד הוא לומד אקטיבי, המפתח מודלים מנטליים עבור המושגים שהוא לומד. המודלים הללו הם בדרך כלל סמויים. מטרת המודל המוצג במאמר, היא ליידע את המורים בתהליכים הקוגניטיביים וההתפתחותיים המתרחשים אצל הילד הלומד, להביא לכך שיכירו את שלבי ההתפתחות של המושגים המתמטיים אותם הם מלמדים.

מקור: על"ה 26, תש"ס 2000

היכן, בתוך הידע הקולקטיבי, נחבא הידע של היחיד?

כתבה: רנה הרשקוביץ

תקציר: במאמר עוקבת הכותבת אחר תהליך הלמידה של יחידים בתוך קבוצות לומדות. מובאות דוגמאות לתהליכים כאלה מתוך הספר 'עליסה בארץ הפלאות' ומתוך מחקרים שנעשו בסביבת הלמידה 'מתימחשב'. ניתוח תהליך הלמידה של היחיד בתוך הקבוצה הלומדת מעלה שאלות ודילמות מחקריות בהן דנה הכותבת.

מקור: על"ה 26, תש"ס 2000

סיפוקו של הצורך בוודאות-אינטואיציה

כתב: שלמה וינר

תקציר: המאמר דן, על בסיס כתביו של פרופ' פישביין בגישתו לאינטואיציה כחלק מתיאוריה פסיכולוגית רחבה- הפסיכולוגיה של הצרכים האנושיים. החשיבה האינטואיטיבית, לפי פישביין היא ביטוי לצורך בוודאות - בהקשר החינוכי זהו הצורך להבין והצורך להסביר תופעות. המחבר דן בהבטים שונים של החשיבה האינטואיטיבית בהקשר של ידע מתמטתי כמו: מקורות האינטואיציה, השפעת הניסיון והשפה עליה וסכנותיה.

מקור: על"ה 26, תש"ס 2000

שיחה עם פרופסור אפרים פישביין

כתב: אברהם הררכבי

תקציר: המחבר משתף אותנו בחילופי שאלות ותשובות שהיו לו עם פרופסור אפרים פישביין. הדיון נסב סביב המושגים: אינטואיציה, אינטואיציה מקדימה, אקסיומטיזציה, ידע אינטואיטיבי, אמונה, השפעת הרקע התרבותי בטיפוח אינטואיציות מסויימות, וכן העובדה שמודלים הוראתיים שונים משפיעים על עיצוב האינטואיציה שלנו.

מקור: על"ה 26, תש"ס 2000

אינטואיציה בעולמות משתנים

כתב: עוזי מלמד

תקציר: במאמר מציג המחבר את המושג אינטואיציה, כמסביר את אחד האופנים לרכישה של ידיעה, והמושגים הנקשרים אליו לפי פרופ' פישביין. נעשית הבחנה בין שני טיפוסים של ידיעה: הידיעה הפורמלית והידיעה האינטואיטיבית, מוסברים המושגים: טעות אינטואיטיבית, מודל פורמאלי ומודל אינטואיטיבי. לתמיכה בתיאוריה מוצגות תוצאות של מחקר שבדק תפיסות של תלמידים באשר למושגים מתחום המכניקה הניוטונית.

מקור: על"ה 26, תש"ס 2000

The Making of a Scientist

כתבה: הנרייטה פישביין

תקציר: במאמר מובאים דברים שנשאה הנרייטה פישביין בערב לזכרו של בעלה, אפרים פישביין, בהם היא מפרטת את קורות חייו ובמיוחד מסבירה כיצד, לדעתה, התעצבה משנתו החינוכית.

מקור: על"ה 26, תש"ס 2000

פרופסור אפרים פישביין (1920-1998)

כתבו: דינה תירוש ורות סתוי

תקציר: הגליון מתאר את פועלו של אחד מגדולי החוקרים בתחום הפסיכולוגיה של הוראת המתמטיקה, פרופסור אפרים פישביין. אפרים פישביין ראה בחשיבות אינטואיטיבית מרכיב מרכזי של הפעילות המתמטית, הגדיר סוגים שונים של אינטואיציות והתייחס להשפעות חיוביות ושליליות של האינטואיציות על תהליך הלמידה.

מקור: על"ה 26, תש"ס 2000

הערה למאמרו של מיכאל קרייזמן 'שימוש בווקטורים להתרת בעיות'

מדור: קוראים כותבים

כתבה: כוכבה טרייסטר

תקציר: הכותבת מציינת הערה למאמרו של מיכאל קרייזמן "שימוש בווקטורים להתרת בעיות" שהתפרסם בעלים 13-14, בסוף דבריה מובאת תגובת המערכת.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

הערה למאמרו של יונתן אחיטוב 'תמורות ללא שבת' על"ה 24

מדור: קוראים כותבים

כתב: עמוס אלטשולר

תקציר: במאמר מוצגות שתי הערות המתייחסות לפתרון בעיה שהוצגה בגיליון קודם של כתב העת על"ה.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

חישוב קיצון של פונקציה על-ידי איטרציה

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתב: גיורא מן

תקציר: בתוכנית הלימודים מופיע מושג נקודת קיצון של פונקציה לראשונה בדיון בפונקציה הריבועית. מציאת נקודות קיצון עבור פונקציות נוספות מתבצעות בכלים של חשבון דיפרנציאלי. המחבר מסביר כיצד ניתן להשתמש ביכולות המיוחדות של המחשבון הגרפי למציאת נקודות קיצון בשיטה איטרטיבית עוד לפני העיסוק בחשבון דיפרנציאלי ואף עבור פונקציות שאין בידינו כלים ישירים למצוא את נקודות הקיצון שלהם.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

שילוב משחק בהוראת המתמטיקה

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתב: מרק אפלבאום

תקציר: במאמר זה מובאת דוגמה לשיעור מתמטיקה שנבנה סביב המשחק 'בול פגיעה'. בשיעור מוצגים בפני התלמידים שיקולים קומבינטוריים והיסק לוגי ב'דרך השלילה'. לדעת המחבר ראוי להביא לשיעורי המתמטיקה כל משחק שניתן למצוא בו 'מתמטיקה' ולפתח סביבם תהליך לימודי רלוונטי.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

'לשוחח מתמטיקה - מדוע? למה? ואיך?'

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתבו: חיותה רגב ושרה שמעוני

תקציר: מאמר זה דן בתרומתה של השיחה המתמטית לבניית הידע של הלומד. המאמר מציג שלוש שיחות בנושאים מתמטיים שונים ומנתחן מהיבטים שונים: אופי השיחה, מבניה ודרכי בניית הידע במהלכה. מטרת המאמר לשקף למורים ולפרחי ההוראה, המנהלים שיח כזה את הקורה בו דרך 'משקפיים' מקצועיים שונים, כדי שיוכלו לבחון את המעשה ולשפרו.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

על פיתולי נהרות והמודל המתמטי של תופעה זו

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתבו: נצה מובשוביץ-הדר ואלה שמוקלר

תקציר: במאמר מוצג מודל מתמטי של ניבוי וחיזוי של מסלול ההתפתלות של נחלים ונהרות. המחברות מראות כיצד ניתן להגיע לאותו מודל בשתי גישות שונות: הגישה הדטרמיניסטית והגישה ההסתברותית.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

כיצד תופסים תלמידי כיתות ט' ו-י' את המושגים 'תבנית מספר' ו'תבנית פסוק' ואת הפעולות המתבצעות עליהן

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתבה: ברכה מוזיקנט

תקציר: במאמר מוצג מחקר שבדק את רמת ההבנה של המושגים: 'תבנית מספר' ו'תבנית פסוק' בקרב תלמידי כיתות ט'-י'. המחקר הראה שתלמידים שולטים בביצוע אלגוריתמים שלטכניקה האלגברית, אך מבצעים פעולות זהות על תבניות מספר ועל תבניות פסוק. לטענת החוקרת הכשלים נובעים מכשל בהבנה של ההבדל בין שני המושגים ומכשל בהבנה של האלגוריתמים. החוקרת ממליצה למורים לקשור בין האלגוריתם ומשמעותו לבין המושגים ומשמעותם ולחדד את ההבחנה בין שני המושגים.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

'אוטומטיזם במציאת פתרון' אצל תלמידי חטיבת הביניים

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתבו: בת-שבע אילני ונורית שמואלי

תקציר: המאמר מציג מחקר שהתמקד באופן בו תלמידי חטיבת הביניים ומוריהם מבצעים משימות אלגבריות הקשורות לפתרון משוואות ולפישוט תבניות מספר. מטרת המחקר הייתה לאפיין את תהליך העבודה- עד כמה הוא אלגוריתמי רוטיני ועד כמה יש בו גמישות בראיה המבנית. תוצאות המחקר מצביעות על כך שככל שמתקדם תהליך לימוד האלגברה כך מתפתחת גם היכולת של הראיה המבנית.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

נקודה למחשבה

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתב: שי פוקס

תקציר: המאמר מציג תהליך חיפוש של הגדרה למושג נקודת פיתול. המשפטים המהווים מבחן לנקודות כאלה לא מספקים הגדרה. המחבר מציג שתי חלופות להגדרה, שאינן שקולות. לכל אחת יתרונות משלה. המחבר ממליץ על ההגדרה לפיה נקודת פיתול היא נקודת רציפות של פונקציה, בה מתבצע מעביר בין קמירות לקעירות כהגדרה נוחה מבחינה דידאקטית היות והיא מתיישבת עם התפיסה האינטואיטיבית של המושג.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

לפתור, להבין ולשאול

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתב: עמוס גואטה

תקציר: המחבר טוען על סמך נסיונו, כי הקשר בין הבנת תהליך של פתרון בעיה, ובין היכולת לבצע את התהליך אינו הכרחי. לדעתו תלמידים משתמשים באלגוריתמים לפתרון ללא הבנת הקשר בין האלגוריתם לבין הבעיה. הוא מוצא אישוש מחקרי לטענה במסגרת מחקר שעסק בהבנת הנושא: מספרים עשרוניים. המחבר מציע להעמיק הבנה על-ידי חיבור שאלות.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

ניתוח גישות תלמידים, מהיחידה הקדם-אקדמית, בפתרון משוואות ואי-שיוויונים

מדור: עיון ומחקר

כתבה: ענת סוזן

תקציר: במאמר מתואר מחקר שהתמקד בהוראת הנושא 'פתרונות משוואות ואי-שיוויונים' על ידי תלמידים ביחידה הקדם-אקדמית באוניברסיטת חיפה. מטרת המחקר היתה לבדוק את תרומתה של סביבת למידה רבת ייצוגים ונתמכת מחשב, שפותחה על-ידי החוקרת, להבנת התהליכים האלגבריים הנדרשים לפתרון בעיות המשלבות 'פתרון משוואות ואי-שיוויונים'. ממצאי המחקר מצביעים על תרומה משמעותית.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

המתמטיקה בראי הזמן - הוראת המקצוע הלכה למעשה

מדור: היסטוריה

כתבו: אמירה קופר ודורית פטקין

תקציר: המאמר מציג מחקר הערכה לתוכנית השתלמות שנתית למורים שעסקה בשילוב נושאים מן ההיסטוריה של המתמטיקה בתוכנית הלימודים בבית הספר היסודי ובחטיבת הביניים. ההשתלמות התקיימה במרכז המורים האזורי לטכנולוגיה ומדעים בנתניה. נבדקו עמדות המורים לפני ההשתלמות ואחריה באשר ליתרונות השילוב של נושאים מן ההיסטוריה של המתמטיקה בהוראת המקצוע הלכה למעשה, ונערך מעקב במהלך השנה על הטמעת הנושא בקרב המורים ויישומו בבית הספר. לדעת החוקרות עשוי להביא לשדרוג ההוראה והלמידה.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

תוצאות אולימפיאדה מתמטית לנוער

מדור: חדשות

כתבו: מכון ויצמן

תקציר: הרשימה מכילה את התוצאות של האולימפיאדה לנוער במתמטיקה תשנ"ט, על שם פרופ' גיליס, שנערכה במכון ויצמן למדע ב-17.2.99.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

על חלוקת זוויות לשלוש והצעתו של אדריכל

כתבו: בנו ארבל וגדעון צבס

תקציר: המאמר מתאר את שלוש בעיות הבניה הקלאסיות בגיאומטריה ומסביר בקצרה כיצד הוכח שהן אינן פתירות. בנוסף מוצגת הצעה של אדריכל לפתרון הבעיה באמצעות מכשיר הבנוי מקורות ישרות ומעגלים - פתרון אשר לא קל לראות את העובדה שאינו עומד בדרישות הקשיחות לפתרון רק בסרגל ומחוגה.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

על בעיות קלות ובעיות קשות

כתב: דודו אמזלג

תקציר: המאמר מציג בעיות בסיסיות בתורת הגרפים כמציאת מסלול המילטוני ומציאת שידוך מושלם ודן באפשרויות הפתרון שלהם באמצעות אלגוריתמים ממוחשבים וביעילותם של האלגוריתמים. במאמר מתבצעת הערכה ל'זמן הריצה' של האלגוריתם כאמד ליעילותו.

מקור: על"ה 25, תש"ס 2000

תגובה למאמרו של דן בוחניק (עמ' 2-4)

מדור: קוראים כותבים

כתב: אבי סיגלר

תקציר: במאמר מוצגת הוכחה נוספת למשפט העיקרי שהוצג במאמרו של דן בוחניק - "משימה בגיאומטריה אוקלידית", (מאמרו של דן בוחניק התפרסם בעלה 21 ). בסוף המאמר הכותב מעלה שאלה נוספת ומשאיר אותה פתוחה.

מקור: על"ה 24, תשנ"ט 1999

פתרון מקורי למשוואה

מדור: קוראים כותבים

כתבה: קרן גרוסמן

תקציר: ברשימה מוצגת דרך לפתרון משוואה טריגונומטרית מהצורה asinx + bcosx = c .

מקור: על"ה 24, תשנ"ט 1999

תופסים זהב ברשת

מדור: אינטרמטיקה

כתב: עופר ליבה

תקציר: ברשימה מופיעים קישורים לאתרי אינטרנט הדנים בחתך הזהב מהיבטים שונים: מתמטיים, מדעיים ואמנותיים.

מקור: על"ה 24, תשנ"ט 1999

חדו"את היצירה (חלק ב)

מדור: ספרים

כתב: עופר ליבה

תקציר: המאמר הוא מאמר המשך (חלק א' פורסם בעל"ה 23) לסקירה של הספר: A Tour Of Calculus מאת (1995) David Berlinski . הטיול בארץ החדו"א לוקח את הקורא לעיון בהתפתחות ההיסטורית של מושג הנגזרת, משפטי ערך הביניים של רול ושל לגרנז', הגדרת מושג האינטגרל, משפט ערך הביניים עבור אינטגרל והמשפט היסודי של החשבון האינטגרלי.

מקור: על"ה 24, תשנ"ט 1999

ציור על צג מחשב בעזרת פונקציות כפעילות לימודית בחטיבת הביניים

מדור: מורים מציעים

כתב: ג'אד באדר

תקציר: במאמר דיווח על פרוייקט אישי של מורה ועל עבודתם של תלמידיו בעקבותיו. המורה התוודע אל האפשרות של ציור ציורים בעזרת פונקציות על צג מחשב. הציורים מובאים במאמר. הם מורכבים מישרים, גרפים של פונקציות ריבועיות, פונקציות שורש ופונקציות טריגונומטריות. לדעת המחבר ציור באמצעות פונקציות על צג מחשב הוא משימה שמעמיקה את ההבנה של מושגי היסוד בנושא של פונקציות.

מקור: על"ה 24, תשנ"ט 1999

בעיות הקשורות למיקום שורשי המשוואה הריבועית

מדור: מורים מציעים

כתב: אנטולי שטרקמן

תקציר: במאמר מוצגת שיטה לפתרון בעיה העוסקת במיקום השורשים של משוואה ריבועית ביחס לנקודות על ציר ה-X השונות מראשית הצירים. השיטה המוצעת משלבת שיקולים אלגבריים ושיקולים גרפיים; מתבססת על סימן הדיסקרימיננטה, מיקום הקדקוד של הפרבולה המתאימה וערך הפונקציה הריבועית המתאימה למשוואה בנקודות המוזכרות בבעיה.

מקור: על"ה 24, תשנ"ט 1999

תמורות ללא שבת

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתב: יונתן אחיטוב

תקציר: במאמר מוצג פתרון לבעיה הסתברותית באמצעות שימוש בתמורות.

מקור: על"ה 24, תשנ"ט 1999

מרובע בעל היקף מינימלי החסום במעגל

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתב: אבי סיגלר

תקציר: במאמר מוצג פתרון לבעיה: בהינתן מלבן מהו המרובע בעל ההיקף המינימלי שניתן לחסום בו. כבעיית ערך קיצון הנטייה היא לחפש פתרון אנליטי. עודף משתנים מקשה על פתרון בשיטה זו. המחבר מציג פתרון גיאומטרי אלגנטי, הנשען על שיקולים שהיו ידועים כבר בימי יוון ובוודאי ידועים גם לתלמיד כיתה ט.

מקור: על"ה 24, תשנ"ט 1999

הערות להוראת הפונקציה המעריכית

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתב: יעקב ש' קופיץ

תקציר: במאמר מוצגות שתי הגדרות של המספר e. האחת בגישה פונקציונאלית והשנייה בגישה סדרתית. מחבר המאמר מציג הסבר המתאים לתלמידי תיכון להצגת השקילות של שתי ההגדרות .

מקור: על"ה 24, תשנ"ט 1999

על דמיון מצולעים החסומים במעגל

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתב: אריה רוקח

תקציר: במאמר תשובה לשאלה: האם שני מצולעים חסומים במעגל בעלי זוויות שוות בהכרח דומים זה לזה? התשובה מבחינה בין מצולעים בעלי מספר זוגי של צלעות לבין כאלה בעלי מספר אי-זוגי של צלעות. מתברר כי עבור מצולעים בעלי מספר אי-זוגי של צלעות התנאי אכן מספיק, אך עבור האחרים התנאי אינו מספיק.

מקור: על"ה 24, תשנ"ט 1999

לומדים מתמטיקה בכיתה ב: חקר מקרה של מאפייני 'בכיתה המתמטית' וההבנה של התלמידים

מדור: עיון ומחקר

כתבה: רות שיין

תקציר: במאמר דיווח על מחקר שבדק את תרומתה ללמידה של תוכנית לימודים לכיתה ב, המבוססת על פתרון בעיות, שיח מתמטי וחשיפה של אסטרטגיות חשיבה של תלמידים. על-פי תוצאות המחקר תוכנית כזו תורמת לשיפור הישגים במבחנים בכתב, תוך שהיא מפתחת הבנה.

מקור: על"ה 24, תשנ"ט 1999

ארכימדס, כנסיות בירושלים, ממשלת יון, והאספנים

מדור: היסטוריה

כתב: אבינעם מן

תקציר: המאמר סוקר את פועלו של ארכימדס בתחומי המדע השונים בעקבות מכירתו של ספר עתיק בו הופיע כתב יד המתאר חלקים מתרומתו המדעית. הספר הוא ספר תפילות. לצורך הכתיבה השתמשו שימוש חוזר בקלף מיוחד. הטקסט הקודם שמצוי על גבי דפי הספר תואם את כתביו של ארכימדס ובחלקם כאלה שלא מוכרים ממקום אחר.

מקור: על"ה 24, תשנ"ט 1999

סכום החזקות ה-k-יות של n הטבעיים הראשונים

כתב: דודו אמזלג

תקציר: במאמר מוצגות שתי שיטות למציאת סכום החזקות ה-k-יות של n הטבעיים הראשוניים בצירוף הוכחות לנכונותן. השיטה הראשונה היא רקורסיבית והשנייה מאפשרת חישוב ישיר של הסכום.

מקור: על"ה 24, תשנ"ט 1999

פנים רבות להגדרה: המקרה של מחזוריות

כתבו: יופ ואן דורמולן ואורית זסלבסקי

תקציר: המאמר עוסק באפיון של הגדרות מתמטיות בעקבות שיחה, בה התעורר וויכוח ביחס לנכונות של הגדרה עבור המושג 'פונקציה מחזורית'. המסקנות העולות מן הדיון הן, בין היתר, כי יש מקום לבחירה בין הגדרות שקולות לאותו מושג, אך יש גם מקום להעדפה של הגדרה אחת על-פני אחרת אף אם אינן שקולות, כהסכם בקהילייה המתמטית המצומצמת, או משיקולים פדגוגיים. מודגש כי עשיית מתמטיקה היא פעילות אנושית, הנותנת בידינו חופש לחקור וחופש להחליט החלטות, כל זמן שאנו מודעים לתוצאות הנובעות מהן.

מקור: על"ה 24, תשנ"ט 1999

אשנב לאינטרמטיקה

מדור: אינטרמטיקה

כתב: עופר ליבה

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

צעדים ראשונים ב-Excel

מדור: שיטות חדשות

כתב: איגור זלצר

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

הסופיזם כעזר ומנוף בהוראת הגיאומטריה

מדור: שיטות חדשות

כתב: מרק אפלבאום

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

שטח מקסימלי של מרובעים בעלי היקף נתון בדרגות חופש שונות

מדור: שיטות חדשות

כתב: אבי סיגלר

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

גיאומטריית המרחב: המצוי מול הרצוי

מדור: שיטות חדשות

כתבה: לאה לטנר

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

משוואות פונקציונליות - מהפרט אל הכלל

מדור: שיטות חדשות

כתב: עופר ליבה

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

מורה וחבר

מדור: לזכרו של אפריים פישביין ז"ל

כתבה: דנה תירוש

תקציר: דברים לזכרו של פרופ' אפריים פישביין, שהיה מאבות המחקר החינוכי-מתמטי בארץ, שנכתבו בעקבות מותו.

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

פכים קטנים

מדור: לזכרו של אפריים פישביין ז"ל

כתבה: רנה הרשקוביץ

תקציר: דברים לזכרו של פרופ' אפריים פישביין, שהיה מאבות המחקר החינוכי-מתמטי בארץ, שנכתבו בעקבות מותו.

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

חדו"את היצירה (חלק א)

מדור: ספרים

כתב: עופר ליבה

תקציר: המאמר הוא חלקה הראשון של סקירת הספר: A Tour Of Calculus מאת (1995) David Berlinski . הטיול בארץ החדו"א לוקח את הקורא לעיון בהתפתחות ההיסטורית של הגדרת קבוצות המספרים, מושג הגבול, מושג הפונקציה ומושג הגבול. מאמר ההמשך מתייחס למושגים נוספים. (מאמר ההמשך מופיע בגליון על"ה 24)

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

אפריים פישביין - עד יומו האחרון

מדור: לזכרו של אפריים פישביין ז"ל

כתב: שלמה וינר

תקציר: דברים לזכרו של פרופ' אפריים פישביין, שהיה מאבות המחקר החינוכי-מתמטי בארץ, שנכתבו בעקבות מותו.

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

אפריים פישביין המייסד

מדור: לזכרו של אפריים פישביין ז"ל

כתבה: פרלה נשר

תקציר: דברים לזכרו של פרופ' אפריים פישביין, שהיה מאבות המחקר החינוכי-מתמטי בארץ, שנכתבו בעקבות מותו. פרופ' פישביין ייסד את הקבוצה הבינלאומית לחקר הפסיכולוגיה של החינוך המתמטי PME .

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

קווים לדמותו של פרופסור שהרן שלח, חתן פרס ישראל לשנת התשנ"ח בחקר המתמטיקה

מדור: דיוקן

כתב: מתוך פרסום של ועדת הפרס

תקציר: המאמר מציג סקירה של חייו ופועלו של פרופסור שהרן שלח בתחום המתמטיקה בעקבות זכייתו בפרס ישראל בחקר המתמטיקה בשנת התשנ"ח. שהרן שלח הוא לוגיקן.

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

מבחר תוצאות במתמטיקה בסיום הלימודים בביה"ס העל-יסודי בישראל ובמדינות אחרות

מדור: TIMSS

כתבה: נצה מובשוביץ-הדר

תקציר: במאמר מובא סיכום תוצאות המחקר הבינלאומי השלישי של הישגים לימודיים במתמטיקה ובמדעים - TIMSS. לדעת המחברת, ראוי שהעוסקים באורח ישיר ובעקיפין בחינוך המתמטי של הדור הצעיר והאחראים להנהגתו, ילמדו ברצינות את תוצאות המחקר הבינלאומי השלישי, ויפיקו מהן את הלקחים הדרושים.

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

שינויים שמביאים טכנולוגיית CAS לסביבה המתמטית של מורים

מדור: מהמערכת

כתבו: נורית זהבי וגיורא מן

תקציר: במאמר מובאות דוגמאות לשילוב השימוש בתיכנות CAS - Computer Algebra Systems בהוראה ומודגשים היתרונות הדידקטיים של השילוב: מעבר לחשיבה אסטרטגית במקום עיסוק בטקטיקה; בניית קישור משמעותי בין אלגברה וגיאומטריה, הדוגמאות לקוחות מקורסים למורים ומתפרסות על תחומים מתמטיים מגוונים: תורת המספרים, פיסיקה, בעיית ערך קיצון, חתכי חרוט, מערכות משוואות.

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

מתמטיקה נומרית בבית הספר התיכון

מדור: מהמערכת

כתב: גדעון צבס

תקציר: המאמר נכתב לכבוד פרסומה של תוכנית לימודים חדשה למקצוע מדעי המחשב. בחלקו הראשון סקירה היסטורית של הנושאים באנליזה נומרית ששולבו במהלך השנים בתוכנית הלימודים ובחלקו השני סקירה של הנושאים שנבחרו לתכנית החדשה על-ידי ועדת המקצוע והתכנית במדעי המחשב.

מקור: על"ה 23, תשנ"ט 1998

מתמטיקה, ספרות ומה שביניהם

כתבה: קרן גרוסמן

מדור: מורים מציעים

מקור: על"ה 22, תשנ"ח 1998

בניית קירוב לפונקציית הסינוס - פעילות במעבדה מתמטית

כתבה: אסתר אופנהיים

מדור: מורים מציעים

מקור: על"ה 22, תשנ"ח 1998

חידות, בעיות ומשימות מתמטיות בעלות פתרונות עם מספרים שלמים בלבד

כתבו: לאה אוקסמן ומשה סטופל

מדור: מורים מציעים

מקור: על"ה 22, תשנ"ח 1998

ועוד על חתך הזהב

כתב: איגור זלצר

מדור: תכנים חדשים

מקור: על"ה 22, תשנ"ח 1998

הסתברות מותנית כמקור לפרדוקסים ותוצאות מפתיעות

כתב: אלכס קופרמן

מדור: תכנים חדשים

מקור: על"ה 22, תשנ"ח 1998

התיכון שווה למחצית היתר (עם נייר ומספריים) - דרכי הוכחה והמחשה

כתב: אהוד לם

מדור: תכנים חדשים

מקור: על"ה 22, תשנ"ח 1998

משפטים גיאומטריים הנוצרים על-ידי 'משחקים' בביטויים אלגבריים

כתב: אבי סיגלר

מדור: תכנים חדשים

מקור: על"ה 22, תשנ"ח 1998

תרגילי הבנה בתבניות פסוק

כתב: עופר ליבה

מדור: שיטות חדשות

מקור: על"ה 22, תשנ"ח 1998

חיתוכים, שאלות פתוחות והקשרים

כתבה: נעמי צ'יזיק

מדור: שיטות חדשות

מקור: על"ה 22, תשנ"ח 1998

הכללות בפתרון בעיות מתמטיות

כתב: אורי בן בסט

מדור: שיטות חדשות

מקור: על"ה 22, תשנ"ח 1998

TIMSS - המחקר הבינלאומי השלישי להערכת הישגים במתמטיקה ובמדעים

כתבה: נצה מובשוביץ-הדר

מדור: TIMSS

מקור: על"ה 22, תשנ"ח 1998

ידע אינטואיטיבי וידע לוגי כמרכיבים של הפעילות המתמטית

כתבו: אפרים פישביין, דינה תירוש ואביבה ברש

מקור: על"ה 22, תשנ"ח 1998

על מספרים משוכללים

כתב: דוד אמזלג

מקור: על"ה 22, תשנ"ח 1998

פרס ישראל לשהרן שלח

מדור: תכנים חדשים, שיטות חדשות

מקור: על"ה 22, תשנ"ח 1998

תגובה על הערות של ש. אביטל

כתב: מייקל פריד

מדור: קוראים כותבים

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

תגובה למאמר: סקרנות היא הכוח המניע

כתבה: נילי הירשפלד

מדור: קוראים כותבים

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

מכתב ללאה לטנר בעקבות מאמר מעל"ה 19

כתבה: נעמי צ'יזיק

מדור: קוראים כותבים

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

ללמד טוב יותר

כתב: עופר ליבה

מדור: ספרים

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

וקטורים

כתב: אורי רימון

מדור: יצאו לאור

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

האם אפשר אחרת?

כתבה: אורית חזן

מדור: האם אפשר אחרת?

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

המושג 'פונקציה' בטריגונומטריה אצל תלמידי כיתות י"א ו-י"ב - השוואה בין פונקציות אלגבריות ופונקציות טריגונומטריות

כתבה: נילי קלונובר

מדור: שיטות חדשים, תכנים חדשים

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

הוראת הפונקציה הלוגריתמית בגישה גיאומטרית

כתב: אברהם בלוך

מדור: שיטות חדשים, תכנים חדשים

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

עקרון המינימום או האינדוקציה המתמטית?

כתב: אלכס קופרמן

מדור: שיטות חדשים, תכנים חדשים

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

יחסי אהבה-שנאה בין מספרי לוקאס למספרי פיבונצ'י

כתב: אריה רוקח

מדור: שיטות חדשים, תכנים חדשים

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

משימה בגיאומטריה אוקלידית

כתב: דן בוחניק

מדור: שיטות חדשים, תכנים חדשים

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

חישובי אורך עם מחשבון גרפי

כתב: גיורא מן

מדור: שיטות חדשים, תכנים חדשים

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

מצולעים שטחוניים: שיעור-דיון סביב נושא מתמטי חדש

כתבה: גרייסי ויניצקי לנדמן

מדור: שיטות חדשים, תכנים חדשים

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

Ask Dr. Math

כתבה: נעמי צ'יזיק

מדור: אינטרמטיקה

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

ארכיאולוגיה מתמטית

כתב: יונתן אחיטוב

מדור: היסטוריה

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

כבדהו וגם חשדהו

כתבו: רנה הרשקוביץ ואברהם הרכבי

מדור: TIMSS

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

בשבחי השכל הישר

כתב: עזריאל לוי

מדור: TIMSS

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

על תרומותיה וסכנותיה של סטטיסטיקה

כתב: טומי דרייפוס

מדור: TIMSS

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

בעיות מורכבות דורשות שיטות מורכבות

כתב: אפרים פישביין

מדור: TIMSS

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

להיות כמו יפנים

כתבה: מיכל ירושלמי

מדור: TIMSS

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

TIMSS - המחקר הבינלאומי השלישי להערכת הישגים במתמטיקה ובמדעים

כתבה: נצה מובשוביץ-הדר

מדור: TIMSS

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

המספרים החופשיים

כתב: עלי מרצבך

מקור: על"ה 21, תשנ"ח 1997

רשימת מאמרים בעל"ה

ריכז: עופר ליבה
מדור: רשימת מאמרים בעל"ה 1-20
מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

מבחני בגרות בארץ: אז והיום

כתבה: אילנה לבנברג

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

עשור לעל"ה: מבט לאחור ומבט קדימה על כיתת המתמטיקה

כתבה: אנה ספרד

מדור: חגיגות העשורים

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

תגובה למכתבו של מייקל פריד

כתב: שמואל אביטל

מדור: קוראים כותבים

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

פרקים בתורת המשחקים

כתבה: עין-יה גורה

מדור: יצאו לאור

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

מבט על פרחי הוראה ותפיסתם את הוראת המתמטיקה

כתבה: אורית חזן

מדור: האם אפשר אחרת?

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

ראייה גלובלית וראייה פרטנית בפתרון בעיות מתמטיות

כתב: אורי בן-בסט

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

שיטות לתכנון פולינומים עם נקודות אפס ונקודות קיצון במספרים שלמים

כתב: משה שמיר

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

החשבון המודולרי בשירות האינדוקציה

כתב: עופר ליבה

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

שיפור שיטת הטרפזים

כתב: עמוס ארליך

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

השפעת רמת הקושי של משפט מתמטי על ודאות בהוכחה, בפיתוח החשיבה המתמטית של תלמידי תיכון

כתב: אלחנן גזית

מדור: עיון ומחקר

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

סיפורו של המספר e

כתב: אלי מאור

מדור: היסטוריה

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

עם פטירתו של פאול ארדש

כתב: גיל קלעי

מדור: חדשות

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

המסע לכֵנלאוּלַי או שֶקרֶמֶתטיה, ההיית או חלמתי חלום

כתב: אמנון ז'קוב

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

חכמת הדבורים - גרסה מתוקנת (יוני 2011)

כתבה: נצה מובשוביץ-הדר

תקציר: בנסיון לענות על השאלה "האם הדבורים בונות בחכמה את חלת הדבש" מתבצע דיון על הגופים המרחביים היעילים לבנייה זו.

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

עשור לקשר חם: מתמטיקה של אז ומתמטיקה של היום

כתבו: זיוה שחם ואירית ורטהיים

מדור: חגיגות העשורים

מקור: על"ה 20, תשנ"ז 1997

לחשב ולהמחיש (עמ' 3)

כתב: דוד רימר

מדור: קוראים כותבים

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

תיקון שגיאות (עמ' 2)

כתבה: גאולה ויצמן

מדור: קוראים כותבים

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

הערה למאמר: על ההתפתחות ההיסטורית של המתמטיקה (עמ' 2)

כתב: מייקל פריד

מדור: קוראים כותבים

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

תכנים היסטוריים לשילוב בהוראת המתמטיקה

כתב: עופר ליבה

מדור: יצאו לאור

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

ביבליוגרפיה להעשרה במתמטיקה בתחומים נלווים

כתב: עופר ליבה

מדור: ספרים

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

הוכחות והפרכות - קטע מתוך ספרו של אימרה לקטוש

כתב: עופר ליבה

מדור: ספרים

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

עידון הדרגתי - בנייה בשלבים של ידע והבנה

כתבו: אורית חזן ואורי לירון

מדור: האם אפשר אחרת?

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

פונקציות מעגליות ופונקציות טריגונומטריות

כתב: גיורא מן

מדור: מורים מציעים

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

יישוב פרדוקסים הקשורים לתחום הגדרה בעזרת המחשב- האם תמיד אפשר?

כתבה: לאה לטנר

מדור: מורים מציעים

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

ציור בעזרת פונקציות

כתבו: סילביה סלומון ולאה בלט

מדור: מורים מציעים

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

על הגדרות (שקולות ולא שקולות) ומושג המשיק

כתבו: גרייסי ויניצקי ורוזה לייקין

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

קירובים לערכי פונקציה על יד X=0

כתב: עמוס ארליך

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

אוריגמי המביא לידי מחשבה - שאלות גיאומטריות הקשורות בקיפולי נייר

כתבה: רינת חדשי

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

מתמטיקה לקראת התלמיד

כתבו: נורית הדס ואורלי גוטליב

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

דרכים שונות בהוראת נושא מתמטי - אלטרנטיבות ושיקולי דעת דידקטיים

כתבה: יעל שפי

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

המושג 'מספר אי-רציונלי' אצל תלמידי תיכון ופרחי הוראה

כתבו: אפרים פישביין, רות יחיעם ודורית כהן

מדור: עיון ומחקר

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

הרהורים על מחקר בחינוך מתמטי

כתבו: אורית חזן ונצה מובשוביץ-הדר

מדור: עיון ומחקר

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

התפתחות הגיאומטריה האוקלידית וגילוי הגיאומטריה הלא-אוקלידית בתולדות המתמטיקה ובחשיבה של תלמידים

כתב: אלחנן גזית

מדור: היסטוריה

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

לעשות מתמטיקה - יריד מתמטיקה באצבע הגליל תשנ"ו

כתבו: נגה ואן-דורמולן אברהמי ואורית זסלבסקי

מדור: חדשות

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

מבט לחידושים - הכנס השלישי של האגודה לקידום החינוך המתמטי בישראל

כתבו: עופר ליבה ויהודית פרי

מדור: חדשות

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

גישה חזותית לכמה נושאים בסיסיים בתורת המספרים

כתבו: מקסים ברוקהיימר ואברהם הרכבי

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

לדעת מתמטיקה ולדעת דידקטיקה - שיחה עם פרופסור מקסים ברוקהיימר

כתבו: אנה ספרד ועופר ליבה

מקור: על"ה 19, תשנ"ז 1996

בעקבות "יומן המורה" מכתב למחברת

כתב: יוסף גולדשטיין

מדור: קוראים כותבים

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

"הדרך לפיתוח חשיבה מתמטית"

מדור: יצאו לאור

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

בין אסתטיקה למתמטיקה

כתב: עופר ליבה

מדור: ספרים

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

"האם 6 הוא מספר ראשוני?"

כתבו: אורי לירון ואורית חזן

מדור: האם אפשר אחרת ?

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

קשיים בלימודי הסתברות

כתבו: טטיאנה זסלבסקי ואורית זסלבסקי

מדור: מחקר במבט חפוז

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

זהובים תמורת לחם - הצעה לפעילות בכיתת מתמטיקה

כתבה: רינת חדשי

מדור: מורים מציעים

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

הפיכת בעיה בגיאומטריה מספרי הלימוד לבעיית חקירה במחשב, והרחבותיה לכיווני חקירה נוספים

כתבה: רותי רייז

מדור: מורים מציעים

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

בעיות מילוליות ואתגרי חשיבה מתמטיים באמצעות תקשורת מחשבים

כתב: אביקם גזית

מדור: מסגרות לימודים מיוחדות

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

השפעת שילוב משדרי טלוויזיה בשיעורי מתמטיקה בחטיבה העליונה

כתבו: אילנה דרוקר ודורית פטקין

מדור: מסגרות לימודים מיוחדות

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

בניית שלשות פיתגוריות

כתב: אריה רוקח

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

מהי נקודת מקסימום?

כתב: גיורא מן

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

חתך הזהב

כתב: עופר ליבה

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

גיאומטריה סביבנו - מן התיאוריה אל המעשה

כתבו: דורית פטקין ואילנה לבנברג

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

בניות גיאומטריות על-ידי סרגל בלבד

כתבו: משה סטופל וויקטור אוקסמן

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

הערות למאמר "עוד על הפונקציה המעריכית"

כתב: שמשון א' עמיצור

מדור: תכנית לימודים

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

עוד על הפונקציה המעריכית

כתב: אורי לירון

מדור: תכנית לימודים

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

ההתפתחות ההיסטורית של המתמטיקה - שילובה בהוראת המקצוע בחטיבה העליונה באמצעות קריאה עצמית של התלמידים

כתבו: אמירה קופר

מדור: היסטוריה

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

ודאות והוכחה בפיתוח החשיבה המתמטית

כתבו: אפרים פישביין ואירית קדם

מדור: עיון ומחקר

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

מסר ערכי גם בטקסט לימודי במתמטיקה

כתבה: גאולה ויצמן

מדור: עיון ומחקר

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

משולש שירפינסקי וציורו במחשב

כתבו: ליאורה נוטוב ועזריאל לוי

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

תפקידם של פרדוקסים בהתפתחות המתמטיקה

כתבו: ישראל קליינר ונצה מובשוביץ-הדר

מקור: על"ה 18, תשנ"ו 1996

הוכחת האליבי המוצק

מדור: חדשות

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

פרדוקס מעניין

מדור: קוראים כותבים

כתב: אריה רוקח

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

שאלות חלופיות ללומדים עם מחשבונים גרפיים, קיץ תשנ"ה

מדור: מבחני בגרות

כתבה: חנה פרל

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

e בראש הטור

מדור: ספרים

כתב: עופר ליבה

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

קוהרנטיות גלובלית וקוהרנטיות לוקלית בהתייחסות לטענות הגיאומטריה

מדור: מחקר במבט חפוז

כתבה: עטרה שריקי

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

דו-שיח תחת מיקרוסקופ

מדור: האם אפשר אחרת?

כתבה: הגר גל

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

כך למדתי (לא) להבין חשבון (עמ' 5)

כתבה: רינת חדשי

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

בחינות בגרות בצרפת

מדור: לימודי מתמטיקה בעולם

כתב: עופר ליבה

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

יומן המורה

מדור: מנסיונה של מורה

כתבה: אילנה לבנברג

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

האם תלמידינו מעדיפים לחשב או לחשוב?

מדור: מנסיונה של מורה

כתבה: אורית חזן

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

פתרון בעיית חקר בסיוע מחשב

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתבה: יעל הרפז-רובין

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

המכפלה הסקלרית

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתב: גיורא מן

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

גישה אלגוריתמית לעומת גישה אינסטרומנטלית בחינוך מתמטי

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתבו: יהודית גל-עזר וגדעון צבס

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

הזדמנויות להתבונן בגרפים

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתב: עמוס ארליך

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

זוגי - אי-זוגי

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתב: זאהר עאמר

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

גאוות יחידה - רשמים מהכנס השני של האגודה לקידום החינוך המתמטי

מדור: חדשות

כתב: עופר ליבה

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

פרס ישראל לפרופ' מיכאל רבין

מדור: חדשות

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

תוכנית לימודים במתמטיקה לכיתות י-יב של 3 יחידות לימוד

מדור: תוכנית לימודים

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

הפונקציה המעריכית

מדור: תוכנית לימודים

כתב: שמשון א' עמיצור

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

מבט כללי על ידע מתמטי להוראה, והיישום במקרה של פונקציה

כתבה: רוחמה אבן

מדור: עיון ומחקר

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

תולדות תורת ההסתברות

כתב: עלי מרצבך

מדור: היסטוריה

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

הפוטנציאל המתמטי של הילד הדיסלקטי והאפשרויות של המורה למתמטיקה להוציאו לפועל

כתבה: קלרה היידו

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

טופולוגיה מהי? (דיאלוג)

כתב: א' ג' שורץ

מקור: על"ה 17, תשנ"ו 1995

תיקוני טעויות ותוספות למאמרה של נצה מובשוביץ-הדר

מדור: קוראים כותבים

כתבה: אבינועם מן

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

הערות למאמרו של מיכאל קייזרמן: שימוש בווקטורים להתרת בעיות - חלק ב'

מדור: קוראים כותבים

כתבה: מימון ציפורה

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

מי נהנה ממתמטיקה?

כתב: מיכאל מור

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

לראות את פאי

מדור: ספרים

כתב: עופר ליבה

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

שימוש בפרדוקסים בהוראת מתמטיקה

מדור: מחקר במבט חפוז

כתבה: ליאורה נוטוב

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

שמשון עמיצור איננו

מדור: לזכרו של פרופ' שמשון א' עמיצור

כתבה: מרים כהן

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

מתוך האזכרה באקדמיה הלאומית למדעים

מדור: לזכרו של פרופ' שמשון א' עמיצור

כתב: אלכס לובוצקי

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

הוראת מתמטיקה - מחשבות ותופעות

מדור: לזכרו של פרופ' שמשון א' עמיצור

כתב: שלמה וינר

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

איך להפוך את השטח בשאיפה לגבול

מדור: קוראים כותבים

כתב: יעקב קופיץ

תקציר: במאמר מציג המחבר הוכחה של הגבול הנ"ל שאינה מתבססת על מושג השטח. ההוכחה מתבססת על המושג מסילה פוליגונלית.

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

פעילות עם מחשבון גרפי

מדור: דפי עבודה

כתבה: חנה פרל

תקציר: במאמר מובא דף פעילות בנושא שרטוט גרפים של פונקציות וחקירתם. המטרה היא לעורר בתלמיד מוטיבציה ללמוד כלים אנליטיים לחקירת גרפים של פונקציות. בנוסף לדף העבודה לתלמיד, מובאות הערות דידקטיות המיועדות למורה.

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

משחק לשיעור מתמטיקה

מדור: חידות ושעשועים

כתבה: חיה נגאל

תקציר: במאמר מוצג משחק שניתן לשלבו בשיעורי מתמטיקה בכל נושא. מובאת דוגמה אחת הקשורה בנוסחאות הכפל המקוצר.

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

האם אפשר אחרת?

מדור: האם אפשר אחרת?

כתבו: אורי לירון ואורית חזן

תקציר: המדור "האם אפשר אחרת?" עוסק בנושאים שונים הקשורים להוראה וללמידה ומושם בו דגש על ניתוח גישות מקובלות וניתוח אלטרנטיבות. במאמר זה דנים בשתי מטאפורות המשקפות תפיסה של הוראה ולמידה: העברת חומר מראש המורה לראש התלמיד לעומת התפיסה הקונסטרוקטיביסטית, המתמקדת בבניית מבנים הכרתיים בראש התלמיד ותפקיד המורה ליצור סיטואציות מתאימות לכך.

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

הוראת המתמטיקה בסין

מדור: לימודי מתמטיקה בעולם

כתב: שישן מו, ג'ינאן

תקציר: במאמר נסקרות מערכת החינוך, הוראת המתמטיקה והכשרת המורים למתמטיקה בסין, בין השאר נידונים הנושאים הבאים: בית הספר היסודי וחטיבת הביניים, הבחינות בבית הספר, ההשכלה הגבוהה, חינוך מבוגרים, מעמד הוראת המתמטיקה בבתי הספר בסין, תוכן הוראת המתמטיקה, היבטים דידקטיים והכשרת המורים. בנוסף, מובאות דוגמאות: לבחינה במתמטיקה המשמשת כבחינת כניסה לאוניברסיטה בסין, למערך שיעור ורשימת קורסים הנלמדים במוסדות להכשרת מורים בסין.

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

בסיס אינטואיטיבי למשפט היסודי של האלגברה

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתבו: נצה מובשוביץ-הדר, אורית זסלבסקי ואלה שמוקלר

תקציר: מתוך הכרה בחשיבות במשפט היסודי של האלגברה ומתוך מודעות לעובדה שכל ההוכחות של המשפט דורשות ידע מתמטי שאינו נלמד בבית הספר העל יסודי, מתעוררת השאלה כיצד ניתן להביא תלמידים לידי הכרות ראשונה עם המשפט וליצור בכך מסגרת מתאימה לדיון בפתרון משוואות פולינומיאליות? במאמר מוצג רקע הסטורי ומתמטי של המשפט היסודי של האלגברה, סקירה של דרכי טיפול בהוכחות המשפט המוצעות ע"י חוקרים אחרים ותאור של תוכנית התנסות אישית לתלמידים שעשויה להביא לכך שרעיונותיה העמוקים של ההוכחה יחשפו בפני התלמידים ולהביא לכך שתלמידים שלמדו מבוא למספרים מרוכבים יבינו את מהותו של המשפט.

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

מחשבונים גרפיים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתבה: אניטה א' סולוב

תקציר: במאמר מתארת הכותבת התנסות שלה בשילוב מחשבונים גרפיים במסגרת קורס חדו"א. היא מדגישה את היתרונות מבחינתה של שימוש במחשבונים גרפיים בהוראה, ומשווה שימוש זה לשימוש במחשבים.

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

מיקרו-ברידג': עולם-זוטא קומבינטורי

מדור: שיטות חדשות, תכנים חדשים

כתבו: רינת חדשי-רחמן ותמי לפידות

תקציר: במאמר מציגות המחברות עולם-זוטא קומבינטורי המבוסס על משחק דמוי ברידג' הקרוי - מיקרו-ברידג'. מטרת המשחק היא לבנות סביבה שבה התלמידים יעסקו בתכנים קומבינטוריים, נושאים הנחשבים לקשים ללמידה. בנוסף למשחק ממליצות המחברות כמה המלצות דידקטיות לשימוש במיקרו-ברידג' כעולם זוטא לקומבינטוריקה. לדעתן, השימוש בעולם-זוטא המוצע במאמר יעזור לתלמידים להיות לומדי קומבינטוריקה מוצלחים בתקופת בית הספר ובמובן מסויים גם כל החיים.

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

סקר על השימוש במחשבים להוראת מתמטיקה בבתי ספר על יסודיים

מדור: מנסיונה של מורה

כתבו: אורית זסלבסקי, נצה מובשוביץ-הדר, ואלה שמוקלר

תקציר: במאמר מוצג סקר הבא לספק תמונת מצב על השימוש במחשבים בהוראת המתמטיקה. מטרת הסקר היא לעזור במציאת מענה לשאלות אירגוניות וקונספטואליות. המסקנה היא שהתמונה הכללית בתחום שילוב מחשב בהוראת המתמטיקה היא דלה מאד וכי על מנת לשנות את המצב יש להשקיע מאמצים בהכשרת מורים למתמטיקה ובהנחייתם בתחום השימוש במחשב בהוראת המקצוע.

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

אנאלגבריות בלימודי האלגברה

מדור: עיון ומחקר

כתבה: חוה בלודי-וינר

תקציר: במאמר דנה המחברת בהבנה לקויה של השפה האלגברית - אנאלגבריות ומתמקדת בביטוייה בנושא של תבניות מספר ותבניות פיסוק. מסתבר שבסיטואציות שונות ורבות תלמידים מפגינים מידה של אנאלגבריות וכי ברוב המקרים יש קשר בין מידת האלגבריות ובין הרמה המתמטית שנבדקת במבחני הישיגים במתמטיקה.

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

מודלים סמויים וחשיבה מתמטית

מדור: עיון ומחקר

כתב: אפרים פישביין

תקציר: המאמר עוסק במספר דוגמאות של מודלים סמויים, קונקרטיים, אשר משפיעים על המושגים והפעולות המתמטיות של תלמידים. היות ומודלים אלה משפיעים גם בשלב האופרציות הפורמליות, מציע המחבר לשקול נקודת מבט חדשה על התיאוריה ההתפתחותית של פיאז'ה ולאמץ תהליך מטה-קוגנטיבי כדי להתגבר על הקונפליקטים. במאמר נידון הנושא של מודלים סמויים בהקשר למושג הקבוצה, סימן השוויון, ופעולות חיסור, כפל וחילוק.

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

שיחה עם פרופ' פרלה נשר - המדענית הראשית של משרד החינוך

כתבו: אנה ספרד וחנה פרל

תקציר: במאמר משוחחות המחברות עם פרופ' פרלה נשר על השקפותיה כחוקרת, כמפתחת תוכניות לימודים וכמורת מורים. פרופ' נשר מתייחסת לשאלות העוסקות במצבו של החינוך המתמטי בהוראה להבנה לעומת הוראת טכניקות, בהכשרה להוראת מתמטיקה ובמבט כללי על המערכת.

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

טריגונומטריה והמכפלה הוקטורית

כתב: אברהם שמשון עמיצור

תקציר: המאמר עוסק בהגדרות המכפלה הוקטורית במישור ובמרחב. בעזרת הגדרות אלה מחשבים את הפונקציות סינוס וקוסינוס, משפט הסינוסים. בנוסף מודגמים כמה שימושים של מושגים אלה בהוכחות העוסקות בתיכונים במשולש, חוצי זוית במשולש, רדיוס מעגל החוסם משולש, ושטח מצולע במישור.

מקור: על"ה 16, תשנ"ה 1995

פונקציות עם שורשים שאינם ריבועיים- אולי צריך חוקי גזירה חדשים?

כתבה: חמוטל דוד.

מדור: במבט נוסף.

תקציר: פונקציות עם שורשים ריבועיים ושאינם ריבועיים ממקדות את תשומת הלב בתחומי ההגדרה שלהן ובתחומי ההגדרה של נגזרותיהן. המאמר עוסק בתכונות של פונקציות אלה ושל נגזרותיהן, ודן בנקודות עדינות שיש לתת עליהן את הדעת, בעת העיסוק בפונקציות אלה, על מנת להימנע מטעויות.

מקור: על"ה 57 תשע"ט, 2019.

פרבולות שונות בתכנית הלימודים מנקודת מבט מקשרת

כתב: אמיר בן בסט.

מדור: עיון ודיון.

תקציר: תכנית הלימודים ברמת 5 יחידות לימוד כוללת התייחסות לשתי משוואות שונות המתארות גרף של פרבולה קנונית: במפגש עם הפרבולה בחטיבת הביניים, הפרבולה הקנונית מוצגת כגרף של פונקציה ריבועית באמצעות המשוואה y=ax^2. בכתה י"ב הפרבולה הקנונית מוצגת כמקום גאומטרי באמצעות המשוואה y^2= 2px. מאמר זה מקשר בין שני סוגי הפרבולות, משלוש נקודות מבט: בעזרת שימוש בגיאומטריה אנליטית, בעזרת מספרים מרוכבים ומישור גאוס, ובעזרת שימוש במטריצת הסיבוב.

מקור: על"ה 57 תשע"ט, 2019.

קידום מורים לקראת פיתוח גישה לפתרון בעיות מתמטיות "לראות את הקל"

כתבו: תקוה עובדיה ומשי הלפרין.

מדור: עיון ודיון.

תקציר: במאמר הנוכחי נדגים מפגש של מורים למתמטיקה בתוכנית לתואר שני בתהליך קריאת מאמר מחקרי וניסיון ליישם את המלצותיו כדי לפתח מיומנות הוראה מיוחדת, שמקדמת את התלמידים לקראת ראיית האסטרטגיה הפשוטה ביותר ((Seeing the easy לפתרון בעיה מתמטית נתונה.

מקור: על"ה 57 תשע"ט, 2019.

מה מגלה לנו הזמן המוקצה ללמידה לגבי הקושי החזותי?

כתבה: מירלה וידר.

מדור: מהמחקר בחינוך מתמטי.

תקציר: האמונה האינטואיטיבית כי הקושי הקוגניטיבי מגדיל את זמן-הלמידה מנחה פרקטיקות הוראה רבות. אולם, ממצאים אמפיריים מראים שאין הדבר נכון תמיד. מטרת מחקר זה הייתה בחינה אמפירית של הקצאת זמן-הלמידה להבנת סרטוטים דו-ממדיים בדרגות קושי חזותי שונות לאור שתי תיאוריות מטה- קוגניטיביות. הממצאים מראים כי היפוך אנכי של הסרטוטים הוביל לשינוי מהותי במנגנונים המטה-קוגניטיביים המעורבים בהקצאת זמן-הלמידה. לממצאים אלו השלכות תיאורטיות ומעשיות לתחום ההוראה משום שיש בכוחם לקעקע אמונות רווחות לגבי הקצאת זמן-למידה, ואף להצביע על מורכבות קוגניטיבית גבוהה יותר בהבנת סרטוטים תלת-ממדיים בעלי אוריינטציה לא נורמטיבית.

מקור: על"ה 57 תשע"ט, 2019.

ייצוג גרפי דינמי להתרת בעיות תערובת

כתבו: מריטה ברבש.

מדור: אפשר גם אחרת.

תקציר: המאמר מדגים שימוש בווקטורים ובגרפים של פונקציות ליניאריות להתרת מגוון של בעיות ריכוז תערובת של שני מרכיבים. שילוב של יישומונים דינמיים הופך את השיטה הגרפית לגמישה ומגוונת ומאפשר לא רק מציאת פתרון אלא גם ניתוח הקשר בין הפרמטרים של הבעיה, וכן את הכללתה. במאמר משולבים יישומונים דינמיים שניתן להפעיל צעד אחר צעד, באופן המאפשר להתחקות גם אחר בניית היישומונים וגם אחר תהליך פתרון הבעיות.

מקור: על"ה 57 תשע"ט, 2019.

מתחדשים – תכנים חדשים ומדורים חדשים באתר מרכז המורים

כתבו: צוות מרכז המורים.

מדור: מהנעשה במרכז המורים.

תקציר: אתר מרכז המורים התחדש השנה במשאבי הוראה ולמידה רבים: התחדשנו בפעילויות לתלמידים בליווי מדריך למורה לכל אחת מהן, וביישומונים דינמיים מגוונים. רוב היישומונים משולבים בתוך הפעילויות לתלמידים. לחלק מהיישומונים הוספנו מדריכים למורה, במטרה לעודד שימוש גמיש ככל האפשר, גם בצמוד לפעילויות וגם בהקשרים אחרים. הוספנו מאגר של שאלות דמויות בגרות עם פתרונות מלאים והערות דידקטיות להעשרת ההוראה. בדף זה העלינו, לנוחיותכם, קישורים אל המשאבים החדשים.

מקור: על"ה 57 תשע"ט, 2019.

תלמידים מפתחים משחקים במסגרת התחרות "בואו נשחק מתמטיקה"

כתבו: צוות מרכז המורים.

מדור: מהנעשה במרכז המורים.

תקציר: אירוע הגמר של התחרות: בואו נשחק מתמטיקה ע"ש אלעד שיאון היה חגיגה צבעונית של יצירתיות, משחק ומתמטיקה. באירוע שהתקיים השנה באמדוקס, רעננה, השתתפו תלמידים מכל רחבי הארץ ומכל הגוונים של החברה הישראלית. התלמידים סיפרו בהתלהבות על החוויה שבבניית משחקים מתמטיים, ועל השפעת התהליך שעברו על הלכידות החברתית . כאן תוכלו למצוא מבחר מן המשחקים שעלו לגמר.

מקור: על"ה 57 תשע"ט, 2019.

חידות

חידות בעקבות

כתבו: צוות מרכז המורים.

מדור: לקינוח.

מקור: על"ה 57 תשע"ט, 2019.

חמש דרכים שונות לפתרון משוואה (אי-רציונאלית) אחת

כתבה: חמוטל דוד.

מדור: חקירה מתמטית.

תקציר: במאמר זה מוצגות חמש דרכים שונות לפתרון המשוואה: (x^2-5=√(5-x. משוואה זו נראית לכאורה תמימה ופשוטה, אך ניסיון ראשון לפתור אותה בדרך אלגברית- בסיסית ושגרתית על-ידי העלאה בריבוע של שני האגפים, מראֶה כי המשימה אינה פשוטה כלל ועיקר. עושר השיקולים וכיווני החשיבה המשולבים בפתרונות השונים המוצגים בהמשך, מסווג את הבעיה בקבוצה מכובדת של בעיות המזמנות חקר.

מקור: על"ה 58 תש"ף, 2020.

שימוש בגישה גרפית לצורך פתרון שאלות בהסתברות

כתב: אלכס גנלין.

מדור: עיון ודיון.

תקציר: מאמר זה מציג ומנתח בעיות בהסתברות שפתרונן מבוסס על יחסי שטחים או על יחסי נפחים. הבעיות המופיעות במאמר אינן כלולות בתוכנית הלימודים, אך הידע הדרוש לפתרונן מבוסס על תכנים מתמטיים הכלולים בתוכנית הלימודים.

מקור: על"ה 58 תש"ף, 2020.

"אם יוצאים מגיעים למקומות מופלאים"- מסע בעקבות שלוש נקודות ממוצעות

כתבו: אסתר גרונהט ועינב אייזיקוביץ-עודי.

מדור: חקירה מתמטית.

תקציר: במאמר זה הכותבות מבקשות לחלוק עם הקוראים מסע חקר, שנקודת המוצא שלו היא תופעה מתמטית שהציגו באחד הגליונות הקודמים של על"ה. הכותבות מציעות הצצה לתהליך שבו חיפשו לגלות, לדעת ולהבין משהו שלא היה ידוע להן. המסע כולל חיפושי דרך, נתיבים ללא מוצא, הפתעות מתמטיות במקומות לא צפויים, וניסיון רפלקטיבי להבנת התהליך.

מקור: על"ה 58 תש"ף, 2020.

להיות או לא להיות (עם מסכה)? ניתוח קבלת החלטות בתקופת הקורונה בכלים של תורת המשחקים

כתבה: קרני שיר.

מדור: מעבר לאופק.

תקציר: אביב 2020, אנחנו נמצאים בעיצומה של תקופת הקורונה. על פי ההנחיות יש לעטות מסכה, ולשמור על מרחק של 2 מטר האחד מהשני. כולנו כבר רגילים להסתובב עם מסכה, אבל האם אנחנו מקפידים לעטות אותה?

במסגרת חיבור זה נבחן, בעזרת חישובי הסתברויות ובכלים של תורת המשחקים, היבטים שונים הקשורים בקבלת ההחלטה אם לעטות מסכה. תוך כדי בחינה זו נתוודע למושגים בסיסיים ודילמות מרכזיות בתורת המשחקים, ננתח תועלת מול הפסד של שחקן רציונלי המתלבט האם להישאר עם מסכה במהלך מפגש חברתי, שיקולים אותם הוא יכול להפעיל, והחלטות הנובעות מהם. לסיכום נראה מה ניתן לעשות כדי ליצור אווירה חברתית בה אנשים ירגישו יותר מחויבים להיות עם מסכה.

מקור: על"ה 58 תש"ף, 2020.

מגיאומטריה לאלגברה ובחזרה – המקרה של מקומות גיאומטריים

כתבה: אנא וקנין.

מדור: במבט נוסף.

תקציר: המאמר דן בהוראת הנושא גאומטריה אנליטית בכיתות י"ב ברמת 5 יחידות לימוד מנקודת מבט מקשרת. במאמר מוצעות, בליווי דוגמאות ויישומונים דינמיים, דרכים להתבונן בבעיות דרך עדשת הגאומטריה האוקלידית, הן כדי לשער, לפני התהליך האלגברי, מהו המקום הגאומטרי שעתיד להתקבל, והן במטרה לפרש, בסיום התהליך, את התוצאה שהתקבלה.

מקור: על"ה 58 תש"ף, 2020.

מוסף מיוחד - Zoom על הפנים היפות של החינוך המתמטי - התגייסות בימי קורונה

כתבו: עדי אדלשטיין, אבי נתן, צוות "לומדים קרוב רחוק", איילת קריספין, טל בן-יוסף, מיה קורן וצוות מרכז המורים הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי

תקציר: לפני כחצי שנה שינה העולם המוכר לנו את פניו, עם פרוץ משבר הקורונה. כולנו נערכנו תוך ימים להוראה מרחוק באמצעים דיגיטליים, תוך כדי למידה מתמדת.

ההתגייסות של המורים ושל מערך ההדרכה היתה מרשימה במיוחד. היא כללה, בנוסף להשקעה הרבה של המורים בבניית סביבה תומכת ומלמדת לתלמידים האישיים, גם הדרכות, השתלמויות, מיזמים שונים ופיתוח מהיר של חומרי למידה מותאמים ללמידה מרחוק.

המוסף המיוחד, "Zoom על הפנים היפות של החינוך המתמטי – התגייסות בימי קורונה", מציג דוגמאות אחדות מתוך הפעילות הענפה שהתרחשה.

מקור: על"ה 58 תש"ף, 2020.

תקציר| זהו שורש העניין| מדריך למורה

בעקבות בחינת הבגרות ברמת 4 יח"ל – שאלון ראשון – חרף תשע"ח – שאלה 7

חלק א

1. הגרף של פונקציה זוגית $f(x)$ נתון בסרטוט משמאל.

הפונקציה $g(x)$ מוגדרת: $g(x)=\sqrt{f(x)}$ .

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ ?

ב. השלימו: $g(5)=$ , $g(-5)=$ , $g(0)=$ , $g(4)=$ , $g(-3)=$ .

ג. רשמו שני ערכים נוספים של הפונקציה $g(x)$ שניתן להסיק מהגרף הנתון.

ד. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $g(x)$ ?

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ .

א. באיזה תחום פונקציה הנגזרת $g'(x)$ חיובית, ובאיזה תחום היא שלילית?

ב. כמה נקודות אפס יש לנגזרת $g'(x)$ ? נא לפרט.

ג. נתון שלפונקציה הנגזרת יש אסימפטוטות מאונכות לציר ה- x:
$x=-5$ ו- $x=5$ . כמו כן ידוע שלנגזרת $g'(x)$ אין נקודות קיצון.

סרטטו סקיצה לגרף הנגזרת.

א. בחרו את הטענה הנכונה מבין הטענות (1) – (3) והסבירו אותה

נתון גרף הנגזרת של $g(x)$ .

this is the root 1. השטח הצבוע הוא: $\int_{-4}^{0}g(x)dx$

2. השטח הצבוע הוא: $\int_{-4}^{0}g'(x)dx$

3. השטח הצבוע הוא: $\int_{-4}^{0}f'(x)dx$

ב. חשבו את שטח המוגבל בין גרף הפונקציה $g'(x)$ , ציר ה- x והישרים x=-4 ו- x=-3. (היעזרו במידת האפשר בסעיפים הקודמים).

ג. חשבו את שטח המוגבל בין גרף הפונקציה $g'(x)$ , ציר ה- x והישרים x=3 ו- x=4.

ד. חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה $g'(x)$ , ציר ה- x והישר x=4.

ה. הסבירו מדוע $\int_{-4}^{4}g'(x)dx$

חלק ב

1. נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{49-x^2}$

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ ?

ב. מהי נקודת הקיצון של הפונקציה הפנימית: $y=49-x^2$ ?

ג. הסבירו כיצד ניתן להסיק מהסעיף הקודם מהי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)=\sqrt{49-x^2}$ .

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{49-x^2}$ .

א. מהם תחומי החיוביות של הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ ?

הסבירו בשתי דרכים: באמצעות גרף הפונקציה $f(x)$ ובאמצעות הביטוי האלגברי של הנגזרת.

ב. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ המאונכות לציר ה- x.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ . תוכלו להיעזר בסעיפים הקודמים.

א. חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ , על ידי החלק השלילי של ציר ה- x ועל ידי הישר x=-6.

(בתשובתכם השאירו שתי נקודות אחרי הנקודה העשרונית.)

ב. חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ , על ידי החלק החיובי של ציר ה- x ועל ידי הישר x=6.

מה הקשר בין תשובותיכם לשני הסעיפים האחרונים?

ג. הסבירו מדוע $\int_{-6}^{6}g(x)dx=0$

תקציר| pdf האסימפטוטות בתנועה| pdf מדריך למורה

בעקבות בחינת הבגרות ברמת 4 יח"ל – שאלון ראשון – חרף תשע"ח – שאלה 7

ניתן להיעזר ביישומון

1. לפניכם גרף פונקציה ממשפחת הפונקציות $f(x)=\frac{4x}{(x-b)^2}+a$ .

לפונקציה אסימפטוטה אופקית y=0 ואסימפטוטה אנכית x=1.

asimptuta on the move

א. על פי הגרף, קבעו עבור הפונקציה ערכי a ו-b מתאימים. נמקו.

ב. על פי ערכי a ו-b שקבעתם, ענו:

1. מהו תחום ההגדרה של $f(x)$ ?

2. מהן משוואות האסימפטוטות של $f(x)$ המאונכות לצירים?

3. מהן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים?

4. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

5. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

א. נתון לפונקציה יש אסימפטוטות שמשוואתן x=3, y=0.

1. מהם ערכי הפרמטרים a ו-b ?

2. מהן נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים?

3. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

4. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

ב. נתון לפונקציה יש אסימפטוטות שמשוואתן x=-1, y=0:

1. מהם ערכי הפרמטרים a ו-b ?

2. מהי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים?

3. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

ג. תארו כיצד משפיע הפרמטר b על גרף הפונקציה? נמקו.
התייחסו לאסימפטוטות ולנקודות מיוחדות.

3. נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4x}{(x-1)^2}$ .

ונתונה הפונקציה $g(x)$ המקיימת $g(x)=f(x)+2$ .

1. מהן משוואות האסימפטוטות של הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ ?

2. מהם שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ ?

3. מהן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- y של $f(x)$ ו- $g(x)$ ?

4. שרטטו באותה מערכת צירים סקיצה לגרף הפונקציות.

4. א. נתון לפונקציה יש אסימפטוטות שמשוואתן x=1, y=-3.

1. מהם ערכי הפרמטרים a ו-b?

2. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

3. מהי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- y ?

4. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

ב. תארו כיצד משפיע הפרמטר a על גרף הפונקציה? נמקו.
התייחסו לאסימפטוטות ולנקודות מיוחדות.

5. נתון לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת יחידה עם ציר ה-x.

1. האם ניתן לקבוע מהם ערכי הפרמטרים a ו-b ? אם כן, מהם. נמקו.

2. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

6. נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4x}{(x-1)^2}$ . קבעו מהן האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציות הבאות, ושרטטו את הגרף:

1. $g(x)=-f(x)$

2. $h(x)=f(-x)$

3. $k(x)=\left |f(x) \right |$

(3). מהי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- y ?

תקציר| pdf אינטגרל של פונקציה מוזזת אנכית | pdf מדריך למורה

בפעילות ניתן להיעזר ביישומון הגאוגברה אינטגרל של פונקציה מוזזת אנכית

א. נתון גרף הפונקציה (f(x שהיא חיובית בתחום $1\leq x\leq 3$

ידוע כי השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה (f(x, הישרים x=1 ו-x=3 וציר ה-x הוא S. ונתון גרף הפונקציה $g(x)=f(x)+5$ . (ראו איור)

move the integral up and down 1

1. מה הקשר בין הגרפים (g(x ו- (f(x?

2. רשמו אינטגרל לחישוב השטח S.

3. היעזרו באיורים מעלה והביעו בעזרת S, את השטח הכלוא מתחת לפונקציה (g(x.

4. רשמו אינטגרל לחישוב כל אחד מהשטחים ואת הקשר ביניהם. נמקו בדרכים שונות.

5. הביעו בעזרת S את האינטגרל $\int_{1}^{3}(g(x)-f(x))dx$ . נמקו באופן אלגברי וגאומטרי.

6. האם הקשר שמצאתם נכון יהיה גם עבור פונקציה שהוזזה 5 יחידות מטה?

ב. נתון $\int_{2}^{5}f(x)dx=S$ ,כאשר $f(x)$ חיובית ומוגדרת לכל x.

אם ניתן, רשמו ביטוי לערך האינטגרלים הבאים:
היעזרו בשרטוט סקיצה לגרפים וביישומון אינטגרלים להזזות אנכיות.

1. $\int_{2}^{5}(f(x)+3)dx$

2. $\int_{2}^{5}(f(x)-3)dx$

3. $\int_{3}^{6}(f(x-1)+3)dx$

4. $\int_{2}^{5}(-f(x)+3)dx$

ג. נתון $\int_{0}^{3}f(x)dx=S$ רשמו אם אפשר ביטוי לאינטגרלים הבאים:

1. $\int_{-3}^{3}(f(x)+1)dx$ , כאשר ידוע (f(x זוגית.

2. $\int_{-3}^{3}(f(x)+1)dx$ , כאשר ידוע (f(x אי זוגית.

ד. נתון גרף הפונקציה והפונקציה המקיימת

move the integral up and down 4

ניתן להיעזר ביישומון בגאוגברה

1. הוסיפו את הסקיצה של גרף הפונקציה (g(x לאותה מערכת צירים.

2. הראו כי (g(x אי זוגית, והסבירו מדוע היא סימטרית ביחס לראשית.

האם גם (f(x אי זוגית? האם גרף הפונקציה סימטרי? כיצד?

3. חשבו את ערך האינטגרל $\int_{-1}^{1}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך האינטגרל $\int_{-1}^{1}f(x)dx$ .

4. נתון $\int_{b}^{c}g(x)dx=S$ אם ניתן, רשמו ביטוי לערך האינטגרל $\int_{b}^{c}f(x)dx$ .

5. חשבו את ערך הביטוי $\int_{1}^{2}g(x)dx+\int_{-2}^{-1}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך הביטוי $\int_{1}^{2}f(x)dx+\int_{-2}^{-1}f(x)dx$ .

6. הסבירו מדוע לכל שני מספרים b ו-c המקיימים $0<b<c$ מתקיים:

$\int_{-c}^{-b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx=c-b$

7. נתונה הפונקציה $f(x)=g(x)+k$ עבור איזה ערך של k יתקיים:

$\int_{-c}^{-b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx=2\left (c-b \right )$

תקציר| pdf אינטגרל של פונקציה מוזזת אופקית| pdf מדריך למורה

א. נתון גרף הפונקציה (f(x
ידוע כי השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה (f(x, הישרים x=1 ו-x=3 וציר ה-x הוא S.

גרף הפונקציה והשטח הוזזו 2 יחידות ימינה. (ראו איור)

1. רשמו ביטוי לפונקציה (g(x בעזרת (f(x.

2. אם ניתן, הביעו בעזרת S, את השטח הכלוא מתחת לפונקציה (g(x.(ראו איור)

3. רשמו אינטגרל לחישוב כל אחד מהשטחים.

ב. נתון $\int_{1}^{3}f(x)dx=S$

אם ניתן, רשמו ביטוי לערך האינטגרלים הבאים:

היעזרו בשרטוט סקיצה לגרפים וביישומון אינטגרל של הזזה אופקית.

1. $\int_{3}^{5}f(x-3)dx$

2. $\int_{-1}^{1}f(x+3)dx$

3. $\int_{1}^{3}f(x-3)dx$

4. $\int_{2}^{4}f(x-1)dx$

ג. קבעו עבור אילו ערכי a , b ו-k יתקיים:

1. $\int_{a}^{b}f(x-5)dx=\int_{1}^{3}f(x)dx$

2. $\int_{a}^{b}f(x+7)dx=\int_{1}^{3}f(x)dx$

3. $\int_{a}^{b}f(x-k)dx=\int_{1}^{3}f(x)dx$

ד. נתון $\int_{0}^{3}f(x)dx=S$ רשמו אם אפשר ביטוי לאינטגרלים הבאים:

1. $\int_{0}^{6}f(x-3)dx$ , כאשר ידוע (f(x זוגית.

2. $\int_{0}^{6}f(x-3)dx$ , כאשר ידוע (f(x אי זוגית.

ה. נתונה הפונקציה $f(x)=(x-5)^3-4x+20$ והפונקציה (g(x המקיימת $g(x)=f(x+5)$

1. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה (f(x ו- (g(x באותה מערכת צירים.

2. הראו כי (g(x אי זוגית.

3. חשבו את ערך האינטגרל $\int_{-1}^{1}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך האינטגרל $\int_{4}^{6}f(x)dx$

ו. נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x-5}{\sqrt{x^2-10X+24}}$ והפונקציה $g(x)=f(x+5)$ .

1. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה (f(x ו- (g(x באותה מערכת צירים.

2. הראו כי (g(x אי זוגית. האם גם (f(x אי זוגית? נמקו.

3. הסבירו מדוע לכל $1<a<b$ מתקיים השוויון: $\int_{a}^{b}g(x)dx=\int_{a+5}^{b+5}f(x)dx$

4. חשבו את ערך האינטגרל $\int_{6}^{7}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך האינטגרל $\int_{4.5}^{5.5}f(x)dx$

5. חשבו את ערך הביטוי $\int_{1}^{2}g(x)dx + int_{-2}^{-1}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך הביטוי . $\int_{6}^{7}g(x)dx + \int_{-7}^{-6}g(x)dx$ .

תקציר| pdf אינטגרל של פונקציה זוגית ואי זוגית|מדריך למורה

ניתן להיעזר ביישומון

1. נתון גרף הפונקציה (f(x בתחום בו x חיובי.

א. השלימו את הגרף כך ש-f(x) תהיה פונקציה אי זוגית.

הסבירו מהי התכונה האלגברית של פונקציה זוגית ומה משמעותה הגאומטרית בגרף.

even and odd function

ב. נתון כי: $\int_{0}^{b}f(x)dx=S$ . הביעו אם אפשר בעזרת S את ערך האינטגרל:

1. $\int_{-b}^{0}f(x)dx$

2. $\int_{-b}^{b}f(x)dx$

3. $\int_{0}^{2b}f(x)dx$

ג. נתון כי: $\int_{a}^{b}f(x)dx=A$ . הביעו אם אפשר בעזרת A את ערך האינטגרל:

1. $\int_{-b}^{-a}f(x)dx$

2. $\int_{-b}^{b}f(x)dx$

3. $\int_{-b}^{-a}f(x)dx+\int_{a}^{b}f(x)dx$

2. נתון גרף הפונקציה בתחום בו x חיובי.

א. השלימו את הגרף כך ש-f(x) תהיה פונקציה זוגית.

הסבירו מהי התכונה האלגברית של פונקציה זוגית ומה משמעותה הגאומטרית בגרף.

even and odd function

ב. נתון כי: $\int_{0}^{b}f(x)dx=S$ . הביעו אם אפשר בעזרת S את ערך האינטגרל:

1. $\int_{-b}^{0}f(x)dx$

2. $\int_{-b}^{b}f(x)dx$

3. $\int_{0}^{2b}f(x)dx$

ג. נתון כי: $\int_{a}^{b}f(x)dx=A$ . הביעו אם אפשר בעזרת A את ערך האינטגרל:

1. $\int_{-b}^{-a}f(x)dx$

2. $\int_{-b}^{b}f(x)dx$

3. $\int_{-b}^{-a}f(x)dx+\int_{a}^{b}f(x)dx$

3. נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}}$ ונתון הגרף שלה.

odd and even3

א. הראו כי (f(x אי זוגית.

ב. הסבירו מדוע $\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}f(x)dx=0$

ג. האם נכון לומר כי $\int_{-\pi }^{\pi}f(x)dx=0$ ?

ד. חשבו $\int_{\frac{7\pi }{4}}^{\frac{9\pi }{4}}f(x)dx=0$ . נמקו.
היעזרו בתכונת המחזוריות של הפונקציה.

4. נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}$

א. הראו כי $g(x)=-f(x-\frac{\pi }{2})$ .

ב. סרטטו סקיצה לגרף (g(x.

ג. חשבו את האינטגרל . $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}g(x)dx=0$

תקציר| pdf עץ פיתגורס|

חשבתם פעם לבנות עץ ממשפט פיתגורס?

pyt1 growing pythagoras tree

הכירו את הפקרטל עץ הפיתגורס, הנוצר בסדרה אינסופית של ריבועים הדומים לעצמם בכל רמת פירוט שנסתכל בה. לתכונה זו קוראים, "דמיון עצמי" ,כלומר כל חלק של הפרקטל נראה כמו השלם, החלק של החלק נראה כמו החלק וכך הלאה..... כל ריבוע בעץ פיתגורס יוצר גרסה מוקטנת של עץ פיתגורס בעצמו.

בשלב האפס מתחילים עם ריבוע עם צלע באורך 1.

בשלב הראשון בונים שני ריבועים זהים כך שהם יוצרים משולש ישר-זווית ושווה שוקייםעם צלע הריבוע ההתחלתי.
א. מה אורך צלע הריבועים האלה?

בשלב השני בונים על גבי כל אחד מן הריבועים האלו שני ריבועים זהים באותו אופן בדיוק.
ב. מה אורך צלע הריבועים בשלב השני?
כמה ריבועים בשלב השני?
ג. מה ניתן לומר על המשולשים מהשלב הראשון והשני?
pyt3

עץ פיתגורס מתקבל מחזרה על התהליך אינסוף פעמים.

ד. מה אורך צלע הריבועים בשלב ה-n?
כמה ריבועים יהיו בשלב ה-n?

ה. כיצד יראה עץ פיתגורס אם נתחיל ממשולש ישר זווית שאינו שווה שוקיים?

התנסו ביישומון עץ פיתגורס.

ו. אתגר - ניתן להראות שניתן לחסום את עץ הפיתגורס במלבן.

מצאו מה השטח האפשרי המינימלי למלבן כזה.

הצעה לפרוייקט – בנו קיר לכבוד חג האילנות, עץ פיתגורס פורח.

pyt4

ראו צעד אחד כיצד כיתה בספרד בנתה את עץ פיתגורס באתר משחקים טופולוגיים (בספרדית).
מצורפים (למטה) תבניות להדפסה.

מקורות נוספים:

עץ פיתגורס - יישומון בגאוגברה.

הפיצוח – אני דומה לעצמי

עץ פיתגורס – ויקיפדיה

פרוייקט עץ פיתגורס – פורום מתמטיקה

pyt5 pyt6

תקציר| pdf המקבילית| pdf מדריך למורה

makbilit המרובע ABCD הוא מקבילית
הנקודות E, F מונחות על הצלעות AB, DC בהתאמה.
EB = FD

ניתן להיעזר ביישומון המקבילית.

1. מה ניתן לומר על המרובע AECF ? הוכיחו טענתכם בדרכים שונות.

2. נתון גם כי $EF\perp AC$

א. האם המרובע AECF מקבילית? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ב. האם המרובע AECF טרפז? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ג. האם המרובע AECF מעוין? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ד. האם המרובע AECF מלבן שאינו ריבוע? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ה. האם המרובע AECF מלבן ? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ו. האם המרובע AECF ריבוע ? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

3. הראו כי שלש הנקודות B, O, D נמצאות על ישר אחד.

(רמז – הראו כי BD עובר דרך הנקודה O).

makbilit 2 4. נתון גם: OT תיכון לצלע FC ב- $\Delta OFC$

א. הוכיחו: $OT=\frac{1}{2}AF$

ב. שנו ביישומון את הזווית $\measuredangle AOP$ , כך שלא בהכרח תהיה ישרה.
האם עדיין נשמר הקשר $OT=\frac{1}{2}AF$ ?
נמקו.

5. מצאו כמה שיותר מצולעים בעלי שטחים שווים.

תקציר| pdf כדאי להזיז את הפונקציה| pdf מדריך למורה

נתונה הפונקציה . $f(x)=a-\frac{2}{x-2}+\frac{1}{(x-2)^{2}}$ a הוא פרמטר.

1. יעל הציעה לחקור פונקציה פשוטה יותר $h(x)=-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}$

ובעזרת הזזות בלבד להסיק מסקנות לגבי הפונקציה הנתונה.

א. השלימו את הטבלה, תוכלו להיעזר ביישומון הדינאמי.

	$h(x)=-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}$	$f(x)=a-\frac{2}{x-2}+\frac{1}{(x-2)^{2}}$ a=0
תחום הגדרה:
אסימפטוטה אנכית:
אסימפטוטה אופקית:
נקודות הקיצון:
הגרף:

ב. ציינו מה דומה ומה שונה בין שתי הפונקציות? אילו תכונות נשמרו ואילו תכונות השתנו וכיצד?

ג. כיצד תשתנה הפונקציה $f(x)=a-\frac{2}{x-2}+\frac{1}{(x-2)^{2}}$ כאשר נשנה את a ?
אילו תכונות נשמרו ואילו תכונות השתנו וכיצד?

ד. עבור איזה ערך של a, משיקה לציר ה-x ? נמקו.

2. נתונה הפונקציה $g(x)=\left | f(x)+k \right |$ עבור a=1, k פרמטר.

לפניכם ארבעה גרפים שונים ממשפחת הפונקציות g(x).

(בקו המקווקו מוצג גרף הפונקציה f(x)+k )

תוכלו להיעזרביישומון הדינאמי- הערך המוחלט של פונקציה מוזזת.

move the function Q3

א. קבעו עבור אילו ערכי k ניתן לקבל כל אחד מהגרפים. נמקו.

ב. הוסיפו לגרפים את הישר שהוא האסימפטוטה של f(x).
באילו מקרים גרף הפונקציה g(x) ישיק לישר זה? הסבירו.

תקציר | חזקה ונתחזק | פתרונות | חזקה ונתחזק בערבית | حلول

1. א. התוכלו לחשב את המספר: hezka1
ב. אם תשנו את סדר החזקות, איזה מספר יהיה הגדול ביותר? הקטן ביותר?

המקור: NRICH - enriching marhematics

2. מה היא ספרת האחדות של המספרים: hezkatwo

המקור: ומדאת פי אלריאדיאת גיליונות לשיפור החשיבה המתמטית, 2006

3. מה היא השארית המתקבלת כאשר מחלקים 3²⁰⁰⁸ במספר 7?

hezka3

המקור: NRICH - enriching marhematics

4. א. האם המספר 3⁴⁴⁴ + 4³³³ מתחלק ב- 5?
ב. התוכלו להסביר למה 5⁹⁹ +4⁹⁹ + 3⁹⁹+ 2⁹⁹ + 1⁹⁹ מתחלק ב- 5?

המקור: NRICH - enriching marhematics

5. נתון (בשנת 2008): a² + a + 1 = 0

התוכלו לחשב את הביטוי a²⁰⁰⁸ + a²⁰⁰⁹?

המקור: ד"ר עוזי ערמון - חידות ובעיות חשיבה במתמטיקה

תקציר|במעלה הר תבור

פתחו את היישום במעלה הר תבור.

לפניכם תמונה של הר תבור הנמצא בלב הגליל התחתון, הידוע בכיפתו העגולה הנשקפת למרחקים. הוא מתנשא לגובה של 562 מטרים, כ-400 מטרים מעל פני סביבתו.

ביישומון, על קו המתאר שלו משורטטת באדום פונקציה המתאימה את קו הגובה בק"מ למרחק האופקי מנקודת המוצא בק"מ.

עזרו לטייל להכיר את המעלה, היכן הוא יוכל לנוח, היכן הוא הכי יתאמץ ?

ענו על השאלות הבאות:

1. הציגו את הטייל והזיזו אותו. עקבו אחר מסלול הטיפוס שלו לפסגה (מסומן באדום) ותארו במילים שלכם את מהלך הטיפוס. קבעו (אם אפשר):

■ היכן במעלה, העלייה היא התלולה ביותר?

■ היכן במעלה, העלייה היא הכי פחות תלולה?

■ היכן במעלה, העלייה הולכת ונהיית יותר ויותר תלולה?

■ היכן במעלה, העלייה הולכת ונהיית פחות ופחות תלולה?

2. הציגו את שיפוע המדרון.

עקבו אחר מיקום המשיק בנקודות שונות ביחס לגרף הפונקציה ומצאו:

■ הפונקציה קעורה כלפי מטה (∩):

תחומים בהם המשיק נמצא מעל הפונקציה. מה המשמעות לכך בסיפור?

■ הפונקציה קעורה כלפי מעלה (U):

תחומים בהם המשיק נמצא מתחת לפונקציה. מה המשמעות לכך בסיפור?

3. הציגו את שיפוע המדרון, עקבו אחר השינוי בשיפוע המשיק.

קבעו מהי המשמעות לכך בגרף הפונקציה, ומהי המשמעות לכך בסיפור עבור התנאים הבאים:

■ נקודות בהן שיפוע המשיק אפס.

■ נקודות בהן שיפוע המשיק שלילי.

■ נקודות בהן שיפוע המשיק חיובי.

■ תחומים בהם שיפועי המשיקים הולכים וגדלים .

■ תחומים בהם שיפועי המשיקים הולכים וקטנים.

4. עקבו אחר השיפוע. מוצגת נקודה B המתארת את גודל שיפוע המשיק בנקודה A.

■ מה מתאר גרף העקבות של הנקודה B? מה המשמעות לכך בסיפור ?

■ מה המשמעות בגרף הפונקציה לנקודות החיתוך של פונקצית השיפועים עם ציר ה-x? והמשמעות בסיפור?

■ מה המשמעות בגרף הפונקציה לתחומי החיוביות והשליליות של פונקצית השיפועים? והמשמעות בסיפור?

5. הצג פתרון- היכן המדרון הוא התלול ביותר?

■ מה מאפיין את המשיק בנקודת הפתרון?

■ הסבירו מה מייצג כל גרף בפתרון?

■ הסבירו מה מייצגת כל נקודה משלוש הנקודות המודגשות על הגרפים.

■ אילו תנאים בנגזרת הראשונה ובנגזרת השנייה מתקיימים בפתרון?

6. מלאו את הטבלה:

הנגזרת השנייה	הנגזרת הראשונה חיובי/שלילי עולה/יורדת	צורת הגרף
			הפונקציה עולה וקעורה כלפי מעלה (U)
			הפונקציה יורדת וקעורה כלפי מטה (∩
			נקודת פיתול
			הפונקציה יורדת וקעורה כלפי מעלה (U)
			הפונקציה עולה וקעורה כלפי מעלה (U)
			הפונקציה קעורה כלפי מעלה (U)
			הפונקציה קעורה כלפי מטה (∩)

תקציר|שלוש פרבולות ולהן שלוש פונקציות קדומות|חומר למורה

לפניכם שלוש פרבולות "מחייכות"

3 parabolas capture

1. שלוש הפרבולות הללו הן נגזרות של פונקציות אחרות כך ש:

$g_{1}^{'}(x)=f_1(x)$ , $g_{2}^{'}(x)=f_2(x)$ , $g_{3}^{'}(x)=f_3(x)$ .

- מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציות?

- סרטטו דוגמאות אפשריות לגרפים של פונקציות $g_{1}$ , $g_{2}$ ו- $g_{3}$ .

- במה דומות ובמה הן שונות?

2. לכל אחת מן הפונקציות חקרו את תחומי הקעירות וציינו את מספר נקודות הפיתול של הפונקציה. הסבירו במה דומות ובמה שונות הפונקציות?

3. לכל אחת מן הפונקציות העריכו את מספר נקודות הפיתול של הפונקציה ואת שיפוע המשיק שם. הסבירו לפיכך במה דומות ובמה שונות הפונקציות?

4. סרטטו 3 פרבולות בעלות מקסימום ואת הפונקציות הקדומות שלהן:

(1) לפרבולה שתי נקודות חיתוך עם ציר ה- x.

(2) לפרבולה נקודת חיתוך אחת עם ציר ה- x.

(3) פרבולה ללא נקודות חיתוך עם ציר ה- x.

5. האם הגרפים של הפונקציות הבאות יכולים לייצג פונקציות ממעלה שלישית? הסבירו.

אם כן, ציינו על הגרף היכן נקודות הפיתול ושרטטו את המשיק שם.

3 parabolas Q5 capture

הפעילות עובדה על פי:
"פונקציה ממעלה שלישית בתמונה משפחתית", ללמוד וללמד אנליזה, פרק 9, ע"מ 209

תקציר|צביעת שני משולשים|חומר למורה

paint two triangels capture נתון משולש ישר זווית ABC שאורך ניצביו הם: 3, 6 ס"מ.

א. נצבע את המשולש החל מקודקוד A, עם משולש ישר זווית דומה לו (ADE) כאשר הנקודה D נעה על הצלע AB.
נסמן את אורך AD=x

הזיזו ביישומון את הנקודה D, ותארו כיצד משתנה השטח הצבוע כאשר x משתנה.

נגדיר פונקציה S(x) המתאימה ל- x את השטח הצבוע. האם פונקציית השטח הצבוע עולה? תארו את קצב ההשתנות שלה.

ב. באותה עת, נצבע משולש ישר זווית חופף 'A'B'C.

נצבע את המשולש החל מקודקוד B', עם טרפז (B'C'LK) כאשר הנקודה K נעה על הצלע A''B.

נסמן את אורך B'K'=x

הזיזו ביישומון את הנקודה D, ותארו כיצד הפעם משתנה השטח הצבוע כאשר x משתנה.
האם פונקציית השטח הצבוע עולה? תארו את קצב ההשתנות שלה.

ג. תארו מתי השטחים הצבועים בשני המשולשים יהיו שווים.

ד. חשבו את השטחים הצבועים בשני המשולשים, כאשר D אמצע הקטע AB ,
ו- K אמצע הקטע A'B' .

ה. חשבו את השטחים הצבועים בשני המשולשים, כאשר X=2.

ו. היעזרו ביישומון לשם חישוב השטחים ומלאו את הטבלה:

X=6	X=5	X=4	X=3	X=2	X=1	X=0
							שטח צבוע במשולש 1
							שטח צבוע במשולש 2

ז. עקבו ביישומון אחר בניית הגרף המתאר את השתנות השטח הצבוע כפונקציה של x, בכל אחד מהמשולשים.
במה דומים ובמה שונים שני הגרפים?

ח. שערו כיצד נראה גרף הנגזרת של פונקצית השטח בכל אחד מהמקרים?

ט. רשמו פונקציה המתארת את השתנות השטח הצבוע כאשר x משתנה עבור כל אחד מהמשולשים. הקלידו בחלון הקלט ובדקו תשובתכם.

גזרו את הפונקציה ובדקו השערתכם.

תקציר| היכן לקנות את הפיצה?|חומר למורה

pizza capture

1. בפסטיבל מדברי גדול התמקמו שתי פיצריות במרחק 6 ק"מ זו מזו, והן מספקות על גמלים פיצות לכל דורש. הפיצריות זהות בתפריט, באיכות ובמחיר הפיצה, וכל אחת מהפיצריות גובה שקל אחד לק"מ דמי משלוח.

א. היכן תקנו את הפיצה (התייחסו למקומות שונים בהם אתם יכולים להימצא?

ב. היכן נמצא קו פרשת הפיצה – קו התפר בין האזור שבו עדיף לקנות מפיצרייה א לבין האזור בו עדיף לקנות מפיצרייה ב?

ג. תוכלו לחקור את הבעיה באמצעות היישומון היכן לקנות את הפיצה. קבעו את יחס המחירים בין הפיצריות ל- m=1. תוכלו להגדיל ולהקטין את המרחק מהפיצרייה השנייה ( $P_2$ ). כדי לראות היכן נמצאות כל נקודות החיתוך בין העגלים, השתמשו באופציה "הפעל עקבות".

2. כיצד ישתנה קו התפר בין אזורי השיווק של הפיצריות, אם פיצרייה א תמשיך לגבות 1 ₪ לק"מ דמי משלוח ואילו פיצרייה ב תעלה את דמי המשלוח ותגבה 2 ₪ לק"מ דמי משלוח?

כדי לחקור אפשרות זו שנו את היחס בין מחירי המשלוח ל- m=2. בהתאם ישתנה גם היחס בין הרדיוסים של המעגלים (מדוע?)

3. אתם מוכנים להמשיך ולחקור את הבעיה לכל בין דמי המשלוח, וכן למצוא את הפתרונות גם בדרך אלגברית. לנוחיותכם, וכדי שהפתרון שלכם יתאים ליישומון, מקמו את הפיצרייה המשנה מחירים בראשית הצירים, ואת הפיצריה הגובה שקל אחד לק"מ מקמו בנקודה (6,0).

תקציר|גלו את ההוכחה|חומר למורה

בכל אחד מן הסרטוטים מסתתרת הוכחה לנוסחה הקשורה לסכומי סדרות.

גלו את ההוכחה המסתתרת בכל סרטוט.

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdot \cdot \cdot =...$

$1+2+3+\cdot \cdot \cdot+n=$

$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdot \cdot \cdot=...$

בדיוק או בערך

בחרו את התשובה המדויקת ביותר בעיניכם

1. $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdot \cdot \cdot=...$

א. $\frac{1}{3}$ . ב. קצת יותר מ- $\frac{1}{3}$ . ג. . קצת פחות מ- $\frac{1}{3}$ . ד. מתלבט/ת

2. $0.9+0.09+0.009+...=0.999...=$

א. 1. ב. קצת יותר מ- 1. ג. קצת פחות מ- 1 . ד. מתלבט/ת.

תקציר| pdf מלבן ופרבולה| pdf מדריך למורה

בעקבות מבחן מפמ"ר תשע"ז

rectangle and parabula Q

במערכת הצירים מסורטטים שני גרפים של פונקציות ריבועיות.
גרף אחד הוא של הפונקציה f(x) = x2 (מסומן ב-i ).

1. מי מבין הפונקציות הבאות לא יכולה להיות הפונקציה שהגרף שלה מסומן ב- ii? הסבירו. (יש יותר מאשר תשובה נכונה אחת)

rectangle and parabula capture (1) $g(x)=2x^2$

(2) $g(x)=x^2+4$

(3) $g(x)=3x^2$

(4) $g(x)=x^2-2$

(5) $g(x)=x^2+6$

(6) $g(x)=(x+2)^2$

2. נתון גם שהגרף המסומן ב- (ii) מתקבל מהגרף המסומן ב- (i) על ידי הזזה 4 יחידות למעלה.

א. מהם שיעורי נקודת הקדקוד של הפרבולה המסומנת ב- ii?

ב. כתבו את הביטוי האלגברי של הפרבולה המסומנת ((ii.

3. סרטטו מלבן שאחד מקדקודיו הוא ראשית הצירים וקדקוד נגדי לו הוא M(2,4). צלע אחת של המלבן על ציר ה- y (ראו סרטוט).

א. הסבירו מדוע נובע מהנתונים שלמלבן יש גם צלע המונחת על ציר ה- x.

ב. חשבו את שטח המלבן. הציגו דרך פתרון.

ג. איזו מבין המשוואות מתאימה לייצג את הישר
עליו מונח אחד מאלכסוני המלבן.

(1)y = 2x + 4 (2) y = –2x + 4
(3) y = x + 4 (4) y = –x + 4.

4. עדן בנתה (אפשר בעזרת היישומון) מלבנים נוספים ABMP, שאחד מקדקודיהם, M, נמצא על הפרבולה $y=x^2$ , ושני קדקודים שלהם על הצירים (ראו סרטוט).

bike and bicycle Q4

השלימו בטבלה מה שטח המלבן של כל אחד מהמלבנים שיצרה עדן.

		(3,__)	(2,4)	(1,1)	הנקודה M
			8 סמ"ר	1 סמ"ר	שטח המלבן

5. עדן שמה לב ששטח כל אחד מהם הוא $AB^3$ , כאשר $AB$ אורך הצלע המונחת על ציר ה- x. למשל: אם הקדקוד M הוא בנקודה (3,9), אורך הצלע $AB$ הוא 3 יחידות ושטח המלבן 27 יחידות. האם זה מקרי? הסבירו תוכלו להיעזר ביישומון.

6. עופר ואלון בנו מלבן שקדקוד אחד שלו על הפרבולה $y=x^2+4$ ,שתי צלעות שלו על הצירים ושתי צלעות מקבילות לצירים. הם סימנו ב- $x$ את הצלע המונחת על ציר ה- $x$ , וחיפשו ביטוי אלגברי לשטח המלבן כפונקציה של $x$ . עופר קיבל את הביטוי $x(x^2+4)$ , אלון קיבל את הביטוי $x^3+4x$ .

א. מי צודק? האם ייתכן ששניהם צודקים?

ב. כיצד חישב כל אחד מהם את שטח המלבן?

7. גם יעל בנתה מלבן עבור הפרבולה המוזזת $y=x^2+4$ , כאשר קדקוד אחד שלו על הפרבולה $y=x^2+4$ , שתי צלעות שלו על הצירים ושתי צלעות נוספות מקבילות לצירים. יעל חילקה אותו לשני מלבנים באופן שונה מאשר אלון.

סמנו ב- $x$ את הצלע המונחת על ציר ה- $x$ .

ניתן להיעזר ביישומון מלבן ופרבולה מוזזת.

א. הביעו בעזרת $x$ , את אורכי הצלעות של המלבן ABCD ואת שטחו.

ב. הביעו בעזרת $x$ , את אורכי הצלעות של המלבן PMCD ואת שטחו.

ג. הסבירו כיצד ניתן להביע את שטח המלבן של הפונקציה המוזזת ((ABCD כסכום שני מלבנים.

ד. האם קיים שוויון בין הביטויים שקיבלתם בסעיף א' לסעיף ג'? הסבירו שיקולכם.

תקציר| pdf אופניים ואופנוע| pdf מדריך למורה

בעקבות מבחן מפמ"ר תשע"ז

bike and bicycle capture Q

א. באיזו מהירות רכב רוכב האופנוע?

ב. איזה מרחק עברו רוכב האופניים ורוכב האופנוע עד שנפגשו?

מה היחס בין המרחקים שעברו? האם אפשר היה לדעת זאת מראש?

ג. אופיר טוען שאפשר לחשב את המרחק שעבר רוכב האופניים בלי לדעת את המהירות, בלי להתייחס לכך שהרוכבים נפגשו כעבור 3 שעות, ובלי לפתור שום משוואה. כיצד לדעתכם עשה זאת?

ד. יובל אמר: הבנתי.

אם המרחק ביניהם היה 5 ק"מ. רוכב האופנוע היה רוכב 4 ק"מ ורוכב האופניים בדיוק קילומטר אחד עד לפגישה. האם יובל צודק? הסבירו.

ה. היישומון אופניים ואופנוע מציג את התנועה של רוכב האופניים ורוכב האופנוע כתלות בזמן. היישומון מאפשר לקבוע את מהירות הרכיבה של רוכב האופניים (מהירות הרכיבה של רוכב האופנוע נקבעת בהתאם), ומאפשר לקבוע את הזמן שחלף מתחילת הרכיבה.

הסבירו את דבריהם של אופיר ויובל באמצעות היישומון.

Q5 bike and bycicle

ו. הציעו שאלה נוספת הקשורה לנתונים שאפשר לענות עליה בלי לפתור משוואה.

תקציר|משולשים חסומים בפרבולה|מדריך למורה

triangle in parabola pic

פתחו את היישומון - משולשים החסומים בפרבולה, וענו על השאלות:

א. נתון גרף פונקציה ריבועית: $f(x)=-x^2+2x+8$

- מהן נקודות האפס של הפונקציה?

- מהו התחום בו הפונקציה אי שלילית?

- מהו ציר הסימטריה של הפרבולה?

ב. חוסמים משולש בפרבולה בתחום בו היא אי שלילית.

עקבו ביישומון אחר בניית המשולש החסום בפרבולה באמצעות סרגל הנווט, (צעדים 1-7).

הסבירו במילים שלכם את הבניה.

ג. הזיזו את הנקודה K ועקבו אחר משולשים שונים החסומים בפרבולה.

האם לדעתכם קיים משולש בעל שטח מינימלי? בעל שטח מקסימלי?

ד. נסמן את שיעור ה-x של הנקודה K ב-x.

בטאו באמצעות x את שיעורי הנקודות M, L ,K ובדקו ביישומון בסרגל הנווט, (צעדים 7-11).

ה. דן הציג את שטחי המשולשים באמצעות פונקציית המטרה $s(x)=\frac{1}{2}(x-1)(-x^2+2x+8)$

גרף הפונקציה של דן מוצג ביישומון בחלון השמאלי (צעד 12).

הסבירו את הביטויים האלגבריים בפונקציה של דן.

ו. הזיזו שוב את הנקודה K שעל הפרבולה.

בחלון הימני מופיעה נקודה כתומה P, המתאימה ל-x את שטח המשולש החסום בפרבולה. כאשר תזיזו את הנקודה K, תוכלו לעקוב אחר השתנות שטח המשולש. במה דומה הגרף שיצרו העקבות לגרף הפונקציה שבנה דן ובמה הוא שונה ממנה?

ז. יצד תגדירו את פונקצית המטרה למציאת השטח המקסימלי של המשולש MLK? חקרו את הפונקציה ומצאו לה שתי נקודות מקסימום. מהם המשולשים המתאימים?

ח. הסבירו באופן גאומטרי מדוע קיימים שני משולשים בעלי שטח מקסימלי.

תקציר| מדריך למורה

אוסף פעילויות זה מציג מספר בעיות קיצון מתפתחות. האוסף בנוי כמספר רצפי פעילויות, מלוות ישומונים לחקר והמחשה.

הפעילויות מיועדות לתלמידים ומבוססות על פעילויות מהספר "ללמוד וללמד אנליזה", שיצא לאור בשיתוף פעולה של המחלקה לחינוך למדע וטכנולוגיה בטכניון, מנהלת מל"מ ומשרד החינוך.

רצף הפעילויות	מקום בתוכנית הלימודים	הפעילות	נושאים
פינת חי מלבנית	כיתה י'	חצר מלבנית	חקירת פונקצית פולינום. מתאימה כפעילות פתיחה.
		חצר פינתית	חקירת פונקצית פולינום
		חצר מחולקת	חקירת פונקצית פולינום, חקירת פונקציה עם פרמטר. (מתאים להצמחת הצורך בשימוש בפרמטרים)
		עניין של מחיר	חקירת פונקצית פולינום, חקירת פונקציה עם פרמטר.
פינת חי משולשת	כיתות י - י"א	חצר משולשת	פונקצית שורש מורכבת.
פינת חי משולשת	כיתות י - י"א	משולש ישר זווית החסום במעגל	חקירת פונקציות טריגונומטריות. אפשר לעקוף בדרך גאומטרית את השימוש בחקירת פונקציות טריגונומטריות.
עם הפנים לנוף	כיתות י - י"א		חקירת פונקצית פולינום, חקירת פונקציה עם פרמטר. מגבלות התחום.
החופש בחירת המשתנה החופשי	כיתות י - י"א		חקירת פונקציות שונות, חקירת פונקציה עם פרמטר. בחירת המשתנה החופשי חושפת תכונות מסויימות של התופעה. מערכים שונים לעבודה בקבוצות

תקציר| pdf עבודת שורשים| pdf מדריך למורה

בעקבות בחינת הבגרות לתלמידי 4 יחידות – 35481 – קיץ תשע"ו – מועד ב - שאלה 6

roots work original Question

חלק א

לפניכם גרף הפונקציה $h(x)=-x^{2}+4x+5$

1. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)=\sqrt{-x^{2}+4x+5}$ ?

2. מצאו את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה f וקבעו את סוגן.

3. מה הקשר בין תחום העלייה של הפונקציה h לבין תחום העלייה של הפונקציה f? נסו להסביר את תשובתכם ביותר מאשר דרך אחת.

4. סרטטו באותה מערכת צירים את גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{-x^{2}+4x+5}$ .

היעזרו בנקודות המסומנות באדום. האם לכל אחת מהן יש נקודה מתאימה על גרף הפונקציה f?

5. על גרף הפונקציה h מסומנות בירוק שתי נקודות ששיעור ה- y שלהן הוא 1. הסבירו מדוע נקודות אלה נמצאו גם על גרף הפונקציה f?

(רמז: מה הקשר בין מספרים קטנים מ- 1 לבין השורשים הריבועיים שלהם?)

חלק ב

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{\sqrt{-x^{2}+4x+5}}$

1.מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g?

2. איזה מן הגרפים הבאים יכול לייצג סקיצה של גרף הפונקציה g? הסבירו.

roots work part B

חלק ג – סרטוט גרף של פונקציית שורש מורכבת בעזרת גרף הפונקציה הפנימית בלבד.

לפניכם גרף של פונקציה h.

נסרטט בעזרתו את גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{h(x)}$ : roots work part C

1. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f?

2. מצאו את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה f וקבעו את סוגן.

4. סרטטו באותה מערכת צירים את גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{h(x)}$ . היעזרו בנקודות המסומנות.

חלק ד – הרחבת החקירה לפונקציות נוספות מהמשפחה $f(x)=\sqrt{h(x)}$ , כאשר h פונקציה ממעלה שנייה

היישומון שורשים מאפשר לסרטט גרפים של פונקציות שורש מורכבות, יחד עם פונקציה פנימית שהיא פונקציה ממעלה שנייה. משנים את הפרמטרים של הפונקציה הפנימית, והפונקציה המורכבת משתנה אף היא.

לנוחיות, נרשום את הפונקציה ממעלה שנייה בצורתה הקדקודית: $h(x)=a(x-m)^{2}+k$

1. באיורים שלפניכם גרף הפונקציה הפנימית מופיע בקו רציף, וגרף הפונקציה המורכבת מופיע בקו מרוסק. מצאו באמצעות היישומון פונקציות שיכולות להתאים לאיורים:

roots work part D1

roots work part D2 2. הסבירו מדוע אין אפשרות לקבל ביישומון את צירוף הגרפים הבא:

(הגרף המקווקו הוא של הפונקציה המורכבת והגרף הרציף הוא של הפונקציה הפנימית)

היעזרו בסעיף 5 של חלק א'.

תקציר| pdf חסומים במעגל| pdf מדריך למורה

in a circle part A נתון משולש PDC.

הנקודות B ו- L מונחות על הצלע PC.

הנקודות A ו- K מונחות על הצלע PD.

נתון כי המרובע ABLK בר חסימה וגם המרובע KLCD בר חסימה.

חלק א

חקרו את המרובע ABCD על פי הסעיפים הבאים, והסבירו את תשובותיכם:

אפשר להיעזר ביישומון

1. האם ABCD מקבילית? תמיד/ לפעמים/ אף פעם לא?

2. האם ABCD דלתון? תמיד/ לפעמים/ אף פעם לא?

3. האם ABCD טרפז? תמיד/ לפעמים/ אף פעם לא?

4. האם ABCD טרפז שווה שוקיים? תמיד/ לפעמים/ אף פעם לא?

5. האם ניתן לחסום את המרובע ABCD במעגל? תמיד/ לפעמים/ אף פעם לא?

חלק ב

נהפוך את נקודת המבט:

ABCD טרפז. L נקודה על הצלע BC ו- K נקודה על הצלע AD. היעזרו ביישומון.

1. האם KABL מקבילית? תמיד/ לפעמים/ אף פעם לא?

2. האם KABL דלתון? תמיד/ לפעמים/ אף פעם לא?

3. האם המרובעים ABLK ו- KLCD ברי חסימה? תמיד/ לפעמים/ אף פעם לא? הסבירו.

4. האם יתכן שרק אחד מהמרובעים ABLK ו- KLCD בר חסימה? הסבירו.

תקציר| pdf אל הפונקציה צעד אחר צעד| pdf מדריך למורה

אל משפחת הפונקציות $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

א. נבחן צעד אחר צעד את שלבי הבנייה של משפחת הפונקציות $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$ , בעזרת פעולות והרכבה של פונקציות שונות.

לגבי כל אחת מהפונקציות הבאות, בכל שלב ענו, אם ניתן ללא שימוש בנגזרת. שימו לב, במעבר משלב לשלב אילו תכונות השתנו? אילו נשמרו?

		איזו פעולה הופעלה במעבר מהפונקציה הקודמת ?	מהו תחום ההגדרה?	אסימפטוטות מאונכות לצירים	האם הפונקציה זוגית? אי זוגית?	תחומי חיוביות ושליליות	תחומי עליה וירידה	סקיצה לגרף הפונקציה	סקיצה לגרף כאשר a=0
1	$y=x^{2}-a^{2}$	XXXXX
2	$y=\sqrt{x^{2}-a^{2}}$
3	$y=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$
4	$y=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

ב. חקרו, את משפחת הפונקציות $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$ , צעד אחר צעד, באופן דומה לחקירה בסעיף א

ג. חשבו את הנגזרת של הפונקציה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$ .

חקרו את משפחת הפונקציות $f'(x)$ , באופן דומה לחקירה שביצעתם בסעיף א.

ד. לפניכם אחת הפונקציות מהמשפחה $y=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$ כאשר a=2.

1. סמנו על הגרף את השטח המתואר ע"י הביטוי $\left | \int_{4}^{6}f(x)dx \right |$

2. סמנו על הגרף את השטח המתואר ע"י הביטוי $\left | \int_{-4}^{-6}f(x)dx \right |$

3. מצאו עבור $a>0$ את ערך הביוטי: $\int_{-3a}^{-2a}f(x)dx+\int_{2a}^{3a}f(x)dx$

ה. מצאו, עבור $a>0$ , את ערך הביטוי $\int_{-3a}^{-2a}f(x)dx+\int_{2a}^{3a}f(x)dx$ אם הפונקציה היא:

1. $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

2. $f(x)=\frac{x3}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

תוכלו לבדוק את תשובתכם ביישומון סכום אינטגרלים.

ו. ללא חישובים מספריים הביאו דוגמה לפונקציה נוספת כך שעבור $a>0$ ערך הביטוי $\int_{-3a}^{-2a}f(x)dx+\int_{2a}^{3a}f(x)dx$ יהיה אפס.

תוכלו לבדוק את הדוגמה שלכם ביישומון סכום אינטגרלים

תקציר| pdf פירמידה משולשת| pdf מדריך למורה

במבט נוסף על בחינת הבגרות – 807 – חרף תשע"ז – שאלה 2

Tetrahedron the Question

נתונה פירמידה משולשת OBCD, קדדקוד O בראשית הצירים , והקדקודים B,C,D נמצאים על הצירים x,y,z בהתאמה.

א. רשמו על פי הנתונים את שיעורי הקדדקדים של הפירמידה.

ב. חשבו על פי חלוקת היחסים הנתונים את שיעורי הנקודות P, K.
בדקו את חישובכם ביישומון. הפעילו את הכלי "סיבוב הצגה תלת מימדית" בכדי להתרשם מהפירמידה במבטים שונים.

ג. דרך הנקודות K ו-P העבירו מישור המקביל למקצוע CD, וחותך את OC בנקודה Q. הציגו ביישומון את המישור המקביל והתבוננו בו במבטים שונים.

הסבירו מדוע PQ מקביל למקצוע CD. (תוכלו להיעזר בחלון הימיני התחתון)

ד. התבוננו במשולש OCD, מה ניתן לומר על הקטע PQ ?

ה. חשבו את היחס בין OQ ל-QC. נמקו תשובתכם.

מהם שיעורי הנקודה Q ?

ו. חשבו את יחס הנפחים.

ומה יקרה אם....

א. אם נזיז את הנקודה K ,

- האם וכיצד ישתנו שיעורי הנקודה Q ?

- האם המישור PQK עדיין מקביל ל-CD ?

- כיצד ישתנה יחס הנפחים?

ב. אם נזיז את הנקודהP ,

- האם וכיצד ישתנו שיעורי הנקודה Q ?

- האם המישור PQK עדיין מקביל ל-CD ?

- כיצד ישתנה יחס הנפחים?

ג. האם תוכלו להצביע על הבדל בין ההשפעה של השינוי במיקום הנקודה K ל נפח הפירמידה, לבין ההשפעה של השינוי במיקום הנקודה P על נפח הפירמידה?

ד. האם תוכלו לקבוע את הנקודות K ו-P כך שיחס הנפחים יהיה ? ? ?

אם לא, הסבירו מדוע. אם כן, כיצד? נמקו.

תקציר|המתמטיקה של התרופות

לפניכם גרף המתאר התפרקות אופיינית של האינסולין בדם מהרגע שנלקחה התרופה.

1. השלימו את הטבלה:

2. תארו במילים את התפרקות האינסולין בדם כתלות בזמן. תארו את קצב השינוי.
3. בהתבסס על הגרף והטבלה איזו פונקציה מתארת התפרקות האינסולין בדם כתלות בזמן?

4. חשבו על פי הפונקציה ובדקו בגרף.
א. כמה אינסולין נותר בדם לאחר שעה?
ב. כמה יחידות אינסולין בדם לאחר שעה וחצי?
ג. לאחר כמה זמן נותר בדם חצי מהכמות ההתחלתית של האינסולין?
ד. לאחר כמה זמן נותר בדם חצי יחידה של אינסולין?

בפתרון השאלות הבאות תוכלו להיעזר ביישומון:

1. ד"ר פאר רשם לחולה מסויים כדורי טריאזולם. לאחר שהחולה נטל מספר גלולות,
היתה בדם של החולה כמות התחלתית של 4 מיליגרם.
א. מה תהיה כמות הסם בדם לאחר שעה? לאחר 6 שעות? לאחר יממה?
ב. במשך כמה שעות תעלם השפעת הסם ?
ג. בדיקת דם מסוגלת לאבחן נוכחות של התרופה אם תמצא בדם כמות של לפחות 0.1 מיליגרם מהתרופה.
לאחר כמה זמן תתקבל בדיקה שלילית?
2. א. שרטטו גרף לכל תרופה.
ב. השוו את השפעת ארבעת הסמים וסכמו את מסקנותיכם בכל ייצוג שתבחרו. מה ניתן לומר על קצב ההתפוגגות של כל תרופה.
ג. רק שלש מן הגלולות הן אמיתיות, הצביעו על גלולת השינה הלא אמיתית ונמקו תשובתכם.
3. רופאים מתעניינים בזמן שלוקח לתרופה בדם להגיע לחצי מהכמות ההתחלתית שניטלה. זמן זה נקרא מחצית החיים.
חשבו מהו זמן מחצית החיים של כל תרופה.

הפעילות מעובדת מתוך – פעילויות חקירה תמוכות מחשב – פונקציה מעריכית ולוגריתמית – אוניברסיטת חיפה.

מקורות נוספים:

הסכנות באקמול – שיעור אינטראקטיבי לחקר השאלה מה קורה שלוקחים תרופת האקמול לכאב ראש בכמויות שונות ובזה אחר זה.

יישומונים ופיצוחים בנושא גידול ודעיכה:

אני ואתה נשנה את העולם – פיצוח העוסק בפונקציה המעריכית דרך סרט הקולנוע "העבר את זה הלאה".
דעיכה רדיואקטיבית - סימולציה לדעיכה רדיואקטיבית. ישומון דינאמי ודף עבודה בו ניתן לחקור כיצד משפיעים הפרמטרים השונים של פונקצית הדעיכה על הגרף הן בייצוג הגרפי, הטבלאי והויזואלי. כמו כן ניתן לעקוב אחר ערכים של הפונקציה.וכן להתרשם מקצב הדעיכה באנימציה של המיכל המתרוקן.
מרוב עצים לא רואים את היער...סימולציה לגידול מעריכי של יער ישומון דינאמי ודף עבודה בו ניתן לחקור כיצד משפיעים הפרמטרים השונים של פונקצית הגידול על הגרף הן בייצוג הגרפי, הטבלאי והויזואלי. כמו כן ניתן לעקוב אחר ערכים של הפונקציה .וכן להתרשם מקצב הגידול באנימציה של היער הגדל.
עלייה במחירי הדירות – הפעילות כוללת דף עבודה ויישומון דינאמי, ועוסקת בהשוואה בין עליה של המחירים של שתי דירות בגידול מעריכי.

תקציר| pdf 1 האינטגרל כפונקציה| pdf 1 מדריך למורה

חקרתם את הפונקציה $f(x)=-3x^{2}e^{x^{3}}$ ואת הפונקציה $g(x)=\left | f(x) \right |$ וקיבלתם את הגרפים:

integral as a function

1. הסבירו מדוע $g(x)=-f(x)$ . כיצד תכונה זו מתבטאת בגרף?

2. השוו בין ערכי האינטגרל המסויים:

$I_{2}=\int_{- 1}^{0}g(x)dx , I_{1}=\int_{- 1}^{0}f(x)dx$ , אין צורך לחשב ערכים מספריים.

מה מייצג כל אינטגרל ? הסבירו.

3. נגדיר פונקציה $h(a)=\int_{- 1}^{0}f(x)dx$ .

תוכלו להיעזר ביישומון וגררו את הנקודה A, והתבוננו בחלון השמאלי.

א. על פי הגרף של $f(x)$ תארו כיצד משתנה $h(a)$ ככל ש- a גדל?

ב. באיזה תחומים, אם בכלל, הפונקציה $h(a)$ חיובית? שלילית?

ג. באיזה תחומים, אם בכלל, הפונקציה $h(a)$ עולה? יורדת?

ד. האם לפונקציה $h(a)$ יש נקודות קיצון? אם כן, מהן?

ה. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה $h(a)$ . מה מייצג הגרף?

ו. רשמו ביטוי אלגברי מתאים לפונקציה $h(a)$ .

סמנו עם העכבר את חלון הגרפי השני. רשמו ביטוי אלגברי עבור הפונקציה $h(x)$ בחלון הקלט (שימו לב יש לרשום את הביטוי כמשתנה של x ולא של a) ובדקו שהגרפים מתלכדים.

4. נגדיר פונקציה $t(a)=\int_{- 1}^{a}g(x)dx$ .

תוכלו להיעזר ביישומון וגררו את הנקודה A, והתבוננו בחלון השמאלי.

א. על פי הגרף של $g(x)$ תארו כיצד משתנה $t(a)$ ככל ש- a גדל?

ב. באיזה תחומים, אם בכלל, הפונקציה $t(a)$ חיובית? שלילית?

ג. באיזה תחומים, אם בכלל, הפונקציה $t(a)$ עולה? יורדת?

ד. האם לפונקציה $t(a)$ יש נקודות קיצון? אם כן, מהן?

ה. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה $t(a)$ . מה מייצג הגרף?

ו. רשמו ביטוי אלגברי מתאים לפונקציה $t(a)$ .

סמנו עם העכבר את חלון הגרפי השני. רשמו ביטוי אלגברי עבור הפונקציה $t(x)$ בחלון הקלט (שימו לב יש לרשום את הביטוי כמשתנה של x ולא של a) ובדקו שהגרפים מתלכדים.

5. השוו בין הפונקציות $h(a)$ ו- $t(a)$ . במה דומים ובמה שונים הגרפים שלהם?

מהי נקודת החיתוך בין הגרפים?

הרחבה:

6. אם נשנה את הגבול התחתון של האינטגרל $h(a)=\int_{- 0.5}^{a}f(x)dx$ ,

כיצד לדעתכם ישתנה גרף הפונקציה $h(a)$ ? כיצד ישתנה הביטוי האלגברי של הפונקציה?
הסבירו מסקנתכם.

הזיזו ביישומון את הנקודה B וקבעו אותה כך ש- $x=-0.5$ , גררו את הנקודה A ועקבו אחר בניית הגרף של $h(a)$ .

במקרה זה, היכן יפגשו הגרפים $h(a)$ ו- $t(a)$ ?

בדקו מסקנתכם עבורי ערכי גבול תחתון שונים.

7. חקרו כיצד ישתנו ממצאיכם עבור הפונקציות:

א. $f(x)=x^{3}-x$ ו- $g(x)=\left | f(x) \right |$

ב. $f(x)=x^{3}-x$ ו- $g(x)=-f(x)$

שערו ובדקו ביישומון היכן יפגשו הגרפים $h(a)$ ו- $t(a)$ ? נמקו.

planning a garden capture תקציר| pdf 1 מתכננים גינה| מדריך למורה

בשטח מלבני שממדיו 8 מטרים ו- 6 מטרים מתכננים גינת נוי.

מתכנני הגינה בודקים אפשרויות שונות לשתול דשא בשני שטחים בצורת ריבועים זהים, ובשטח נוסף בצורת מלבן כמתואר בציור.

השטחים המיועדים לדשא מופיעים בציור בירוק מקווקו. שאר השטח מיועד לפרחים.

א. הציעו תכנית אפשרית של גינה התואמת את התיאור. מה שטח הדשא במקרה זה?

ב. הציעו תכנית נוספת שמתאימה לתיאור. מה שטח הדשא הפעם?

ג. פתחו את היישומון, וגררו את הנקודה האדומה כך שתתקבל חצר שונה מאלה שתכננתם בסעיפים הקודמים.

ד. כשגוררים את הנקודה האדומה מופיע על צג המחשב גרף שמתאים לאורך צלע הריבוע את שטח הדשא. מה אורך צלע הריבוע כאשר שטח הדשא מינימלי?

ה. סמנו ב- x את אורך צלע הריבוע במטרים. רשמו את הפונקציה המתאימה ל- x את שטח הדשא במ"ר. מהו תחום הפונקציה.

ו. הראו בדרך מתמטית שכאשר x=2.75 שטח הדשא מינימלי. מהו שטח הדשא במקרה זה?

ז. אורן חיבר בטעות את סכום השטחים המיועדים לפרחים במקום את סכום השטחים המיועדים לדשא. כשהמשיך בפתרון גילה שגם בפונקציה שלו הנגזרת מתאפסת כאשר x=2.75 . כיצד זה ייתכן?

ח. הציגו את שתי הפונקציות באמצעות תיבת הבחירה. מה הקשר ביניהן? הסבירו.

תקציר| pdf נעלה בחזקה זוגית או אי זוגית

בפעילות זו ניתן להיעזר ביישומון (להורדה)

נחקור את הפונקציה $f(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{n}$ ונשאל כיצד משפיע n על תכונות הפונקציה.

נתבונן בפונקציה כפונקציה מורכבת: $f(x)=(1+k(x))^{n}$ כאשר $k(x)=\frac{1}{x}$ .

א. שרטטו את הגרף $k(x)=\frac{1}{x}$ .

ב. נתונה הפונקציה $f(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{1}$ .

1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

2) מהם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה?

3) מהן האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה?

4) שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה. (השוו עם היישומון- להורדה)

5) על פי הגרף, שערו האם לפונקציה יש נקודות פיתול ? אם כן, כמה?

ג. נתונה הפונקציה $k(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{2}$ .

כיצד תשתנה הפונקציה $f(x)$ אם נעלה אותה בריבוע?

1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

2) מהם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה?

3) מהן האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה?

4) שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה. (השוו עם היישומון- להורדה)

5) על פי הגרף, שערו האם לפונקציה יש נקודות פיתול ? אם כן, כמה?

ד. סכמו במה דומות ובמה שונות הפונקציות $f(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{1}$ , $k(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{2}$ .

כיצד הדבר בא לידי ביטוי בנגזרות של הפונקציות?

ה. נתונה הפונקציה $g(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{3}$ .

כיצד תשתנה הפונקציה $f(x)$ אם נעלה אותה בחזקת שלוש?

1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

2) מהם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה?

3) מהן האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה?

4) שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה. (השוו עם היישומון- להורדה)

5) על פי הגרף, שערו האם לפונקציה יש נקודות פיתול ? אם כן, כמה? נמקו.

ו. סכמו במה דומות ובמה שונות הפונקציות $f(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{1}$ , $g(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{3}$ .
.
כיצד הדבר בא לידי ביטוי בנגזרות של הפונקציות?

ז. עבור n אי זוגי:

1) מצאו כמה נקודות קיצון (אם יש כאלה) יש לפונקציה?

2) מצאו כמה נקודות פיתול (אם יש כאלה) יש לפונקציה?

3) שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

ח. עבור n זוגי:

1) מצאו כמה נקודות קיצון (אם יש כאלה) יש לפונקציה?

2) מצאו כמה נקודות פיתול (אם יש כאלה) יש לפונקציה?

3) שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

ט. בצעו את פעילות החקר גם עבור הרכבת פונקציות נוספות. כגון:

$g(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{n}$

$h(x)=(1+\sqrt{x})^{n}$

$m(x)=\left (1+\frac{1}{\sqrt{x}} \right )^{n}$

$n(x)=\left (1+\frac{1}{x^{2}-1} \right )^{n}$

תקציר| על משולשים וקטעים

shape 1 הנקודה O היא אמצע הקטע TK,OM = OK.

פתחו את היישומון, גררו את הנקודה M.

מה תוכלו לומר על מסלול הנקודה?

א. הוסיפו לסרטוט קטעים (בעזרת הכלי קטע ) כך שיתקבל משולש ΔTMK וחקרו את תכונותיו (תוכלו להיעזר ברמז 1 ביישומון).

נסחו משפט המתאר את תגליתכם והוכיחו אותו.

ב. חקרו מהן תכונותיו של המשולש ΔTMK כאשר:

$OM= MK .1$

$OM\perp MK .2$

ג. הוסיפו, באמצעות תיבת הבחירה, קטע OP המקביל ל- MK.

1. הוכיחו: OP=½MK.

2. פי כמה גדול שטח המשולש ΔTMK משטח המשולש ΔOMP

ד. הוסיפו באמצעות תיבת הבחירה את התיכון OQ למשולש ΔMOK.

1. רשמו שתי תכונות של המרובע MPOQ והוכיחו אותן.

2. איזה מרובע התקבל?

3. האם ניתן להזיז את הנקודה M כך שיתקבל ריבוע?

ה. דנה המשיכה ושיחקה ביישומון שלנו, וקיבלה את האיור הבא:

1. הסבירו כיצד נבנה האיור

2. הציעו שאלות לחקירת תכונות האיור.

PI cake הפאי הוא מספר מסתורי, המהלך קסם על מתמטיקאים, מדענים וחובבים רבים, ערכו המקורב - 3.14159. ברחבי העולם נוהגים לחגוג לכבודו את יום הפאי ב-14 למרץ (אותו מקובל לרשום כ- 3.14) החל מהשעה 1:59...

פיצוחים בנושא הפאי ויישומו

חגיגות יום הפאי

יום הפאי בתיכון בליך - כתבה מצולמת על חגיגות הפאי בתיכון בליך בהנהגת המורה עמר ויסבלום. כל שנה נערכת תחרות לזכירת הספרות שאחרי הנקודה במספר פאי. ביום הפאי 2017, נקבע שיא בליך חדש ומדהים, ע"י ענבל הכט, ששלפה מהזיכרון שלה 1051 ספרות של המספר פאי! ראו סרטון.
חגיגות יום הפאי בישיבת "שדה יעקב" - מחוויותיו של מורה, פורסם בעל"ה 35.
מצגת על המספר פאי - הצעה לפעילות חקר ביום הפאי, הרפתקה מתוקשבת WebQuest. פותח ע”י נורית בנציוני.
אוסף קישורים ליום הפאי מהמרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך היסודי.
יום הפאי בויקיפדיה
יום הפאי במוזיאון המדע בסן פרנסיסקו, שם החלה המסורת לחגיגות לפני 20 שנה.

תמונות ופוסטרים לכבוד הפאי

פוסטר של פאי להורדה והדפסה.
סדרת פוסטרים של פאי פוסטרים צבעוניים ואמננותיים להדפסה והורדה.
אוסף תמונות וקריקטורות על פאי בדף הפייסבוק של מרכז המורים

לקרוא על פאי

מספר הפלא - רן לוי- אודיסאה (גיליון 1 עמ' 38) - מאמר פופולארי הסוקר את ההסטוריה של פאי.
ערכים מדויקים של פאי במקורות היהדות - בועז צבאן ודוד גרבר- מספר חזק 3.
המספר פאי עם מליון ספרות אחרי הנקודה!

סרטים ושירים על הפאי

Beuaty of Numbers: Pi - המלצה חמה על סרטון יפהפה, הלוקח אותנו למסע בעקבות המספר פאי והופעותיו בטבע. אפילו יצירת המוסיקה הנעימה מתבססת על המספר פאי בבסיס 12.
the story of Pi - סרט המציג את נוסחת השטח של המעגל.
שיר: "היום בו גילו את הפאי".
עוד שיר המתנגן לפי הספרות של פאי
ועוד סרטונים רבים בערוץ היוטיוב של מרכז המורים

יישומונים ואנימציות

יישומון אינטראקטיבי לאומדן הערך של פאי לפי שיטת ארכימדס של NOVA.
יישומונים דינאמיים בגאוגברה לאומדן הערך של פאי ולהמחשת מציאת שטח עיגול, מאת מרכז המורים
Find your Pi Day - מצאו את תאריך יום ההולדת שלכם בתוך המספר פאי, מאת WOLFRAM

תקציר| המחנה "הכי הכי"| פתרונות| المخيم "الأكبر الأصغر"

1. מסגרות מחבלים
ברשותכם חבל באורך 20 מטרים.

havalim 1

א. עליכם ליצור מסגרת בצורה של מקבילית, בעלת השטח הגדול ביותר.

havalim 2 ב. עליכם ליצור שני ריבועים, כך שסכום שטחי שני הריבועים יהיה הקטן ביותר.

הסבירו את בנייתכם ונמקו.

מקור- דן עמיר, פתרונות אלמנטאריים לבעיות קיצון

shaar hekton 2. השער הקטון

המשימה הבאה היא בניית שער למחנה ע"פ ההוראות הבאות:

המחנה מגודר בצורת מלבן ABCD.

מקמו נקודה P כלשהי על אלכסון המלבן AC.

מנקודה זו העבירו מקבילים לצלעות המלבן, כך שייווצר מלבן חסום BEPF . המבואה למחנה היא המשולש BFE.

את השער עליכם לבנות כאלכסון המלבן החסום, FE.

מצאו את מקומה של הנקודה P כך שאורך השער יהיה הקצר ביותר.

מקור- NRICH

תוכלו להעזר ביישומון האינטראקטיבי.

maim 3. שאבתם מים

הנכם חונים ליד האבן (הנקודה A). משימתכם להביא מים מהנהר אל העץ (הנקודה B).

מהו המסלול הקצר ביותר שבו תוכלו לעשות זאת?

רמז- מה היה הפתרון אם A ו-B נמצאים משני עברי הנהר?

מקור- "משימות לפיתוח חשיבה מתמטית- פרויקט טל"מ - חוג פלוטו"

תוכלו להעזר ביישומון האינטראקטיבי.

shetah hachee gadol 4. השטח הכי גדול

במשימת הישרדות קיבלתם שלוש סנאדות (מוטות עץ) באורכים שונים:
a<b<c (ראו איור).

עליכם לבנות בעזרת המוטות מרובע, כך ששלושת המוטות יהיו מאונכים זה לזה (טרפז פתוח). באיזה סדר עליכם להניח את המוטות, כך שיתקבל השטח הגדול ביותר?

קישורים למאמרים בנושא:

פתרונות אלמנטאריים לבעיות קיצון: הרצאה של דן עמיר בכנס מורי המתמטיקה בישראל 2005.
הכי טוב שיש: גילה רון ואורית זסלבקי
רשת כבישים מינימלית, אדם קיניסברגר
לא על החשבון הדיפרנציאלי לבדו, אריה רוקח, על"ה 29
חבית היין של קפלר- פתרון בסביבה של גאומטריה דינאמית, זיוה שחם ובתשבע שכטר, עלה 31
מרובע בעל היקף מינימלי החסום במעגל, אבי סיגלר, על"ה 24.
Calculus Without Calculus, פתרון בעיות גיאומטריות מחשבון דיפרנציאלי בעזרת גיאומטריה וקטורית פשוטה.

בבית ספרנו חוגגים את יום הפאי במרוץ מסורתי.
מגרש בית הספר בנוי ממלבן עליו בנויים שני חצאי מעגלים. המגרש מכיל ששה מסלולי ריצה כל מסלול ברוחב של מטר אחד.

א. אורך המסלול החיצוני הוא 400 מטר.
רוחב המלבן הוא 100 מטר. (ראו איור).
חשבו את מימדי מגרש בית הספר.

ב. מהו היקף מסלול הריצה הפנימי?

ג. במרוץ הפאי רצים המתחרים 800 מ'.
רוני הגריל את מסלול הריצה החיצוני ואילו חברו הטוב ירדן, קיבל מקום במסלול הפנימי ביותר.
כולם התכוננו למרוץ ונעמדו בנקודות הזינוק.
בכמה מטרים קדימה נמצאת נקודת הזינוק של רוני לעומת נקודת הזינוק של ירדן?

תקציר|החיפוש אחר המספר המופלא e | פתרונות לשאלות העמקת הכרות עם המספר e |البحث عن العدد العجيب e|

אומרים על המספר e שהוא בן-דודו הצעיר של p אשר לראשונה הופיע במאה ה-17.

המתמטיקאי הצרפתי פורייה הראה בשנת 1815 כי המספר e, בדומה ל-p,הוא מספר אי רציונאלי (שלא ניתן להביעו כמנה של שני מספרים שלמים).

ולא רק זאת, בשנת 1874 הצליח הצרפתי הרמיט להוכיח כי e, כמו בן דודו הקשיש p, הוא מספרטרנסצנדנטי, מספר לא אלגברי, כלומר, שאינו שורש של אף משוואה אלגברית בעלת מקדמים רציונאליים.

הקירוב העשרוני ל-e מתחיל כך : ...e = 2.71828182845904523536

תוכלו לצפות בקירוב של e עד מליון ספרות אחרי הנקודה.

Sample Image

המספר e, הוצג לראשונה ע"י נפייר ( Napier) כאשר פיתח לוחות לוגריתמים.

אך e נקרא בשמו, לזכרו של המתמטיקאי הדגול אוילר

(Euler) מהמאה ה-18, שחקר רבות מתכונותיו הנפלאות.

מתמטיקאים רבים חיפשו קשר בין שני המספרים המופלאים p ו-e.
אחד הקירובים המדויקים להיום שייך לאיטלקי מישל פאנלי (Fanelli) והוא: אוילר אף הצליח לנסח קשר עם מספר מופלא נוסף i, בנוסחה היפהפייה .

e מופיע באופן מפתיע בהקשרים שונים ומגוונים במתמטיקה ויישומיה.

ניתן לפגוש אותו בכלכלה, פיסיקה, גיאומטריה, תורת המספרים, תורת ההסתברות ועוד.

מקורות: תבלינים מתמטיים- מחר 98, ספר המספרים- דייויד ויילס

הצעה לפעילות הכרות עם המספר e:

בפעילות נחקור כמה מההופעות של המספר e בשלושה היבטים שונים:

נוסחה של ריבית דה ריבית
סכום של סידרה אינסופית
בסיס של פונקציה מעריכית- חקירה בעזרת כלים ממוחשבים

הפעילות המוצעת היא לעבודה בכיתה בקבוצות (אפשר גם כשיעורי בית), בה כל קבוצה תגלה בעזרת דף העבודה את המספר המופלא e בדרך שונה.

בסופה של החקירה תציג כל קבוצה בפני הכיתה כולה את המספר e שגילתה.

למתעניינים - עוד פיצוחים להעמקת ההכרות עם המספר e.

מקורות נוספים להרחבה והעמקה:

סיפורו של המספר e - מאמר מאת אלי מאור בעל"ה 20
e בראש הטור - עופר ליבה סוקר את ספרו של אלי מאור בעל"ה 17
The Number e - הצעה להכרות מקיפה עם המספר e בהופעותיו השונות.
Imagining a Hit Thriller With Number e אם היו עושים סרט על המספר e...

דף עבודה 1

ריבית דה-ריבית

ברצוננו להשקיע שקל אחד בהשקעה הטובה ביותר.

כל הבנקים נותנים אותה ריבית שנתית של 6% אבל בתנאים שונים.

בנק א: משלם את הריבית כעבור שנה, כך שבסוף השנה נקבל ___________ שקלים.

בנק ב: משלם 3% כל חצי שנה, כך שבסוף השנה נקבל ________________ שקלים.

בנק ג: משלם 1.5% כל רבע שנה, כך שבסוף השנה נקבל ______________ שקלים.

באיזה בנק תעדיפו להשקיע את השקל היקר שלכם?

בנק ד הציע לשלם את הריבית כל חודש בחודשו. מה הסכום שתקבלו בסוף השנה? ________.

באופן כללי, אם נשקיע שקל אחד בבנק המשלם ריבית שנתית של p% המחושבת n פעמים בשנה, נקבל בסוף השנה:
________.

נניח שבנק מסוים היה מוכן לתת לנו עבור השקל, ריבית של 100%, והיה מסכים לחשב את הריבית מספר גדול מאד של פעמים בשנה, האם הבנק היה פושט את הרגל?

האם ניתן לתאר את המספר e כשבר עשרוני סופי ? כשבר עשרוני מחזורי ?

מסקנה: המספר e שווה בקירוב ל- __________ ושייך לקבוצת המספרים ה-__________

דף עבודה 2

סכום של סדרה אינסופית

הפרדוקס של זנון
אצן שרץ מנקודת ההתחלה A לנקודת היעד- B, לעולם לא יוכל להגיע למטרתו.
לפני שיגיע לנקודה B הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין A לבין, B ולפני שיגיע מאמצע הדרך
לנקודה הסופית ,B הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין נקודת האמצע לבין Bוכך הלאה.

כלומר - הוא לעולם לא יוכל להגיע לנקודה B כי תמיד הוא יצטרך להגיע קודם לאמצע הדרך שבין
נקודה B לבין הנקודה, שהוא נמצא בה
זנון זרע את הרעיון של הגבול, הסכום האינסופי מתכנס לסכום סופי!

המספר e , על שם אויילר (Euler) שמצא שהוא הגבול של הסדרות הבאות:

האם ניתן לתאר את המספר e כשבר עשרוני סופי ? כשבר עשרוני מחזורי ?

מסקנה: המספר e שווה בקירוב ל- __________ ושייך לקבוצת המספרים ה-___________.

התוכלו לחשב?
Sample Image

דף עבודה 3

בסיס של פונקציה מעריכית- חקירה בעזרת כלים ממוחשבים

1. שרטטו בעזרת המחשב (ראו נספח) פונקציות שונות מהמשפחה y= ax .

2. מצאו עבור כל פונקציה את שיפוע המשיק בנקודה בה x=0.

מסקנה:

ככל שבסיס החזקה גדול יותר שיפוע המשיק בנקודה x=0 יותר__________.

נחפש פונקציה y=ax, כזו ששיפוע המשיק שלה בנקודה בה x=0 הוא 1.

נסמן פונקציה זו : ex

האם ניתן לתאר את המספר e כשבר עשרוני סופי ? כשבר עשרוני מחזורי?

מסקנה: המספר e שווה בקירוב ל- __________ ושייך לקבוצת המספרים ה-__________

נספח לשימוש בתוכנות מחשב לשרטוט גרפים

http://www.padowan.dk/graph- Graph 4.3:

תוכנה ידידותית לשרטוט וחקירה של גרפים.

הוספת גרף חדש באמצעות הכפתור מקבלים תיבת שיחה בה ניתן לרשום את נוסחת הפונקציה, קנה המידה ועיצוב צבע ועובי הגרף. התוכנה מאפשרת למצוא נקודות חיתוך עם הצירים ועם פונקציות אחרות, למצוא נקודות קיצון לחשב נגזרות ואינטגרלים ועוד.

למשימתנו נשרטט משיקים לפונקציה בעזרת הכפתור .

http://www.geogebra.org/cms- GeoGebra

תוכנת מתמטיקה דינמית המאגדת גאומטריה, אלגברה ואנליזה. היא זכתה בפרסים בין-לאומיים כולל פרסי התוכנה החינוכית האירופי והגרמני. התוכנה ידידותית ונוחה ומלווה בתפריטים בעברית.

בשורת הקלט (למטה) רשמו את הפונקציה, לדוגמה: y = 2^x.

בכדי לשרטט את המשיק לפונקציה בחרו את הכפתור סמנו את נקודת ההשקה ולאחריה את הפונקציה.

הערה- ניתן להשתמש בפרמטרים באמצעות כפתור המחוון.

תוכלו למצוא סקירה מקיפה יותר על שתי התוכנות בעל"ה 39 במאמר:

"שלוש תוכנות מתמטיות, כלי עבודה למורה ולתלמיד" מאת שרה גרז'וטיס.

עוד פיצוחים להעמקת ההכרות עם המספר e

1. במסיבת סוף השנה נערכה הגרלה גדולה בה 100 כרטיסים.

ההסתברות של כל אחד מהכרטיסים לזכות בפרס זהה.

א. מה ההסתברות שהכרטיס שלך לא יזכה?

ב. מה ההסתברות ששני כרטיסים לא יזכו?

ג. מה ההסתברות שעשרה כרטיסים לא יזכו?

ד. מה ההסתברות ש-100 כרטיסים לא יזכו?

חשבו מהו ההופכי להסתברות זו?

ה. אם במסיבה נמכרו n כרטיסי הגרלה.

למה שואפת ההסתברות שאף אחד מבין n הכרטיסים יזכה, כאשר n שואף לאינסוף.

2. במשחק הקלפים הידוע "מלחמה" (במלעיל) כל שחקן קיבל חבילת קלפים. בכל תור חושף השחקן קלף מראש החבילה שלו.

מצב של "מלחמה" קורה כאשר לשני השחקנים יש קלף זהה בדיוק (למשל, לשניהם אס יהלום אדום)

מהי ההסתברות שלא יהיה מצב של מלחמה במהלך משחק שלם (עד לחשיפת כל 52 הקלפים) ?

תקציר | הפוך על הפוך | פתרונות | مقلوب على مقلوب

upsidedown1

אם נתונה פונקציה חד-חד ערכית, (f(x, שבה לכל תמונה יש מקור אחד ויחיד, נוכל להפוך את ההתאמה ולהתאים לכל תמונה מקור. upsidedown2
כך תתקבל פונקציה הפוכה (f^-1(x.
הקשר האלגברי בין התבניות המתאימות לשתי הפונקציות הוא שהמשתנים x ו- y התחלפו.

מבחינה גרפית, הגרפים של שתי פונקציות הפוכות זו לזו וסימטריים ביחס לישר y = x. כלומר, אם נקפל את מערכת הצירים לאורך הישר y = x, הגרפים של הפונקציות, יתלכדו.

(ערוך לפי פונקציה הפוכה - יחידת לימוד משולבת מחשב של מכון וייצמן לכיתה ט'.) upsidedown16

ניפגש או לא ניפגש?
נקודות למחשבה...
א. האם יתכן כי הגרפים של שתי פונקציות הפוכות לא יחתכו? תנו דוגמה.
ב. ידוע כי לגרפים של שני פונקציות הפוכות ישנה נקודה משותפת אחת. כיצד תוכלו לאפיין אותה?
ג. האם יתכן שלגרפים של שתי פונקציות הפוכות תהיינה שתי נקודות חיתוך ? אם כן, תנו דוגמה.
ד. האם יתכן שלגרפים של שתי פונקציות הפוכות תהיינה יותר משתי נקודות חיתוך ? הסבירו.
האם יתכן שהגרפים של שתי פונקציות הפוכות יתלכדו? נמקו.

מתוך: אלה שמוקלר, זוגות של פונקציות, המחלקה להוראית הטכנלוגיה והמדעים, טכניון.
הזוג הנצחי: הפונקציות המעריכית והלוגריתמית
לפניכם גרפים של שתי פונקציות הפוכות, מעריכית ולוגריתמית בבסיס טבעי: y= lnx ,y=e^x
אנו רואים כי הגרפים סימטריים ביחס לישר y=x ואין להם נקודה חיתוך.

נקודות למחשבה...
א. האם יתכן ששתי פונקציות הפוכות, המעריכית (y=a^x ) והלוגריתמית, (y= log_a x) ישיקו זו לזו?
אם כן, באיזו נקודה ועבור אילו ערכים של a?
ב. האם יתכן שלשתי פונקציות הפוכות, המעריכית והלוגריתמית תהינה שתי נקודות חיתוך?
שלוש נקודות חיתוך? אם כן, עבור אילו ערכים של a?
ג. עבור אילו ערכים של לשתי הפונקציות אין כלל נקודות חיתוך?

תוכלו להיעזר בסרטוט הגרפים של זוגות הפונקציות ההפוכות המעריכות-לוגריתמיות ובחנו את המצב ההדדי שלהם:

לקריאה נוספת: עותמאן עלי, שתי הערות על נושאים מתוכנית הלימודים, על"ה 14, עמ' 42-53.
הקשר ההופכי
האיור הבא מספר ללא מילים את הקשר בין נגזרת של פונקציה לנגזרת הפונקציה ההפוכה לה.
התוכלו לנסח את הקשר ולהסבירו?

מתוך: "הוכחות ויזואליות ללא מילים" מאת א. זסלבסקי, ג. ויניצקי, קשר ח"ם.
נוסחה מהפכנית
באחד מספרי הלימוד הישנים מצאנו נוסחה מעניינת ולצידה איור:

התוכלו להסביר את הנוסחה ואת ייחודה?

נקודות למחשבה...

א. הביעו בעזרת אינטגרל מסוים את השטח הכחול.
ב. הביעו את שטח המסגרת הצבעונית (הכחול והתכלת יחד).
ג. הביעו את השטח הצבוע בתכלת בשתי דרכים שונות.
ד. נגדיר: f(x)=x2. מצאו את ערכו של בשתי דרכים: בחישוב אינטגרל מסוים ובשימוש הנוסחה המהפכנית.
ה. תוך שימוש בנוסחה המהפכנית, מצאו את ערכו של האינטגרל:

מעובד לפי Nrich.maths.org

עוד על פונקציות הפוכות:

זוגות של פונקציות - אלה שמוקלר - המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים, טכניון.
פונקציה הפוכה - יחידת לימוד משולבת מחשב של מכון וייצמן לכיתה ט'.
יחידה אינטראקטיבית על פונקציות הפוכות - באנגלית - של אוניברסיטת דיוק

פעילות מקוונת בנושא"משפט פיתגורס"

מסע בעולם המרתק של רשת האינטרנט, תבקרו באתרים ממקומות שונים בעולם, העוסקים בפיתגורס האדם ופעלו לעולם המתמטיקה ותיישמו את משפט פיתגורס בבעיות שונות.

כתבה וערכה - נאווה מזרחי חט"ב "מיכה רייסר"- ראשון לציון

הרפתקאה פיתגורית

מאמר מבית "אלף אפס" המספר את סיפור מסע היתדות בן ה-3700 שנים על שלשת המספרים הידועה כשלשת פיתגורס.

כתבו: זיוה דויטש, עקיבא קדרי

משפט פיתגורס

מבחר הוכחות ללא מילים, מאמר של "אלף אפס".

ועוד חידות בנושא ויישומו.

"כל דבר הוא מספר"

מאמר על תפיסותיו של פיתגורס את מושג המספר ואת המספרים הרציונאליים.

מאמר מאת "בארץ הדעת" כתב רועי יהושע.

תקציר| משימה פרחונית | פתרונות | مهمة مزهرة | حلول

אורג שטיחים תכנן שטיחים בעיצוב של פרחים. בכדי להזמין צמר, היה עליו לחשב את כמות
הצמר הלבן והצמר הצבעוני הדרושים לאריגת השטיח. התוכלו לעזור לו לחשב שטחים אלו?

1. בתוך ריבוע בעל צלע באורך 4 ס"מ, הוא צייר פרחים צבעוניים מארבעה חצאי מעגלים
בשני אופנים שונים. חשבו עבור כל פרח, מהו השטח הצבעוני והשטח הלבן שנותר.

Sample Image

2. בתוך משושה משוכלל בעל צלע באורך 6 ס"מ, הוא צייר פרחים צבעוניים משישה חצאי
מעגלים בשני אופנים שונים. חשבו עבור כל פרח, מהו השטח הצבעוני והשטח הלבן שנותר.

Sample Image

3. התבוננו בסרט הבא המציע עטיפה משושה ופרחונית לדיסק

8888888888888888888888888888

הציעו בניה של מעטפה דומה לכרטיס ברכה ריבועי.

בלינק הבא דוגמאות נוספות למעטפות ולקיפולי נייר אחרים:
http://www.instructables.com/id/Paper-Cd-Case-!!!-Flower-Design

4. הציעו דוגמאות נוספות לפרחים דומים וחישובי השטחים.

הידעתם?
פרח החיים הוא אחת הצורות בגיאומטריה המקודשת שחוצה תרבויות ויבשות, אולי הפרח טומן בחובו סוד, בנוסף להיותו צורה גיאומטרית יפה ומושלמת.
פרח החיים הוא תבנית גיאומטרית של עיגולים השזורים אלו באלו, מתוכם אפשר ליצור צורות גיאומטריות רבות נוספות. הוא התגלה בממצאים ארכיאולוגיים של תקופות עתיקות ביותר במקומות רבים ברחבי העולם.
קראו עוד על הפרח בעברית, באתר של Epoch Times Israel.
קראו עוד בויקיפדיה.

הפעילות פותחה לפי רעיון מתוך:
Mathamatics teacher, volume 98, no.9 May 2005 p617

תקציר|אוצרות פיתגורס|פתרונות|كنوز فيثاغورس|حلول

Active Image

במצולות הים ליד האי סאמוס, מקום הולדתו של פיתגורס, נמצאו אוצרות בהם מטבעות עתיקים יקרי ערך.

עזרו לחוקרים בחישוביהם למצוא את גודל המטבעות.

1. תיבת האוצר

Active Image בתיבה מלבנית שלושה מטבעות זהב הנוגעים זה בזה, בדומה לאיור (המטבע הגדול נוגע בשלוש צלעותיו של המלבן, הבינוני בשתי צלעותיו והקטן בצלע אחת).

רדיוס המטבע הקטן 4 ס"מ, רדיוס המטבע הבינוני 9 ס"מ. מה גודלו של המטבע הגדול?

2. מטבע הזהב

Active Image בגליל שקוטרו 2 ס"מ מונחים שלושה מטבעות בדומה לאיור. שני מטבעות ארד בקוטר 1 ס"מ המשיקים זה לזה ומטבע נוסף, מטבע זהב.

א. מהו גודל מטבע הזהב?

ב. מצאו מה המרחק בין מרכז מטבע הזהב למרכז הגליל.

ג. התוכלו למצוא באיור משולש 3:4:5?

3. ארד, כסף וזהב

Active Image

שלושה מטבעות, הגדול מארד הבינוני מכסף והקטן מזהב, מונחים בקופסא מלבנית כך שהם משיקים לצלע המלבן ונוגעים זה בזה. רדיוס המטבע הגדול הוא 2 ס"מ ורדיוס המטבע הבינוני הוא 1 ס"מ.

א. מצאו מהו גודל מטבע הזהב.

ב. מצאו את מימדי הקופסא.

עובד על פי פעילויות מתוך: http://nrich.maths.org/

קישורים לבעיות נוספות ליישום משפט פיתגורס:

מתוך "אלף אפס":
- נתיב הזהב
- אוסף בעיות על פיתגורס

תקציר| אלגברה קצת אחרת| פתרונות| الجبر بمنظار آخر| حلول

פתרו את הבעיות הבאות בדרכים שונות:

1. אם נתון ש p,q ו r מספרים שלמים וחיוביים ו Active Image

מצאו את q.

[מקור- Mathematics teacher vol. 100 no. 7, March 2007]

2. חשבו את N אם נתון ש:

Active Image

[מקור- Mathematics teacher vol. 100 no. 8, April 2007]

3. נתון שx ו-y מספרים רציונאליים וחיוביים וסכומם שווה ל5.

מהו הערך המינימאלי של הביטוי Active Image

[מקור- Mathematics teacher vol. 100 no. 8, April 2007]

algebra aheret

תקציר|ללכת על פני הקוביה והתיבה|פתרונות|نسير على سطوح المكعب والصندوق| حلول

1. קוביית הקסמים

Active Image

במשחק מחשב תלת מימדי עלינו לאסוף יהלומים הנמצאים על פני קוביית הקסמים.

היהלומים משובצים בכל קודקודי הקובייה ובמרכז כל אחת מפיאותיה.

אורך המקצוע של הקובייה 10 ס"מ.

כמה יהלומים על הקוביה?

מהו המסלול הקצר ביותר לאיסוף היהלומים (העובר דרך כל קודקודי הקובייה וכל מרכזי הפאות שלה)?

2. הזבוב והעכביש

Active Image

בשיעור ביולוגיה מצאנו עכביש רעב אורב לזבוב... הכיתה אורכה 5 מ', רוחבה 4 מ' וגובהה 2.5 מ'.

העכביש נמצא במרכז הקיר בחדר ואילו הזבוב יושב על אדן החלון שבקיר שממול,

1.5 מ' מעל הרצפה ו- 0.5 מ' מהקיר הסמוך. (כמתואר באיור)

מהו המרחק הקצר ביותר שעל העכביש לזחול בכדי לתפוס את הזבוב?

3. עטיפת מתנה

Active Image

ברצוני לעטוף מתנה בעזרת סרט הדוק למתנה בצורת תיבה, כך שישלים סיבוב שלם סביב התיבה. הסרט יעבור על כל פאה פעם אחת, פרט לפאות שלמעלה ולמטה שם יהיו שני חלקי הסרט מקבילים.

איזה אורך סרט עלי להכין אם גודל המתנה 20X10X 5 סמ"ר?

תקציר| קסמים מתמטיים עם נייר ומספריים | פתרונות| سحر في الرياضيات بواسطة الورقة والمقص | حلول

בפעילות זאת כל מה שצריך זה כמה מילות קסם (הוקוס פוקוס, אברה-כדברא), נייר ומספריים והרבה אהבה וסקרנות לקסמים שמאחורי המתמטיקה.
הסודות מאחורי הטריקים והחידות הבאים מגיעים מענף במתמטיקה שנקרא טופולוגיה. הטופולוגיה חוקרת עצמים שאינם משתנים כאשר הם מעוותים ללא חיתוך או קריעה. (מומלץ בחום לצפות בסרט "איך להפוך כדור מהפנים אל החוץ?").

1. התוכלו לבנות בנייה "בלתי אפשרית" ?

האם תוכלו להכין מנייר אחד מבנה תלת מימדי כמתואר באיור למטה?
האם תוכלו לעשות זאת באמצעות חיתוכים וקיפולים בלבד, מבלי להשתמש בדבק?

Active Image

את החידה הציג מרטין גרדנר, גדול המשעשעים והמשתעשעים במתמטיקה, באחד ממאמריו ב- Scientific American. הוא חקר את הצורה המיוחדת הזו וקרא לה hypersquare ("ריבוע מעל").
למרות פשטותה, זוהי חידה לא קלה לפתרון.
קחו נייר ומספריים , נסו והתנסו- בהצלחה!

2. חור ענק בנייר קטן

בידי נייר הודעות קטן בגודל 10X10. האם לדעתכם אוכל ליצור חור בנייר כך שאוכל להשחיל את הנייר על ראשי
בואו נתבונן בטריק טופולוגי פשוט:

Active Image שלב 1:
קפלו את הניר לשניים.

Active Image שלב 2:
חתכו לרוחב הנייר המקופל, 9 חתכים מקו הקיפול עד כחצי ס"מ.

Active Image שלב 3:
הפכו את הדף.
חתכו בין החתכים לכוון הקיפול כחצי ס"מ.

Active Image שלב 4:
בזהירות רבה חתכו לאורך הקפל. אל תחתכו את שני הקצוות.

Active Image

א. מהו הקף המסגרת שקיבלתם? מהו שטחה? התוכלו להסביר כיצד זה יתכן?
ב. לאיזה גודל נייר אנו זקוקים כדי ליצור מסגרת שתקיף כיתה בגודל 5X5 מטר?
ג. האם אתם מכירים שימוש לתכונה זו בתופעות מן החיים?

3. טבעת מביוס- אחת ושתיים

טבעת מביוס- עבודת תחריט עץ של האמן אשר

ואם כבר הגעתם לכיתה עם נייר מספריים, איך אפשר לשכוח את טבעת מביוס.
טבעת ייחודית שלה רק צד אחד, התגלתה לפני כ-150 שנה ע"י המתמטיקאי מביוס. האמן אשר עסק בה רבות.

Active Image ראשית, נזכר כיצד בונים את טבעת מביוס. צפו בסרט הוידאו:
חכמה גדולה - טבעת מביוס - דורון צפריר קטע מתוך התכנית "זהו זה".

מידע נוסף על טבעת מביוס: בעברית ובאנגלית

הפעילו את הדמיון
שמואל אביטל בספרו "מתמטיקה בהנאה" הביא דוגמא לשתי טבעות נוספות, דומות אבל שונות.

Active Image

הראשונה...
1. חתכו מנייר עיתון שני פסים ארוכים: לפחות 30 ס"מ אורך ו-8 ס"מ רוחב.
2. הדביקו את קצות הפס האנכי כך שתווצר טבעת אנכית.
3. הדביקו את קצות הפס האופקי כך שתווצר טבעת אופקית.

Sample Image השנייה...
1. חתכו מנייר עיתון שני פסים ארוכים: לפחות 30 ס"מ אורך ו-8 ס"מ רוחב.

2. סובבו קצה פס אנכי והדביקו את קצותיו כך שתווצר טבעת מביוס אנכית.
3. סובבו קצה פס אופקי לכוון השני והדביקו את קצותיו כך שתווצר טבעת מביוס אופקית.

ועתה נסו לדמיין איזו צורה תיווצר כאשר נחתוך כל טבעת לאורך הקו שסומן באמצע הטבעות.

אוסף קישורים על קסמים מתמטיים

תקציר|תמונות מספרות על סכומים|פתרונות|صور تحكي عن مجاميع|حلول

Active Image א. מצאו בעזרת האיור את הסכום 1+2+3+4+5+6

ב. מצאו את הסכום של n המספרים הטבעיים הראשונים והסבירו אותו בעזרת האיור.

2. נתון משולש שווה צלעות ששטחו 1 סמ"ר, נחצה כל צלע כך שיווצרו משולשים חדשים.

Active Image א. מהו היחס בין השטח של המשולש הכתום הגדול והמשולש כולו?

ב. מהו סכום השטחים של שלושה משולשים כתומים? ארבעה? חמישה משולשים?

Active Image

ג. אם נמשיך לחלק את המשולש באופן דומה, מהו סכום שטחי n המשולשים? הכלילו את הסכום?

מקור: Mathematics Teacher, Vol. 101, 2007

3. במגדל של קוביות שש קוביות בגדלים שונים, בעלות מקצועות של 1 עד 6.

Active Image

א. כמה קוביות של 1X1X1 יש במגדל?

Active Image

ב. הסבירו כיצד האיור מדגים את השוויון:

1³ + 2³ + 3³ + ... + 6³ = ²(1+ 2 + 3 + ... + 6)

רמז- חשבו על קובייה הפרוסה לשכבות.

ג. מהי נוסחת סכום n המספרים הטבעיים הראשונים המעוקבים (בחזקת 3)? הוכיחו טענתכם.

ד. הציעו דרכים נוספות להוכחת הטענה.

המקור: NRICH - enriching Marhematics.

הוכחה ללא מילים - פרוייקט לתלמידים- צוות מחר "98".
הוכחות ויזואליות ללא מילים (כמעט) - אורית זסלבסקי וגרייסי ויניצקי.

תקציר| אשליות מתמטיות| פתרונות| خداعات رياضية - تناقضات (برادوكس)| حلول

1. האם 64 = 65?
חתכו לוח שחמט בגודל 8X8 משבצות לשני משולשים ושני טרפזים. (איור 1)
הרכיבו מחדש את החלקים וקיבלו לוח מלבני בגודל 5X13 משבצות. (איור 2)

Active Image

שטח הריבוע הוא 64 ואילו שטח המלבן שהתקבל הוא 65.
א. האמנם התווספה משבצת? כיצד תסבירו את התעלומה?
ב. מעניין לשים לב שהמספרים העומדים מאחורי הבנייה הם 3,5,8,13. מה מייחד סדרת מספרים זו?
נסו לנסח את הקשר בין המספרים וכן את הקשר בין השטחים באופן אלגברי.
ג. התוכלו למצוא דוגמאות לריבועים ומלבנים נוספים המקיימים תכונה דומה?

מקור: http://www.cut-the-knot.org/

אפלט שניתן לבחור בו את אורך צלע הריבוע ההתחלתי
פאזל פארדוקסלי המראה כי 25 = 24

2. האם כל משולש הוא שווה שוקיים?

Active Image קרול לואיס (מחבר עליסה בארץ הפלאות ) הוכיח שכל המשולשים
הם שווי שוקיים:

א. נתון משולש ABCΔ כלשהו, כאשר D אמצע צלע BC.
ב. AF חוצה זווית הראש ו- DF אנך אמצעי נפגשים בנקודה F.
ג. נוריד אנך מהנקודה F לצלע AB ונסמן ב-G את נקודת החיתוך.
ד. נוריד אנך מהנקודה F לצלע AC ונסמן ב-H את נקודת החיתוך.

קיבלנו:

Active Image

כלומר כל משולש הוא שווה שוקיים. היתכן?

מקור: תבלינים מתמטיים, מחר 98, הטכניון.

תקציר| חפש את המטמון| פתרונות| ابحث عن الكنز| حلول

לקראת חגיגות שנות השישים החליטו ברשות העתיקות לחשוף את תעלומת כתבי הסתרים אשר התגלו זה מכבר בחפירות ארכיאולוגיות אי שם בארץ. בחפירות נמצאו שלושה קנקני חרס עתיקים בהם קלפים עם כתבי סתרים המתארים את מקומם של שלושה מטמונים עתיקים. כמו כן, צורפה מפה המתארת את אזור החפירות, שם ע"פ ההשערה, הוטמנו המטמונים.
בחידת הכדים תוכלו להעזר גם ביישומון האינטראקטיבי המצורף מטה.

Active Image

בסיור באתר העתיקות הצליחו לאתר את העצים, האבן הענקית, המערה ואת דרך היין כמתואר במפה המצורפת.

ע"פ כתבי החידה, היכן כדאי לדעתכם לחפור כדי לגלות את שלושת המטמונים: תרומת המקדש, מטבעות הזהב וכדי היין?

Active Image

לפניכם יישום דינמי בו תוכלו להעזר בפתרון חידת הכדים.

עובד לפי "מתמטיקה בהנאה" מאת שמואל אביטל.

תקציר| אי שוויונות עליזים| פתרונות| متباينات مفرحة | حلول

Active Image 1. חשוב "ממוצע אחר"

נעמי נבחנה בשני שאלונים. בראשון היא ענתה נכונה על 6 שאלות מתוך 10 השאלות הנתונות.
במבחן השני נעמי הצליחה יותר. היא ענתה נכונה על 12 שאלות מתוך 15 השאלות הנתונות.
נעמי חישבה את הציון ממוצע שלה כך:

המורה איילה חישבה את הציון הממוצע של שני המבחנים:
Sample Image

א. בדקו, האם הממוצע שחישבה נעמי אכן נמצא בין שני הציונים שלה.
חשבו לפי השיטה של נעמי את הממוצע בין המספרים , בין המספרים .
האם לדעתכם השיטה של נעמי לחישוב "ממוצע אחר" מתאימה לחישובי ממוצעים?

Sample Image ב. תארו במילים ובאלגברה את השיטה לחשוב "ממוצע אחר" והוכיחו אותו:
(1) בדרך אלגברית.
(2) בדרך גיאומטרית בעזרת האיור:

ג. האם הממוצע החשבוני (שחישבה המורה) תמיד גדול מה"ממוצע האחר" שאותו חישבה נעמי ?

מעובד לפי - NRICH, שבבים, מספר חזק מס 15.

Sample Image 2. אי שוויונות בתמונות

א. אוקלידס באחד מספריו "היסודות" הדגים באיור את השוויון המוכר כנוסחת הכפל המקוצר:

ניתן גם להדגים באיור זה את אי השוויון:

באיזה מקרה מתקיים השוויון?

ב. מצאו אי שוויונות שניתן להדגים אותם בעזרת האיורים הבאים.
חקרו באילו מקרים בכל אחד מתקיים שוויון.

Sample Image

מעובד לפי - NRICH.

Active Image 3. מי גדול ממי?

לגבי כל אחד מזוגות המספרים קבעו מי גדול יותר. נמקו והסבירו כיצד קבעתם.

Active Image

א-ד מתוך "משימות לפיתוח חשיבה מתמטית- פרויקט טל"מ - חוג פלוטו"

4. שני בני דודים

א. רשמו סימן אי שוויון בין זוגות המספרים הבאים:

Sample Image

ב. החל מאיזה n מספר טבעי, מתקיים האי-שוויון: ?
הוכיחו את נכונותו של האי-שוויון.

ג. אתגר לחטיבה העליונה-
התוכלו להעריך (ללא שימוש במחשבון) מה יותר גדול:?
הוכיחו את השערתכם בדרכים שונות.

הידעתם?

את הסימן שווה, = , הכניס לשימוש מתמטיקאי אנגלי בשם רוברט רקורד (1510-1558) באמרתו המפורסמת: "אין שום עצמים השווים זה לזה יותר מאשר שני קטעים שווים".

המתמטיקאי האנגלי תומס הראיוט (1560-1621), בעת היותו בשליחות המלכה באמריקה הצפונית, הגה לראשונה את סימני אי השוויונות <, >, ≤, ≥ כאשר קיבל השראה מקעקוע על פרק ידם ילידי המקום בצורת:
.
סימני האי-שוויון הומצאו 74 שנים אחרי סימן השוויון, אך הופיעו בטקסטים מודפסים לפני סימן השוויון. הסיבה לכך שלסימני האי-שוויון השתמשו באות לטינית V, שהייתה כבר קיימת כסימן דפוס.

(מתוך "תבלינים מתמטיים")

Active Image

תקציר|פרבולה, לי לו ולה|פתרונות|باربولا (قطع مكافئ ) لي ، له ولها | حلول

1. שימוש "חכם" בפרבולה

Active Image

נלמד שיטה להכפלת שני מספרים חיוביים כלשהם. בואו נכפיל 8 ב-5:

1. נשרטט את הגרף y=x2.

2. נסמן על הפרבולה נקודות בהן x=-5 ו- x=8 ונעביר ישר בין הנקודות הללו.

3. שימו לב מהי נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-y.

4. ...אכן 5×8=40 !

א. נסו להכפיל בשיטה זו 13×8.

ב. התוכלו להסביר מדוע השיטה עובדת?

ג. האם ניתן להכליל את השיטה לכל שני מספרים? אם כן, הוכיחו.

2. היה או לא היה?

Active Image

תום סרטט סקיצה לפרבולה:

ומשיק לפרבולה:

תמר טענה שהאיור של תום לא יתכן.

מה דעתכם? האם ניתן ליצור פרבולה ומשיק אלו?

אם כן, עבור אילו ערכים של b, a ו- c .

אם לא, הסבירו מדוע.

3. פתרון בכל מצב

נתונה המשוואה: x - m)(x + 5m) = 3x)

הראו בדרכים שונות כי למשוואה יש פתרון לכל ערך ממשי של m .

4. הפתעות וקשרים על הפרבולה

Active Image

א. סמנו על הפרבולה y = x2 שתי נקודות כלשהן A ו- B על הפרבולה.

העבירו דרך הראשית ישר OC המקביל לישר AB.

שיעורי ה-x של הנקודות A,B,C הם a,b,c בהתאמה.

מצאו את הקשר בין a,b,c.

ב. סמנו על הפרבולה y = x2 שלש נקודות כלשהן B ,A ו- C על הפרבולה.

העבירו את הישר AB וישר CD העובר דרך נקודת החיתוך של AB עם ציר ה-y.

שיעורי ה-x של הנקודות A,B,C,D הם a,b,c,d בהתאמה.

מצאו את הקשר בין a,b,c,d.

מאמרים ופעילויות בנושא הפרבולה:

הפרבולה כצורה גיאומטרית - חמוטל דוד - על"ה 29

שאלות עם מספר רב של תשובות נכונות - אורית זסלבסקי - על"ה 14

בעיות הקשורות למיקום שורשי המשוואה הריבועית - אנטולי שטרקמן - על"ה 24

אליפסה, היפרבולה ופרבולה מנקודת ראות מישורית ומרחבית - חמוטל דוד - על"ה 35

לראות מתמטיקה - מטח - סביבה ללימוד וחקירה של פונקציה קווית ופונקציה ריבועית. הסביבה כוללת אוסף של מצגות והסברים, משימות ותרגילים וכלים אינטראקטיביים (Applets) המסייעים בהמחשת הנושא הנלמד. הסביבה מעודדת בניית מודלים מתמטיים לתופעות מהחיים, חקירת פונקציה קווית ופונקציה ריבועית על ידי פיתוח מיומנויות חשיבה מתמטיות.

Active Image

תקציר | לוליינות עם טרפז | פתרונות | المنحرف trapezone

הטרפז הצבעוני
אלכסוני הטרפז מחלקים אותו לארבעה חלקים.
האם תוכלו ליצור טרפז כך ששני חלקים בו יהיו שווים בשטחם?
האם תוכלו ליצור טרפז ששלושה מחלקיו יהיו שווים בשטחם?
האם תוכלו ליצור טרפז שארבעת חלקיו יהיו שווים בשטחם?
אם ידוע לכם ששטח המשולש הצהוב הוא a ושטח המשולש הכחול הוא b, מהו שטח הטרפז?
מה לטרפז ופיתגורס?
הנשיא ה- 20 של ארה"ב, ג'ימס גרפילד, (James A. Garfield ,1876) אהב להשתעשע במתמטיקה ומצא הוכחה מקורית ואלגנטית למשפט פיתגורס באמצעות טרפז.
התוכלו להסביר בעזרת האיור את הוכחת גרפילד? תוכלו להיעזר בנוסחת השטח של טרפז.
שטח טרפז
נתון טרפז בעל בסיסים באורך a ו- b וגובה h.
נוסחת שטח הטרפז:

הוכיחו את נוסחת שטח הטרפז בארבע דרכים שונות, ע"פ ארבעת האיורים מטה.
מדוע לדעתכם מכפילים בכל אחת מהדרכים בחצי?
האם תוכלו למצוא או להמציא דרך נוספת להוכחת שטח הטרפז?
ועוד אתגר לסיום... קומדיה גיאומטרית: נראה כי שטח כל טרפז שווה לאפס!
נתון טרפז ABCD בעל בסיסים באורך a ו- b.
נאריך את הבסיס a ב- b יחידות. נאריך את הבסיס b מהצד השני ב- a יחידות. (ראו שרטוט).

הכיצד?

עוד כמה מילים על הטרפז...

המילה "טרפז" הינה מילה יוונית עתיקה שמשמעה שולחן אוכל ("טרפזיון" - שולחן אוכל, "טרפזה" - ארוחה). המילה עצמה מורכבת מ"טטרה" (ארבע) והשורש "פד" רגל), כלומר, הצורה טרפז היא כשולחן ארבע רגליים. table

בימי-הביניים השתמשו במונח "טרפז" לכל מרובע, פרט למקבילית, ורק במאה ה- 18 המילה "טרפז" קיבלה את המשמעות של היום. יש המגדירים את הטרפז כמרובע עם לפחות זוג אחד של צלעות מקבילות. לפי הגדרה זו קבוצת הטרפזים היא קבוצת המרובעים המכילה את כל המקביליות למיניהן. עד היום יש המעדיפים הגדרה זו כי הנוסחה לחשוב שטח טרפז מתאימה לחישוב שטח כל הצורות בקבוצה זו. אך ההגדרה המסורתית והשכיחה (גם בארץ), קובעת כי לטרפז בדיוק זוג צלעות מקבילות אחד, כך שהטרפז הוא צורה נפרדת מכל שאר המקביליות.
המצרים הקדמונים הכירו את נוסחת שטח הטרפז והשתמשו בה לחישובים שונים עבור חתכים של פירמידה מרובעת. גם המשפט: "קטע האמצעים בטרפז שווה למחצית סכום הבסיסים" היה ידוע להם ונמצא כתוב על פפירוס רינד (2000 לפנה"ס) וחרוט על קירות בית המקדש אדפו במצריים העליונה.

מתוך "תבלינים מתמטיים", קלרה זיסקין ולאה לטנר

תקציר|להדפסה|פתרונות|هيئة محاور

קצת היסטוריה
Sample Image

רֶנֶה דֶקַרְט, מדען, פילוסוף ומתמטיקאי צרפתי ( 1596-1650 ) הוא זה שהמציא את מערכת הצירים המוכרת לנו, וזו נקראת על שמו המערכת הקרטזית. הלא הוא אותו פילוסוף בעל האמרה המפורסמת:

'אני חושב, משמע -אני קיים'. רנה דקרט נחשב לאבי של גיאומטריה אנליטית, תחום המתמטיקה שמטפל בבעיות של גיאומטריה בעזרת אלגברה.

1. הריבוע המסובב

לפניכם שני ריבועים במערכת צירים, הימני צלעותיו מקבילות לצירים והשמאלי "ריבוע מסובב".

א. בנו ארבעה ריבועים שונים ורשמו את שיעורי קודקודיהם. ציירו במערכת הצירים, או בנו בעזרת הזזת קודקודי הריבוע ביישום האינטראקטיבי.

ב. בנו ריבוע בו הנקודות (5,3) ו- (5,7) הם קודקודים סמוכים של הריבוע. תארו כיצד לבנות ריבוע כאשר נתונים שני קודקודים סמוכים.

ג. בנו ריבוע בו הנקודות (5,3) ו- (5,7) הם קודקודים נגדיים של הריבוע. תארו כיצד לבנות ריבוע כאשר נתונים שני קודקודים נגדיים.

ד. האם רביעיות הנקודות הבאות הם קודקודים של ריבוע? האם תוכלו לקבוע מיהו הריבוע ללא ציורו במערכת הצירים?

1. (8,3) (7,8) (2,7) (3,2)

2. (3,3) (7,4) (8,8) (4,7)

3. (16,19) (18,22) (21,20) (19,17)

4. (4,20) (21,19) (20,2) (3,3)

ה. (a,b) ו- (c,d) הם קודקודים נגדיים בריבוע. מהם שיעורי שני הקודקודים האחרים?

1. (8,3) (7,8) (2,7) (3,2)

2. (3,3) (7,4) (8,8) (4,7)

3. (16,19) (18,22) (21,20) (19,17)

4. (4,20) (21,19) (20,2) (3,3)

2. שבעה ריבועים חבויים

Sample Image

במערכת הצירים הבאה מסומנות 25 נקודות שהו קודקודים של שבעה ריבועים.

שלש הנקודות המובלטות הן קודקודים המשותפים לשני ריבועים.

התוכלו למצוא את כל שבעת הריבועים החבויים?

3. ריבוע בתוך ריבוע בתוך ריבוע

הריבוע המסובב ABCD, חסום בתוך ריבוע גדול שצלעותיו מקבילות לצירים.

בתוכו בנוי ריבוע קטן נוסף כמתואר באיור הדינאמי.

א. מהם שיעורי הריבוע הגדול ? מהו שיעורי הריבוע הקטן ?

ב. מהו שטח כל אחד מהריבועים ?

ג. בנו איור דומה במערכת הצירים או בעזרת האיור הדינמי וציינו את שיעורי הקודקודים של הריבועים וחשבו את שטחיהם.

ד. (A(a,b ו- (C(c,d הם קודקודים נגדיים בריבוע. מהם שיעורי שני הקודקודים האחרים? מהו שטח הריבוע ABCD?

עוד על מערכת הצירים

משחקים אינטראקטיביים להכרות ותרגול מערכת הצירים:

מכרה היהלומים - משחק אינטראקטיבי - הקש את הקורדינטות ואסוף את היהלומים שבדרך.

Billy the Bug - עזרו לבילי הג'וק למצוא חטיפים לזלילה המפוזרים במערכת הצירים ברביע הראשון.

Billy the Bug - עזרו לבילי הג'וק למצוא חטיפים לזלילה המפוזרים במערכת הצירים בארבעת הרביעים.

מאובני דינוזאורים- עזרו לחוקרים למצוא במערכת הצירים מאובני דינוזאורים. (בדומה לצוללות)

Transmographer - הזזות, שיקופים וסיבובים של מצולעים במערכת הצירים.

פעילויות ומשחקים:

פעילויות במערכת צירים- פעילויות מגוונות במערכות צירים שונות שהוכנו ע"י המרכז למורים למתמטיקה ביסודי: סימון נקודות ברביע הראשון ויצירת תמונות, הגדלה עפ"י יחס, יצירת תמונות של "מראה עקומה", סימון נתיבי מסעותיו של קולומבוס.

משחק "ארבע בריבוע"- חובר ע"י נצה מובשוביץ-הדר , ארבע בריבוע הוא משחק שמטרתו תרגול בזיהוי ובסימון נקודות במערכת צירים.

חלת הדבש - משחק במערכת הצירים שהוכן ע"י המרכז למורים למתמטיקה ביסוד. משחק בו צריך למקם נקודות על מערכת צירים על פי תוצאות המתקבלות מזריקות שתי קוביות. המנצח הוא זה השם ארבע תוויות בשורה, או באלכסון או יוצר ריבוע.

בדוק את דמיונך- ציירו ציורים במערכת צירים על פי של שיעורי נקודות נתונות, וחיבורם בקווים ישרים. יש ראשית לנסות לנחש מהי הצורה המתקבלת ולאחר מכן לבדוק ניחוש זה. כמו כן, יש התייחסות להשפעה של שינוי של אחד משיעורי הנקודה על הציור המתקבל. מתוך גליונות לחשבון.

ייצור מערכת צירים- אתר ליצירה של דפי עבודה לכיתה, בו ניתן ליצור מערכת צירים לפי דרישתך.

תקציר | עגור השלום | פתרונות

peacetitle peacecrane

אוריגאמי היא אמנות קיפולי הנייר שהומצאה ביפן. לאמנות האוריגמי משמעות תרבותית עמוקה בתרבות היפנית והיא משמשת בטקסים שונים בדת השינטו, הנפוצה ביפן. לאחר פתיחת גבולותיה של יפן למערב בסוף המאה ה-19 התפשטה אמנות האוריגמי לעולם כולו והפכה לחלק מתרבות הפנאי ולשדה מחקר מתמטי מדעי. המחקר בנושא חשף את המורכבות הרבה האפשרית בקיפולי נייר, ויצר פתח לניצול מורכבות זו בחידושים טכנולוגיים וננוטכנולוגיים שונים. (מתוך ויקיפדיה)
העגור, the crane, היא הצורה השכיחה והמוכרת ביותר ומסמלת עבור היפנים בריאות, מזל אושר ושלום. האגדה היפנית מספרת שאם מקפלים 1000 עגורי נייר, הם יגנו עליך מפני כל צרה ומחלה ויגשימו משאלותיך. קיפול העגור התפרסם כסמל לשלום עולמי בעקבות סיפורה המרגש של סודאקו, הילדה שחלתה לאחר ההפצצה בהירושימה. בזמן שקיפלה את עגורי הנייר אמרה סדאקו: "אכתוב על כנפיכם מסר שלום, ואתם תעופו ותפיצו את המסר מסביב לעולם".
לזכרה, ולזכר קורבנות הפצצה, בכל יום ה- 6 באוגוסט נוהגים להפריח את "עגורי השלום".

איך לקפל את עגור השלום?
הוראות באנימציה תלת מימדית, שלב אחר שלב.
סרט וידאו בעברית: בגלרית הסרטונים באתר המרכז הישראלי לאמנות האוריגאמי.
הוראות קיפול עגור השלום.

משימה 1

שימו לב לצורות הגיאומטריות המתקבלות במהלך הקיפול.
התוכלו למצוא דלתונים? מעויינים? משולשים שווי צלעות? ועוד. הוכיחו את טענותיכם.

המרכז הישראלי לאמנות האוריגאמי מפעיל זה מספר שנים את "פרויקט השלום". תלמידיו הרבים קיפלו "1000 עגורים" שנמסרו, כברכת החלמה, לחוסיין מלך ירדן. בביקורו בישראל קיבל האפיפיור יוחנן פאולס השני "1000 עגורים" שנמסרו לו על-ידי שלושה ילדים, יהודי, נוצרי ומוסלמי, כמחווה של שלום בין הדתות. בביקורו בישראל קבל גם הדלהי למה, המנהיג הרוחני של טיבט, עגורי שלום. כיום עוסק המרכז בפרויקט החלפת 1000 עגורי שלום בין בתי הספר כמחווה של הבנה בין בתי-ספר חילוניים, דתיים, ישראלים ופלשתינאים.

משימה 2
אם נפתח בזהירות את קיפול הנייר של העגור נקבל את הפרישה הבאה:

peace2

פרט לצורות הגיאומטריות הרבות שניתן להבחין בפרישה ולחקור אותן נשאל את עצמנו כמה שאלות הנוגעות לתחום "האוריגאמי השטוח":

א. נצבע את "עגור השלום"

צבעו כל מצולע בפריסה בצבע שונה מהמצולע השכן לו, כך שאף שני איזורים סמוכים יהיו באותו צבע (בדומה לצביעת מפות). מהו מספר הצבעים הקטן ביותר שניתן לצבוע את העגור?
אם נקפל את העגור הצבוע שוב כיצד תראה הצביעה?
האם מסקנותיך יהיו נכונות לכל קיפולי הנייר של האוריגאמי?

ב. נתבונן בקודקודים

כמה קפלים נפגשים בקודקוד אחד? הייתכן מספר אי זוגי של קפלים?
הבחינו בין קפלי "הר" לקפלי "בקעה": התוכלו למצוא מה הקשר בין מספרי קפלי ההר וקפלי הבקעה בכל קודקוד?
סכום הזוויות סביב קודקוד מסויים הוא כמובן 360°. אם נמספר את הזוויות סביב קודקוד מסויים, התוכלו למצוא מהו סכום הזוויות האי זוגיות? מהו סכום הזוויות הזוגיות?

מקור: Project Origami: Activities for Exploring Mathematics By Thomas Hull

תקציר| צפייה בסרטים בעין מתמטית

1. אבוט וקוסטלו בחיל הים

שני הקומיקאים האמריקאים אבוט וקוסטלו הם הדמויות המרכזיות בסרט
(In the Navy 1941). בסרט קוסטלו מקבל על עצמו משימה:
לאפות 13 סופגניות לכל אחד משבעה קצינים המשרתים באוניה.
קוסטלו מכין 28 סופגניות בטענה כי:
7x13 = 28
הוא גם "מוכיח" את טענתו בשלוש דרכים שונות.

דרך א:
כופלים 7 ב- 3 ומקבלים 21.
כופלים 7 ב-1 ומקבלים 7.
מחברים שתי התוצאות ומקבלים 28.

דרך ב:
מחלקים 28 ב- 7 מקבלים 13.
2 אינו מתחלק ב-7,
לכן מחלקים 8 ב- 7.
7 "נכנס" ב- 8 פעם אחת. רושמים 1 במנה.
מחסרים 7 מ-28, מקבלים 21.
7 "נכנס" ב-21 שלוש פעמים. רושמים 3 מימין ל- 1.
קיבלנו 13.

דרך ג:
בודקים את פעולת הכפל בעזרת פעולת החיבור.
רושמים את 13 שבע פעמים ומחברים.
מחברים שבע פעמים את ה-"3", מקבלים 21 . מחברים את שבעה ה-"1" ומקבלים 7.
מחברים את שתי התוצאות. קיבלנו 28.

משימה:
א. הסבירו (באופן מתמטי), למה כל שלוש השיטות של קוסטלו אינן מניבות תוצאות נכונות.
ב. נסו לחבר תרגילים נוספים המדגימים את השיטות הייחודיות של קוסטלו.
ג. רשמו תהליך הכפל של מספר דו-ספרתי במספר חד-ספרתי לפי שיטת קוסטלו, בצורה של:

ד. ביצעו פעולת הכפל של מספר דו-ספרתי במספר חד-ספרתי בצורה אלגברית נכונה:

ה. השוו בין שתי התוצאות. האם יתכן ששתי התוצאות תהינה שוות? אם כן, מהם התנאים שעבורם
"המתמטיקה" של קוסטלו "עובדת"?

תוכלו להשתעשע עוד בדיאלוגים מתמטיים בין אבוט וקוסטלו במאמרו של יוחנן אחיטוב:
"מתמטיקה מהסרטים הדיאלוגים של אבוט וקוסטלו" (על"ה 32)

Sample Image 2. הסרט קונטקט ( 1997,Contact)

סרט דרמה, מדע בדיוני ומתח לפי ספרו של קארל סייגון, איש של מדע הפופולרי.
ד"ר אלינור ארוואיי (שחקנית ג'ודי פוסטר) מאזינה ל"קולות" מחוץ לכדור הארץ.
האם השידורים מכילים צופן מתמטי?
האיתות שמגיע ממערכת בשם VEGA מכיל מספרים ראשוניים! הרי זה סימן לחיים מחוץ לכדור הארץ!

___________________________
מהו מספר ראשוני?
מספר שלם הגדול מ-1 נקרא בשם מספר ראשוני,
אם ורק אם הוא מתחלק ב-1 ובעצמו.
___________________________

המשימות:

1. השלימו את הרשימה של עשרת המספרים הראשוניים הראשונים:
__ , __, __ , __ , __ , __, 7 , 5 , 3 , 2

2. כיצד נמצא מספרים ראשוניים?
המתמטיקאי היווני אֶרַטוֹסתֶנֶס המציא שיטה למציאת מספרים ראשוניים, לה קוראים עד היום הנפה של אֶרַטוֹסתֶנֶס. הנפה מסננת מתוכה את המספרים הפריקים ומותירה בתוכה את המספרים הראשוניים בלבד.

לפניכם נפת המספרים, בכדי לסנן את המספרים הראשוניים פעלו לפי ההוראות הבאות:

Sample Image א. מחקו את המספר 1 (כי אינו ראשוני)

ב. הקיפו בעיגול את המספר 2 ומחקו את כל המספרים האחרים שנמצאים בעמודות מתחת
ל- 2, 4 ו- 6. כיצד תוכלו לאפיין את המספרים שמחקתם?

ג. הקיפו את המספר 3 ומחקו כל מספר שלישי.

ד. הקיפו את המספר 5 ומחקו את כל הכפולות של 5.

ה. הקיפו את המספר 7 ומחקו את כל הכפולות של 7.

ו. הקיפו את המספר הלא מחוק הבא (אחרי 7) ומחקו את כל הכפולות של מספר זה.

המשיכו בתהליך ההקפה והמחיקה.

כל המספרים המוקפים בנפה הם מספרים ראשוניים. התוכלו להסביר מדוע?

3. כמה מספרים ראשוניים נמצאים בין 1 ל-100?

4. המשפט היסודי של האריתמטיקה קובע שכל מספר טבעי (לא ראשוני) ניתן לתאר כמכפלה של גורמים ראשוניים באופן אחד ויחיד.
לדוגמה:
רשמו את המספרים 48 ו- 91 כמכפלה של גורמים ראשוניים.

5. ראשוניים-תאומים הם זוג מספרים ראשוניים הנבדלים ב-2. לדוגמה: 3 ו-5.
מצאו שלושה זוגות נוספים של ראשוניים-תאומים.

6. המתמטיקאית הצרפתיה סופיה ג'רמיין (1776-1831) גילתה את קשר בין מספרים ראשוניים אחדים.
מספר ראשוני p נקרא "ראשוני של ג'רמיין" אם גם המספר 2p+1 גם ראשוני. מצאו חמישה מספרים ראשונים כאלה.

אֶרַטוֹסתֶנֶס Sample Image

המתמטיקאי היווני אֶרַטוֹסתֶנֶס שחי במאה השלישית לפנה"ס, היה ספרן ה'מוזיאון'- בית המדרש הגדול באלכסנדריה שבמצריים.
ארטוסתנס נחשב כאחד המשכילים בעולם העתיק - הוא התעניין רבות במדעי היקום: גיאוגרפיה,אסטרונומיה, פילוסופיה, היסטוריה, ספרות ומתמטיקה. הוא גילה שיטה למציאת מספרים ראשוניים. אֶרַטוֹסתֶנֶס רשם שורה של מספרים טבעיים ומחק ממנה כל מספר שני הגדול מ-2,
כל מספר שלישי הגדול מ-3, כל מספר חמישי הגדול מ-5 וכך הלאה. המספרים הלא מחוקים
הם המספרים הראשוניים.
בזמנו של אֶרַטוֹסתֶנֶס כתבו על הלוחות מחמר או משעווה, ובמקום מחיקת המספר היו נוהגים לְנַקּב
בעזרת מכשיר חד את המקום שבו היה כתוב המספר. אחרי פעולה זו הלוח היה מחורר ונראה כנפה (מסננת). מכאן השם "הנפה של אֶרַטוֹסתֶנֶס".

קישורים למאמרים בנושא:
שתי דרכים לניפוי המספרים הראשוניים -"שבבים", תיק מס' 15, 1981
נפת ארתוסטנס בשישה טורים- קשר ח"ם
נפות ארתוסטנס- גלים- מציאת תכונות שונות של המספרים הראשוניים מתוך מפות ארתוסטנס.
כיצד ננפה את המספרים הראשוניים?- אביטל, גליונות לחשבון מס 34 שיטות נוספות לניפוי המספרים הראשוניים.

אוסף אתרים בנושא מוטיבים מתמטיים בסרטים

תקציר| היקף כדור הארץ| פתרונות לשאלות הרחבה| مشروع عالمي لقياس محيط الكرة الارضية

רקע על הפרוייקט

Sample Image

כיצד חישב אֶרַטוֹסתֶנֶס את היקף כדור הארץ?

סרטים המסבירים ומדגימים את השיטה

כיצד נשחזר את המדידה של אֶרַטוֹסתֶנֶס?

שתפו את תוצאותיכם עם אחרים ברחבי העולם

שאלות הרחבה

קישורים

מתוך כריכת הספר:
The Librarian Who
Measured the Earth
Kathryn Lasky, Kevin Hawkes

לפני כ-2200 שנה הצליח אֶרַטוֹסתֶנֶס (Eratosthenes ), מתמטיקאי, גיאוגרף ואסטרונום יווני, למדוד את היקף כדור-הארץ באמצעים פשוטים ביותר.

כיום, מדי שנה, משתפות פעולה כיתות מכל רחבי העולם במדידה מחודשת של ההיקף והרדיוס של כדור הארץ באמצעות שיטתו הגאונית של המלומד היווני. המדידה נערכת פעמיים בשנה באביב ובסתיו, בימים בהם מתחלפות עונות השנה.

השיטה מתבססת על מדידת אורך הצל של מוט במספר מקומות בקווי רוחב שונים. ככל שקווי הרוחב יהיו שונים וככל שיצטרפו ליוזמה יותר מודדים כן יגדל הדיוק של המדידה.

מורים ומחנכים המעוניינים להצטרף ליוזמה ולשתף פעולה עם בתי ספר בחו"ל מוזמנים להירשם באתר: http://eratosthenes.ea.gr/

כיצד חישב אֶרַטוֹסתֶנֶס את היקף כדור הארץ?

הוא ידע שצורתו של העולם היא צורת כדור. (קראו עוד על איך ידעו שהארץ היא כדור?)

רוב חייו של אֶרַטוֹסתֶנֶס עברו באלכסנדריה שם היה ספרן ראשי במוזיאון המדע והאומנות ושמש מורה לבנו של תלמי המלך. הוא הופתע לקרוא בספרייה הגדולה של אלכסנדריה, כי בעיר המצרית סיינה (היום אסוואן) ישנה באר עמוקה, בה פעמיים בשנה, בשעת צהרי ימי השוויון (הימים בהם היום והלילה שווים באורכם), ניתן לראות את השתקפות השמש במלואה ללא כל צל.

הוא הסיק שבשעה זו השמש מכה ישירות אנכית, כלומר השמש נמצאת מעל בדיוק במרכז השמיים, בזניט. הוא ידע שבאותה שעה ממש השמש באלכסנדריה כן יוצרת צל. השמש מספיק רחוקה לכן הניח שקרני השמש מקבילות והעולם עגול הוא החליט לערוך מדידות.
הוא חיכה לאותו יום מיוחד, יום השוויון בו הקיץ הופך לחורף בכדי לבדוק את מקום השמש בעיר
מגוריו, אלכסנדריה ומכאן להסיק על היקף כדור הארץ.

הוא העמיד באלכסנדריה עמוד אנכי ומדד את הזווית של הצל שהטיל העמוד בדיוק באותו זמן שבו עמוד בסיינה לא הטיל כל צל.
הוא מצא כי הזווית של הצל שנוצר היא ממעגל שלם (כ-7 מעלות).
אֶרַטוֹסתֶנֶס ידע מגיאומטריה שגודל זווית הצל שמדד שווה לזווית המרכזית של כדה"א בין סיינה לאלכסנדריה. (מדוע?)
אם מניחים שאלכסנדריה ניצבת במדויק מצפון לאסואן, נובע מן המדידות האלה כי המרחק מסיינה לאלכסנדריה הוא מהיקפו של כדור הארץ (במעגל העובר דרך מרכז הכדור, ודרך אסואן ואלכסנדריה).

אֶרַטוֹסתֶנֶס שלח שליחים כדי למדוד את המרחק בין סיינה לאלכסנדריה ומצא שהוא 5000 סטאדיות (סטאדיה היא מידה עתיקה בה השתמשו היוונים). הוא הכפיל מרחק זה ב-50 בכדי למצוא את היקף כדור הארץ. הערכתו הייתה 250,000 סטאדיות (שהן כ- 46,250 ק"מ). הערכתו די קרובה להערכות המודרניות למרות שלא השתמש בכלים מורכבים ומודרניים ושנים רבות נעזרו בה ככלי חשוב.

אֶרַטוֹסתֶנֶס השתמש למעשה בנוסחה:

Sample Image d=   המרחק בין סיינה לאלכסנדריה
A= ע 360 מעלות בהנחה שכדור הארץ עגול
a=   זווית הצל שיוצר מקל אנכי
D=   היקף כדור הארץ

הידעתם ?

יחידת המטר נקבעה באופן שרירותי בתקופת המהפכה הצרפתית.

היא נקבעה כחלק העשרה מיליון של המרחק בין קו המשווה לקוטבי כדור הארץ.
כלומר נקבע ש-10,000 ק"מ הם רבע מהיקף כדור הארץ (הקשת המתאימה לזווית מרכזית של ˚90). מאחר והמרחק המדויק לא היה ידוע אז , וגם אינו ידוע כיום , אלא עם שיפור המדידות הוא הולך ונעשה מדויק יותר , הרי שהיה צורך לשמר את המטר התקני המקורי - מרחק בין שני פסים המסומנים על מוט העשוי מפלטינום ואירידיום, והוא מצוי במוזיאון המדידות בסבר ליד פאריס.
מ-1983 הוגדר המטר כמרחק אותו עוברת קרן אור בווקוום בפרק זמן של 1/299792458 שניה.

סרטים המסבירים ומדגימים את השיטה:

Eratosthene Sagan

צפו בסרט יפהפה של ה- BBC המסביר ומדגים את התגלית המפליאה של אֶרַטוֹסתֶנֶס.
אל תחמיצו את ההסבר מאיר העיניים "כיצד יתכן שבאותה שעה בדיוק יש בשני מקומות שונים בעולם אורך צל שונה?"

The World is Round

סרט קצרצר המסביר בבהירות את המסקנה המתבקשת של אֶרַטוֹסתֶנֶס כי העולם עגול. בסרט הדגמה יפה על חישובי הזוויות הכלולות בשיטה.

Circumference & More Geometry

סרטון של ערוץ NASA החינוכי, על מדידת היקף כדור הארץ על זוויות בין החותך של ישרים מקבילים ועוד גיאומטריה.

כיצד רעיונות פשוטים מובילים לתגליות מדעיות? (TED)

כיצד נשחזר את המדידה של אֶרַטוֹסתֶנֶס?

בכדי שנמדוד היום את הקף כדור הארץ אנחנו נשתמש באותם שיטות ועקרונות בהם השתמש אֶרַטוֹסתֶנֶס לפני יותר מ-2000 שנה. (ראשית נבצע את המדידה ב יום השוויון equinox), בו היום והלילה שווים באורכם, החל ב-22 בספטמבר, אז מסתיים הקיץ ומתחיל הסתיו. בכדי לוודא שקרני השמש אנכיות מעל קוו המשווה, בדומה לבאר של סיינה, בצעו את הניסוי בחצות היום הזה.
מצאו את המרחק בין מקום המדידה שלכם לבין קו המשווה בעזרת האטלס או מקורות אחרים.
כעת תוכלו לחשב את היקף כדור הארץ.

כל מה שאתם צריכים זה מוט, מקל התקוע אנכית באדמה ומד זווית.
ב-22 בספטמבר, בחצות היום, כאשר השמש גבוהה בשמיים מדדו את הזווית של הצל שיוצר המוט.

תוכלו למדוד את הזווית בעזרת מד זווית, אך נוח לחשבה בעזרת טריגונומטריה:

Sample Image

טיפים:

1. השתמשו בפלס בכדי לוודא שהקרקע ישרה.

2. השתמשו בחוט הקשור למוט ובקצהו חברו אבן.

3. בכדי לדייק מצאו את זמן "חצות היום", הזמן בו השמש נמצאת בזניט.

4. בצעו כמה שיותר מדידות בכדי למצוא קירוב טוב יותר.

שתפו את תוצאותיכם עם אחרים ברחבי העולם:

1. הרשמו בין 1-22 לספטמבר באתר הפרוייקט "מדידת היקף כדה"א".

2. בצעו את הניסוי בין ה-19 ל-24 בספטמבר. (שימו לב שמומלץ לבצע ביום השוויון)

3. שתפו את תוצאותיכם בטופס של דוח הניסוי .

4. צפו גם בתוצאות הניסוי של האחרים.

שאלות הרחבה:

Sample Image 1. מהו רדיוס כדור הארץ?

2. מהם גורמי השגיאה המשמעותיים במדידה?

3. אם כדור הארץ היה שטוח כיצד הניסוי היה מושפע מכך?

4. למזלו של אֶרַטוֹסתֶנֶס הוא הכיר מקום בו השמש נמצאת בזניט, בדיוק ב- 90˚ מעל קו המשווה בחצות היום. האם תוכלו לבצע את הניסוי ללא מידע זה? האם ניתן לבצע את המדידות משני מקומות כלשהם?
רמז- תוכלו להעזר באיור הבא:

5. קצרצרים... 2 חידות על חתול, ספורטאי וכדור הארץ.

קישורים:

אֶרַטוֹסתֶנֶס מקירנה- מאמר בגלילאו על האיש ותגליותיו.
" אֵרָטוֹסְתֶנֶּס תמיד ייזכר כאדם הראשון שהצליח לְחַשֵּׁב אֶת הֶיקֵּפוֹ של כדור הארץ."

מדע כדור הארץ : מהו היקף כדור הארץ? - מאמר מאת צביה לוטן.
שם מצטטים את אֶרַטוֹסתֶנֶס באומרו "מצפייה בכוכבים אנו למדים גם שהארץ לא די שהיא כדורית אלא שאין מידתה גדולה..."

מהו היקף כדור הארץ? פעילות חמד"ע

Real World Learning Objects - פעילות מתוקשבת (באנגלית) בה הסברים מעמיקים על שיטתו של אֶרַטוֹסתֶנֶס וביצוע הניסוי במצבים שונים. כולל אפלטים ואיורים גרפיים.

The Noon Day Project- פרוייקט עולמי נוסף למדידת הקף כדור הארץ, מלווה בהסברים ובסרטי וידאו וכמו גם תמונות רבות של משתתפים בניסוי.

The library of Eratosthenes- עוד פרוייקט עולמי נוסף בו משתתפים תלמידים מרחבי העולם. האתר מנוהל בשפות רבות (לא בעברית..). שם תוכלו למצוא סיפורי ניסוי בווידאו ובתמונות.

Eratosthenes Experiment_HighSchool - פעילות אינטראקטיבית לתלמידים המשולבת שימוש בGoogle Earth, סרטונים והסברים.

תקציר| שעשועים אלגבריים| פתרונות| تسالي جبرية| حلول

1. מצאתי, מצאתי!

א. לילי השתעשעה בחישובים שונים במחשבון ושמה לב לסדרת התרגילים המפתיעה:

Sample Image

"גיליתי כלל חדש!" - צעקה לילי בהתלהבות.

מהו הכלל שאותו גילתה לילי ? נסחו את הכלל בצורה כללית והוכיחו נכונותו.

ב. גילי גם הוא חיפש וחיפש תרגילים מעניינים:

Sample Image

"מצאתי, מצאתי!"

מהו הכלל שאותו גילה גילי ? נסחו את הכלל בצורה כללית והוכיחו נכונותו.

2. מתחלק ב-8

המורה גלית נתנה לתלמידיה משימה:

בחרו שני מספרים אי-זוגיים עוקבים, העלו אותם בריבוע וחשבו את ההפרש ביניהם.
"האם כולכם קיבלתם מספר המתחלק ב-8 ? "

א. האם זה תמיד נכון? הוכיחו טענתכם.

ב. עופר טען שאפשר לבחור כל שני מספרים אי זוגיים והקסם יעבוד. למשל:

176 = 49- 225 =72 - 152

הוכיחו כי הפרש ריבועים של שני מספרים אי-זוגיים כלשהם מתחלק ב-8.

3. זוגות - זוגות

א. בחרו ארבעה מספרים עוקבים.
כפלו את הזוג שבקצוות וכפלו את הזוג שבתווך.

Sample Image

Sample Image בצעו זאת גם על רביעיות נוספות של מספרים עוקבים.
האם שמתם לב לקשר בין מכפלת הזוגות? נסחו את הכלל והוכיחו נכונותו.

ב. בחרו חמישה מספרים עוקבים.

כפלו את הזוג שבקצוות וכפלו את הזוג שלפניו (המספר השני והמספר שלפני אחרון).

Sample Image

בצעו זאת גם על רביעיות נוספות של מספרים עוקבים.
האם שמתם לב לקשר בין מכפלת הזוגות? נסחו את הכלל והוכיחו נכונותו.

ג. התוכלו לשער מה יקרה אם נבחר n מספרים עוקבים ונכפיל את הזוג שבקצוות ואת הזוג שלפניו (המספר השני והמספר שלפני אחרון).

תקציר | ארבע בעיות על משוואה ריבועית | פתרונות | أربع مسائل حول المعادلة التربيعية | حلول Sample Image

המספרים המסתתרים
חשבו מהם המספרים המסתתרים מאחורי הביטויים האינסופיים הבאים:

מקור: Nrich.maths.org
תכסיס לפתרון משוואה ריבועית
שי למד לפתור בקלות בע"פ, באמצעות פירוק לגורמים, משוואות ריבועיות מנורמלות (שמקדם ה-x2 שלהן הוא 1) מהצורה: x²+ px + q = 0
אך הוא נטה להתקשות למצוא במהירות את שורשי המשוואות הריבועיות מהצורה הכללית: ax²+ bx + c = 0
לכן הוא המציא תכסיס חדש לפתרון:
בכדי לפתור את המשוואה: 6x² - 7x - 3 = 0 הוא פתר בע"פ את המשוואה x² - 7x - 6^.3 = 0.
פתרונותיה הם: 9, 2-.
כעת הוא חילק כל פתרון ב- 6 וטען כי פתרונות המשוואה הנתונה הם:

א. האם שי צודק?
ב. האם ניתן להכליל את השיטה של שי?
כלומר האם ניתן על בסיס פתרונות משוואה ריבועית מנורמלת למצוא את הפתרונות של משוואה ריבועית כלשהי.
אם כן, תארו את השיטה והוכיחו.
"בית גידול" למשוואות ריבועיות
ניקח את המשוואה: x² - 13x + 36 = 0 ונצמיח ממנה 17 משוואות חדשות שהן 'קרובות משפחה' של המשוואה המקורית:

א. תארו כיצד מייצר "בית הגידול" משוואות ריבועיות חדשות.
ב. מהם הפתרונות של כל אחת מהמשוואות? האם קיים קשר ביניהם?
ג. נסו לחזור על 'ההצמחה' מסוג זה לגבי משוואה ריבועית אחרת.
ד. מצאו את ערכו המתאים ל- c, כך שניתן יהיה להצמיח 23 (!) משוואות חדשות מתוך המשוואה: x² - 17x + c = 0.

מקור: שאלות 3-2 אוסף פעילויות באלגברה, קלרה זיסקין, קשר ח"ם.
משוואה ריבועית פרדוקסלית
נתונה המשוואה:

הראו כי: 5, 3-, 2 מקיימים את המשוואה.

א. האם ייתכן שלמשוואה ריבועית יהיו שלושה פתרונות? הסבירו.
ב. התוכלו לבנות עוד 'משוואות' ריבועיות כאלה?

מקור: תבלינים, קשר ח"ם.

תקציר| זלילה גיאומטרית| פתרונות| شراهة هندسية

1. פיצה "חצי חצי"

אורי ודנה הזמינו פיצה מלבנית וביקשו שחלקה תהיה עם זיתים וחלקה עם פטריות.
בפיצריה הציעו להם את החלוקות הבאות:

Sample Image

אורי ודנה התלבטו איזו חלוקה הוגנת יותר?

או בניסוח מתמטי, מהו יחס השטחים בכל אחד מהמלבנים, בין השטח הכחול והשטח הסגול?

Sample Image

2. עוגת יום ההולדת

אורי ודנה הכינו לאמם עוגת יום הולדת בתבנית ריבועית, וקישטו אותה בסוכריות צבעוניות (עם צבעי מאכל טבעיים בלבד) בצורה גיאומטרית מיוחדת.

הם חילקו את צלע העוגה הריבועית לשלשה חלקים שווים ויצרו ריבוע ושלושה טרפזים כמתואר באיור.

אמא, שהייתה בדיאטה, ביקשה את הריבוע הצהוב.
דנה ביקשה לעצמה את החלק הסגול עם הלבבות.
אורי ביקש את שני החלקים הכחולים עם הכוכבים.

איזה חלק מהעוגה קיבל כל אחד מהם?

Sample Image כיצד ישתנה יחס השטחים כאשר אורך צלע הריבוע הצהוב הוא באורך כלשהו, לאו דווקא שליש צלע הריבוע החיצוני ?

Sample Image 3. לקינוח- שוקולד גיאומטרי

בשוקולד הגיאומטרי, בריבוע הפנימי מודפסת כבשה קטנה וחמודה.

חילקו את השוקולד הריבועי באופן הבא:
סימנו קטעים מאמצע של כל צלע הריבוע עד לאחד מהקודקודים של הריבוע שממול.

א. הוכיחו שהמרובע הפנימי הוא אכן ריבוע.

ב. מצאו מה היחס בין שטח הריבוע הפנימי לשטח הריבוע החיצוני.

Sample Image ג. שאלה למחשבה-

כיצד ישתנה המרובע הפנימי כאשר נבחר נקודה כלשהי על צלע הריבוע (ולאו דווקא בחציה) וכיצד ישתנה אז יחס השטחים ?

תקציר| חנוכה במספרים| פתרונות

1. סביבון מתמטי - סוב סוב סוב !

הסביבון המתמטי שלי מעושר, והוא נופל על אחד מהמספרים 1-10.

קיבלתי במתנה שלושה סביבונים מתמטיים שעל כל אחד מהם 10 מספרים, אך לא תוכלו לראותם.

chanukka whith numbers 12

סקרנים לדעת מהם המספרים?

סובבתי את כל אחד מהסביבונים המתמטיים 15 פעמים ורשמתי את כל המספרים שהתקבלו בעצירתם. הם כאן, לפניכם, בטבלאות מתאימות.

אחר-כך חזרתי על פעולה זאת פעמיים, אך הפעם שכחתי איזו טבלה מתאימה לאיזה סביבון.
לפניכם תוצאות הסיבובים ב- 6 טבלאות:

האם תוכלו לגלות איזה סביבון "הוליד" איזה טבלה?
האם תוכלו לגלות מהי תכונת המספרים שעל כל אחד מהסביבונים הצבעוניים ולתת לכל אחד מהסביבונים המתמטיים שמות מתאימים?

2. סופגניות חמות ומתוקות

אמא של אורי, בשם ועד ההורים, קנתה סופגניות חמות ומתוקות לכיבוד במסיבת חנוכה לכל בית הספר.

אורי והילה בקשו לקחת סופגניות לשכבה שלהם, אמא של אורי הסכימה, רק בתנאים שלה:

"קחו חצי מכל כמות הסופגניות ועוד חצי מסופגנייה אחת.
לאחר מכן, קחו רבע מכל הסופגניות שנותרו, ועוד רבע מסופגנייה אחת.
את מה שנותר תחזירו לי.
אך עליכם לשמור שכל סופגניות תשארנה שלמות."

אורי והילה לקחו את כל הסופגניות וכעבור שעה החזירו 50 סופגניות.

כמה סופגניות נקנו למסיבה וכיצד הצליחו אורי והילה לחלקן מבלי לפגום בשלמותן?

מעובד מתוך: על כנפי האגדה, הטכניון, פרויקט "מחר 98"

3. הנרות הללו

דורון הוציא מקופסת נרות החנוכה מספר נרות וחילק אותם לקבוצות.
הוא שם לב לכך:

כאשר סדר את הנרות בזוגות - נשאר נר אחד ללא בן זוג.

כאשר סדר את הנרות בחמישיות - נשארו 2 נרות בודדים.

כאשר סדר את הנרות ברביעיות - נשארו 3 נרות בודדים.

תוכלו לגלות מהו מספר נרות שהוציא דורון מהקופסה?

מעובד מתוך: על כנפי האגדה, הטכניון, פרויקט "מחר 98"

עוד על חנוכה:
פיצוח משחקי מזל בחנוכה - פעילויות ברמות שונות בהסתברות.
ראו גם אוסף עשיר לחידות לחנוכה - אלף אפס

תקציר| משחקי מזל בחנוכה| פתרונות

chanukka mazal 1 1. משחק הסופגניות
על מגש עגול מונחות 7 סופגניות בטעמים שונים:
4 ממולאות בשוקולד, 2 עם ריבה ואחת ריקה.
הסופגניות משיקות זו לזו ומסודרות במבנה של פרח.
במשחק הסופגניות בחנוכה, מחליפים את המקום של הסופגניות באופן אקראי בכל משחקון, בדומה לכיסאות מוסיקליים.

אם שתי הסופגניות עם הריבה משיקות זו לזו - ניצחתם במשחקון!
שחקו במשחק בעזרת הדפים הבאים ובדקו:

א. שחקו משחק אחד, האם ניצחתם?

ב. שחקו 10 משחקונים. בכמה משחקונים ניצחתם? נסו גם 20 ו-50 משחקים.

ג. מה הסיכוי לנצח ב-100 משחקונים? הסבירו.

מעובד לפי Nrich.math.org

2. משחק הסביבונים

במשחק הסביבונים מסובבים שני סביבונים: האחד סביבון חנוכה שעל ארבע פאותיו רשומות האותיות: נ, ג, ה, פ (נס גדול היה פה).
הסביבון השני הוא משושה שעל שש פאותיו המספרים מ-1 עד 6.

במשחק מוסכם כי נ=1, ג=2, ה=3, פ=4.

יש באפשרותך לבחור באחד מהמשחקים הבאים:

א. זכייה כאשר סכום המספרים בשני הסביבונים שווה ל-7.

ב. זכייה כאשר סכום המספרים בשני הסביבונים הוא לפחות 7.

ג. זכייה כאשר מכפלת המספרים בשני הסביבונים היא לפחות 16.

באיזה משחק כדאי לך לבחור?

מעובד לפי אלכס קופרמן, סטטיסטיקה והסתברות, הוצאת BAK

3. דמי חנוכה

אביטל קיבלה דמי חנוכה עשרה מטבעות שוקולד עליהן מודפסים הספרות 0 עד 9.

מהי ההסתברות שאביטל תוציא מהקופסה, בצורה אקראית, שלושה מטבעות שניתן להרכיב מהם מספר תלת-ספרתי המתחלק ב-9?

עוד על חנוכה:

פיצוח נוסף חנוכה במספרים - אוסף חידות וחידודים העוסקים בקשרים בין מספרים.

ראו גם אוסף עשיר לחידות לחנוכה - אלף אפס

תקציר| סדרה הנדסית מתכנסת| פתרונות| متوالية هندسية تنازلية متداخلة| حلول

Sample Image 1. ללא מילים

האומנם יתכן שסכום סדרה אינסופית הוא סופי ?

לפניכם שלש הוכחות ללא מילים לנוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית יורדת. אנא נמקו.
Sample Image

מתוך: "הוכחות ויזואליות ללא מילים" מאת א. זסלבסקי, ג. ויניצקי, קשר ח"ם

Sample Image 2. הזבוב הטורדן

שני רוכבי אופניים יצאו זה לקראת זה משני ישובים שהמרחק ביניהם 40 ק"מ במהירות של 20 קמ"ש כל אחד. לפני הזינוק ישב לו זבוב טורדן על אפו של אחד מהרוכבים. מיד עם צאתם יצא זבוב ועף במהירות של 50 קמ"ש לעבר הרוכב השני. ברגע שהוא מגיע אליו, הוא הופך את כיוון מעופו, ועף אל הרוכב שממנו יצא. כך ממשיך הזבוב הטורדן במעופו בין הרוכבים, עד לרגעהמפגש, אז הוא נמחץ...

מה אורכו של המסלול שעבר הזבוב?

Sample Image 3. האיור המתכנס

באיור שלפניכם המעגלים והריבועים חוסמים זה את זה ונעשים קטנים יותר ויותר. בכל שלב, צבעו את ארבעת הגזרות שנוצרו מחסימת העיגול בריבוע. נתון כי אורך צלע הריבוע החיצוני 10 ס"מ.

א. מהו השטח הצבוע בשלב השביעי?

ב. מהו שטח הכולל של כל התחומים הצבועים בכחול באיור שלפנינו?

ג. אם נמשיך את התהליך אינסוף פעמים, מה יהיה השטח הצבוע?

Sample Image 4. לוח מטרה גיאומטרי

הוזמנת לשחק בלוח קליעה למטרה גיאומטרי ולו צורת משולש ובו חסומים מעגלים לפי האיור הבא.
מעגל, בעל רדיוס של יחידת אורך אחת, חסום במשולש שווה צלעות. מעגל קטן יותר חסום בכל אחת מזוויות המשולש, כך שהוא משיק למעגל הגדול. מעגלים קטנים יותר ויותר חסומים באופן דומה, עד אינסוף.

מהי ההסתברות שהחץ יפגע בתחום האדום?

קישורים נוספים בנושא סדרה הנדסית יורדת:

פינג פונג מתמטי - רון אהרוני- על"ה 38. המחבר משתף אותנו בחוויית גילוי מתמטי שעבר כנער בחיפוש אחר נוסחא לסכום של סדרה גיאומטרית.

משולשים, מעגלים, חוצי זוויות, זהויות טריגונומטריות,סדרה הנדסית ושאיפה לגבול -מה הקשר? אבי סיגלר - על"ה 36. המאמר מציג תהליך גיאומטרי של יצירת סדרה אינסופית של משולשים חסומים במעגל, אשר שטחיהם, היקפיהם ואורכי המחוגים של המעגלים החסומים בהם שואפים באופן מונוטוני לגבול.

פרוייקט לתלמידים - שגעון נקודת האמצע - מחר 98. הפעילות עוסקת בגילוי של תכונות מצולעים, הנוצרים מחיבור נקודות האמצע של צלעות של מרובעים ושל משולשים. תוך כדי הפעילות עוסקים בתהליך אינסופי של יצירת משולשים המוביל למושג הגבול.

פרוייקט לתלמידים - עקומה פתולוגית - מחר 98. בנייה בעזרת המחשב עקומות פתולוגיות, שהן למעשה הפרקטלים של קוך. בכל העקומות קיים פרדוקס שהיקפן שואף לאינסוף ושטחן חסום.

פרוייקט לתלמידים - האינסוף המסתורי - מחר 98. אוסף של פעילויות שונות המתארות פרדוקסים הקשורים למושג האינסוף ודרכי יישומם

"נוסחת הסכום של סדרה הנדסית" - דורית פטקין, קשר חם. בחומר מובא ייצוג גרפי של סכום איברי סדרה הנדסית סופית שאיברה הראשון הוא 1ומנתה מספר טבעי, ושל סכום איברי סדרה הנדסית אינסופית שאיברה הראשון הוא 1 ומנתה מספר הופכי למספר טבעי.

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

האם 1=0.9999999 ? - מאמר על סדרה הנדסית אינסופית יורדת, באנגלית.

תקציר| מעגלי ארכימדס| פתרונות| دوائر أرخميدس| حلول

Sample Image ארכימדס (287- 212 לפנה"ס) היה מדען יווני שהגיע לתוצאות מרשימות במתמטיקה, הנדסה ופיסיקה.

ארכימדס חישב את ערך Π בדיוק רב (ראו יישומון ממוחשב), ופיתח נוסחאות לחישוב שטח פנים ונפח של גופים שונים.

אגדות רבות מסופרות על ארכימדס ותגליותיו. הוא חקר את פעולתם של מנופים ומספרים שאמר "תנו לי נקודת אחיזה ואוכל להזיז את כדור הארץ..." מיוחסת לו האמירה "אאוריקה", כאשר גילה באמבטיה את חוק הציפה, חוק ארכימדס.
האגדה גם מספרת שחייל שבא לגייסו לצבא לשם פיתוח נשק, הטיל צל על המעגלים שארכימדס צייר על החול. ארכימדס העיר לו "הסתלק, אל תקלקל לי את המעגל"... והחייל התרגז והרגו.

חלק מעבודותיו תורגמו לערבית, והם הגיעו לאירופה במאה ה-12, אבל רק במאה ה-16 הישגיו של ארכימדס זכו להכרה עולמית.

על ארכימדס בהרחבה בויקיפדיה

אל תקלקל לי את המעגל - מאמר באלף אפס.

Sample Image 1. שרשרת הזהב של המלך

סיפור נודע על ארכימדס הוא על כתר הזהב המזוייף. בעקבותיו, המלך היירון השני הכיר בארכימדס גם כבלש המפענח תעלומות באמצעות חכמתו והידע הרב שלו.

אגדה אחרת מספרת על מלך שהזמין מצורף הממלכה שרשרת זהב ונתן בידו חוט זהב בצורה של חצי עיגול. הצורף הציע למלך ארבעה עיצובים שונים לשרשרת. המלך שוב חשד שצורף הממלכה מנסה לרמותו וזימן את יועצווביקשו לבדוק האםאורכי השרשראות שווה לחוט הזהב שהפקיד בידו.

היועץ מיד זהה כי הצורף מנסה לרמות את המלך.

האם תוכלו לאמוד את אורכי השרשראות?

מהי השרשרת הקצרה ביותר?

Sample Image 2. סכין הסנדלרים

השטח המוצל שבאיור הדינאמי מתאר סכין סנדלרים הנקרא ביוונית ארבלוס. (Arbelus) יש המכנים אותו סכין תורכי. ארכימדס היה הראשון שחקר את תכונותיו המתמטיות .

א. הזיזו את הנקודה C שעל קוטר חצי העיגול הגדול בכדי לשנות את צורת הארבלוס. תארו את מבנה הארבלוס.

ב. מהו היחס בין אורך הקשת של חצי המעגל הגדול לבין סכום אורכי הקשתות של המעגלים הפנימיים?

Sample Image ג. משיק לשני חצאי המעגלים חותך את חצי המעגל הגדול בנקודה D.
בונים מעגל שקוטרו הוא CD.
מצאו את יחס שטח עיגול זה ושטח הארבלוס כאשר :

(1). הנקודה C היא במרכז חצי המעגל הגדול.

(2). הנקודה C מחלקת את הקטע AB ביחס 1:2.

(3). ידוע כי רדיוס חצי המעגל הגדול הוא R, ורדיוס אחד מחצי המעגלים הקטנים הוא r.

Sample Image למתעניינים - התנסו בפרויקט "הפריזבי של ארכימדס".

בתחרות למתמטיקה לתיכונים בפלורידה, הוענק לכל משתתף פריזבי ועליו היה לחקור את התכונות הגיאומטריות של העיצוב המיוחד, באמצעות תוכנות דינאמיות.

בפרוייקט הנחיות לחקירת הארבלוס, המעגלים התאומים של ארכימדס ושרשרת מעגלי פאפוס.

3. המלחייה של ארכימדס

ארכימדס חקר את צורתה של המלחייה האופיינית לימי יוון, הסלינון, שמתוארת באיור הדינאמי הבא:

הסלינון הופיע לראשונה בספרו של ארכימדס, שנכתב לפני 2200 שנה, בשם "ספר הלֶּמות"
(לֶמָּה- משפט עזר להוכחת משפט אחר).

א. הסבירו כיצד נבנה הסלינון.

ב. לפי הלמה ה-14 של ארכימדס שטחו של הסלינון שווה לשטח המעגל שקוטרו GF. נא הוכיחו.

Sample Image

ג. הסבירו את "ההוכחה ללא מילים" של הלֶמָּה של ארכימדס:

מעובד לפי:

Nelsen (2002), "Proof Without Words: The Area of a Salinon", Mathematics Magazine, p. 130

תקציר|יום פאי שמח!|פתרונות|يوم π سعيد! |حلول

מיהו π?

הפאי הוא מספר מסתורי, המהלך קסם על מתמטיקאים, מדענים וחובבים רבים.

π, מספר אי רציונאלי, מציין את היחס בין היקף מעגל לקוטרו. הוא התגלה כבר לפני ששת אלפים שנים, בבבל, ברגע שבני האדם המציאו הגלגל.

הם גילו את התופעה המרתקת של המעגל, שלא משנה אם המעגל קטן כמו חרוז או גדול כמו חומת העיר, תוצאת החילוק של היקף המעגל ברדיוסו הוא אותו מספר. המצרים הקדמונים, לפני כ-2000 שנה, היו הראשונים שהצליחו להגיע לערך מקורב של פאי- .

במאה ה-3 לפנה"ס, ארכימדס, הציג לראשונה שיטה המאפשרת לאמוד את π, המתבססת על חישוב היקף מצולעים החסומים וחוסמים מעגל. (ראו יישומון אינטראקטיבי)

שבמשך כ-1500 שנה איש לא הצליח לחשב את פאי בדיוק גבוה יותר, עד לפיתוח החשבון הדיפרנציאלי ואינטגרלי, אז אויילר חשב את פאי עד 153 ספרות אחרי הנקודה והעניק לפאי את שמו.

כיום, מתמטיקאים ומדענים מחפשים אלגוריתמים ונוסחאות אלגנטיות לחישוב פאי בעזרת המחשב. השיא שנקבע עד היום הוא טריליון ספרות אחרי הנקודה!

ברחבי העולם נוהגים לחגוג לכבודו את יום הפאי ב-14 למרץ (אותו מקובל לרשום בארה"ב כ- 3.14) .

צפו בסרט בשיר עליז המזכיר לנו מהו מעגל ומיהו π.

גם אתם מוזמנים לחגוג לכבודו של הפאי בפעילויות יצירה, תחרות ריצה, בניית מיכל גלילי לממתקים וקישוט בפרחים מיוחדים.

מצורף גם אוסף קישורים על יום הפאי בארץ ובעולם ומידע רב על המספר המיוחד הזה.

1. לשלש או לרבע המעגל

א. מלאו את העיגול בחבלים דקים בצורת מעגלים בעלי אותו מרכז.

חתכו את החבלים לפי הרדיוס המסומן ופרשו אותם לצורת משולש.

מהו גובהו ובסיסו של המשולש שקיבלתם? מהו שטחו?

ב. גזרו את העיגולים לשש גזרות שוות וצרו מהן "מקבילית". התוכלו לאמוד את שטחה?

גזרו את העיגולים לשנים עשר גזרות וצרו מהן "מקבילית". התוכלו לאמוד את שטחה?

צפו בסרט: the story of Pi בו תוכלו לראות המחשות לנוסחת שטח מעגל.

2. מיכל הממתקים

בחגיגות יום הפאי קיבלה כל כיתה משימה לבנות מיכל גלילי סגור לאחסון סוכריות.

עליכם לבנות גליל מגיליון של בריסטול בגודל 50X70 סמ"ר.

לפניכם ארבע הצעות לפריסות גליל:

(שימו לב, שניתן לעטוף את המלבן על בסיס הגליל יותר מפעם אחת)

א. האם ניתן לבנות מכל אחת מהפריסות הבאות גליל?

ב. האם ניתן לבנות גליל שגובהו כהיקף בסיסו?

ג. מהו הגליל שיכיל הכי הרבה סוכריות?

3. מרוץ הפאי:

בבית ספרנו חוגגים את יום הפאי במרוץ מסורתי.

מגרש בית הספר בנוי ממלבן עליו בנויים שני חצאי מעגלים. המגרש מכיל ששה מסלולי ריצה כל מסלול ברוחב של מטר אחד.

א. אורך המסלול החיצוני הוא 400 מטר.

רוחב המלבן הוא 100 מטר. (ראו איור).

חשבו את מימדי מגרש בית הספר.

ב. מהו היקף מסלול הריצה הפנימי?

ג. במרוץ הפאי רצים המתחרים 800 מ'.

רוני הגריל את מסלול הריצה החיצוני ואילו חברו הטוב ירדן, קיבל מקום במסלול הפנימי ביותר.

כולם התכוננו למרוץ ונעמדו בנקודות הזינוק.

בכמה מטרים קדימה נמצאת נקודת הזינוק של רוני לעומת נקודת הזינוק של ירדן?

4. פרחי π

בחגיגות יום הפאי נכין פרחים לקישוט.

ראו את הסרטון הבא המציג בניית פרח עם שלושה עלי כותרת.

א. הסבירו את בניית הפרח.

ב. נתון שאורך צלע המשולש הפנימי הוא 1 יחידה.

מהו היקף הפרח?

באופן דומה נבנה גם פרח עם ארבעה עלי כותרת. ראו את הסרטון הבא:

א. הסבירו את בניית הפרח.

ב. מהי הזווית המרכזית כל עלה כותרת (כל אחת מארבעת הקשתות)?

ג. נתון שאורך צלע הריבוע הפנימי הוא 1 יחידה.

מהו היקף הפרח?

באופן דומה נבנה גם פרח עם חמישה עלי כותרת.

א. הסבירו את בניית הפרח.

ב. מהי הזווית המרכזית כל עלה כותרת (כל אחת מחמשת הקשתות)?

ג. נתון שאורך צלע המחומש הפנימי הוא 1 יחידה.

מהו היקף הפרח?

בנו פרח דומה עם שישה עלי כותרת. מהו היקפו?

מהו היקפו של פרח בעל n עלי כותרת?

מקור הפעילות והסרטים: nrich.maths.org

תקציר|מערכת משוואות בשני נעלמים |פתרונות|معادلتان بمجهولين |

1. משוואות הקסם

1. בשיעורי הבית דנה התבקשה לפתור שלש מערכות של משוואות בשני נעלמים:

דנה פתרה שתי מערכות משוואות ומצאה שפתרונן זהה והוא (x,y)=(−1,2).

    היא טענה שגם למערכת המשוואות השלישית אותו פתרון.

האומנם? בדקו את פתרונה של דנה.

2. דנה טענה שיש למערכות המשוואות הללו מבנה מיוחד. התוכלו גם אתם לזהותו?

    תנו דוגמה למערכת משוואות דומה. מהו פתרונה?

3. דן ורונה בנו גם הם מערכת משוואות:

פתרו את המשוואות. מה קיבלתם?

מה מיוחד הפעם במבנה המשוואות?

4. עדי "הציצה" במחברות של דן ורונה ורשמה מערכת חדשה:



    האם 'הקסם' יעבוד גם במערכת של עדי ?

5. השלימו את המערכות הבאות כך יתקבל פתרון (x,y)=(−1,2):

6. שרטטו, במערכת צירים אחת, את ארבעת הישרים שמופיעים במערכות (1) ו-(2). בחרו מערכת משוואות

    נוספת מבין המערכות (4) - (9) והוסיפו לשרטוט את שני הישרים הנוספים. מהי המשמעות הגיאומטרית

    של כל הישרים הללו?

7. מצאו תבנית כללית לרשום מערכות הקסם.

    אתגר אלגברי -הוכיחו כי פתרון מערכת משוואות הקסם הוא (x,y)=(−1,2).

מעובד לפי "מתמטיקה בהנאה" של פרופ' אביטל.

סולמות טמפרטורה

במרבית ארצות העולם משתמשים באופן יומיומי בסולם הטמפרטורה של צלסיוס. במדינות ספורות, ביניהן ארצות הברית,משתמשים בסולם הטמפרטורה של פרנהייט. צלסיוס הגדיר את אפס מעלות כנקודת הקיפאון של המים וכ- 100 את נקודת

הרתיחה של המים. ואילו פרנהייט הגדיר את נקודת האפס כטמפרטורה שאליה יורד קרח כתוש כאשר מערבביםאותו במלח וכ- 100 בטמפרטורה הממוצעת של חום האדם.

תיירים המבקרים בארצות בהן סולם טמפרטורה שונה מאשר בארצם , צריכים להמיר את הטמפרטורות של מזג האוויר למשל, לסולם המוכר להם. בתמונה מוצג מדחום המכויל לפי שתי השיטות ,של צלזיוס ושלפרנהייט .המדחום מאפשר המרת טמפרטורות שבין 25° ל 50° צלזיוס בלבד. הוא איננו מאפשר המרת טמפרטורות גבוהות יותר.דרך שיטתית יותר להמרת הטמפרטורה מסולם פרנהייט לסולם צלזיוס ניתנת באמצעות הנוסחה:

(מסמנים טמפרטורה הנמדדת בסולם צלזיוס ב-C ובפרנהייט ב-Fׂ)

שאלה 1

א. איזו טמפרטורה במעלות צלזיוס מתאימה ל - 86° פרנהייט?

   בדקו האם התוצאה מתאימה לתמונה.

ב. איזו טמפרטורה במעלות פרנהייט מתאימה ל - 40° צלזיוס?

   בדקו האם התוצאה מתאימה לתמונה.

שאלה 2

לפי סולם צלזיוס , מים קופאים ב - 0° ורותחים ב- 100° בתנאי שהלחץ החיצוני הפועל עליהם הוא אטמוספרה אחת. לפי סולם פרנהייט מים קופאים ב - 32° ורותחים ב - 212°.

א. מהו הפרש הטמפרטורה מנקודת הקיפאון לנקודת הרתיחה בסולם פרנהייט?

ב. מהו הפרש הטמפרטורה מנקודת הקיפאון לנקודה הרתיחה בסולם צלזיוס?

ג. חשבו את היחס בין שני ההפרשים שקיבלתם

   רשמו אותו כשבר פשוט, מצומצם ככל האפשר.

ד. מהו השינוי בטמפרטורה בסולם פרנהייט המתאים לשינוי של מעלה אחת בסולם צלזיוס?

שאלה 3

מצאו נוסחה המאפשרת המרת טמפרטורה מסולם צלזיוס לסולם פרנהייט.

שאלה 4

האם קיימת מידת חום בה הטמפרטורה שווה לפי שני סולמות המדידה?

אם כן – מהי ?אם לא – נמקו.

הפעילות לקוחה מתוך "אוריינות מתמטית" של האגף לתכנון ולפיתוח תכניות לימודים.

תקציר

שתי מכוניות יצאו למסלול נסיעה באותו כיוון. נקודת ההתחלה של המכונית האדומה היא 30 ק"מ אחרי נקודת ההתחלה של המכונית הכחולה.
שתי המכוניות יוצאות למסלול באותו זמן.
מהירות המכונית הכחולה 50 קמ"ש ומהירות האדומה 35 קמ"ש.

הכניסו את הנתונים המתאימים לסימולציה וצפו בתנועת המכוניות ע"י לחיצה על Start.
תוכלו לעצור את המכוניות בכל רגע ע"י לחיצה על Stop.
תוכלו להסיע ידנית את המכוניות בעזרת Manual Animation.

א. מהי משוואת הישר המתארת את הדרך של המכונית האדומה? של המכונית הכחולה?

ב. מתי והיכן תשיג המכונית הכחולה את האדומה?

ג. מה יהיה המרחק בין המכוניות לאחר 4 שעות?

ד. מצאו בעזרת הסימולציה:

    1. מתי יפגשו המכוניות אם המרחק ההתחלתי בין המכוניות יהיה 60 ק"מ?

    2. באיזו מהירות צריכה לנסוע המכונית האדומה בכדי שיפגשו לאחר 3 שעות? לאחר 5 שעות?

    3. באיזו מהירות צריכה לנסוע המכונית האדומה בכדי שהיא לא תיפגש כלל עם המכונית הכחולה?

יישום נוסף לבעיות תנועה:  Car Applet  מתוך המאמר:
Systems of Equations, Representations, and Habits of Mind by Doug Jones and Gerry Swan
המאמר, "מערכת משוואות, ייצוגים ודרך מחשבה", מציג דרכים בלתי שגרתיות לפתרון בעיות מילוליות. בפסיכולוגיה של החינוך קבעו שישנם סגנונות למידה וחשיבה רבים האישיים ללומד.
תלמידים לומדים בדרכים שונות וישנם תלמידים שמצליחים בסגנון מסוים ובאחר לא.
הצגת רעיונות מתמטיים בייצוגים רבים ומגוונים מסייעת להגיע ליותר תלמידים ובכך עוזרת לפרוץ את גבולות השפה וסגנונות הלמידה.
לרוב ספרי הלימוד ומורים נוטים להציג ייצוג אחד לבעיה ובכך מחמיצים תלמידים עם סגנונות חשיבה שונים. לדוגמא, פתרון בעיות תנועה נלמד בד"כ באופן אלגברי בלבד, בשיטת ארגון טבלאית וסטאטית. במאמר, ובפעילות שלנו, הצעה להציג בנוסף לטבלה ייצוג דינאמי של בעיות התנועה.

בעיות תנועה דינאמיות מהספר האלקטרוני "לראות מתמטיקה- פונקציות":

נסיעות- באמצעות הכלי נסיעות על כביש חיפה - תל-אביב אפשר לתאר נסיעות של כלי-רכב בין כמה ערים הנמצאות לאורך כביש זה.

טיולים שונים- בפעילות יש להתאים את הגרף לסיפור הטיול המתאים.

גרפים לתיאור תנועה - בפעילות יש להתאים לסימולציה של תנועת המכוניות את הגרף המתאים.

משאיות - קריאת גרף וחיבור גרפים לסיפור.

תופסת - עקבו אחר הסימולציה למשחק תופסת ובעזרת הזזות תוכלו לשנות את הפונקציות המתארות את הריצה במשחקי תופסת אחרים.

טיול אופניים - תיאור בעיות תנועה באמצעות גרפים והזזותיהם.

קטנוע ואוטובוסים - בניית פונקציות וגרפים לסיפורים באמצעות כלי ההזזות.

תוכניות לטיול - בניית פונקציות וגרפים לסיפורים באמצעות כלי ההזזות.

נסיעות ברכב - במשימה יש להתאים ביטויים של נסיעת הרכב לחלקים שונים של הזמן.

טיולים ושיקופים - שלושה סיפורים אחרים שאפשר לתארם בגרף על ידי הפעלת שיקופים על חלקים של הגרף הנתון, בציר אופקי ובציר אנכי.

תיאורים שונים של טיול - משימה עוסקת בהרכבת ביטויים המתארים את הסיפורים של מטיילים שונים. ובמציאת ביטויים שקולים לאותו סיפור.

מהירות מופרזת - מציאת ביטויים שקולים לפונקציות המתארות תנועה.

תקציר|בעיות תנועה בדרך אחרת |פתרונות

1. אופניים וקטנוע יצאו מתל אביב באותה שעה. רוכב האופניים נסע במהירות של 20 קמ"ש ורוכב הקטנוע במהירות של 32 קמ"ש. כעבור שעה וחצי יצאה מאותו מקום באותו הכיוון מונית שעקפה את האופניים ולאחר חצי שעה השיגה גם את הקטנוע. באיזו מהירות נסעה המונית?

א. מה מתארים הישרים OB, OC ו- AC?
    מה מתארות הנקודות A, B, C ?

ב. מהי משוואת הישר המתארת את תנועת רוכב האופניים? מה מציין שיפוע הישר?

ג. מהי משוואת הישר המתארת את תנועת רוכב הקטנוע? מה מציין שיפוע הישר?

ד. נסמן את זמן המפגש של רוכב האופניים והמונית ב- t.
    מהם שיעורי הנקודות A, B, C, D, E ,F.

ה. הביעו את מהירות המונית כפונקציה של t .

ו. הביעו את מרחק הנסיעה של המונית עד לנקודת המפגש עם הקטנוע בשני אופנים:

    1. לפי נוסחת המרחק (מכפלת הזמן במהירות).

    2. כסכום של שני מרחקים CE=CF+FE. (הסבירו)
        השוו בין שני הביטויים ומצאו את t.

ז. מצאו את מהירות המונית.

דרך פתרון נוספת באמצעות השוואת ביטויים למהירות המונית בקטעי זמן שונים.
או באמצעות דמיון המשולשים   (ראו הדרכה לבעיה 3)

2.  דני ודינה יצאו להליכה באותו זמן, זה לקראת זו .

דני יצא מביתו במעלה אביב ודינה יצאה מביתה שבמעלה הסתוונית. הם חלפו זה על פני זו והמשיכו בדרכם עד ליעדם, (דני למעלה סתוונית ודינה למעלה אביב) ומיד החלו לחזור אל הישוב ממנו באו. עד פגישתם השנייה (כשהלכו בחזרה) דינה עברה שישה

קילומטרים יותר מדני. דינה הגיעה בחזרה לביתה שעה אחרי פגישתם השנייה ואילו דני הגיע לביתו שעתיים וחצי אחרי פגישה זו.

מצאו את המהירויות של דני ודינה ואת המרחק בין הישובים.

במערכת הצירים הבאה מתוארים שני המסלולים של דני ודינה:

א. התאימו את הגרפים המתאימים לדרכם של דינה ודני ? מי הולך מהר יותר ?

ב. תארו במילים מה מתארות כל הנקודות המסומנות בגרף. (פרט ל-H ו-F).

ג. תארו במילים מה מתארים אורכי הקטעים AB, CF ו- HC .

ד. נסמן את אורך הקטע CF ב-d . הביעו באמצעות d את אורכי הקטעים HC ו- AB .

ה. תארו במילים מה מתארים הקטעים FD ו- HG . מהם אורכם ?

ו. הביעו את המהירויות של דינה ושל דני באמצעות d.

ז. הביעו את הדרך שעבר כל אחד מהם עד לפגישה השנייה.

ח. השוו בין זמני ההליכה של דני ודינה עד לפגישה השנייה. ומצאו את הפתרון לשאלה.

3. מכונית יצאה משדה התעופה למרכז העיר. באותו זמן יצא אוטובוס ממרכז העיר לשדה התעופה. כאשר המכונית עברה חצי מהדרך לאוטובוס נשארו 19.2 ק"מ עד שדה תעופה, וכאשר אוטובוס עבר חצי מהדרך, למכונית נשארו 12 ק"מ עד מרכז העיר.

מה המרחק בין שדה התעופה למרכז העיר?

כמה קילומטרים נותרו לאוטובוס עד סוף המסלול כאשר המכונית הגיעה למרכז העיר?

א. התאימו את הגרפים המתאימים לאוטובוס ולמכונית? מי מהם נוסע מהר יותר?

ב. אילו נקודות מציינות את אמצע הדרך של האוטובוס והמונית?

ג. איזה קטע המדובר בבעיה אורכו 19.2 ? איזה קטע אורכו 12?

ד. הראו כי הביעו את שוויון היחסים במשולשים אלה.
    מה מתאר יחס הדמיון?

ה. מצאו זוג נוסף של משולשים דומים. הביעו את שוויון היחסים במשולשים אלה.

ו. השוו בין היחסים (של הסעיפים ד' ו-ה') ומצאו את המרחק בין מרכז העיר לשדה התעופה.

ז. השלימו את הגרפים עד להגעת המכונית למרכז העיר.

מצאו בדרך דומה כמה קילומטרים נותרו אז לאוטובוס עד ליעדו.

דרך פתרון נוספת: נסמן את הזמן של אמצע הדרך של המכונית ב-t, ונביע בעזרתו את המהירויות של המכונית והאוטובוס. נשווה בין הזמן של המכונית והאוטובוס כאשר זה הגיע למחצית הדרך.

במבט על - פעילות אינטרקטיבית מקסימה כמבוא לגרף המתאר תנועה.

פעילות הרחבה- "מרוץ מכוניות דינאמי" בו הפנייה לסימולציה של בעיית תנועה, למאמר העוסק בסגנונות למידה שונים,
ובעיות תנועה רבות בספר האלקטרוני "לראות מתמטיקה- פונקציות" של מטח.

תקציר| פחות או יותר| פתרונות

1.  האוצר

חבורת "כח המח" מצאה בשיטוטיה, שק ובו אוצר של מטבעות זהב וכסף. הם העריכו שמשקלו לא יותר מ-1 ק"ג. כל מטבע זהב שוקל כ-10 גרם וכל מטבע כסף שוקל כ-5 גרם.
כמה מטבעות מכל סוג ייתכנו בשק?

א. סמנו את מספר מטבעות הכסף ב- x ואת מספר מטבעות הזהב ב- y.
    הביעו באמצעות x ו- y את משקל המטבעות בשק.

ב. אילו מהביטויים הבאים מתארים את הערכת המשקל של שק המטבעות.

ג. לפניכם גרף המתאר את משקל שק המטבעות.

1. כמה מטבעות בשק אם היו רק מטבעות זהב? רק מטבעות כסף?
     סמנו נקודות אילו בגרף.

2. מה מספר מטבעות הזהב ומטבעות הכסף האפשריים כך שמשקל השק הוא בדיוק 1 ק"ג.
    סמנו נקודות אילו בגרף. מה מאפיין אותן?

3. תנו כמה דוגמאות לתכולת שק שמשקלו יותר מ-1 ק"ג.
    סמנו נקודות אילו בגרף. היכן נמצאות הנקודות ביחס לישר?

4. תנו כמה דוגמאות לתכולת שק שמשקלו פחות מ-1 ק"ג.
    סמנו נקודות אילו בגרף. היכן נמצאות הנקודות ביחס לישר?

שרטוט גרף לאי שוויון לינארי

1. שרטטו ישר המתאים לשוויון. השתמשו בקו רציף כאשר אי השוויון הוא של קטן/גדול ושווה,
   ובקו מרוסק כאשר אי השוויון הוא קטן/גדול ממש.

2. הישר ששרטטתם מחלק את המישור לשני חצאים.
    בחרו נקודת מבחן כלשהי באחד החצאים ובדקו האם היא מקיימת את אי השוויון.

3. אם נקודת המבחן מקיימת את אי השוויון הצלילו את כל חצי המישור בו היא נמצאת.
    אם לא הצלילו את חצי המישור השני.

2.  במגרש הכדורסל

נותרו עוד שתי דקות לשריקת הסיום במשחק הכדורסל.
קבוצתכם בפיגור של 12 נקודות.
באפשרותכם לקלוע זריקות של 3 נקודות ושל 2 נקודות בלבד.

מהן האפשרויות שלכם לזריקות לסל כדי לזכות בלפחות 12 נקודות ?

א. סמנו את מספר הקליעות של 2 נקודות ב- x ואת מספר הקליעות של 3 נקודות ב- y. הביעו באמצעות x ו- y את מספר הנקודות האפשרי ורשמו את אי השוויון המתאים.

ב. שרטטו במערכת הצירים גרף לאי השוויון. סמנו בגרף נקודות העונות על תנאי השאלה. זכרו מספר הקליעות הוא מספר שאינו שלילי ושלם.

3.  ארוחת בוקר בריאה

עליכם לתכנן תפריט לארוחת בקר בריאה שתכיל לכל היותר 500 קלוריות, ע"פ הטבלה הבאה:

א. בחרתם כוס מיץ עגבניות, דגנים וחלב. איזו כמות של דגנים וחלב תוכלו לכל היותר לקחת?

ב. בקר אחר בחרתם לאכול לחמנייה. איזו כמות של גבינה לבנה וכוסות מיץ תפוחים תוכלו לאכול?

ג. אם תרצו לאכול לחמנייה וביצה, כמה כוסות מיץ (תפוחים ועגבניות) תוכלו להוסיף?

ד. תכננו לכם ארוחת בקר נוספת.

יישומים אינטראקטיביים לשרטוט גרף לאי שוויון לינארי:

פתרון אי שוויון או מערכת אי שוויונות לינארית - ישום בעזרת Geogebra. (נדרש תוסף ג'אווה בדפדפן שאינו כרום)

פתרון מערכת אי שוויונות לינאריים באמצעות גרפים - יישום מבית

פעילויות ומאמרים בנושא אי שוויונות לינאריים:

משוואות של אי-שוויונים ממעלה ראשונה במישור - מחר 98- התרת מערכות "או" ומערכות "וגם" של אי-שוויונים ממעלה ראשונה בשני משתנים, תוך התייחסות לצורת תחום הפתרון. זוהי הקדמה לחוברת "תכנון לינארי - מושגים, שיטות, יישומים - לימוד בשילוב מחשב".

לביצוע המטלות ניתן להעזר בכל תוכנת מחשב המאפשרת חקירת פונקציות ו/או במחשבון גרפי.

התרת אי-שוויון ומערכת אי-שוויונים ממעלה ראשונה- מחר 98- דפי עבודה לתלמיד בנושא: הפונקציה הקווית, המשלבים את המחשב בלימוד הנושא. דפים אלה הם חלק מחוברת הנקראת "שילוב המחשב בלימוד המתמטיקה - הפונקציה הקווית. הדפים בנויים בצורה של גילוי של תכונות הפונקציה, ע"י העלאת השערות ובדיקתן של דוגמאות רבות במחשב. בנוסף לכל דף עבודה לתלמיד, יש דף למורה המכיל המלצות למורה וכן הפניה לנספח.

תקציר|יצירת מגן דוד|

בעזרת סרגל ומחוגה תוכלו ליצור עיצובים מרהיבים של מגן דוד, באופן הבא:

1) שרטטו מעגל בעזרת מחוגה.

שימרו על מרחק בין שתי רגלי המחוגה עד לשלב הבא.

2) סמנו נקודה. על המעגל , העמידו את חוד המחוגה על הנקודה שסימנתם וסמנו נקודה נוספת על המעגל.

חזרו על פעולה זו מספר פעמים עד שתקבלו שש נקודות על הקף המעגל.

מדוע יש בדיוק שש נקודות?

3) חברו כל נקודה עם שתי נקודות שנמצאות ממולה (החיבור נעשה לסירוגין בין הנקודות שסימנתם על הקף המעגל).

קיבלתם מגן דוד, שמו המתמטי הקסגרם.

4) שרטטו בעזרת סרגל שלושה קטרים מקווקווים. (בהמשך תמחקו אותם)

5) ציירו שני משולשים שקודקודם בנקודות המפגש הקטרים עם צלעות המשולשים הגדולים.

קיבלתם מגן דוד פנימי קטן.

6) כעת תוכלו להדגיש את הקווים שברצונכם בכדי ליצור את המגן דוד המעוצב.

לפניכם שלש צורות שיוכלו להיות בסיס ליצירתכם.

צבעו את חלקי המגן דוד כרצונכם.

התוכלו למצוא עיצובים נוספים למגן הדוד?

על בסיס אותו רעיון תוכלו לצייר מגו דוד בתוך מגן דוד בתוך מגן דוד...עוד ועוד.

מקור:  http://www.mathcats.com/crafts/hexagrams.html

קישורים נוספים לחקר צורת מגן הדוד והצעות לפעילות:

"מגן דוד", במונחים מתמטיים ידוע כהקסגרמה, הוא המוטיב המרכזי בדגל ישראל ולו תכונות מתמטיות מרתקות.

בקישורים הבאים תוכלו להעמיק וללמוד על תכונותיו המעניינות, על מקורותיו וההסטוריה המגוונת שלו בתרבויות השונות, והמשמעויות השונות שהעניקו לו. תוכלו גם להתרשם מאוסף עשיר של יצירות מגני דוד בציורי קיר, איורים, תחריטים, פסיפסים ופסלים.

מגן דוד - מידע תמציתי בויקיפדיה.

גיאומטריה של מגן-דוד - בעיית החודש מס' 5 - קשר חם.

חומשי - עיתון לעידוד המתמטיקה פרי עטו של ג'רי רוזן ז"ל המוקדש כולו למגן דוד. שם תמצאו מידע ופעילויות, חידות , הצעות ליצירה, קיפולי נייר ועוד.

אלבום מגן דוד - בלוג עשיר מאין כמוהו של זאב ברקן ובו מידע על מקורו, עברו, המשמעויות השונות שמיוחסות לצורתו של המגן דוד בתרבויות השונות. באתר אוסף עצום של תמונות ויצירות של מגני דוד.

מצגת מגן דוד והדגל - בעריכת אסף פלר.

יצירות ואיורים של מגני דוד בהשראת מתמטיקה מתחרות שנת השישים מטעם מרכז המורים במתמטיקה.

רימון, מגן דוד ומתמטיקה - מצגת שנוצרה בביה"ס "אורט במעלה" טבריה, במסגרת תחרות "תמונה ישראלית בעין מתמטית"

תקציר|אנשי החידות מהודו | פתרונות

בהודו העתיקה, בשנים 1200-200 לספירה, הייתה פריחה של יצירה עשירה במתמטיקה ובמדעים.

הם פיתחו את נושא הגיאומטריה והטריגונומטריה לצרכי חישובים אסטרונומיים, הם פיתחו שיטות לפתרון משוואות דיופנטיות אך עיקר תרומתם הייתה יצירת המספר העשרוני, שיטת הספירה שאנו משתמשים בה עד היום. הם סימנו לראשונה את המספר "אפס" והיו גם הראשונים

לקבל את המספרים השליליים.

המתמטיקאים ההודיים הידועים ביותר הם: אריבסהטה הראשון מהמאה ה-6 שחישב בדיוק רב את המספר פאי.ברהמהגופטה מהמאה ה-7, אשר עסק במשוואות דיופנטיות והידוע בזכות משפט המשמש לחישוב שטחו של מרובע החסום במעגל לפי צלעותיו. בהסקרא השני מהמאה

ה-12 אשר עסק בפתרון משוואה ריבועית.

תרומתם של המדענים ההודים בחשבון ובאלגברה השפיעה רבות על התפתחות המתמטיקה בארצות הערב ולאחר מכן בארצות אירופה.

לפניכם כמה חידות עתיקות שהציגו המתמטיקאים ההודים העוסקות דווקא במשפט פיתגורס היווני:

1. עץ הצפצפה הבודד

על גדות נהר הגנגס צמח עץ צפצפה בודד.

לפתע הגיע משב רוח חזק וכפף את גזעו של העץ.

נשבר העץ המסכן וצמרתו נפלה על הגדה הנגדית של הנהר שרוחבו 4 מטרים. גזע העץ הגאה, באורך 3 מטרים, נותר לעמוד מאונך לזרם הנהר.

התוכלו לדעת מה היה גובהו של העץ לפני שהרוח שברה אותו?

2. פרח הלוטוס הקדוש

פרח הלוטוס מקודש על הבודהיסטים, שלפי אמונתם פרץ הצמח ופרח בכל מקום עליו דרכו רגליו של הנסיך התינוק סאדהראתה (בעתיד בודהה). תחת שורשיו הנטועים עמוק בביצה שוכנים אוצרות.

באגם שקט צמח פרח מרהיב של הלוטוס הקדוש. שורשיו של הצמח עמוק בקרקעית האגם והפרח התנשא כחצי מטר מעל פני המים. הוא היה פרח יחיד וכשרוח נשבה נישא הפרח על פני המים ונעלם רק באביב המוקדם מצא אותו דייג במרחק של שני מטרים מהמקום שבו הפרח

גדל.

התוכלו לדעת מה עומקו של האגם בו צמח הלוטוס?

3. ירושת האיכר

איכר הודי עשיר וחובב מתמטיקה הוריש לשלושת בניו את חלקתו הריבועית.

האיכר סימן על אחת מצלעות המגרש את אמצעו (E) ומתח קו עד לנקודה כלשהי על הצלע שממול (F).

הבן הצעיר קיבל חלקה בתוך המגרש בצורת משולש אשר שטחו 9 דונם.

את שתי החלקות הנותרות הוריש לשני בניו הבכורים התאומים.

מהי הנקודה (F) שבחר האיכר כך ששטחי חלקות הבנים התאומים היו שווים?

4. המנזר הבודהיסטי

כל יום יצא האיכר ההודי מביתו (A) לתפילת הבקר במנזר ((B.

הוא הלך בקצב מתון ומדוד בעודו ממלמל את אותה שירה בכל יום ויום.

לעיתים היה עושה את דרכו דרך המעיין הקדוש (C) ולעיתים עבר דרך הנהר (D).

התוכלו להביע את הדרך מבית האיכר לנהר (AD=d) לפי הדרך מבית האיכר למעיין (AC=a)

ומן המעיין עד המנזר (CB=b)?

מהי התשובה הנכונה?

הפיצוח נכתב ע"י נטליה קונצ'יקוב במסגרת קורס כתיבה יצירתית במתמטיקה

תקציר |מתמטיקה מכל הלב | פתרונות | رياضيات من القلب | حلول | ערבית| פתרונות בערבית

למסיבת סוף השנה אפו התלמידים חמש עוגות בצורת לב.

א. הסבירו כיצד נבנתה התבנית של כל עוגה.

ב. חשבו את השטח של כל עוגה, כאשר ידוע שהקטע המסומן אורכו 10 ס"מ. מהי העוגה הגדולה ביותר ?

ג. פי כמה יגדל שטח כל "לב", אם נכפיל את בסיס התבנית (הקטע המסומן) פי 2?

ד. אם נסמן את בסיס התבנית ב-a, הביעו את שטח כל לב באמצעות a.

עוד לבבות מתמטיים תוכלו למצוא - http://www.mathematische-basteleien.de/heart.htm

משימת אתגר- האם תוכלו לשרטט לכם לב מגרפים של פונקציות?

קחו לכם פתק ריבועי וקפלו לב לבבי.

עקבו אחר ההוראות באיור ובסרטון הבא :

התבוננו בלב שקיבלתם:

א. מצאו חלוקות שונות של הלב למצולעים שונים.
ב. איזה חלק של הריבוע מהווה הלב.

תקציר| פחות או יותר

1.  בבוסתן

לפניך מפת בוסתן פירות ישראלי.

כל חלקת עצים מגודרת. עליך להגדיר עבור מערכת ההשקיה את התחום בו כל חלקה נמצאת.

א. רשמו מערכת אי שוויונות המתארת את שטח עצי התפוח.
ב. איזה שטח מתואר ע"י אי השוויונות הבאים:

ג. רשמו מערכת אי שוויונות המתארת את שטח עצי הזית.

ד. הוכיחו כי שטח עצי הזית שווה לשטח כל עצי הפירות האחרים.

2.  עבודה בחופשת הקיץ

הקיץ החליטה הילה לעבוד בחופשת הקיץ בכדי לחסוך לטיול "מחוף אל חוף".
הילה מתכוונת לעבוד לא יותר מ-20 שעות בשבוע (בכדי שתספיק גם לנוח ולבלות) ובכל זאת להרוויח לפחות 360 שקל לשבוע העבודה.
להילה שתי הצעות עבודה: שמרטפית ושוטפת כלים במסעדה.
עבור שעת העבודה בשמרטפות משלמים 20 שקל ועבור שטיפת כלים 24 שקל לשעה.

א. אם הילה תעבוד רק בשמרטפות או רק בתור שוטפת כלים, כמה היא תרוויח?

ב. אם הילה תחלק את שעות העבודה בין שמרטפות לבין שטיפת כלים שווה בשווה,
כמה היא תרוויח?

ג. הציעו להילה חלוקה כזאת של שעות עבודה, כך שהיא תחסוך סכום כסף הגדול ביותר האפשרי.

3.  משחק כדורסל

ארז חזר ממשחק כדורסל וסיפר בגאווה למשפחתו על המשחק:
"היו לי 10 כדורים חוזרים, 2 חסימות ו-3 התקפות מתפרצות והכי חשוב.. הצלחתי לקבל מספר נקודות שלא קטן ממספר הנקודות הגבוה ביותר שהיה לי בעונה הקודמת".
ארז, חובב החידות, סרב לחשוף כמה נקודות קלע אך רמז:

(1) לא זרקתי אף קליעת עונשים. (עבור קליעת עונשין מקבלים נקודה אחת).
(2) מספר הסלים של 2 נקודות קטן או שווה ל-8.
(3) מספר הסלים של 2 נקודות היה גדול מפעמיים ממספר הסלים של השלשות (עבור שלשה מקבלים 3 נקודות).
(4) מספר הנקודות הגבוה ביותר בעונה שעברה היה 18.

ננסה לעזור למשפחתו של ארז לגלות מהו מספר הנקודות שקלע:

א. סמנו: ב-x את מספר הסלים של 2 נקודות וב-y את מספר הסלים של 3 נקודות.
הביעו באמצעות x ו- y את הרמזים של ארז.

ב. שרטטו במערכת צירים בה  ו-  (מדוע?), את הישרים המתאימים לרמזים (2) ו-(3). סמנו את כל הנקודות ששיעוריהן מקיימים את הרמזים הללו.

ג. הוסיפו למערכת הצירים גם את הישר המתאים לרמז האחרון.
סמנו את כל הנקודות ששיעוריהן מקיימים את כל הרמזים של ארז.

ד. מהו המספר הגדול ביותר של הנקודות שיכול היה לקבל ארז?

4. אימון כושר ושריפת קלוריות

באימון שחייה ניתן לשרוף 12 קלוריות בדקה ואילו ברכיבה על אופניים ניתן
לשרוף 8 קלוריות בדקה.
דנה החליטה לשלב באימון את שתי הפעילויות הספורטיביות.

א. סמנו את מספר דקות השחייה ב-x, ואת מספר דקות רכיבה באופניים ב-y.
    רשמו ביטוי למספר הקלוריות שנשרפות באימון המשלב שחייה ורכיבת אופניים.

ב. כמה קלוריות תשרוף דנה באימון של 30 דקות בשחייה בלבד ?
    ברכיבה באופניים בלבד?
    אם תחלק את זמן האימון שווה בשווה בין שחייה ואופניים?

ג. דנה החליטה להתאמן לכל היותר 30 דקות כך שתשרוף לפחות 300 קלוריות.
   הציעו לדנה תוכנית אימונים מתאימה.

ד. דנה חייבת לרכב על האופניים לפחות 10 דקות באימון ובשאר האימון לשחות. מהו המספר המרבי (מקסימלי) של קלוריות אותו תוכל לשרוף?

יישומים אינטראקטיביים לשרטוט גרף לאי שוויון לינארי:

פתרון אי שוויון או מערכת אי שוויונות לינארית - ישום בעזרת Geogebra.

פתרון מערכת אי שוויונות לינאריים באמצעות גרפים - יישום מבית

פעילויות ומאמרים בנושא אי שוויונות לינאריים:

משוואות של אי-שוויונים ממעלה ראשונה במישור - מחר 98- התרת מערכות "או" ומערכות "וגם" של אי-שוויונים ממעלה ראשונה בשני משתנים, תוך התייחסות לצורת תחום הפתרון. זוהי הקדמה לחוברת "תכנון לינארי - מושגים, שיטות, יישומים - לימוד בשילוב מחשב.

לביצוע המטלות ניתן להעזר בכל תוכנת מחשב המאפשרת חקירת פונקציות ו/או במחשבון גרפי.

התרת אי-שוויון ומערכת אי-שוויונים ממעלה ראשונה- מחר 98- דפי עבודה לתלמיד בנושא: הפונקציה הקווית, המשלבים את המחשב בלימוד הנושא. דפים אלה הם חלק מחוברת הנקראת "שילוב המחשב בלימוד המתמטיקה - הפונקציה הקווית. הדפים בנויים בצורה של גילוי של תכונות הפונקציה, ע"י העלאת השערות ובדיקתן של דוגמאות רבות במחשב. בנוסף לכל דף עבודה לתלמיד, יש דף למורה המכיל המלצות למורה וכן הפניה לנספח.

תקציר| המלך מתיא חובב המתמטיקה| פתרונות| الملك متيا مُحب للرياضيات

1. גינת השושנים

בחצר המלך גינת ורדים נדירה ובה שבעה שיחי ורדים השתולים בשורה. המלך ביקש לגדר סביב כל שיח ורד במוטות עץ ייחודיים ויקרים, כמתואר באיור:

המלך אמר כי כרגע בגינה 7 שיחי ורדים, אך כבר בחודש הקרוב הוא יגדיל את הגן ל-25 שיחי ורדים, ובתכנון הסופי יהיו אף 100 שיחים!

א. כמה מוטות צריך בכדי לגדר 7 שיחי ורדים? 25 שיחים? 100 שיחים?
    הסבירו כיצד מצאתם?

ב. נפלה מחלוקת בין שלושת יועציו כמה מוטות עץ דרושים למשימה וכיצד לספור את מוטות העץ.

ראו כיצד היועץ תחכמוני ספר את המוטות:



ראו כיצד היועץ חשבוני ספר את המוטות:

ראו כיצד היועץ אין-כמוני ספר את המוטות:

התאימו לכל יועץ את תרגיל החשבון שלפיו ספר את מוטות העץ והסבירו במילים כיצד ספר.

1 +7.3 4 +6.3 7.2 + 8

מי מהיועצים צודק?

ג.  כיצד לדעתכם יספור כל יועץ מוטות עבור 25 שיחים? 100 שיחים? רשמו תרגילים מתאימים.

ד. האם אתם ספרתם את מוטות העץ בדומה לאחד היועצים? הסבירו את שיטתכם.

ה. רועי טען שהוא ספר אחרת את מוטות הגדר של שבעת השיחים. הוא ספר כך: 7.4 - 6. הסבירו את שיטתו.

ו. כמה מוטות צריך בכדי לגדר מספר כלשהו של שיחי ורדים? רשמו במילים ובתבנית אלגברית.

מקור: Nrich

2. שולחן הסעודה הגדולה

המלך מתיא אהב לארח לארוחות חגיגיות בחדר האוכל המלכותי. שם היו לו למכביר שולחנות ריבועיים לארבעה, והמון כסאות. כשערך סעודה גדולה בקש מיועציו המתמטיים לחבר את השולחנות זה לזה לשורה אחת ארוכה של שולחן ארוך.

נא ענו על השאלות הבאות:

א. כמה כיסאות ניתן לסדר סביב שולחן אחד? שני שולחנות מחוברים? שלושה שולחנות מחוברים?

ב. כמה כיסאות ניתן לסדר סביב 10 שולחנות? 20 שולחנות? כיצד מצאתם את מספר הכיסאות?

ג. כיצד תקבעו כמה כיסאות ניתן להושיב סביב מספר כלשהו (n) של שולחנות? הסבירו.

ד. כמה שולחנות יש להצמיד עבור 18 אנשים?

ה. האם ניתן להושיב בסידור שולחנות זה בדיוק 25 אנשים?

ו. כיצד תקבעו כמה שולחנות יש להציב עבור מספר כלשהו של אנשים (p)?

להרחבה:

לקראת נשף פתיחת שנת הלימודים בממלכה, המלך מתיא מתכוון לערוך סעודה גדולה רבת משתתפים, ובקש שיארגנו לו לכבוד המאורע שולחן מלבני. (כמתואר באיור)

א. חקרו כמה כסאות ניתן לסדר סביב שולחן מלבני כזה?

ב. תכננו שולחן לארוחה בת 1000 מוזמנים.

מקור: illumination- Chairs Around The Table

3. שביל המלך

המלך בקש מיועציו לתכנן בגנו שביל ייחודי המרוצף מאבנים בצורת מצולעים משוכללים (משושה משוכלל, ריבוע, משולש שווה צלעות). אורך כל צלע של אבן מצולע משוכלל היא: 10 ס"מ. השביל יהיה מרוצף בסידור של תבניות החוזרות על עצמן.

יועצי המלך המתמטיים, זולו ומולו, הגישו למלך שתי תוכניות ריצוף.
השביל של זולו:

השביל של מולו:

ענו עבור כל אחד מהשבילים:

א. זהו את התבנית שחוזרת על עצמה וצבעו אותה.

ב. כמה אבנים מכל סוג צריך עבור תבנית אחת? מהו אורכה?

ג. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל משתי תבניות? שלש תבניות?

ד. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל מעשר תבניות? מה יהיה אורך השביל?

ה. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל באורך 50 מטר ?

ו. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל מ-n תבניות?

תכננו גם אתם עיצובים נוספים לשביל המלך וענו על השאלות א-ו.

תוכלו להיעזר בתכנון השביל בכלי האינטראקטיבי:  "שמיכת טלאים", ולהוסיף גם צורות אחרות.

מקור: Teacher to Teacher Press - The king's Pathway

למתעניינים, מקורות נוספים:

אוסף מאמרים מתורגמים- על ראשית האלגברה של המרכז היסודי.

דפוסים גיאומטריים- התייחסות וניתוח פריאל, מרקוורט .

צעדים ראשונים בדרך לאלגברה- מאמר מתוך גיליון מס' 41 של כתב העת על"ה.

תקציר| פתרונות|

חידה 1

נדמיין לעצמינו שאנו מקיפים את כדור- הארץ, בסרט, לאורך קו המשווה (כמו חגורה סביב כדה"א). נוסיף לסרט זה מטר אחד, כך ייווצר רווח בין הסרט לבין קו המשווה.
א. האם ברווח זה יכול לעבור חתול (בעמידה זקופה או בזחילה)?
הסבירו את טענתכם.
ב. על קו המשווה מוצבת אנטנה בגובה 7 מטרים, כמה מטרים יש להוסיף לסרט בכדי שהאנטנה תהיה מתחתיו?

חידה 2

נדמיין לעצמינו ספורטאי המקיף את כדור- הארץ, לאורך קו המשווה.
האם נכון להגיד שראשו עובר מרחק גדול יותר מרגליו? אם כן, אז בכמה?
מה יקרה אם הספורטאי "יקיף" לאורך קו המשווה של .... כדור טניס?

תקציר|קיפולי נייר גיאומטריים |פתרונות|طي الورق هندسيًا | حلول

1. שטח משולש ועוד תכונות

1) גזרו לכם משולש וקפלו גובה h ופיתחו בחזרה את הקפל.

2) קפלו את הקודקוד של המשולש אל הצלע שממול.
    צבעו את קו הקיפול באדום.
    מה תוכלו לומר על קו הקיפול שקיבלתם?
    מהו המרובע שקיבלתם?

3) קפלו גבהים למרובע לאורך קווי הקיפול כמתואר בתרשים.
    צבעו את בסיס המשולש בכחול.

התבוננו במרובע שקיבלתם, ממנו נוכל ללמוד על תכונות חשובות של המשולש.

א. מה תוכלו לומר על סכום שלושת הזוויות המסומנות?
    איזו מסקנה ניתן להסיק לגבי זוויות המשולש?

ב. איזה מרובע קיבלתם לאחר הקיפול?
    מהן מידותיו?
    מה תוכלו לומר על שטחו של המרובע ושטחו של המשולש?

ג. מה תוכלו לומר על אורך קו הקיפול m ביחס לאורך בסיס המשולש? הסבירו.נסחו מסקנותיכם במילים ובאופן מתמטי.

2. שטח טרפז

1) גזרו לכם טרפז מנייר וצבעו את שני בסיסיו בצבעים שונים.

2) קפלו גובה h כלשהו בטרפז ופיתחו בחזרה את הקפל.

3) קפלו את הבסיס הקטן של הטרפז על הבסיס הגדול.
    מהו קו הקיפול שקיבלתם?

4) התבוננו בשני המשולשים שנוצרו לאחר הקיפול.
    מה תוכלו לומר על שני המשולשים הללו?

5) קפלו לאורך קווי הקיפול כמתואר בתרשים. התבוננו במרובע שקיבלתם.

א. איזה מרובע קיבלתם? נמקו.

ב. מה תוכלו להסיק לגבי אורך קטע האמצעים? (הביעו באמצעות בסיסי הטרפז a,b וגובהו h)

    ג. מהו שטחו של המרובע? (הביעו באמצעות בסיסי הטרפז a,b וגובהו h)

מה היחס בין שטחו של המרובע המקופל לשטח הטרפז הנתון? הסבירו!

מקור: הפעילות מבוססת על עבודתה של יפית אביטל.

3. שטח מקבילית

1) גזרו לכם טרפז ישר זווית מנייר.

(לשם הנוחות הקפידו ש DG יהיה גדול מEC , מצורף דגם)

2) קפלו כך שקודקוד A יתלכד עם קודקוד B.

מה תוכלו לומר על הקטע FG ?

3) קפלו לאורך הגובה h בטרפז לפי האיור וסמנו את הנקודה C' המתלכדת עם C.

4) קפלו באלכסון לפי הקו 'BC.

5) פתחו את כל הקיפולים, והתבוננו בנייר המקופל:

א. אילו מצולעים תוכלו לזהות ?

ב. מה תוכלו לומר על שני המשולשים המסומנים?

6) קפלו לאורך הקו h, איזה מרובע קיבלתם? מה תוכלו לומר על שטחו?

קפלו לאורך הקו k, איזה מרובע קיבלתם? מה תוכלו לומר על שטחו?

מה ניתן להסיק מהשוואת שטחי המרובעים הללו?

מקור: Mathematics through Paper Folding by ALTON T. OLSON

4. משולש מצרי

במצרים העתיקה ידעו ליצור משולש ישר זווית בעל צלעות 3:4:5 באמצעים פשוטים:

במשטח ריבועי הם מתחו חבלים מכל קודקוד של הריבוע אל אמצע שתי הצלעות שממול.

כך נוצר כוכב מתומן ובו כלוא משולש מצרי, משולש ישר שווית 3:4:5.

בואו ניצור משולש מצרי- קחו נייר ריבועי וסמנו את נקודות האמצע של כל צלע ע"י חצייתם.

קפלו מנקודת האמצע אל הקודקודים שממול.

א. מצאו משולשים מצריים (ישרי זווית 3:4:5) בנייר המקופל.

ב. הראו כי הזווית המשולש AFB הוא משולש מצרי.

תוכלו להיעזר באיור הבא כהוכחה ללא מילים. נמקו!

ג. האם מצאתם משולשים מצריים נוספים? מכמה סוגים?

ד. כמה משולשים מצריים ישנם בסה"כ בקיפול הנייר של הכוכב המתומן?

מקור: http://www.cut-the-knot.org/

תקציר|משלוש (בעיות) יוצא אחד|من ثلاث (مسائل) ينتج واحدة |

1. טקס לחיצות ידיים

א. שבעה מתמטיקאים נפגשו במסיבה. ובטקס מסורתי לחצו זה לזה ידיים. הראשון לחץ ידיים עם כל השאר. השני לחץ ידיים לכל השאר, פרט לראשון איתו כבר לחץ.

השלישי לחץ ידיים לכל השאר פרט לראשון ולשני. וכך הלאה. כמה לחיצות ידיים היו בסה"כ?

ב. שבוע לאחר מכן נפגשו שמונה מתמטיקאים במסיבה. כמה לחיצות ידיים היו אז? ואם היו מגיעים למסיבה תשעה?

ג. שגיא ניסה לחשב כמה לחיצות ידיים תהיינה אם יהיו 20 מתמטיקאים במסיבה.
הוא טען שכל אחד מהם לוחץ ידיים 19 פעמים, לכן יהיו לחיצות ידיים בסה"כ.
הילה לא הסכימה עמו. היא חישבה כך: .
הסבירו כיצד לדעתכם כל אחד מהם ספר? מי לדעתכם צודק?

ד. יום אחד, 161 מתמטיקאים נפגשו במסיבה. כמה לחיצות ידיים היו בסה"כ בטקס לחיצות הידיים.
  התוכלו לתאר דרך קצרה לחישוב?

ה. האם יתכנו 4851 לחיצות ידיים בטקס? כמה מתמטיקאים נפגשו אז?
    האם יתכנו 6214? 3655? 7626? 8656?

מקור: Nrich,Handshakes

2. השושן המסתורי

התבוננו באנימציה כיצד בנוי פרח השושן המסתורי Mystic Rose :

א. תארו כיצד בנוי פרח השושן בעל שבעה עלי כותרת. כמה מיתרים בשושן זה? (מיתר- קטע שקצותיו על הקף המעגל)

ב. שגיא ניסה לחשב כמה קווים יהיו בשושן בעל 10 עלי כותרת (10 נקודות על המעגל), וטען שמכל נקודה יוצאים 9 מיתרים לכן יהיו מיתרים בסה"כ. הילה לא הסכימה עמו. היא חישבה .

הסבירו כיצד לדעתכם כל אחד מהם ספר? מי לדעתכם צודק?

ג. כמה מיתרים יש בשושן בעל 100 עלי כותרת?

ד. לפרח השושן המסתורי יש 4851 מיתרים. כמה עלי כותרת יש לו? (כמה נקודות על הקף המעגל?) האם יתכנו פרחים בהם 6214 מיתרים? 3655? 7626? 8656?

מקור:Nrich, Mystic Rose

3. מספרים משולשים

כבר ביוון העתיקה התעניין פיתגורס בקשר בין צורות גיאומטריות ומספרים. פיתגורס סידר אבנים במבנה של משולשים וקרא למספר האבנים מספרים משולשים. (הוא חשב גם על מספרים מרובעים, מחומשים וכדומה).



א. כמה אבנים יהיו במבנה המשולש הבא? כלומר, מהו המספר המשולש החמישי?

ב. הילה ניסתה לחשב כמה אבנים יהיו במשולש ה- 10 וטענה שבכדי לבנות את המשולש העשירי יש להוסיף למשולש התשיעי 10 אבנים. וכך הלאה. ולכן חישבה:

שגיא מצא שיטה אחרת. הוא טען שאם יכפיל את מספר האבנים יוכל ליצור מבנה מלבני בו יהיה לו קל יותר לחשב. לכן חשב ומצא שבמשולש העשירי יהיו אבנים בסה"כ.התבוננו ביישום הבא Picturing Triangle Numbers:

Inline Frames

הסבירו כיצד לדעתכם כל אחד מהם ספר? מי לדעתכם צודק?

ג. כמה אבנים יש במשולש ה- 100?

ד. אחד העוזרים של פיתגורס בנה משולש ובו 4851 אבנים, אך התבלבל בספירה. התוכלו לדעת איזה משולש בנה?

האם יתכנו משולשים בהם 6214 אבנים? 3655? 7626? 8656?

מקור: Nrich, Picturing Triangle Numbers

למתעניינים, מקורות נוספים:

מספרים פירמידליים, שמואל אביטל, גליונות לחשבון מס 43.קצת על הסתברות, קומבינטוריקה ומספרים משולשים - דוד רץ, על"ה 32.שיבוץ מספרים לפי תכונות - משחק מאת מרכז המורים למתמטיקה ביסודי.לא רק גאוס יכול - בעיית החודש מס 23.לחשוב באופן אלגברי, מעבר לתוכנית הלימודים של ביה"ס היסודי - קאפוט, בלנטון וסוארס - מאמר מתורגם.אותה הגברת בשינוי אדרת - הרצאה של דן עמיר.סדרות, אינדוקציה ונוסחאות נסיגה, הזדמנות לקישוריות בין התחומים במתמטיקה - ד"ר חמוטל דוד, על"ה 32.

תקציר|בארץ יצורי הפרא המתמטיים |פתרונות|في بلاد الكائنات العجيبة الرياضية | حلول

בארץ יצורי הפרא המתמטיים חיים יחדיו שני סוגי יצורים  .
אך כאשר שניהם פוגשים זה את זה הם בולעים זה את זה, לכן כשהם ביחד הם נקראים "זוג האפס".

היצורים הללו מתאספים יחד כדי להציג מספרים שלמים.

1. הנה שלושה מפגשים המייצגים את אותו מספר:

ציירו יצורים נוספים המייצגים את אותו מספר:

2. ושוב שלושה מפגשים המייצגים את אותו מספר. מהו?

ציירו יצורים נוספים המייצגים את אותו מספר.

3. איזה מפגש מייצג מספר גדול יותר?

4. יצורי הפרא המתמטיים יודעים גם להציג תרגילי חשבון, לדוגמה תרגיל חיבור:

צפו בסרטון "חיבור בארץ יצורי הפרא המתמטיים"

השלימו:

תוכלו לשחק ולפתור בעיות במשחק האינטראקטיבי של חיבור יצורי הפרא. (נדרש תוסף ג'אווה בדפדפן שאינו כרום)

5. יצורי הפרא המתמטיים יודעים גם להציג תרגילי  חיסור :

צפו בסרטון "חיסור בארץ יצורי הפרא המתמטיים".

השלימו:

6. אך מה יעשו היצורים בתרגילי חיסור, כאשר לא ניתן "לקחת" מתוכם?

איך ניתן לקחת ( -2) מתוך 5 ?

יצורי הפרא הנבונים הציעו להוסיף שני "זוגות האפס" כדי שאפשר יהיה לבצע את החיסור.

השלימו:

קצת היסטוריה

הסינים היו הראשונים שהתייחסו למספרים השליליים כבר במאה השנייה לפני הספירה לשם חישובים מסחריים. הם ייצגו את המספרים החיוביים (זכות) עם מקלות שחורים והשליליים (חוב) עם מקלות אדומים.

במאה השמינית לספירה, ההודים שהכניסו את שיטת הספירה הערבית ואת האפס, התייחסו גם הם למספרים השליליים. המתמטיקאי ההודי ברַהמַגוּפְטַה כתב:"הסכום של שתי זכויות הוא זכות, של שני חובות הוא חוב, הסכום של זכות וחוב הוא ההפרש שלהם".

אך במשך מאות בשנים גרמו המספרים השליליים למתמטיקאיים מבוכה ואלו התקשו לקבלם וקראו להם "דמיוניים ושקריים ...". רק במאה ה-19 התקבלו המספרים השליליים כחלק ממערכת המספרים כאשר המילטון, מתמטיקאי אירי ואחרים, ייסדו בסיס מתמטי מלא למערכת המספרים השליליים.

משחקים ועוד עם מספרים שליליים:

"שלושה ברצף" - משחק מדליק לתרגול חיבור וחיסור מספרים שליליים. ניתן לשחק עם חבר או נגד המחשב, וכן לקבוע את רמת המשחק.

מעבדת הבטריות - משחק המלווה גם במערך שיעור. מודל נוסף להצגת המספרים השליליים המלווה במערך שיעור מאת ה- NCTM.



"מאזניים לפתרון משוואות הכוללות מספרים שליליים" - משחק אינטראקטיבי לפתרון משוואות אלגבריות.

מקורות

Nrich - Adding and Subtracting Positive and Negative Numbers

Colored-Chip Model for Integers יחידת לימוד למורים מאת Annenberg Media להכרות עם המודל "אסימונים צבעוניים" לפעולות החשבון עם מספרים שליליים. ביחידה וידאו קצר ומומלץ של השתלמות מורים המציג את המודל ונשאלת שם השאלה האם המודל מתאים להצגת כל פעולה?

הקניית המושג "מספרים מכוונים"- שילוב נימוקים חוץ ופנים מתמטיים - מיכאל קורן- על"ה 32.

מתולדות המתמטיקה - על המספרים השליליים - שמואל אביטל, גליונות לחשבון 21.

תקציר|הפרש ריבועים | פתרונות| فرق مربعين | حلول

1. ללא מילים

לפניכם שלוש הוכחות דינאמיות ללא מילים להפרש שטח ריבועים.

הסבירו את האיורים הדינאמיים והראו בדרך אלגברית את נכונות הנוסחה:

(a²-b²)=(a-b)(a+b)

2. מטבעות הזהב

סוחר עשיר אסף מטבעות זהב. יום אחד נשאל "כמה מטבעות זהב יש לך?".

הסוחר הסס לרגע וענה ברמיזה:

"אהההם... אם אחלק את מטבעותיי לשני חלקים אז ההפרש ביניהם יהיה קטן פי 77 מהפרש הריבועים שלהם".

התוכלו לדעת כמה מטבעות זהב לסוחר?

3. מיהו המספר

העלו מספר דו ספרתי בריבוע, הפכו את סדר ספרותיו והעלו גם בריבוע.

הפרש הריבועים יצא גם הוא ריבוע.

התדעו מהו המספר?

4. קסמי חשבון

א. בחרו שני מספרים עוקבים, חשבו את הפרש הריבועים שלהם.

האם קיבלתם את סכום שני המספרים שבחרתם? הכיצד?

ב. בחרו שני מספרים הנבדלים זה מזה ב-2.

חשבו את הפרש הריבועים שלהם ואת סכומם. התדעו מה הקשר? הסבירו.

ג. בחרו שני מספרים הנבדלים זה מזה ב-3.

חשבו את הפרש הריבועים שלהם ואת סכומם. התדעו מה הקשר? הסבירו.

ד. התוכלו לדעת במה נבדלים שני מספרים זה מזה כאשר הפרש ריבועים שלהם גדול פי 77 מסכומם?

(ע"פ המאמר - Revisiting a Difference of Squares, David Slavit, Mathematics Teacher, February 2001)

5. משחקים במחשבון

זיו שיחק במחשבון וקיבל כמה תוצאות מפתיעות:

65²-35²=3000

55²-45²=1000

85²-65²=3000

א. התוכלו למצוא עוד זוגות מספרים שהפרש הריבועים שלהם יתן כפולה של 1000?

ב. התוכלו למצוא שני מספרים שהפרש הריבועים שלהם 5000?

ג. רון הצטרף לשעשועי החישובים ומצא גם הוא תופעה מפתיעה:

56²-45²=1111

89²-12²=7777

78²-23²=5555

ד. האם ניתן לקבל גם את המספרים הבאים 3333, 9999, 8888? הסבירו כיצד.

6. משפטון פרמה

פרמה, מתמטיקאי צרפתי נודע מהמאה ה-17, עסק בתורת המספרים .

פרמה גילה כי כל מספר ראשוני הגדול מ-2 , ניתן להציג באופן אחד ויחיד כהפרש של שני ריבועים.התוכלו להוכיח?

רמז באיור המצורף ללא מילים:

מקור: אתרו של דוד שי, המשפט האחרון של פרמה

למתעניינים, מקורות נוספים:

בעיה ופתרונה - גליונות לחשבון, שמואל אביטל

הוכחות ויזואליות: השקפותיהם ואמונותיהם של תלמידים- רז הראל וטומי דרייפוס, על"ה 41

תקציר|פונקציות פה ושם ובכל מקום- חלק ד'|دوال هنا وهناك في كل مكان

האקר הרשע וחבורת הרשת (סייבר) מתחרים זה בזה להגיע לראשו של מגדל גבוה בכדי להציל את פסל "הצליל הטוב". האקר בוחר לטפס במדרגות הגדולות בכדי להשמיד את הפסל. חבורת הרשת נאלצים לטפס

במדרגות קטנות יותר. הם חוששים שלעולם לא ישיגו את האקר.

צפו בסרט המצויר, מה דעתכם האם חבורת הרשת תצליח במשימה?

מרוץ המדרגות חלק א'
תרגום הסרטון

האקר וחבורת הרשת החלו בטיפוס המאתגר. עד מהרה הם שמו לב, שהמדרגות הקטנות שלהם גדלות בקצב אחר מהמדרגות של האקר הרשע.

צפו בסרט המצויר, מה דעתכם האם חבורת הרשת תצליח במשימה?

מרוץ המדרגות חלק ב'

תרגום הסרטון

א. מלאו את הטבלה תוך כדי צפייה בסרט.

המדרגות האדומות של האקר                                המדרגות הכחולות של חבורת הרשת


ב.  סמנו על ציר ה-x את מספר הפעמים שהמדרגות גדלות (1-6).

סמנו על ציר ה-y את מספר המדרגות.

מתוך הטבלה שיצרתם, סמנו את הנקודות המתאימות את מספר הפעמים למספר המדרגות של האקר באדום. חברו נקודות אלו לגרף.

מתוך הטבלה שערכתם, סמנו את הנקודות המתאימות את מספר הפעמים למספר המדרגות של חבורת הרשת בכחול. חברו נקודות אלו לגרף.

ג. 1) מה תוכלו ללמוד מהגרף על מרוץ המדרגות בין האקר לחבורת הרשת?

   2) האם ניתן לראות בגרף שבתחילת המרוץ האקר השיג את חבורת הרשת?

   3) האם ניתן לראות בגרף מתי חבורת הרשת השיגה את האקר?

   4) אם המדרגות של האקר וחבורת הרשת היו שוות בגודלן, מתי לדעתכם חבורת הרשת הייתה משיגה את האקר?

ד. ידוע כי גובה המדרגות של האקר היה 60 ס"מ ואילו גובה המדרגות של חבורת הרשת היה 15 ס"מ.

בכדי למדוד מה היה הגובה שלהם מהקרקע נוסיף עמודה שלישית לכל טבלה.

המדרגות האדומות של האקר                           המדרגות הכחולות של חבורת הרשת


ה. העלו את ממצאכם על מערכת הצירים שלמטה וענו על השאלות הבאות:

   1). מה תוכלו ללמוד כעת מהגרף על מרוץ המדרגות בין האקר לחבורת הרשת?

   2). האם ניתן לראות בגרף החדש מתי חבורת הרשת השיגה את האקר?

   3). מה מיוחד בנקודה בה שני הגרפים נפגשים?

   4). מה היה גובהו של המגדל אשר בראשו היה פסל "הצליל הטוב" ?

   5). אם גובהו של המגדל היה 4 מטרים, מי היה משיג במרוץ?

ו. אם n מייצג את מספר הפעמים שהמדרגות גדלו, מהו הביטוי המתאר את גובהן של המדרגות האדומות של האקר מעל הקרקע? מהו הביטוי המתאר את גובהן של המדרגות הכחולות של חבורת הרשת מעל הקרקע?

מקור הסרטים והפעילות -

VITAL/Ready to Teach is a production of Thirteen/WNET. Major funding for this project was provided by the U.S. Department of Education.
© 2008 Thirteen/WNET

פיצוחים נוספים בנושא מבוא לפונקציות:

1. מכונות של פונקציה- תוך כדי משחק יכירו התלמידים את הפונקציה כמכונה ואף ירכיבו מספר פונקציות פשוטות.

2. בונים בקוביות - תוך כדי התנסות מוחשית בבנייה בקוביות התלמידים יבחנו תהליכי השתנות באמצעות בניית טבלה וגרף.

3. אגדה של פונקציה - התלמידים יכירו את האגדה המפורסמת "גרגר האורז" (אגדת השחמט) העוסקת בהפתעה של השתנות של גידול פי שניים. התלמידים יבחנו את קצב הגידול וישוו זאת לגידול לינארי ואחר.

תקציר|פונקציות פה ושם ובכל מקום- חלק ג' |פתרונות|دوال هنا وهناك وفي كل مكان

זהו סיפור עם מהודו הרחוקה על שליט עריץ ונערה חכמה שידעה קצת מסודות המתמטיקה.

ספר מומלץ מהאתר דףדף

לפני שנים רבות חי שליט עריץ בהודו, הראג'ה. הוא הבטיח לנתיניו שיגדלו אורז והוא ישמור עבורם את האורז במחסניו לימים קשים. האיכרים נתנו לראג'ה את כל יבולם. אך כאשר הגיעה שנת בצורת הוא סרב לקיים הבטחתו ולא נתן

לאיכרים הרעבים אורז למאכל.

בחצר הראג'ה עבדה נערה ושמה רני, שאהבה פילים ומספרים. יום אחד חלה אחד פילו של הראג'ה ורני הייתה היחידה שהצליחה בקסמיה לגשת אל הפיל החולה ולטפל בו. הראג'ה הבטיח כאות תודה פרס לרני. הנערה הצנועה חשבה מעט, וביקשה לוח שחמט ועליו גרגר אורז אחד בלבד. אך הוסיפה וביקשה שביום שלמחרת ישים על המשבצת השנייה של הלוח שני גרגרים ובכל יום ישים על המשבצת הבאה כפליים מהיום הקודם עד שימלא את כל משבצות הלוח. בקשתה התמימה הפתיעה את המלך והוא נענה לה מיד.
אך עד מהרה הבין שיאלץ לרוקן את כל מחסני התבואה.
וכך הצליחה נערה אחת חכמה להציל מרעב את כל איכרי הראג'ה לשנים רבות.

א. השלימו את הטבלה הדינאמית (גליון אקסל) וסמנו נקודות מתאימות במערכת הצירים באמצעות.

ב. כמה גרגרי אורז יהיו לרני לאחר 5 ימים? כיצד ניתן לראות זאת בגרף?

ג. כמה גרגרי אורז יהיו לרני לאחר שבוע? לאחר n ימים?

ד. באיזה יום יהיו לרנה יותר מ-500 גרגרי אורז?

ה. לו הציע הראג'ה לרני מיליון גרגרי אורז האם כדאי היה לה להיענות להצעה?

ו. כמה גרגרי אורז יהיו לרני לאחר שהראג'ה ימלא את כל לוח השחמט.

ז. מה אפשר לומר על השתנות מספר גרגרי האורז כתלות במספר הימים?

ח. לו הציע הראג'ה לרני לשים 100 גרגרי אורז על כל משבצת של לוח השחמט, האם כדאי היה לה להיענות
      להצעה?

1) בנו טבלה המתאימה לכל יום את מספר גרגרי האורז, וסמנו נקודות מתאימות באותה מערכת הצירים אך
          בצבע שונה.

2) באילו ימים כדאי לרני לקבל את הצעת המלך, ובאילו ימים תעדיף להשאר עם הצעתה?

3) מה תוכלו לומר הפעם על השתנות מספר גרגרי האורז כתלות במספר הימים בהצעת המלך?

פיצוחים נוספים בנושא מבוא לפונקציות:

1. מכונות של פונקציה- תוך כדי משחק יכירו התלמידים את הפונקציה כמכונה ואף ירכיבו מספר פונקציות פשוטות.

2. בונים בקוביות - תוך כדי התנסות מוחשית בבנייה בקוביות התלמידים יבחנו תהליכי השתנות באמצעות בניית טבלה וגרף

3. הפונקציה בסרטים מצוירים - מרוץ המדרגות- התלמידים יעקבו אחר תהליך של השתנות בסיפור המוצג בסרט מצוייר, טבלה ובגרף.

קישורים:

לראות מתמטיקה - פונקציות - קצב קבוע וקצב משתנה ועוד.

תקציר|פונקציות פה ושם ובכל מקום- חלק ב' |פתרונות|دوال هنا وهناك وفي كل مكان – الجزء الثاني

1. הפעם נשחק בקוביות ונבנה מבנים שונים של מדרגות. לפניכם "המדרגות התלויות":

א. השלימו את הטבלה הדינאמית (גליון אקסל) וסמנו נקודות מתאימות במערכת הצירים.

ב. האם תוכלו לדעת מתוך הגרף כמה קוביות נדרשות לבניית מדרגות בגובה 6?

ג. כמה קוביות לדעתכם צריך לבניית מדרגות בגובה 10? בגובה 100? בגובה n?

ד. מה אפשר לומר על השתנות מספר הקוביות עם עליית גובה המדרגות?

2. נבנה מדרגות בצורה שונה, "המדרגות הסימטריות".

א. השלימו את הטבלה הדינאמית (גליון אקסל) וסמנו נקודות מתאימות במערכת הצירים באמצעות.

ב. האם תוכלו לדעת מתוך הגרף כמה קוביות נדרשות לבניית מדרגות בגובה 6?

ג. מה אפשר לומר על השתנות מספר הקוביות עם עליית גובה המדרגות?

במה שונה השתנות מספר הקוביות ב"מדרגות התלויות" מאשר ב"מדרגות הסימטריות" ?

כיצד ניתן לראות שוני זה בגרפים?    במה שונים ובמה דומים הגרפים?

ד. כמה קוביות לדעתכם צריך לבניית מדרגות בגובה 10? בגובה n ?

ה. הסבר נוסף לחוקיות הוא שניתן לבנות מהמדרגות מבנה ריבועי. הכיצד?

היעזרו באנימציה הבאה:

ו. עצבו בעצמכם מבנים נוספים של מדרגות ותארו את החוקיות, נסו להתאים לה גרף.

ז. אתגר- במוזיאון הלאומי בוושינגטון מוצב פסל הפירמידה המרובעת של האמן היהודי אמריקאי סול לה-ויט.

בנו גם אתם דגם של הפירמידה המרובעת. התוכלו לחשב כמה קוביות נדרשות לדגם?

  Sol LeWitt
Four-Sided Pyramid, 1999, first installation 1997
National Gallery of Art, Washington
לחצו על התמונה להגדלה

מעובד לפי מקור מתוך רשת המורים TES  - Valley Maths 2004, D Cavill

פיצוחים נוספים בנושא מבוא לפונקציות:

1. מכונות של פונקציה- תוך כדי משחק יכירו התלמידים את הפונקציה כמכונה ואף ירכיבו מספר פונקציות פשוטות.

2. אגדה של פונקציה - התלמידים יכירו את האגדה המפורסמת "גרגר האורז" (אגדת השחמט) העוסקת בהפתעה של השתנות של גידול פי שניים. התלמידים יבחנו את קצב הגידול וישוו זאת לגידול לינארי ואחר.

3. הפונקציה בסרטים מצוירים- מרוץ המדרגות- התלמידים יעקבו אחר תהליך של השתנות בסיפור המוצג בסרט מצוייר, טבלה ובגרף.

תקציר|פונקציות פה ושם ובכל מקום- חלק א' | פתרונות|دوال هنا وهناك في كل مكان - الجزء الأول| حلول

א. בכוכב המתמטי מכונות משוכללות המייצרות מספרים סודיים. ניתן להכניס לתוכן מספרים ולקבל מספרים אחרים במקומם לפי חוקיות סודית. יצורי הכאוס פלשו לכוכב והחליטו לשבש את עבודת המכונות.

הצילו את הכוכב! שחקו במשחק מכונת הפונקציות. עליכם לעצור את היצורים הנכנסים למכונה על ידי כך שתגלו את החוקיות של המכונה. התבוננו במספרים הנכנסים והיוצאים מהמכונה, הנרשמים בטבלה, התוכלו למצוא את החוקיות?

התבוננו במכונה שבאיור:

1) מה יהיה פלט המכונה כאשר נכנס המספר 1?

2) מה יהיה פלט המכונה כאשר נכנס המספר 11?

3) איזה מספר נכנס למכונה אם יצא המספר 11?

4) כתבו ביטוי אלגברי המתאר מה יהיה פלט המכונה אם הקלט היה n.

היו זריזים, ומצאו את החוקיות של כל מכונה ועזרו להציל את הכוכב. (בחרו פעולה ולאחריה מספר)

מקור המשחק - PBS

ב. בכוכב המתמטי יצאו בתוכנית הגנה והמציאו מכונות משוכללות אף יותר כך שבהן קשה יותר לגלות את החוקיות הסודית של המכונה. במכונות החדשות ניתןלהרכיב כמה רכיבים זה אחר זה. המכונה המורכבת עובדת כך שהמספר היוצא מהרכיב הראשון (הפלט מהשלב הראשון) עובר לרכיב הבא ונכנס אליו (הקלט של השלב הבא), וכך הלאה...

לפניך מכונה הבנויה משני רכיבים:


1) הכניסו למכונה את המספר 2 , איזה מספר לדעתכם תקבלו ביציאה?

חברו תרגיל חשבוני מתאים.

2) הכניסו מספרים שונים למכונה ומלאו את הטבלה:

3) התוכלו לדעת איזה מספר נכנס למכונה אם המספר הסודי שיצא ממנה הוא 100? 99?

4) יצורי הכאוס שיבשו את עבודת המכונה והפכו את סדר הרכיבים.
    הכניסו כעת למכונה את המספר 2 , איזה מספר תקבלו ביציאה? חברו תרגיל חשבוני מתאים.

בכוכב המתמטי החליטו להתחכם אף יותר ויצרו את מכונת "המספרים הסודית ביותר".
המכונה החדשה מורכבת מחמשה רכיבים.

שחקו במכונה האינטראקטיבית ועקבו אחר פעולתה.
בכל שלב בחרו מספרים בעזרת החיצים ופעולות מתוך ארבע פעולות החשבון.

השתמשו במכונה האינטראקטיבית כדי ליצור את המכונה המבצעת את התהליך הבא:

בחרו מספר (קלט)
    הכפילו אותו

  הוסיפו 2 לתשובה

  חלקו את התוצאה ב-2

  חסרו ממה שקיבלתם 7

  הכפילו את התוצאה ב-4

1) מהו המספר הסודי שתפלוט המכונה אם בחרתם כקלט את המספר 5?
    חברו תרגיל חשבוני מתאים.

2) מהו המספר הסודי שתפלוט המכונה אם בחרתם כקלט את המספר 5- ?
    חברו תרגיל חשבוני מתאים.

3) אם תבחרו כקלט את n מה יהיה הפלט ?

4) האם תוכלו להרכיב מכונת מספרים דומה אך פשוטה יותר? כלומר הרכיבו מכונה הפועלת לפי אותו תהליך המורכבת ממספר קטן יותר של רכיבים.

5) התוכלו לדעת איזה מספר נקלט במכונה אם המספר הסודי שנפלט ממנה הוא 120?
   ואם הוא 50?
    חברו תרגילים חשבוניים מתאימים המתארים כיצד מצאתם.

6) יצורי הכאוס הצליחו לפצח גם הפעם את הקוד הסודי... כיצד עשו זאת?
    אם ידוע כי המספר הסודי שנפלט מהמכונה הוא x, תנו ביטוי באמצעות x המתאר את הקלט.

אתגר לכיתה

התוכלו להרכיב מכונה מחמישה רכיבים (עם ארבעת פעולות החשבון) שהקלטים שלה הם:

  2, -4, 0, 1, 5 כך שהמכונה תתן את הפלט הגדול ביותר?

בחרו אתם חמישה מספרים שונים ובנו מכונה אחרת בה הפלט יהיה המספר הגדול ביותר.

מקור הפעילות - Learning Math - פעילות מתוקשבת למורי חטיבת הביניים.

פיצוחים נוספים בנושא מבוא לפונקציה:

1. בונים בקוביות - תוך כדי התנסות מוחשית בבנייה בקוביות התלמידים יבחנו תהליכי השתנות באמצעות בניית טבלה וגרף.

2. אגדה של פונקציה - התלמידים יכירו את האגדה המפורסמת "גרגר האורז" (אגדת השחמט) העוסקת בהפתעה של השתנות של גידול פי שניים. התלמידים יבחנו את קצב הגידול וישוו זאת לגידול לינארי ואחר.

3. הפונקציה בסרטים מצוירים- מרוץ המדרגות- התלמידים יעקבו אחר תהליך של השתנות בסיפור המוצג בסרט מצוייר, טבלה ובגרף.

משחקים נוספים

מכונת פונקציות עם שלב אחד ועם שני שלבים.

משחקים מבית  Interactivate- Shodor

מכונה של פונקציות

מבחן הקו האנכי לפונקציה- האם אוסף הנקודות במערכת הצירים מתארת פונקציה?

חוק המלך- משחק ישן וחביב להורדה מבית מטח, עליכם לגלות את חוק המלך לעבור חדרים ולפתור חידות עד שתגיעו אל המלך.

Math Function Mania 2.6 - משחק להורדה, משחק להכרות עם פונקציות בו 20 רמות קושי.
ניתן לשחק גם בזוגות.

צפו בסרט - Math Magic - קסם מתמטי- תן לי ואנחש את מספרך.

תקציר| זהו את הזהות הטריגונומטרית| פתרונות| ميّزوا المتطابقات المثلثية| حلول

1. זהויות טריגונומטריות לסכום זוויות

באיור הבא נתון DB=1.

א. איזה קטע באיור שווה ל- (sin(α+β ?

  איזה קטע באיור שווה ל- (cos(α+β ?

ב. שנו באיור הדינאמי את הזווית α באמצעות הקודקוד A,

כך שסכום הזוויות α+β נשאר קבוע.

אילו גדלים משתנים באיור ואילו נשמרים?

האם מתקיים sin(α+β)=sinα+sinβ ?

האם מתקיים cos(α+β)=cosα+cosβ ?

ג. שנו באיור הדינאמי את הזווית β באמצעות הקודקוד B,

כך שסכום הזוויות α+β למעשה משתנה.

אילו גדלים משתנים באיור ואילו נשמרים?

האם מתקיים sin(α+β)=sinα+sinβ ?

האם מתקיים cos(α+β)=cosα+cosβ ?

* אילו זוויות α, β מקיימות sin(α+β)=sinα+sinβ ?

ברצוננו להביע את (sin(α+β באמצעות sinα ו- sinβ בלבד.

ד. הביעו את אורכי הקטעים:

GH, BF, HF, DG, DH, BH באמצעות β,α בלבד.

ה. רשמו נוסחאות מתאימות:

_________________ = (sin(α+β

_________________ = (cos(α+β

ו. רשמו נוסחאות מתאימות לזווית כפולה:

_________________ = (sin(2α

_________________ = (cos(2β

מקור: הוכחות ויזואליות: השקפותיהם ואמונותיהם של התלמידים, רז הראל טומי דרייפוס, על"ה 41

2. זהויות טריגונומטריות לזווית כפולה

א. הסבירו מדוע זווית AOB> כפולה מזווית BAM>

ב. עקבו באיור הדינאמי אחר השתנות הזוויות וערכי הסינוס שלהן.

ג. הביעו את AM בשתי דרכים:

    1) בעזרת משולש ΔAOM

    2) בעזרת משולש ΔABM

    מה ניתן להסיק?

ג. כיצד תוכיחו את הנוסחה כאשר הזווית AOB> קהה?

ד. הביעו את OM בשתי דרכים. מה תוכלו להסיק הפעם?

מקור: NRICH

3. עוד זהויות טריגונומטריות לזווית כפולה

באיור הבא נתון CB=2.

נסמן t=tanα.

הביעו את אורכי צלעות המשולשים באיור באמצעות t.

הוכיחו באמצעות האיור את הזהויות הטריגונומטריות הבאות לזווית כפולה:

4. זהויות טריגונומטריות מפתיעות

ידועה הנוסחה:

נסמן tanα=t. הוכיחו את הזהויות ושימו לב לתופעה המפתיעה:

מה נקבל אם נרשום ממול כל אחד מהזהויות את המקדמים של t מהמונה ומהמכנה בסדר עולה?

מהי הנוסחה ל- (tan(5α?  ל- (tan(nα?

מקורות נוספים:

זהויות טריגונומטריות בשילוב גישת "מה אם לא?" - גילה רון, אורית זסלבסקי, קשר חם.

משחקים ודפי עבודה לתרגול בטריגונומטריה - NCTM

תקציר|אני דומה לעצמי?|أنا اشبه نفسي

הכירו את הפקרטל המפורסם, משולש סרפינסקי.

משולש סרפינסקי נוצר בסדרה אינסופית של משולשים

הדומים לעצמם בכל רמת פירוט שנסתכל בה.

לתכונה זו קוראים, "דמיון עצמי" ,כלומר כל חלק של הפרקטל נראה כמו השלם, החלק של החלק נראה כמו החלק וכך הלאה....

1. עקבו אחר התפתחות הפרקטל של משולש סרפינסקי, ביישומון הפרקטל או בתמונה למטה:

א. תארו כיצד בכל שלב תמונת המשולש משתנה.

מה משתנה במעבר משלב לשלב, ומה נשאר קבוע?

ב. מצאו חוקיות בסדרה ותארו אותה.

ג. התבוננו בשלב השני ומצאו זוגות של משולשים דומים (שאינם זהים)? מהו יחס הדמיון בכל זוג?

אילו משולשים דומים ניתן למצוא בשלב השלישי? מהו יחס הדמיון בכל זוג?

תארו את בניית משולש סרפינסקי בעזרת משולשים דומים.

ד. כמה משולשים ירוקים בשלב השלישי? כמה יהיו בשלב הרביעי? כמה יהיו בשלב ה- n?

ה. כמה משולשים לבנים בשלב השלישי? כמה יהיו בשלב הרביעי? כמה יהיו בשלב ה- n?

ו. נניח בשלב התחילי שטח המשולש הירוק הוא 1 יחידה רבועה.

מהו שטח המשולשים הירוקים בשלב הראשון? השני? השלישי?

התוכלו להעריך את שטח המשולשים הירוקים בשלב ה-100? בשלב ה- n?

2. ניתן לעצב פרקטלים מרהיבים בצורות שונות שלהם תכונת הדמיון העצמי.

האם תוכלו לבנות סדרה בחוקיות דומה בריבועים? נסו לציירה ולמצוא את יחס הדמיון בה.

אם תתבוננו מסביבכם תמצאו פרקטלים רבים בטבע:

עצים וענפים, הכרובית והברוקולי, פתית השלג, צדפים, הברקים וסופות הוריקן ועוד.

מנדלברוט (1924-2010), מתמטיקאי יהודי, היה הוגה רעיון הפרקטלים. הראה, שתכונת הדמיון העצמי איננה גחמה מתמטית של גיאומטריה. היכולת להמשיך סדרות כאלו עד אין סוף התגלתה הודות ליכולתם של מחשבים מודרניים לבצע מיליארדי פעולות בשנייה, אבל היא קיימת בטבע, באוויר, בים וביבשה.

Where do we find fractals? - פוסטר מאת Fractal Foundation

3. לפניכם פרקטל ריבועי נוסף מתוך יישומון הפרקטל :

א. תארו כיצד בכל שלב תמונת הריבוע משתנה.

מה משתנה במעבר משלב לשלב, ומה נשאר קבוע?

ב. מצאו חוקיות בסדרה ותארו אותה.

ג. התבוננו בשלב השני ומצאו זוגות של רבועים דומים (שאינם זהים)? מהו יחס הדמיון בכל זוג?

אילו מרובעים דומים ניתן למצוא בשלב השלישי? מהו יחס הדמיון בכל זוג?

ד. כמה ריבועים מכל צבע בשלב השני? השלישי? כמה יהיו בשלב הרביעי? כמה יהיו בשלב ה- n?

ה. נניח בשלב התחילי (שלב אפס) הוא 1 יחידה רבועה.

מהו שטח הריבוע הכתום בשלב הראשון? בשלב השני? השלישי? בשלב ה- n?

ו. נניח בשלב התחילי שטח הריבוע הכתום הוא 1 יחידה רבועה.

מהו שטח הריבועים הכחולים בשלב הראשון? השני? השלישי? בשלב ה- n?

קראו עוד על פרקטלים:

לחיות עם אי הודאות - צבי ינאי, מדור מדע ב-YNET.

פרקטלים ומשולש סרפינסקי וחקר השברים (עמ' 4-6) - מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך היסודי

משחקים כסביבה להצגת מושגים ומשפטים מתמטיים ולפתרון בעיות, חלק ב' - נצה מובשוביץ הדר, על"ה 41.

תוכלו לקרוא על המימדים של פרקטל- מאמר מאת NRICH

Ron Eglash on African fractals | Video on TED.com - הרצאת וידאו (אנגלית עם תרגום לעברית) - מומלץ

תקציר|אני ואתה נשנה את העולם |פתרונות|أنا وأنت نغيّر العالم

זוכרים את הסרט "תעביר את זה הלאה" ("Pay It Forward")? זוהי דרמה המבוססת על הספר המצליח של קתרין ריאן הייד. הסרט יצא בשנת 2000 וגרם לאנשים רבים שצפו בו לפעול ברוח הרעיון, לתרום לחברה ולהאמין כי "אני ואתה נשנה את העולם".

טרוור הוא ילד ממשפחה קשת יום שחי בלאס וגאס. כאשר הוא מגיע לכיתה ז' בבית הספר הוא מקבל מהמורה שלו משימה לימודית - לנסות ולמצוא דרך שתשנה את העולם.

צפו בסרט אחר הרעיון הקטן של טרוור שיכול לעשות שנוי גדול:

"אני אעשה משהו טוב עבור שלושה אנשים. וכשהם ישאלו כיצד הם יגמלו לי בעבור זה, אני אומר להם תעבירו את זה הלאה... כל אחד מכם יעביר לעוד שלושה אנשים. כך יוצא שתשעה אנשים נוספים יצטרכו לעשות מעשה טוב לעוד עשרים ושבעה! ואז תנסו לחשב... אתם רואים כמה גדול זה יוצא?"

נניח כי בכל יום "מעבירים את זה הלאה".

1. מה תוכלו לומר על הגידול של מספר האנשים שמעבירים את זה הלאה ככל שהימים חולפים?
  התוכלו לנחש כמה אנשים יעבירו מעשה טוב ביום ה-6 ?

התוכלו לנחש באיזה יום יותר מ-1000 אנשים נוספים יעבירו מעשה טוב הלאה?

כעת נחשב "כמה גדול זה יוצא?" - השלימו את הטבלה את הדינאמית (אקסל), וסמנו נקודות מתאימות במערכת הצירים.

הערה- תוכלו להיעזר במילוי הטבלה בגיליון האלקטרוני בנוסחה והעתקתה. (בכל שלב גדול מספר האנשים שקיבלו להעביר הלאה פי שלוש מהשלב הקודם)

2. המבצע שיזם טרוור "להעביר את זה הלאה" עבד שישה ימים.

כמה אנשים נוספים עשו מעשה טוב ביום השישי?

מה מספר המעשים הטובים שנעשו במבצע "העבירו הלאה" במהלך ששת הימים?

3. המבצע "להעביר את זה הלאה" עבד n ימים.

כמה אנשים נוספים עשו מעשה טוב ביום ה-n?

מה מספר המעשים הטובים שנעשו במבצע "העבירו הלאה" במהלך n הימים?

4. באיזה יום מתחילת המבצע כל תלמידי הכיתה שלכם "יעבירו את זה הלאה" לאחרים?

כמה ימים דרושים כדי שכל תלמידי בית הספר שלכם "יעבירו את זה הלאה" לאחרים?

האם ניתן להעריך זאת מתוך הנקודות שסימנתם במערכת הצירים?

5. התבוננו במערכת הצירים בגרף שיצרתם. האם כדאי לחבר את הנקודות שעל הגרף?

האם תוכלו למצוא נקודה בה x=6.5 ? מה המשמעות של נקודה זו?

כיצד לדעתכם נראה הגרף של מבצע "העבר את זה הלאה"?

6. חשבו כמה זמן ייקח עד ש-1000 אנשים בדיוק יעבירו הלאה מעשה טוב לאחרים.

7. כיום יש במדינת ישראל כ- 7,500,000‏‏‏ תושבים.

כמה ימים דרושים כדי שכל תושבי מדינת ישראל ייטלו חלק במבצע?

8. כיצד היה משתנה אופן גידול האנשים אם טרוור היה מציע "להעביר הלאה" בכל יום לאיש נוסף אחד בלבד?

כיצד הייתה משתנים הגרף והחוקיות?

9. כיצד תשתנה החוקיות אם מעבירים הלאה בכל יום לשני אנשים נוספים?

לשלושה, לארבעה אנשים נוספים?

התאימו גרף לכל מקרה.

10. לקראת פורים, בית הספר "חופים", בו 1000 תלמידים, פתח במבצע של משלוחי מנות.

על כל תלמיד לשלוח לשלושה אנשים משלוח מנות. וכל אחד מהם עליו לשלוח משלוח מנות לשלושה אנשים נוספים.

תוך כמה צעדים במבצע יקבלו יותר ממיליון אנשים משלוח מנות?

כיצד תשתנה החוקיות? כיצד ישתנה הגרף?

פרוייקט "תעביר את זה הלאה" בשפת הסימנים

זהו פרוייקט חברתי-התנדבותי ליצירת מודעות, גישור ואיחוד בין הקהילה ה'שומעת' והקהילה ה'חירשת' בישראל. למד את שפת הסימנים והעבר את הידע שלך הלאה, כך נרחיב את קהילת דוברי שפת הסימנים.

"תעביר את זה הלאה" - פרוייקטים קהילתיים

המקום בו נפגשים אנשים טובים כדי לעשות מעשים טובים.

פינג-פונג מתמטי - על"ה 38, תשס"ז 2007, רון אהרוני, גילוי נוסחא לסכום של סדרה גיאומטרית.

תקציר|שעשועי משולשים |פתרונות|تسالي مثلثات|حلول

1. אתגר המשולשים

באיור מתואר דגם של משולשים הבנויים מגפרורים.

כמה משולשים (מכל גודל) בסה"כ באיור?

התוכלו להוריד שני גפרורים מהמבנה המשולש הבא כדי שיהיו בו שני משולשים בלבד.

2. משולש המשולשים

באיור מתואר דגם של משולש המשולשים הבנויים מגפרורים.

1) בניית משולש המשולשים הבנוי מגפרורים
     א. מכמה גפרורים בנוי הדגם?
     ב. הוסיפו לדגם שורה של משולשים, כמה גפרורים נוספו?
         כמה גפרורים יש בדגם כעת?
     ג. התוכלו למצוא את החוקיות למספר הגפרורים בדגם בו n שורות.

2) המשולשים הקטנים
     התבוננו במשולשים הקטנים במשולש המשולשים.
     א. כמה משולשים קטנים בדגם?
     ב. איזה חלק מהווה כל משולש קטן מהמשולש הגדול?
     ג. הוסיפו לדגם שורה של משולשים, כמה משולשים קטנים נוספו?
        כמה משולשים קטנים יש בדגם כעת?
     ד. התוכלו למצוא את החוקיות למספר המשולשים הקטנים בדגם בו n שורות.

3) המשולשים כולם

במשולש המשולשים ניתן למצוא משולשים שווי צלעות מגדלים שונים.

א. כמה משולשים שווי צלעות (מכל גודל) בסה"כ באיור?

תוכלו להיעזר בספירה בסרטון הקצר הבא.

ב. הוסיפו לדגם שורה של משולשים, כמה משולשים שווי צלעות (מכל גודל) יש בדגם כעת?

ג. התוכלו למצוא את החוקיות למספר המשולשים בדגם בו n שורות.

3. גזרו עוד ועוד משולשים

באיור משולש שווה צלעות שניתן לגזור אותו לארבעה משולשים קטנים יותר.

א. הראו כיצד ניתן לגזור את המשולש ל- 9 משולשים

שווי צלעות קטנים יותר. כיצד ניתן לחתוך ל- 16 משולשים?

מהי מסקנתכם?

ב. כיצד ניתן לגזור את המשולש ל-6 משולשים שווי צלעות?

רמז - המשולשים לא בהכרח באותו גודל.

ג. דנה גזרה את המשולש הגדול באופן המתואר באיור.

כמה משולשים שווי צלעות נוצרו בחיתוך?

ד. התוכלו לגזור באופן דומה את המשולש ל- 8 משולשים?

הראו כי ניתן לגזור את המשולש לכל מספר זוגי של משולשים.

ה. הציעו דרך לגזור את המשולש שווה הצלעות ל-7 משולשים שווי צלעות. ל-11 משולשים?

ו. אתגר- האם ניתן לחתוך משולשים שווי צלעות לכל מספר של משולשים?

מקורות נוספים:

כיצד מחלקים משולש? , פרופ' שמואל אביטל, גליונות לחשבון מס' 50 .

חפיפה בגן היתכן?, בעיית החודש 22, קשר ח"ם.

גיאומטריה של מגן דוד, בעיית החודש 5, קשר ח"ם.

קסמי משולשים - חידה מאלף אפס

תקציר|הרהורים על התחלקות |פתרונות|تفكير في القسمة |تفكير في القسمة _ حلول.

המשפט הקטן של פרמה לכל p ראשוני n^p)-n) מתחלק ב- p.

פרמה (1665-1601) כהרגלו לא הציג את הוכחת המשפט.

אויילר אחריו הביא שתי הוכחות, אחת המבוססת על התכונות של מקדמי הבינום והשנייה על תכונות של שאריות.

לפניכם הוכחה באינדוקציה, מתוך אלף אפס.

קראו גם על המשפט הגדול (האחרון) של פרמה.

א. הסבירו ע"פ האיור, או בדרך אחרת, מדוע עבור כל n טבעי n²)-n) מתחלק ב- 2.

ב. התבוננו בסרטון של בניית הקובייה. כמה חלקים מכל סוג בנויה הקובייה 3x3x3:

הסבירו כיצד ניתן להסיק מבניית הקובייה כי 3-(3³) מתחלק ב- 3.

האם הביטוי מתחלק גם ב-6?

דמיינו בניית קוביית nxnxn.
תארו את חלקי הקובייה והסבירו מדוע לכל  n טבעי,  n³)-n) מתחלק ב- 3.
הראו כי הביטוי מתחלק גם ב-6.

ג. דן טען שהוא יוכיח את טענה זו בעזרת פירוק לגורמים.

(n³)-n = n.( (n²) - 1) = n(n-1)(n+1)

מה ניתן לומר על שלושת הגורמים של הביטוי?

מה ניתן להסיק מהפירוק לגורמים?

ד. דנה המשיכה וטענה כי באופן דומה, בעזרת פירוק לגורמים, אפשר להוכיח טענות נוספות כגון:

         1). לכל n טבעי,  n⁵) - n) מתחלק ב- 6.

         2). לכל n טבעי,  n⁵) - n) מתחלק ב- 5.
                    רמז- בדקו את כל האפשרויות לספרה האחרונה של המספר n.

         3). לכל n טבעי,  n⁵) - n) מתחלק ב- 30.

ה. דן ודנה בדקו מקרים שונים של המשפט הקטן של פרמה.

הם ביקשו להראות כי (11¹⁰) - 10 מתחלק ב- 11.

המורה הציעה להם להיעזר בנוסחאות הפירוק לפי הבינום של ניוטון (מצורפות מטה) .

הכיצד?

ו. "אם כך.." אמר דן ניתן להסיק כי: " 999,9999,999 מתחלק ב-11" בדקו.

דנה מיד הוסיפה: "אז גם 999,999 מתחלק ב-7 ". ". בדקו.

דן ודנה נסחו טענה חדשה יחד:

לכל מספר ראשוני אפשר להתאים מספר שכולו תשיעיות המתחלק בראשוני זה. מה דעתכם?

דנה חשב כמעה והוסיף , "ראה המשפט אינו נכון כאשר n=2 ו- n=5". מדוע?

התוכלו לתקן את המשפט?

נוסחאות פירוק ע"פ נוסחת הבינום של ניוטון

פירמידה שכזו

שימו לב לעובדה המפתיעה בפירמידה שלפנינו:

בכל שורה מספר המתחלק ב-11.

11:11 =1

1001:11=91

100001:11=9091

10000001:11=909091

כלומר המספר 10 בחזקת n ועוד 1, כאשר n טבעי אי זוגי , מתחלק ב-11.

הוכיחו בעזרת אחד נוסחאות הפירוק שבטבלה מעלה.

אחד עשר מי יודע?

א. בחרו מספר בן ארבע ספרות, חברו לו את המספר בסדר ספרות הפוך.
האם קיבלתם מספר המתחלק ב- 11? הכיצד?

ב. בחרו מספר בעל מספר זוגי של ספרות, חברו לו את המספר בסדר ספרות הפוך.
האם גם הפעם קיבלתם מספר המתחלק ב- 11? הכיצד?

ג. בחרו מספר דו ספרתי והצמידו לו את המספר בסדר ספרות הפוך.
קיבלתם מספר פלינדרום ארבע ספרתי (abba) האם גם הוא מתחלק ב- 11?

ד. האם כל מספר פלינדרום עם מספר זוגי של ספרות מתחלק ב-11?

קראו עוד: מבחן החלוקה ב-11 - אורט בראודה קראו עוד: יבין ניבי- על פלינדרומים ועל מספרים פלינדרומים,

ד"ר זיווה דויטש, עקיבא קדרי, אלף אפס

מקורות נוספים:

עזרי לימוד להמחשה של מקרה פרטי של המשפט הקטן של פרמה, דן בן שאול, על"ה 35

תגובה למאמר "הוכחה בדרך אחרת", מרק אפלבאום, על"ה 35

9, 99, 999 ומספרים פלינדרומים, יפים כץ, על"ה 34

הוכחה בדרך אחרת, פתחי סלאח, על"ה 31

מה מבינים תלמידנו במושג האינדוקציה, יונתן אחיטוב, על"ה 29

החשבון המודולארי בשירות האינדוקציה, עופר ליבה, על"ה 20

פלינדרום אצל אבן עזרא - קלרה זיסקין, על"ה 33

הלוך ושוב, בעיית החודש 6, קשר ח"ם

סימני התחלקות א, סימני התחלקות ב' , ד"ר מריטה ברבש, מכללת אחווה

בעיות נוספות בנושא:

הוכחת משפטי התחלקות (ללא אינדוקציה) - ליקטה, יצרה וערכה קלרה זיסקין.

בעיות יפות בהתחלקות - ליקטה, יצרה וערכה קלרה זיסקין.

תקציר|יום כדור הארץ|פתרונות|יום כדור הארץ בערבית|حلول

כמה עצים צריך לשתול בשנה בכדי לפצות על זיהום האוויר שיוצרת מכונית משפחתית אחת?

ראשית, שאלו את הוריכם על המכונית המשפחתית שלכם:

א. כמה קילומטרים בשנה נוסעת המכונית? (למשל, 20,000 ק"מ).

ב. כמה ליטרים של דלק צורכת המכונית בממוצע לכל קילומטר? (למשל 12 ק"מ ליטר).

כעת לחישובים:

א. חשבו כמה ליטרים של דלק צורכת מכוניתכם בשנה?

ב. מכונית ממוצעת פולטת לכל ליטר של דלק כ-2.36 ק"ג פחמן דו חמצני (CO2 ).
    חשבו כמה פחמן פולטת מכוניתכם בשנה?

ג. ידוע כי 1000 עצים סופגים 20,000 ק"ג פחמן דו חמצני.
    כמה עצים יש לשתול בכדי שיפצו על פליטת הפחמן של מכוניתכם?

ד. בישראל כל שנה מיובאות כ- 150,000 מכוניות חדשות.
כמה עצים יש לשתול בכדי למנוע את זהום האוויר שהן עלולות לגרום?

ולמעשים:

הציעו דרכים כיצד ניתן להפחית את זיהום האוויר ממכוניות?

שמעתם על "אפקט הפרפר"?

מדען בשם אדוארד לורנץ שחקר את תופעות מזג האוויר, הגה את רעיון אפקט הפרפר. טען שרפרוף כנפיים של פרפר במקום אחד בעולם יכול לגרום לסערה במקום אחר, מרוחק ממנו. כלומר, שינוי קטן באטמוספרה במקום אחד יכול לגרום לשרשרת

של שינויים שיתפתחו ויגדלו לסערה ענקית הרחק הרחק מהמקום שהשינוי החל בו.

הֱיו גם אתם פרפרים - עשו דבר קטן במקום שאתם גרים בו, ויחד עם עוד פרפרים כמותכם,

ילדים ומבוגרים שהסביבה יקרה להם חוללו שינוי:

מקור: סבבה, האתר לאיכות הסביבה

תקציר|ערכים ומתמטיקה|פתרונות|تعاون ورياضيات|حلول - قيم ورياضيات

1. חברות ומתמטיקה

בעוד שבוע יערך בבית הספר מבחן מסכם במתמטיקה בכיתה ז'. רעות ועמית החליטו להתכונן יחד ולפתור 10 בעיות מתמטיות בכל יום.

אך לרוע המזל, עמית חלתה והחסירה שבועיים של לימודים. כשחזרה היא התקשתה להשתלב בשעורי המתמטיקה ולעמוד במשימה.

ביום הראשון היא הצליחה לפתור רק בעיה אחת ואילו רעות הצליחה לפתור 10 בעיות.

נותרו עוד 6 ימים בלבד למבחן. רעות התגייסה לעזרתה של עמית ועזרה לה בשעות אחה"צ להשלים את החומר.

בימים הבאים, רעות המשיכה ופתרה 10 בעיות ביום ועמית הצליחה לפתור בכל יום 2 בעיות יותר מאשר ביום שלפני.

א. האם לדעתכם תצליח עמית לעמוד במשימה ולאחר 6 ימים תפתור 10 בעיות?

ב. הכינו טבלאות ערכים עבור מספר השאלות במתמטיקה שפתרה עמית ופתרה רעות.

ג. שרטטו במערכת צירים אחת גרף מתאים לכל אחת מהם.

ד. מהו הייצוג האלגברי של הפונקציות המתארות את מספר השאלות במתמטיקה שפתרה כל אחת מהתלמידות כתלות במספר השיעורים?

ה. בדקו ביישום הדינאמי את השרטוט שלכם ואת משוואות הישרים.

תוכלו לשנות בסרגל את מספר הימים ולעקוב אחר התקדמותה של עמית לעומת רעות.

באיזה יום עמית תצליח לפתור יותר שאלות מרעות?

ו. האם יש יום שבו פתרו השתים אותו מספר שאלות במתמטיקה? חברו משוואה המתארת מצב זה ופתרו אותה. מה משמעות הפתרון שקבלתם? כיצד בא לידי ביטוי פתרון זה באופן גרפי?

ז. תארו מקרה שבו נעזרתם בחבר/ה לכיתה כדי להשלים חומר שהחסירו. האם קיבלתם גמול בעבור עזרתכם? אם כן, מהו?

ח. תארו מקרה שבו עזרת לחברה/ה בכיתה כדי להשלים חומר. האם הצלחת במשימה? מה היה הגמול לעזרה שנתת?

2. שיעורי עזר

רועי, עמית ונעם שלושה חברים טובים תלמידי כיתה ט, תכננו לצאת לטיול משותף בשביל ישראל.

הם תכננו לחסוך יחד ולממן בעצמם את עלות הטיול, שהיא 500 ₪, באמצעות שיעורים פרטיים במתמטיקה לתלמידי כיתות ז'.

הם החליטו שהתשלום עבור שיעורי העזר יכלול מחיר התחלתי חד פעמי עבור עזרה בהפסקות ומחיר קבוע לכל שיעור שיתקיים.

בכדי לעודד את הצלחת התלמידים והתמדתם הם חשבו לארגן טיול יומי עבורם בשביל ישראל בסביבת מגוריהם.

יחד הם החליטו על נוסח המודעה:

זוהר, זיו וקרן ,תלמידי כיתה ז', היו מעוניינים בעזרה במתמטיקה לאותו מספר שיעורים והתלבטו במי לבחור.

זוהר אמר שיבחר בנעם כי התשלום הראשון שלה הוא חינם.

זיו אמר שהוא יבחר בעמית, מפני שלה יש את הציון הגבוה ביותר במתמטיקה. לדבריו רועי לא הוגן בדרישותיו, כי למרות שהוא בעל הציון הנמוך ביותר, צריך לשלם לו את התשלום הראשון הגבוה ביותר.

קרן טענה שככל שמספר השיעורים גדל כך גם הכדאיות משתנה. קרן החליטה להיעזר ברועי, מכיוון שהיא מעוניינת במחיר הנמוך ביותר לשיעור.

מה דעתכם על טענותיהם של זוהר, עמית וקרן?

במי הייתם בוחרים וכיצד הייתם מנמקים את בחירתכם?

היעזרו ביישום הדינאמי הבא, בו מוצג גרף לכל הצעה.

- התאימו לכל הצעה את הגרף המתאים. בדקו האם צדקתם ע"י סימון התיבה.

- התאימו לכל ישר משוואה. בדקו האם צדקתם ע"י סימון התיבה.

- תוכלו לשנות את מספר השיעורים (בסרגל הגרירה) ולבדוק את התשלום לכל הצעה.

- שימו לב לטבלה הדינאמית משמאל.

א. אם זוהר זיו וקרן מתכננים ללמוד רק שלושה שיעורים פרטיים. מי מהם ישלם הכי מעט? הכי הרבה?

כיצד ניתן לראות זאת בגרף ?

ב. אם היו מתכננים ללמוד שישה שיעורים, מה היתה הבחירה היקרה ביותר ? היקרה יותר ?

ולאחר עשרה שיעורים?

הסבירו כיצד מצאתם.

ג. לאחר כמה שיעורים שילמו קרן וזיו אותו מחיר?

חברו משוואה המתארת מצב זה ופתרו אותה. כיצד בא לידי ביטוי פתרון זה בגרף?

ד. לאחר כמה שיעורים שילמו זוהר וזיו אותו מחיר?

חברו משוואה המתארת מצב זה ופתרו אותה. כיצד בא לידי ביטוי פתרון זה בגרף ?

ה. לאחר כמה שיעורים שילמו זוהר וקרן אותו מחיר?

חברו משוואה המתארת מצב זה ופתרו אותה. כיצד תוכלו להסביר פתרון זה בגרף ?

ו. לאחר כמה שיעורים יהיה לרועי, נעם ועמית מספיק כסף לצאת לטיול בשביל ישראל ?

חברו משוואה המתארת מצב זה ופתרו אותה. כיצד בא לידי ביטוי פתרון זה בגרף ?

האם שלושת החברים תרמו במידה שווה לקופת הטיולים המשותפת? האם הסדור ביניהם נראה לך הוגן?

הפעילויות עובדו על פי - שילוב החינוך לערכים בהוראת המתמטיקה, ד"ר יעל אדרי ("שער-חם", 2008)

מקורות נוספים:

על מתמטיקה וערכים:

מה למתמטיקה ולערכים?

האם יש סתירה בין חינוך לערכים לבין חינוך לחשיבה מתמטית? - מצגת מכנס למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי, 2008. (לתקציר)

פעילויות נוספות על חיתוך ישרים:

חיבור לאינטרנט - לראות מתמטיקה- פונקציות.

גניבת מכוניות -  לראות מתמטיקה- פונקציות.

תקציר|במבט אחר- לזכרו של מרטין גרדנר|פתרונות|بنظرة أخرى لذكرى مارتن جاردنر|حلول

מרטין גרדנר (1914-2010), גדול המשתעשעים במתמטיקה.
כתב ספרים רבים ומדור פופולארי בעיתון סיינטיפיק אמריקן, על קסמים, חידות ומשחקים מתמטיים.
אמרו עליו שהוא גרם לאלפי ילדים להיות מתמטיקאים ולאלפי מתמטיקאים להיות ילדים.."ראו דף מחווה לזכרו באתר סיינטיפיק אמריקן, ודף מחווה נוסף לזכרו באתר Wolfram.

1. זריזות מחשבה

מלבן חסום ברבע מעגל כמתואר באיור.

האם תוכלו לקבוע בזריזות מהו אורכו של האלכסון AC ?

שאלה ברוח דומה- בעיית השער הקטון בפיצוח "המחנה הכי הכי".

2. זה בתוך זה

אורך צלע הריבוע החיצוני 2.

מהו שטחו של הריבוע הפנימי?

פי כמה גדול שטח הריבוע הגדול משטח הריבוע הקטן?

3. תריסר גפרורים

אילו שטחים שלמים ניתן ליצור מתריסר גפרורים?
לדוגמה, ריבוע בעל שטח של 9 יחידות רבועות, או צלב בעל שטח של 5 יחידות רבועות.

התוכלו לבנות מכל שנים עשר הגפרורים צורה בעל שטח של 8 יחידות רבועות? 6 ? 4?

4. גמישושה - פלקסגון

בספרו הראשון בשנת 1956, פרסם מרטין גרדנר את הפלקסגון (Flexagon), ומאז הפך משחק זה לשגעון בקרב חובבי שעשועי המתמטיקה. הפלקסגון, בתרגום חופשי מצולע גמיש, הוא מצולע המקופל מרצועת נייר ולו תכונה מדהימה שניתן לשנות את מספר הפנים שלו ואת צורתם כאשר מגמישים אותו. למשל, לגמישושה שנבנה יש שלושה צדדים... הכירו את הפלקסגון:

הוראות הכנה:

1. הדפיסו על נייר בריסטול את התבנית לגמישושה, וגזרו את הרצועה.

2. חזקו את הקווים בעזרת עט וסרגל, כדי להקל על הקיפול בהמשך.

3. סמנו את צלעות המשולשים גם בצד השני של הרצועה.

4. צבעו בשלושה צבעים או מספרו את המשולשים באופן הבא:

5. הפכו את הרצועה צבעו בשלושה צבעים או מספרו את המשולשים באופן הבא:

6. קפלו לפי האיור, משמאל הרצועה כלפי מעלה, ומימין לרצועה כלפי מטה.

7. כעת הפכו וקפלו לאורך הקו המסומן, כך שתקבלו משושה.

8. הכניסו את המשולש האחרון והדביקו אותו בזהירות.

9. אם קיפלתם נכון, תקבלו משושה עם שני צדדים בצבעים שונים (או ממוספרים 1 ו- 2).

10. קפלו וכופפו לאורך הקווים וגלו כיצד ניתן לגלות את המשושה בצבע השלישי (ממוספר 3). רמז- התבוננו באיור:

בואו נכין גמישושה מעוצב צבעו כל חלק באיור מטה באופן אחר.

כמה צדדים יהיו הפעם לגמישושה המעוצב?

ועוד. לכבוד מרטין גרדנר, סרטון להכנת פלקסגון בעל שישה צדדים שונים!

אם נדבקתם בשגעון הפלקסגון , תוכלו ללמוד עוד בפורטל הפלקסגון.

עוד חידות ומשחקים של מרטין גרדנר:

ט"ו בשלט- אלף אפס- משחק אינטראקטיבי על פי מרטין גרדנר

קח אחד וקבל 21 - אלף אפס - חידה.

מזיזים את הזוזים, ד"ר זיווה דויטש, פרופ' בנימין וייס, פרופ' מיכה א. פרלס - מאמר המתאר משחק Bulgarian Solitaire מאת מרטין גרדנר.

אתגרים- מגזין חידות- שלש חידות מאת מרטין גרדנר, מתוך ספרו AHA.

אוסף חידות של מרטין גרדנר באתר PUZZLES.COM

Hexaflexagons, Probability Paradoxes, and the Tower of Hanoi- קישור לספרו הראשון של מרטין גרדנר של משחקים וחידות מתמטיות.

לכבוד יום ההולדת 90 למרטין גרדנר, על"ה 34, פרופ' נצה מובשוביץ הדר. במאמר מתואר פועלו ודוגמה לקסם מתמטי הנקרא "תעלול הפסנתר".

תקציר|ציור באדום כחול וצהוב |פתרונות|رسم بالأحمر بالأزرق و بالأصفر |حلول

מונדריאן (1872-1944), צייר הולנדי, חלוץ הסגנון האבסטרקטי.

מונדריאן העריך מאד את יופייה של המתמטיקה ובמיוחד של הגיאומטריה ובטא זאת בציוריו. הוא שאף להגיע לפשטות, איזון והרמוניה באמצעות ציור של רשתות של קווים מקבילים ואנכיים,

שימוש בצבעי היסוד ושמירה על יחסים מתמטיים. האיזון מושג על ידי ניגודים ומובע באמצעות הקו הישר והזווית הישרה. בשנים 1921-1943 צייר סדרה של ציורים

הנקראת: קומפוזיציה בצהוב, כחול ואדום.

היו גם אתם מונדריאן ליום אחד...

1.  קחו דף ושרטטו ישרים בצבע שחור באופן הבא:

שרטטו ישר AB המאונך ל AC:

שרטטו ישר FE המאונך ל- AC:

שרטטו ישר GH המאונך ל- AB:

א. מה תוכלו לומר על הישרים FE ו-AB? הוכיחו.

ב. מה תוכלו לומר על הישרים FE ו-GH? הוכיחו.

ג. מה תוכלו לומר על המרובע EKGA? הוכיחו.

ד. נתון ABCD מלבן. מה תוכלו לומר על המרובע DFKH? הוכיחו.

ה. ידוע כי FD=DH. מה תוכלו לומר על המרובע DFKH? הוכיחו.

השלימו את היצירה- הוסיפו ישרים נוספים מאונכים ומקבילים לישרים הקיימים וצבעו באדום, כחול וצהוב את חלק מהמלבנים. השאירו חלק מהמלבנים צבועים בלבן.

תוכלו להתנסות ביצירות נוספות במשחק האינטרקטיבי.

2. אילתורים

א. שרטטו מלבן שמידותיו הן: 6x7 סמ"ר.

    מהו שטחו? שרטטו את הישר EF כך ש:



ושרטטו את הישר GH כך ש:



ב. צבעו את המרובעים הכחול והאדום, חשבו את מידת האורך והרוחב שלהם.

ג. ידוע שהמרובע הצהוב הוא מלבן ששטחו 1 סמ"ר.

   חשבו מהו היחס בין השטחים הצבעוניים לשטח הלבן.

   האם לדעתכם יחס זה מוסיף לאיזון וההרמוניה של הציור?

3. מונדריאן בתנועה

באמצעות הציור הדינאמי של מונדריאן בתנועה תוכלו ליצור יצירות דומות לזו של מונדריאן.

הזיזו את הישר המאונך GH (ע"י הזזת הנקודה G), כך ש- AG= 3 .

התבוננו בציור החדש, האם אהבתם אותו? האם לדעתכם הוא מאוזן והרמוני?

א. חשבו את מידות המלבנים הצבועים בציורכם החדש.

ב. חשבו את היחס בין השטחים הצבעוניים לשטח הלבן.

ג. שנו שוב את הציור באמצעות היישום מונדריאן בתנועה, הפעם כרצונכם.

האם תוכלו למצוא ציור בו שטח המלבנים הצבעוניים שווה לשטח המלבנים הלבנים?

ד. בערוב ימיו, האמין מונדריאן שככל שהשטח הלבן גדול יותר הציור יותר מאוזן ומשרה שלווה.

    ציירו ציור כזה באמצעות היישום מונדריאן בתנועה וחשבו את היחס בין השטחים

הצבעוניים לשטח הלבן.

לדוגמה, שנו את הציור כך שאחת מצלעות המלבן האדום והמלבן הכחול תהיינה 1 ס"מ.

4. הפסים השחורים בציור

מונדריאן נתן גם חשיבות לפסים השחורים בציוריו, המקיפים ותוחמים את המלבנים השונים.

חשבו בכל אחד מהציורים שלכם את ההיקף של שני המרובעים הכחול והאדום.

בדקו בציור הדינאמי, האם תקבלו תוצאה דומה עם שינוי מימדי המלבנים? הסבירו את התוצאה.

התוכלו להסביר תופעה זו גם באופן אלגברי?

מקורות נוספים:

The (Mathematical) Problem of Mondrian’s Paintings

תקציר| מה ערך המערך? | המערך למורה| גרסה להדפסה

האם קרה לכם, שאחרי שפתרתם בעיה או חידה והתבוננתם בה שוב, גיליתם עוד ועוד דרכים לפתור אותה, חלקן פשוטות בהרבה מזו הראשונה?

הפעילות שלפניכם, מתחילה כחידה שניתן לפתור בדרכים מגוונות. מגוון הפתרונות והשאלות שבהמשך מאפשרים להתבונן על פעולות מתמטיות מוכרות באור חדש.

הפעילות פשוטה אך היא עוסקת באחד מהרעיונות המרכזיים של המתמטיקה.

1. גלו את המספר שבמשבצת הריקה

לפניכם מערך משבצות צבעוני:

א. מיהו לדעתכם המספר החסר? הסבירו את שיקוליכם.

ב. נסו לגלות את המספר החסר בכמה שיותר דרכים.

2. האם יש רמזים עודפים?

א. הניחו שלכל המשבצות הצבועות באותו מילוי יש אותו ערך. האם תוכלו לגלות את המספר החסר מבלי להשתמש בכל המספרים הרשומים בשולי המערך?

ב. נסו לגלות את המספר החסר בכמה שיותר דרכים.

ג. אם כן – נסו להשאיר מספר מינימלי של מספרים שמאפשר לגלות את המספר החסר.

3. בדרך שלהם

אור אמרה: אני ראיתי שסכום המספרים בשתי השורות התחתונות הוא 22 והבנתי שסכום המספרים בעמודה הימנית הוא 11. למה אור מתכוונת, לדעתכם?

נועם אמר: אני הסתכלתי בשתי השורות האמצעיות והגעתי למסקנה שהערך של משבצת כחולה גדול ב- 3 מהערך של משבצת צהובה. אחר כך הסתכלתי בשתי העמודות הימניות והגעתי למסקנה שסכום המספרים בעמודה הימנית הוא 11. מה לדעתכם היו השיקולים של נועם?

אלון אמר: הדרך שלי דומה לשל נועם אבל אני קראתי לאדום A לכחול K ולצהוב Y. מהעמודות השמאליות למדתי ש- A=Y+1 . בשורה השנייה יש רק משבצות אדומות וצהובות ולכן יכולתי לכתוב 3Y+Y+1=5, וככה הגעתי לערכים של כל הצבעים.

המשיכו את הדרך של אלון.

עינת אמרה: אני בכלל לא התייחסתי למילוי והגעתי לאותה תשובה. מה יכולה להיות הדרך של עינת?

4. האם הרמזים מספיקים?

א. לפניכם חידת מספרים חדשה.

ב. הפעם הרמזים מאפשרים למצוא רק חלק מהמספרים החסרים.

ג. אם ניתן למצוא את הערך של שורה או עמודה – מצאו בדרכים שונות.

ד. אם לדעתכם לא ניתן למצוא את ערכה של שורה או של עמודה – הסבירו מדוע לא ניתן לעשות זאת.



5. הפינה לשיפוטיכם

לפניכם שתי הצעות למילוי מערך המספרים. (המספרים שהוספו בשולים רשומים באדום)

כל אחד מהם בדק את החישובים של השני והם הגיעו למסקנה שאף אחד מהם לא טעה בחישוב.

א. כיצד יתכן שכל אחד הגיע לתוצאות אחרות?

ב. כיצד קרה שרוב המספרים בשוליים זהים בהצעות של שי ותמר?

6. הפינה לשיפוטיכם

א. ענו בלי לפתור משוואות
המחיר של 3 כרטיסי נוער ו- 2 כרטיסי מבוגר להופעה בפארק הוא 120 ₪.
המחיר של 6 כרטיסי נוער ו- 5 כרטיסי מבוגר לאותה הופעה הוא 270 ₪.
זוג הורים רוצה להגיע להופעה עם שני ילדיהם. כמה ישלמו?

ב. לכל אחת מן המשוואות הבאות קבעו את מספר הפתרונות.

7. שומרי משקל

8. מפלצות ידידותיות – עם משוואות כאלה, מי צריך מחשבון?

א. פתרו ללא מחשבון את מערכת המשוואות

ב. נסו לחבר עוד מערכות משוואות ידידותיות עם חזות מפלצתית

הגמד שרצה להיות ענק

תקציר|כיד הדמיון|פתרונות|الخيال الواسع|حلول

שירה: אריק איינשטיין

מילים: נירה צפריר

לחן: יוני רכטר

מתוך שירונט

גמד אחד רצה להיות ענק-נק-נק-נק

לכן התחיל במרץ רב לזלול הכל

אכל המון עוגות עם קרם

שתה קצפת עם קפה

ולהפסקה קלה שתה מרק...

הגמד שלנו רצה להיות ענק, נכנס אל תוך הבית אכל ואכל... וראה זה פלא הוא גדל וגדל ועימו גם גדל הבית.

צפו בהנפשה אשר ביישום הדינאמי.

תוכלו לקבוע פי כמה יגדלו/יקטנו הגמד והבית ע"י הזזה של סרגל הגרירה.

לפניכם שלש תמונות של בית הגמד שהוגדל להיות בית הענק:

א. האם בית הגמד דומה לבית הענק לאחר כל הגדלה?

ב. האם כל צורה בבית הגמד (המבנה הירוק, הדלת החומה, הגג האדום) נשמרה עם ההגדלה?

ג. פי כמה הוגדל בית הגמד?

ד. האם כל קטע בציור בית הגמד השתנתה באותו יחס? אם כן, מהו בכל אחת מההגדלות?

ה. בית הגמד בנוי ממספר צורות גיאומטריות. מהן?

ו. התבוננו בכל אחת מהתמונות:
   האם המלבן של הדלת החומה בבית הגמד דומה למלבן הדלת בבית הענק?
   כיצד השתנה היקף המלבן עם ההגדלה? הסבירו.
   כיצד השתנה שטח המלבן עם ההגדלה? הסבירו.

ז. התבוננו בכל אחת מהתמונות:
   האם המשולש של הגג האדום בבית הגמד דומה למשולש הגג בבית הענק?
   כיצד השתנה היקף המשולש עם ההגדלה? הסבירו.
   כיצד השתנה שטח המשולש עם ההגדלה? הסבירו.

ח. הגמד הגדיל את ביתו פי 2, אך החליט לשנות את הצלעות של הגג האדום בבית הענקים כך שהשוקיים של משולש הגג החדש יהיו באותו גודל של בסיס המשולש. (ראו ציור) האם עדיין המבנה, הגג והדלת יהיו דומים זה לזה?

ט. הגמד שלנו רוצה להיות ענק בגובה של 12 יחידות. פי כמה יש להגדיל את הציור כולו?

י. הגמד שלנו שואף להיות בבית ענקים שהיקף המבנה הירוק שלו 54 יחידות. פי כמה יש להגדיל את הציור כולו?

יא. הגמד שלנו חולם להיות בבית ענקים ששטחו של המבנה הירוק 225 יחידות רבועות. פי כמה יש להגדיל את הציור?

המלצה:

חקירה אינטראקטיבית של מלבנים דומים, יחס הצלעות,ההיקפים, השטחים . מאת NCTM.

חקירה אינטראקטיבית של תיבות דומות, יחס המקצועות, שטחי פנים, הנפחים . מאת NCTM.

בדמיונו של מונדריאן - בחזרה לחלק א

בדמיונו של מונדריאן

תקציר |כיד הדמיון|פתרונות|الخيال الواسع | حلول

זוכרים את הציור באדום כחול וצהוב של האמן מונדריאן ....?

למונדריאן היה חוש מתמטי ואסתטי גבוה. הוא תכנן את ציוריו כך שיתקיימו יחסים מתמטיים מעניינים בין המלבנים המרכיבים את ציורו. בפעילות זו נגלה תכונות מרתקות נוספות.

א. כמה מלבנים יש לדעתכם בציור?

    נעה ספרה 5 מלבנים. נעם טען שיש 7 מלבנים,
    כי הרי גם הריבוע הוא מלבן. מה דעתכם?
    נעמה ספרה יותר מעשרה מלבנים. הכיצד?
    התוכלו לומר בדיוק כמה מלבנים בציור?

ב. האם ישנם מלבנים חופפים בציור? מיהם?
    היעזרו ביישומון בכדי למצוא מלבנים חופפים.

ג. כמה סוגים שונים של מלבנים יש בציור ?
   היעזרו ביישומון בכדי למצוא מלבנים דומים.

ד. האם תוכלו למצוא מלבן הדומה בצורתו למלבן האדום המלבן (CGIJ)?
    היעזרו ביישומון בכדי לדעת פי כמה הוגדלו/ הוקטנו צלעות המלבן האדום.
    מהו יחס הדמיון?
ה. האם תוכלו למצוא מלבן הדומה בצורתו למלבן המסגרת (ABCD)?
    היעזרו ביישומון בכדי לדעת פי כמה הוגדלו/ הוקטנו צלעות מלבן המסגרת.
    מהו יחס הדמיון?

בדמיונו של מונדריאן

הגמד שרצה להיות ענק- חלק ב'

יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות - 4

יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות| יצורי הפרא משוואות 4

השלימו את הטבלה ופתרו את המשוואות.

תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי. (Algebra Tiles)

    - ניתן לבנות משוואות ולפתור אותן
       (MODEL/SOLVE AN EQUATION)

   - לתרגל פתרון משוואות בשלב אחד
      (SOLVE A GIVEN EQUATION, variable on both sides)

יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות - 3

יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות| יצורי הפרא משוואות 3

השלימו את הטבלה ופתרו את המשוואות.

תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי. (Algebra Tiles)



   - ניתן לבנות משוואות ולפתור אותן
       (MODEL/SOLVE AN EQUATION)

   - לתרגל פתרון משוואות בשלב אחד
      (SOLVE A GIVEN EQUATION, 2 steps)

יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות - 2

יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות |יצורי הפרא משוואות 2

השלימו את הטבלה ופתרו את המשוואות.

תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי. (Algebra Tiles)


    - ניתן לבנות משוואות ולפתור אותן
       (MODEL/SOLVE AN EQUATION)

   - לתרגל פתרון משוואות בשלב אחד
      (SOLVE A GIVEN EQUATION, 2 steps)

יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות - 1

יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות| יצורי הפרא משוואות 1

השלימו את הטבלה ופתרו את המשוואות.

תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי. (Algebra Tiles)


    - ניתן לבנות משוואות ולפתור אותן
       (MODEL/SOLVE AN EQUATION)

   - לתרגל פתרון משוואות בשלב אחד
      (SOLVE A GIVEN EQUATION, 1 step)

האורים והתומים של הלוגריתמים

תקציר | לוגריתמים | בערבית

נאפייר (1552-1632) היה מתמטיקאי חובב מסקוטלנד אשר חיפש דרכים לבצע חישובים מורכבים ועם מספרים גדולים בצורה פשוטה.

אחד התחומים שעניינו במיוחד את נאפייר היתה האסטרונומיה, אך המחשבה על החישובים האינסופיים הנדרשים מאסטרונומים גרמה לו לאנחות. לאחר 20 שנות לימוד וניסויים, הציג נאפייר את השימוש בלוגריתמים - פריצת דרך שלא תאמן בפישוט החישוב. תגלית זו התקבלה בכל רחבי העולם בתרועה ובהסכמה, לא רק על ידי אסטרונומים, אלא גם על ידי אנשים שחישובים מגושמים הכבידו עליהם. לוגריתמים, העיקרון שעליו מבוסס סרגל החישוב, ביטלו למעשה את הצורך בכפל וחילוק ואפשרו להסתפק בחיבור וחיסור.

מקור- גלים

נאפייר גילה כי קיים קשר בין שתי סדרות מוכרות היטב: הסדרה ההנדסית והסדרה החשבונית.
הוא גילה שניתן לכתוב סדרה אחת באמצעות השנייה דבר שסייע לו לבצע במהירות חישוב של תרגילי כפל של מספרים גדולים.

1. נתבונן בשתי הסדרות הבאות:

א. בחרו שני מספרים מהסדרה ההנדסית והכפילו אותם. לדוגמה: 8x32 = 256
סכמו את המספרים המתאימים בסדרה החשבונית. 3+5 = 8
מה תוכלו לומר על הקשר בין התוצאות?
ב. נסו שוב להכפיל זוג מספרים אחר מהסדרה ההנדסית. האם גם הפעם זה עבד?
ג. המשיכו את שתי הסדרות וכפלו בדרך המהירה של נאפייר. חשבו 256*1024.
ד. חשבו באמצעות הטבלה, מהו הממוצע הגיאומטרי של 8 ו- 32?
ה. חשבו במהירות, מהו הממוצע הגיאומטרי של 8, 32, 128, 512?
ו. כיצד נוכל לחשב תרגילי חילוק במהירות? 1024:128=?

ז. רשמו את הקשרים שמצאתם בטבלה בעזרת לוגריתמים.
למשל:

ח. נסחו כלל לסכום של שני לוגריתמים בבסיס 2. באופן דומה נסחו כלל לחיסור.

2. נתבונן בטבלה הבאה של לוגריתמים בבסיס עשר. שימו לב כי הסדרה החשבונית הורחבה.

א. בדקו האם התכונות שמצאתם בסעיף הקודם מתקיימות גם עבור הסדרות הללו.
ב. מקובל להשמיט את הבסיס 10 בכתיבת לוגריתמים בבסיס 10.
חשבו לפי הטבלה:

ג. בטבלה הבאה שונתה הסדרה החשבונית. השלימו את הטבלה עבור הסדרה ההנדסית.

ד. חשבו לפי הטבלה ולפי החוקים שמצאתם:

ה. נאפייר ועמיתיו מצאו דרך לקשר ביו סדרות חשבוניות וגאומטריות, ובנו טבלאות לוגריתמיים לשם הקלה בחישובים.
נסחו את הקשר בין הסדרה ההנדסית לסדרה החשבונית.
האם מתקיים קשר זה בכל שתי סדרות חשבוניות והנדסיות?

מקורות נוספים:
סרגל לוגריתמי - פעילות של NCTM
The Oughtred Society - אגודה של אספני סרגלי חישוב, הסבר על פעולתם ועל ההיסטוריה שלהם.
Slide Rules and Logarithm Tables - Mathematical intention

פי כמה רעידת האדמה בהאיטי הייתה חזקה מרעידת האדמה באילת?

סולם ריכטר - פותח ב 1935 ע"י מדען אמריקאי ששמו צ'ארלס ריכטר. ריכטר פיתח מודל מתמטי להשוואה בין עוצמות של רעידות אדמה. סולם זה מציג ערך כמותי ומודד את העוצמה של רעידת האדמה לפי כמות האנרגיה שהשתחררה לפי גודל התנודות שנרשמו ושנקלטו ע"י הסיסמוגרף. מדובר על סולם מדידה לוגריתמי וכל דרגה בו מעידה על עוצמה חזקה פי 10 מקודמתה.
דרגות 4 - 1 - רעשים קלים כמעט לא מורגשים;
דרגות 8 - 5 - רעשים מסוכנים עד הרסניים;
דרגות 12 - 9 - הרסניים ביותר.

לסולם ריכטר אין ערך עליון. בצ'ילה בשנת 1960 היתה רעידת אדמה החזקה ביותר שידועה עד כה בעוצמה 9.5 בסולם ריכטר. סדר הגודל של רעידת האדמה (R) הוא פונקציה של עוצמתה (I) והעוצמה המינימלית

נחשב את העוצמה של רעידת האדמה באילת אשר נמדדה 4.5 בסולם ריכטר.

חשבו באופן דומה את עוצמת רעידת האדמה בהאיטי אשר נמדדה 7 בסולם ריכטר.
פי כמה רעידת האדמה בהאיטי הייתה חזקה מרעידת האדמה באילת?

בשנת 1837 אירעה בארץ רעידת אדמה, שנמדדה 6 בסולם ריכטר, אשר הרסה את צפת וטבריה וגרמה להרוגים רבים והרס רב.
חשבו פי כמה רעידת האדמה בהאיטי הייתה חזקה מרעידת האדמה בצפת ובטבריה?

ידוע שרעידת אדמה מלווה ברעידות אדמה עוקבות. לאחר הרעש בהאיטי התרחשה רעידה נוספת שהייתה קטנה בעוצמתה פי 100 מהרעידה המקורית. באיזו רמה של סולם ריכטר נמדדה רעידה זו? ולאחריה רעידה נוספת שהייתה קטנה פי 3160 לערך? באיזו רמה של סולם ריכטר נמדדה רעידה זו?

האם יתכן ש- 2>3?

טעות בספר?
פתרתי את המשוואה באופן הבא:

הסתכלתי בפתרונות הספר, אך להפתעתי מצאתי שם ארבעה פתרונות:

תוכלו לעזור לי לדעת מי צודק?

מקור - תבלינים מתמטיים, לעשות מתמטיקה - הטכניון.

פעילויות נוספות בנושא הלוגריתמים:

החיפוש אחר המספר המופלא e

הפוך על הפוך

logaⁿ=n loga לא נכון (לא תמיד נכון) - אריה רוקח, על"ה 14.

יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות

תקציר| יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות | פתרונות | مخلوقات عجيبة تتعلم حل معادلات

בארץ יצורי הפרא המתמטיים חיים יחדיו שני סוגי יצורים:
אך כאשר שניהם פוגשים זה את זה הם בולעים זה את זה, לכן כשהם יחד
הם נקראים "זוג האפס".

בפיצוח קודם, בארץ יצורי הפרא המתמטיים, חיברנו וחיסרנו מספרים חיוביים ושליליים, בעזרת היצורים הללו, יצורי היחידה.

יצורי הפרא הזמינו לארצם שני יצורים נוספים, יצורי x, אשר יסייעו להם לפתור משוואות.
גם שני יצורי ה- x הללו ביחד הם "זוג האפס".

כל יצורי הפרא יחדיו מצליחים להציג משוואות ואפילו לפתור אותן.
בכדי להציג את המשוואה, הם מסתדרים בשני אגפים.
בכדי לשמור על השוויון, כל פעולה שהם מבצעים נעשית על שני האגפים.

1. יצורי הפרא המתמטיים התבקשו לפתור את המשוואה:

הנה יצורי הפרא בפעולה של פתרון משוואה.

צפו גם בסרטון ותארו את פעולתם במילים ובאופן אלגברי.

פתרו גם אתם משוואות בדומה ליצורי הפרא, בדף העבודה משוואות 1.

תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי.

2. לאור הצלחתם של יצורי הפרא, הם התבקשו לפתור משוואות נוספות, שקל לפתור אותם, אם הם יתחלקו לקבוצות שוות בשני אגפי המשוואה:

פתרו גם אתם משוואות בדומה ליצורי הפרא, בדף העבודה משוואות 2.

תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי.

3. הנה יצורי הפרא בפעולה של פתרון משוואה קצת יותר מורכבת.

צפו גם בסרטון ותארו את פעולתם במילים ובאופן אלגברי.

פתרו גם אתם משוואות מורכבות דומות כמו יצורי הפרא, בדף העבודה משוואות 3.

תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי.

4. יצורי הפרא נתקלו במשוואות בהן קיים ביטוי של x משני צידי המשוואה.
     לשם כך הם גייסו את היצור -x, בכדי לכנס את כל הביטויים עם x בצד אחד של המשוואה,
     ולהגיע למשוואה שהם כבר יודעים לפתור.
הנה שוב יצורי הפרא בפעולה של פתרון משוואה.

צפו גם בסרטון ותארו את פעולתם במילים ובאופן אלגברי.



פתרו גם אתם משוואות בהן יש ביטוי של x משני צידי המשוואה, בדף העבודה משוואות 4.

תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי.

5. הציעו ליצורי הפרא דרכים שונות לפתור את המשוואה הבאה:    6-= 3(x+2)

מקורות:

Let's Do Algebra Tiles  - מצגת

יישום אינטראקטיבי לפתרון משוואות במודל המלבנים.

יישום אינטראקטיבי  נוסף לפתרון משוואות במודל המאזניים והמלבנים מאת (National Library of Virtual Manipulatives Utah State University).

Using Homemade Algebra Tiles to Develop Algebra and Prealgebra Concepts, Kitts, N, MATHEMATICS TEACHER, 2000.

ביליארד מתמטי

תקציר | ביליארד מתמטי | פתרונות | בערבית

תמר והדר המציאו משחק חדש בהשראת שולחן הביליארד.
כללי המשחק:

המשחק נערך על שולחן מלבני מנייר משובץ.
ארבע הפינות מסומנות ב- A, B, C, D.

הכדור הדמיוני יוצא מקודקוד A, ונזרק בזווית של 45^o.
אם הכדור פוגע בדפנות השולחן הוא ממשיך במסלולו שוב בזווית של 45^oלדופן השולחן.

הכדור נעצר כאשר הוא מגיע לאחת מפינות השולחן.

ניתן לשנות את מימדי השולחן.

1. צפו במשחקון בשולחן 3X5.
א. באיזו פינה עצר הכדור?
ב. בכמה פגיעות בשולחן הגיע למטרתו?
(כולל הפגיעות של ההתחלה ושל הסיום).

תוכלו להתנסות במשחק האינטראקטיבי (נדרש תוסף ג'אווה בדפדפן שאינו כרום), או בעזרת עפרון ונייר, בשולחנות הבאים:

*שימו לה המשחק האינטראקטיבי נתמך java ולכן אינו עובד בדפדפן Chrom.

תמר והדר שיחקו בכל השולחנות הללו ושאלו שאלות מעניינות.

2. האם ישנם שולחנות דומים?
א. תמר שמה לב כי הכדורים בשולחנות 1x2 , 2x4 מתנהגים באופן דומה. הסבירו.
התוכלו למצוא שולחן נוסף מסוג זה? תוכלו להיעזר במשחק האינטראקטיבי.
ב. הדר טענה שיש בקבוצה זוג אחר של שולחנות דומים. התוכלו לומר מיהם?
האם יש קשר בין מימדי השולחנות שמצאתם? אם כן מהו?
ג. תנו דוגמה לשולחנות נוספים בעלי התנהגות דומה. בדקו במשחק האינטראקטיבי.

3. האם ניתן לדעת מראש את מספר הפגיעות (כולל ההתחלה והסיום) עד שיגיע הכדור לעצירה?
א. מהו השולחן בעל מספר הפגיעות הקטן ביותר?
התוכלו לדעת מהו השולחן בעל מספר הפגיעות הגדול ביותר?
ב. הדר מצאה שני שולחנות שונים שבהם מספר הפגיעות (כולל ההתחלה והסיום) הוא 5. מיהם?
ג. תמר סברה כי גם בשולחן 1x4 מספר הפגיעות הוא 5. האמנם?
האם יש קשר בין מימדי השולחנות שמצאתם ומספר הפגיעות? אם כן מהו?
ד. הדר ביקשה לבדוק האם החוקיות שמצאה אכן עובדת גם במקרים נוספים.
היא חיפשה שולחנות בהם מספר הפגיעות הוא 7.
מצאו, בעזרת המשחק האינטרקטיבי, שולחנות נוספים שבהם מספר הפגיעות הוא 7. (hits=7)
בדקו האם הקשר שמצאתם בין מימדי השולחנות ומספר הפגיעות אכן עובד.

ה. תמר מצאה כי גם בשולחן במימדים של 6x8 מספר הפגיעות הוא 7. הכיצד?
האם יש צורך לנסח מחדש את החוקיות?
ו. אם ברשותכם שולחן דמיוני של 150x300, התוכלו לדעת מראש מה יהיה מספר הפגיעות?

שחקני הביליארד המקצוענים יודעים כי מהלך מוצלח דורש תכנון מפורט של מסלול הכדורים מבחינה גיאומטרית ופיסיקלית, כמו גם ביצוע מדויק להפליא.
בולצמן, מענקי הפיסיקה של המאה ה- 19, טען שהתנהגות מולקולות גז בקופסה דומה להתנהגות כדורי הביליארד ולפיה בנה את הבסיס לתורת המכניקה הסטטיסטית, שמהווה אחת מאבני היסוד של הפיזיקה המודרנית. בעקבותיו, במאה ה- 20, התפתחה תיאוריה מתמטית החוקרת את מסלולי הכדורים בביליארד כמערכת דינמית הנשלטת על ידי חוקי התנועה של ניוטון, ואיך האקראיות לכאורה קשורה לתורת הכאוס. קראו עוד על החוקרת בתחום במכון וייצמן, פרופ' ורד רום-קידר.

המתמטיקאים חוקרים מסלולי הכדור גם בשולחנות שאינם מלבניים כמו משולש, אליפסה או תיבה.
קראו עוד ב- Math World

4. האם ניתן לדעת מראש באיזו פינה הכדור יעצור?
הדר ותמר הביאו את המשחק לכיתה.
בכדי לשכלל את המשחק, הן הוסיפו ניקוד לכל משחקון לפי הניקוד הבא:

כדור שיעצר בפינה A - 100 נקודות

כדור שיעצר בפינה B - 50 נקודות

כדור שיעצר בפינה C - 25 נקודות

כדור שיעצר בפינה D - 10 נקודות

א. באפשרותכם לבחור את גודל השולחן למשחקון. באיזה שולחן תבחרו בכדי לקבל ניקוד הכי גבוה?
ב. אם ברשותכם שולחן דמיוני של 150x300, התוכלו לדעת מראש בכמה ניקוד תזכו?

לשם חקירת החוקיות, תוכלו לרכז את תוצאות המשחקונים בטבלה הבאה:

שאלות חקירה נוספות:

האם קיים קשר בין אורך המסלול הכדור עד לעצירתו לבין מימדי השולחן?

אילו סוגי סימטריה ניתן למצוא במסלול הכדור בשולחנות השונים?
לאילו שולחנות ניתן למצוא סימטריה שיקופית לקו אנכי?
לאילו שולחנות ניתן למצוא סימטריה שיקופית לקו אופקי?
לאילו שולחנות ניתן למצוא סימטריה סיבובית?

העלו גם אתם שאלות נוספות לחקירה של שולחנות הביליארד.

מקור הפעילות - Paper Pool: Analyzing Numeric and Geometric Patterns - NCTM, illuminations

עד קצה הגבול

תקציר | עד קצה הגבול| إلى أقصى الحدود

ארבעה חברים חובבי מתמטיקה כינו זה את זה בשמות מתמטיקאים מפורסמים.
הארבעה התערבו מי יצליח לחשוב על פונקציה, בה מעורב המספר 100 ואשר תתן ערך גדול יותר עבור מספרים גדולים.
הראשון, המכונה נפייר, בחר פונקציה לוגריתמית:

השני, המכונה ברנולי, בפונקציה מעריכית:

השלישי, ארכימדס, החליט לבחור בחזקות של 100:

הרביעי, המכונה דה-מואבר, אוהב להיות מיוחד , בחר בפונקציה שהיא מכפלה:

א. מי מהחברים לדעתכם בחר בפונקציה המקבלת ערכים גדולים יותר עבור ערכי x גדולים?
ב. התוכלו למצוא מאיזה ערך של x הפונקציה הזו אכן גדולה יותר?
ג. כיצד ישתנו הפונקציות אם נחליף את המספר 100 במיליון? ביליון?

כל דרדק יודע כי אין מספר הגדול ביותר, אך מספרים גדולים מופיעים במגוון תחומים מתמטיים ומדעיים. מספרים גדולים סקרנו את האדם עוד משחר ההיסטוריה ותיארו אותם "כחול על פני הים", "ככוכבים בשמיים". רבים מנסים לתת שמות למספרים גדולים: מיליון, ביליון, טריליון, גוגול ואפילו גוגולפלקס.
במאה ה-3 לפנה"ס המתמטיקאי ארכימדס ניסה להעריך את מספר גרגרי החול ביקום וטען כי המספר אינו עלה על 10⁶³. מפורסמת גם האגדה ההודית על מספר ענק ובלתי נתפס של גרגרי האורז על לוח השחמט (ראו פיצוח).
במדעי המחשב, בו יש חשיבות לכמת את מספר הצעדים הגדול הדרוש לפתרון בעיה באופן יעיל, מגדירים את מושג הסיבוכיות (פתרון יעיל כאשר הסיבוכיות של הזמן גדלה באופן פולינמיאלי ולא מעריכי למשל).

אשר- מתוך האתר הרשמי

משמעויות שונות למושג האינסוף (ויקיפדיה) אשר משותף להן הוא תפיסת האינסוף כדבר מה גדול מעבר ליכולת ההבנה האנושית, דבר מה שתכולתו גדולה לאין שיעור, תהליך שלא יגיע לסופו לעולם. הסימן ¥, המסמל אינסוף, הוכנס לשימוש במאה ה-17 ע"י סטודנט אנגלי למתמטיקה וואליס. הוא סימן לייצוג מספרים גדולים מאד וייצוג למספרים קטנים מאד. (מתוך תבלינים מתמטייים)
קראו עוד על איך סופרים אינסוף ?- בארץ הדעת.
תערוכת אמנות על האינסוף. (אתר פירסומי)

לפניכם זוג של פונקציות:


((g(x) פונקציה מורכבת.

א. התאימו לכל פונקציה את הגרף.
ב. במה דומות ובמה שונות הפונקציות הללו?
    היעזרו ביישום הדינאמי (גיאוגברה) ועקבו אחר נקודות שונות.
    התייחסו בתשובתכם לנקודות בעלות מאפיינים ייחודיים כמו נקודת קיצון, ונקודות פיתול.
    תחומי עליה וירידה ולאסימפטוטות. נמקו.

ג. נתונה הפעם הפונקציה:

שערו כיצד נראה גרף הפונקציה-

   תוכלו להיעזר ביישום הדינאמי (גאוגברה) ורשמו בשורת הקלט למטה:

   האם הקשרים ששיערתם בסעיפים הקודמים מתקיימים גם לגבי הזוג החדש? נמקו.
   בדקו את השערתכם עבור פונקציות שונות.

ד. מצאו פונקציות נוספות שהרכבתן שומרת על התכונות שמצאתם.
ה. מצאו את הגבול של הביטויכאשר וכאשר .
    הנחיה - מצאו זוג פונקציות בדומה לסעיפים הקודמים , חקרו ושרטטו סקיצה לגרפים.

מושג הגבול, אשר מתאר תהליך של התכנסות לערך מסויים משהו שמתקרבים אליו, אך אף פעם לא מגיעים אליו, הוא מושג שימושי ובסיסי במתמטיקה המודרנית. אך כבר בימי יוון תהו המתמטיקאים והפילוסופים על מהותו. לדוגמה בפרדוקס המשעשע של זנון (וכן מצגת מאת G-math). במאה ה-3 לפני הספירה חשב ארכימדס את שטחו של המעגל בשיטת המיצוי, לפיה הוא קרב את שטח המעגל לשטח מצולע משוכלל החסום בתוכו.

רעיונות אלו שוכללו ע"י ניוטון ולייבניץ כאשר פיתחו את החשבון האינפסיטמלי, ובהמשך ע"י קושי וויירשטראס, עם פיתוח החשבון הדיפרנציאלי.

קראו בהרחבה על מושג הגבול במילון המושגים: פונקציות.
פיצוחים הנוגעים לנושא: אני דומה לעצמי, סדרה הנדסית מתכנסת, יום פאי שמח

א. התבוננו בגרפים של הפונקציה המעריכית והלוגריתמית. עקבו אחר הערכים והשלימו:
    ניתן לעקוב אחר הערכים ביישום הדינאמי.

ב. השלימו על פי הגבולות שמצאתם לעיל:

חקרו את הפונקציות הבאות לפי:
1. תחום הגדרה והתנהגות הפונקציה סביב נקודות אי ההגדרה.
2. נקודות חיתוך עם הצירים
3. התנהגות הפונקציה כאשר  וכאשר

והתאימו להן את הגרפים:

הפעילות נערכה על פי הרעיון במאמר : יישום גבולות לשרטוט גרפים - אלה שמוקלר, מחר 98

מקורות נוספים להעמקה והרחבה:

הפוך על הפוך - פיצוח בנושא פונקציות הפוכות

גישה אינטואיטיבית לבניית מושג הגבול - תמר זמיר ונצה מובשוביץ- הדר, קשר ח"ם.

יישום גבולות לשרטוט גרפים - אלה שמוקלר, מחר 98

זוגות של פונקציות - מחר 98

אסימפטוטות המקבילות לציר ה-x  - יפים כץ, על"ה 31

חדו"את היצירה - עופר ליבה- על"ה 23, על"ה 24

מספרים גדולים בעולם- פעילות של מרכז המורים למתמטיקה בחינוך היסודי

האינסוף המיסתורי - פרוייקט לתלמידים - מחר 98

אינסוף- הסיפור שאינו נגמר, סקירה על ספרו של פרופ' חיים שפירא, על"ה 15

האפס- ביוגרפיה של רעיון מסוכן - צ'רלס זייף - המלצה על הספר

הצעה להוכחת המשפט: גבול של שורש n י של n כאשר n שואף לאינסוף הוא 1 - עלי עותמאן, על"ה 36

א. הגופים המשוכללים

תקציר | האם הכדורגל הוא עגול?|  בערבית

ראשית נכיר את חמשת הגופים המשוכללים, הידועים כגופים האפלטונים:

חמשת הפאונים האפלטוניים

טטרהדרון
ארבעון

4 פאות

הקסהדרון
קובייה

6 פאות

אוקטהדרון
תמניון

8 פאות

דודקהדרון
תריסרון

12 פאות

איקוסהדרון
עשרימון

20 פאות

מתוך ויקיפדיה

מה מייחד את הגופים המשוכללים?

כל הפאות בגוף חופפות.

בכל קודקוד נפגשים אותו מספר של פאות.

צפו בסרטון חמשת הגופים המשוכללים מאת numberphile.
הכירו את הגופים ושאלו את עצמכם מדוע קיימים אך ורק חמישה גופים משוכללים?

בפעילות האינטראקטיבית הבאה תוכלו לצפות באנימציה תלת מרחבית של חמשת הגופים ולסובב אותם בעצמכם. ניתן גם לסמן את הפאות ולספור אותן (F-faces), את הקודקודים (V-vertices) ואת המקצועות (E-Edges).
באפשרותכם גם להדפיס את הפריסות ולבנות את הגופים.

השלימו את הטבלה האינטראקטיבית ובדקו תשובותכם.

מספר הפאות הנפגשות בכל קודקוד
צורת
הפאה

E

V

F

פאון
Polyhedron

ארבעון

קובייה

תמניון

תריסריון

עשרימון

מצאו קשרים אפשריים בין מספר הפאות (F) , מספר הקודקודים (V) ומספר המקצועות (E).

מקורות נוספים:
בנה בעצמך גופים משוכללים (בעזרת קיפול וללא דבק), שמואל אביטל, קשר חם.
למה קיימים רק 5 פאונים משוכללים? כיתהפיתה
אוילר וגאוס ביצירתם ובחייהם - אלה שמוקלר, קשר ח"ם

$arrow$ המשך לחלק ב' - מהם גופים חצי משוכללים? ואיזה גוף הוא הכדורגל?

בדרך לפיתגורס- ריבועים רוקדים

תקציר| בדרך לפיתגורס| פתרונות| الطريق الى فيتاغوروس| حلول

א. המשחק "השלימו לריבוע"

בואו נשחק משחק. ברשותכם רשת נקודות.
כל שחקן בתורו בוחר נקודה על הרשת ומסמנה בצבע משלו.
השחקן המנצח יהיה הראשון אשר יהיו לו ארבע נקודות שניתן לחברן לריבוע.
ריבוע יכול להיות מסובב ומכל גודל.

ניתן לשחק במשחק האינטראקטיבי מול המחשב או מול חבר, או בעפרון ונייר על דף הרשת הבא.

ב. לפניכם כמה ריבועים מתוך המשחק.
המרחק בין כל שתי נקודות יחידה.

התוכלו לחשב את אורך הצלע של כל ריבוע ?שטחו של כל ריבוע?

ודאי שמתם לב שיש ריבועים שמיד ניתן לראות את אורך הצלע שלהם ומכאן בקלות לחשב את שטחם. כיצד תאפיינו ריבועים אלו ואת הקשר בין אורך צלע הריבוע ושטחו?

אך, לא קל למצוא באופן מיידי את אורך הצלע של הריבועים "המסובבים". האם מצאתם? הכיצד?
הנחיה- מצאו את השטח של הריבוע המסובב בעזרת ריבוע נוסף החוסם אותו וארבעת המשולשים המקיפים אותו.

ג. בחקירה הבאה תוכלו להיעזר ביישום דינאמי בו ניתן לסובב ריבוע בעזרת החיצים.

(1). נתבונן בסדרת ריבועים מסובבים שהוטו יחידה אחת מעלה.

חשבו את שטחי הריבועים בסדרה. האם מצאתם חוקיות בין שטחי הריבועים הללו?
התוכלו לדעת מה יהיה שטח הריבוע הבא בסדרה?

(2). בדקו האם קיימת חוקיות לשטח של סדרת ריבועים שהוטו 2 יחידות מעלה.
      3 יחידות ? 4 יחידות? n יחידות?

ריבוע הנטוי 4 יחידות ריבוע הנטוי 3 יחידות ריבוע הנטוי 2 יחידות

הפעילות פותחה לפי nrich (ניתן לצפות גם בסרטונים להדגמת השיעור)

מקורות נוספים להעמקה והרחבה:

מאדריכלות נוף למשפט פיתגורס- הצעות לפעילות של מטח

Pythagorean Theorem- IES - אוסף יישומים דינאמיים של הוכחות למשפט פיתגורס ושימושים בבעיות שונות.

כתבה וערכה - נאווה מזרחי חט"ב "מיכה רייסר"- ראשון לציון

הרפתקה פיתגוראית- מאמר מבית "אלף אפס" המספר את סיפור מסע היתדות בן ה-3700 שנים על שלשת המספרים הידועה כשלשת פיתגורס. כתבו: זיוה דויטש, עקיבא קדרי

משפט פיתגורס- מבחר הוכחות ללא מילים, מאמר של "אלף אפס" ועוד חידות בנושא ויישומו.

"כל דבר הוא מספר"- מאמר מאת "בארץ הדעת", על תפיסותיו של פיתגורס את מושג המספר ואת המספרים הרציונאליים. כתב: רועי יהושע.

מצגת על הוכחות של משפט פיתגורס, שלשות פיתגוריות ועוד - פסגה הרצליה, מרים עוזר, רונית רביע, ריטה שכטר

נגריה מתמטית - בעיית החדש, קשר חם - מוצגת בעיה העוסקת בבניית ריבוע ששטחו שווה לשטח מלבן נתון. הבניהמתבססת על משפט פיתגורס, ומובילה להוכחתו בדרך גיאומטרית. מצורף פתרון לבעיה.

עוד פיצוחים:

אוצרות פיתגורס - בפעילות חידות לחישוב שטחים הדורשות יישום של משפט פיתגורס וידע על המעגל.

משימה פרחונית - במשימה מוצגות צורות גאומטריות בעיצוב של פרחים ויש לחשב את שטחן.

ללכת על פני הקוביה והתיבה - יישום משפט פיתגורס במרחב

אנשי החידות מהודו - בפעילות כמה בעיות עתיקות מהודו העוסקות במשפט פיתגורס.

playing math with your food By George Hart  for the museam of mathematics

ב. מהם גופים חצי משוכללים? ואיזה גוף הוא הכדורגל?

תקציר | האם הכדורגל הוא עגול? | בערבית

תרגיל בדמיון

בפניכם קובייה. כעת נסו לדמיין שקוטמים כל פינה בקובייה, איזה גוף נקבל? אילו מצולעים תקבלו בכל פינה?
כמה מצולעים כאלה יהיו בגוף החדש? האם בגוף הקטום יהיו גם מצולעים אחרים כמה? ראו אנימציה.

ראו גם פיצוח "לחתוך את הקוביה" בו תוכלו להתנסות בעזרת יישומון בחיתוך הקובייה.
גוף חצי משוכלל הוא גוף שכל פאותיו מצולעים משוכללים (מסוגים שונים), ומכל אחד מקדקודיו יוצא אותו מספר מקצועות (צלעות).

ארכימדס חקר את הגופים הקטומים של הגופים המשוכללים, וקיבל אוסף חדש של 12 גופים חצי משוכללים, הידועים בשם פאונים ארכימדים. המפורסם שבהם הוא העשרימון הקטום, הוא הכדורגל. קראו מאמר באלף אפס בנושא, אל תקלקל לי את המעגל, מאת זיוה דויטש ועקיבא קדרי.

ראו סרטון מאת NuberPhile על העשרימון הקטום, הוא הוא הכדורגל! שימו לב כמה פיאות לכדורגל ומהן תכונותיהן?

בנו לעצמכם כדורגל מנייר.

מקורות נוספים:

הסברים ואנימציות על גופים חצי משוכללים (באנגלית)

$arrow$ המשך לחלק ג' - האם גם אויילר שיחק בכדורגל?

ג. האם גם אויילר שיחק בכדורגל?

תקציר | האם הכדורגל הוא עגול? | בערבית

אוילר, מתמטיקאי ידוע מהמאה ה-18, חקר את הפאונים ותכונותיהם, בבעיות שעסקו בהן כבר היוונים הקדמונים, וגילה תובנה שחמקה מעיני המתמטיקה במשך אלפיים שנים לערך, נוסחת אוילר. הוא גילה קשר מספרי בין מספר מספר הפאות (F), מספר הקודקודים (V) ומספר המקצועות (E).

אולי כבר גיליתם בעצמכם?

קראו עוד על הגופים האפלטוניים, נוסחת אוילר לפאונים, וכדורגל בבלוג "לא מדויק".

נשאלת השאלה האם הכדורגל וגופים אחרים גם הם מקיימים את נוסחת אוילר? בדקו בעצמכם את הנוסחה עבור הכדורגל, העשרימון הקטום, וצפו בסרטון.

קראו עוד על נוסחת אויילר (באנגלית).

מקורות נוספים:
אוילר וגאוס ביצירתם ובחייהם - אלה שמוקלר, קשר ח"ם
הגופים האפלטוניים, נוסחת אוילר לפאונים, וכדורגל - רשומה מאת גדי אלכסנדרוביץ' בבלוג "לא מדויק"

$arrow$ המשך לחלק ד' - כדורגל בחלל

ד. כדורגל בחלל

תקציר | האם הכדורגל הוא עגול? |  ערבית

רגע של היסטוריה... ממש קרובה.

בשנת 1996 הוענק פרס נובל לכימיה לשלושה כימאים: קרוטו, קארל, וסמאלי על גילויים של הפולרנים, מולקולות של פחמן טהור שחלקם מסודרים ככדורים, "כדורי באקי".

הייחוד של התגלית היה לא רק בהדגמת קיומו של הפולרן, אלא גם בכך שהסתבר שאטומי הפחמן נוטים להסתדר באופן טבעי במבנה זה.

טלסקופ החלל שפיצר של נאס"א גילה לראשונה בחלל חלקיקים בצורה של כדורגל (buckyball) הנקראים פולרון, פחמן 60. הצורה שיוצרים 60 אטומי פחמן ב-C60, היא פאון ארכימדס הקרוי "איקוסהדרון קטום", הבנוי ממחומשים ומשושים בדומה לכדורגל. האסטרונומים גילו כדורים זעירים אלו סביב כוכב חם קטן הרחוק 6500 שנות אור מכדור הארץ, בכמות היכולה ליצור 10,000 הרי אוורסט...

שימושי כדורי הפחמן 60

פחמן ב-C60, היא פאון ארכימדס הקרוי "איקוסהדרון קטום", הבנוי ממחומשים ומשושים בדומה לכדורגל. האסטרונומים גילו כדורים זעירים אלו סביב כוכב חם קטן הרחוק 6500 שנות אור מכדור הארץ, בכמות היכולה ליצור 10,000 הרי אוורסט...

כדורי הפולרנים ידועים בתכונות החוזק שלהם (חזקים יותר מיהלום), בגמישות, עמידות לחום ומוליכות גבוהה. במהלך העשור האחרון, התכונות הפיזיקאליות והכימיות של פולרנים, היו נושא חם בשדה המחקר והפיתוח. נמצאו שימושים רבים לפחמן 60 בתחום הרפואה, הננוטכנולוגיה ועוד. הפחמן 60 מהווה בסיס ליצירת חומרים קלים וחזקים - דבר השימושי בשביל בנייה של שכפ"צים, אופניים ומטוסים - ואף מדברים על בנייה של 'מעלית לחלל החיצון' המבוססת על ננו צינורות.

לכתבה: Tiny 'Soccer Ball' Space Molecules Could Equal 10,000 Mount Everests

לסרטון:

מקורות נוספים:
אנימציות של גופים
הכדור הוא עגול (כלומר, בערך) – מחווה מולקולרית למונדיאל, הידען

$arrow$ המשך לחלק ה' - הכדורגל במונדיאל

תקציר|לחתוך את הקובייה|قص المكعب

1. המתנה

על פני קופסת מתנה בצורת קוביה שאורך מקצועה 10 ס"מ,

הודבקו שני סרטים לקישוט כמתואר בציור.

א. מהו אורך הסרטים?

ב. התוכלו לדעת מהי הזווית בין הסרטים?

רמז - השלימו למשולש ואפיינו אותו.

מקור - Puzzle Playground

2. קוביית חימר

מהפינה של קוביית חימר (או פלסטלינה) שאורך מקצועה 10 ס"מ, נחתך חתך מישורי בצורת משולש שווה צלעות. (ראו איור)

א. ידוע שאחת מנקודות החיתוך היא אמצע המקצוע של הקובייה. הסבירו היכן יש למקם את שתי נקודות החיתוך הנוספות בכדי ליצור חתך מישורי של משולש שווה צלעות.

חשבו את אורך צלע המשולש ואת שטחו.

ב. קוביית חימר נוספת, שאורך מקצועה 10 ס"מ, נחתכה בפינתה בחתך מישורי של משולש שווה צלעות שאורך צלעו 1 ס"מ. הסבירו היכן יש למקם את נקודות החיתוך על מקצועות הקובייה. מה שטחו של

המשולש?

ג. היכן יש למקם את נקודות החיתוך על מקצועות הקובייה כך שיתקבל חתך מישורי של משולש שווה צלעות בעל השטח הכי גדול ? חשבו את אורך צלעו ואת שטחו.

צפו בסרטו או העזרו ביישום הדינאמי, גאוגברה.

ד. הפעם חתכו מכל אחת מפינות קוביית החימר, מאמצע כל מקצוע, חתך מישורי של משולש שווה צלעות. (חזרו על הפעולה מסעיף א' לכל קודקוד של הקובייה).

תארו את הגוף שנותר . (ניתן להיעזר ביישומון)

שאלת אתגר- תארו איזה גוף יתקבל אם נחתוך מכל אחת מפינות קוביית החימר , חתך מישורי של משולש שווה צלעות ולאו דווקא מאמצע כל מקצוע.

3. חתכי הקובייה

צרו קובייה מחימר או פלסטלינה. בעזרת חוט ניילון חתכו את הקובייה לשניים.

אלו צורות של חתכי מישור תוכלו לקבל?

קל מאוד לחתוך קובייה במישור ולקבל חתך של משולש שווה צלעות. צריך פשוט לחתוך פינה אחת של הקובייה ולהקפיד שמידות האורך של החתך יהיו שוות.

עוד יותר פשוט לחתוך קובייה במישור ולקבל חתך שצורתו ריבוע. כיצד?

צרו חתכים מישוריים של קובייה בעזרת חיתוך קוביית חימר או בעזרת היישום הדינאמי.

האם תוכלו ליצור את הצורות הבאות? אם כן, הסבירו כיצד. אם לא, מדוע?

א. ריבוע

ב. משולש שווה צלעות

ג. משולש שאינו שווה צלעות

ד. מלבן שאינו ריבוע

ה. מחומש משוכלל

ו. מחומש שאינו משוכלל

ז. משושה

ח. מתומן

ט. מקבילית שאינה מלבן

י. מעגל

טיפים נוספים: ניתן ליצור חתכים מישוריים של קוביה גם בעזרת יישום נוסף. (נדרש ג'אווה)

אפשרות נוספת להמחיש את חתכי הקובייה היא ע"י מילוי חלקי של קובייה שקופה בנוזל צבעוני, (מיץ פטל, למשל) והטייתה של הקוביה.

נערך על פי Learning Math - Solids, Cross Section

מקורות נוספים:

חתך קובייה- גליונות לחשבון 54, שמואל אביטל.

חתכי קובייה - גליונות לחשבון 14, שמואל אביטל.

הרחבה למתעניינים (אנגלית).

Wismaat- Gometry 3D - סביבה ממוחשבת לגופים במרחב כולל חתכים ופריסות של מכון המחקר ההולנדי Freudenthal. (מומלץ!)

חישובים במרחב

תקציר|חישובים במרחב| פתרונות|حسابات في المساحة

1. המתנה
אריזת מתנה בצורת תיבה נעטפה בנייר אריזה, כך ששטח הפאות של התיבה הוא: 3 סמ"ר, 12 סמ"ר ו-25 ס"מר.

התוכלו לחשב את מימדי התיבה? (אורך,רוחב וגובה)

אם נתון ששטח הפאות הוא a,b,c סמ"ר.

הביעו את מימדי התיבה באמצעות a,b,c.

2. הכדור המתגלגל

כדור טניס בקוטר 10 ס"מ נארז בקובייה התגלגל לפינה.

התוכלו לדעת מה המרחק של מרכז הכדור מפינת הקוביה?

3. הנמלה העמלה

נמלה עמלנית יצאה לטייל על פני חרוט, שמידותיו מתוארות בציור, במטרה להגיע מנקודה A לנקודה B.

התוכלו לומר לנמלה מהו המסלול הקצר ביותר?

4. הקובייה שבפנים

בתוך קובייה שנפחה 10 ס"מק , חסום כדור שבתוכו חסומה קובייה קטנה יותר.

התוכלו לחשב את נפח הקובייה החסומה בפנים?

שטחים בריבוע

תקציר|שטחים בריבוע

1. ריבוע סוב סוב

הריבוע האדום מסתובב סביב מרכז הריבוע הכחול, כך שאחד מקודקודי הריבוע האדום מונח במרכזו של הריבוע הכחול. ראו את היישום הדינאמי  .

א. אם שני הריבועים שווים בגודלם, הראו כי בכל כוון שהוא הריבוע האדום מכסה רבע משטחו של הריבוע הכחול.

ב. אם נגדיל את הריבוע האדום, האם עדיין השטח שהוא יכסה יהיה רבע משטח הריבוע הכחול? נמקו.

ג. אם נקטין הריבוע האדום, האם עדיין השטח שהוא יכסה יהיה רבע משטח הריבוע הכחול?
אם כן, באיזה מקרה? אם לא, מדוע?

2. טנגרם

במשחק טנגרם המפורסם מחולק הריבוע,
שאורך צלעו 12 ס"מ, לשבעה חלקים.חשבו את השטחים הצבועים של:
  א.      הריבוע
  ב.      המשולש הקטן
  ג.       המקבילית

שחקו במשחק הטנגרם האינטראקטיבי.

ועוד ברקנים מאלף אפס - איזה שטח גדול יותר, האדום או הכחול?

3. ריבוע בריבוע

א. על כל אחת מצלעות ריבוע שאורך צלעו יחידה, הקצו נקודת אמצע, ויצרו ריבוע פנימי. (ראו איור)
הסבירו מדוע המרובע הפנימי הוא ריבוע.
מצאו את שטחו.
(רמז- נסו לבנות פאזל)

ב. שנו את האיור ביישום הדינאמי  כך שהקצו על כל
צלע הריבוע נקודה ביחס 1:3.
האם המרובע הפנימי הוא ריבוע?
מצאו את שטחו.

ג. שנו את האיור ביישום הדינאמי  כך שהקצו על כל צלע
      נקודה ביחס
      האם המרובע הפנימי הוא ריבוע?
      מצאו את שטחו.

4. שטחים בריבוע

בריבוע, שאורך צלעו יחידה, הקצו אמצע קטע על אחת הצלעות ויצרו שטחים כמתואר באיור.

מצאו מהו יחס השטחים שנוצרו באיור א?

כיצד ניתן להיעזר באיור ב לחישוב השטחים? הסבירו את הבנייה.

תקציר| הנקודה שבפנים| نقطة في الداخل

1. חלוקת שטחים

במגרש כדורגל הציב השופט את הכדור בנקודה P בתוך הריבוע וחילק את שטח המגרש לשתי הקבוצות באופן הבא:

קבוצה א תקבל את השטח הכתום S1+S3.

קבוצה ב תקבל את השטח הסגול S2+S3.

תוכלו להיעזר ביישום הדינאמי  לשם החישובים עבור נקודות P שונות.

א. היכן לדעתכם יש למקם את הנקודה P כך שהחלוקה תהיה הוגנת? מדוע?

ב. כיצד תשתנה החלוקה (אם בכלל) אם המגרש יהיה מלבני? נמקו.

שוב תוכלו להיעזר ביישום הדינאמי  לשם שינוי מימדי המלבן.

ג. כיצד תשתנה החלוקה (אם בכלל) אם הנקודה תהיה מחוץ למגרש? נמקו.

2. חלוקת נפחים

נתונה תיבה מלבנית ובתוכה נלכד עכביש בנקודה P שהיא מרכז התיבה. העכביש מתח חוטים לפינות התיבה כך שיצר פירמידות אשר קודקוד הראש שלהן הנקודה P ובסיסן פאות

התיבה.

א. כמה פירמידות נוצרו באופן זה?

ב. מה תוכלו לומר על סכום הנפחים של שתי פירמידות נגדיות (שבסיסן מונח על פיאות נגדיות).

ג. כיצד ישתנו הנפחים אם הנקודה P תנוע למקום אחר במרחב התיבה? נמקו.הנחיה – ניתן להיעזר בפתרון השאלה הקודמת.

3. המרחק הנעלם

במגרש כדורגל ריבועי נמצא השחקן בנקודה P.

ידוע לו כי מרחקו מפינת המגרש בקודקוד A הוא 10מטרים, מהקודקוד B הוא 5 מטרים ומהקודקוד C הוא 11 מטרים. בשאלות הבאות תוכלו להיעזר ביישום הדינאמי  .

א. התוכלו לעזור לו ולקבוע מהו מרחקו מפינת המגרש בקודקוד D?

ב. כיצד ישתנה המרחק PD כאשר המגרש יהיה מלבני?

ג. מה יהיה המרחק PD אם השחקן יהיה מחוץ למגרש?

ד. מה יהיה המרחק PD אם נתון כי: PB=a ,PA=c ,PC=b?

4. תיבה

נתונה תיבה ובתוכה נלכד עכביש בנקודה P. העכביש מתח חוטים לפינות התיבה כך ש:

PA=13 ,PB=5 ,PD=15 ,PE=23.

התוכלו למצוא את המרחק של העכביש מפינת התיבה PG) G) ?

הנחיה – ניתן להיעזר בפתרון השאלה הקודמת.

תקציר|מן הפנים אל החוץ

2. מן הפנים אל החוץ

א. נתונות שלוש נקודות A, B, C שהן אמצעי הצלעות של משולש כלשהו, אך המשולש המקורי עצמו
(DEFD) נעלם. בדקו ביישום הדינאמי  האם וכיצד ניתן ליצור את משולש DEFD:

- האם תמיד ניתן לבנות את המשולש על פי אמצעי צלעותיו?
- כיצד ניתן לבנות את המשולש המקורי? תארו את הבנייה ונמקו.
- האם קיים רק משולש אחד כזה?
- בהינתן שיעורי נקודות האמצע, התוכלו למצוא את שיעורי קודקודי המשולש המקורי.

ב. נתונות ארבע נקודות A, B, C, D שהן אמצעי הצלעות של מרובע כלשהו, אך המרובע המקורי עצמו
(EFGH) נעלם. בדקו ביישום הדינאמי  האם וכיצד ניתן ליצור את המרובע EFGH:

- האם תמיד ניתן לבנות את המרובע על פי אמצעי צלעותיו? אם כן, באיזה תנאי?
- כיצד ניתן לבנות את המרובע המקורי? תארו את הבנייה ונמקו.
- האם קיים רק מרובע אחד כזה?

ג. האם וכיצד ניתן לבנות מחומש מחמש הנקודות של אמצעי הצלעות?

האם וכיצד ניתן לבנות משושה משש הנקודות של אמצעי הצלעות?

על כנפי הדמיון

משושה פרחוני

תקציר | משושה פרחוני

בפיצוח זה נשרטט ונתבונן בעין מתמטית בפרחים המרהיבים הללו, בעלי שישה עלי כותרת.

את המשושה הפרחוני תוכלו לצבוע ולעטר ברכות "שנה טובה" או לקשט את הסוכה.

נשרטט את הפרחים בעזרת עפרון ומחוגה או כלי עגול אחר (כגון מכסה או צלחת). ניתן גם לשרטט בתוכנה גיאומטרית (כגון הגאוגברה). מצורפות הוראות שלב אחר שלב.
תוכלו לצפות בבנייה בסרטון הבא.

א. המשושה הנסתר

1.  הסבירו מדוע חסום בפרח משושה משוכלל (שכל צלעותיו שוות).  רמז - התבוננו במרובע החסום בין שני מעגלים.

2. חשבו מהי הזווית הפנימית של המשושה.

3. מהו שטח המשושה אם ידוע שרדיוס המעגל הפנימי שווה ל- R ס"מ.

ב. שני משושים בפרח

1. הקיפו את הפרח במעגל. מהו רדיוס המעגל? הסבירו.

2. חיברו את נקודות ההשקה של המעגל המקיף והמעגלים הקטנים. הסבירו מדוע נוצר משושה.

3. מהו יחס שטחי המשושים הללו?

ג. עלי הכותרת

1. שערו מהו היחס בין שטחי עלי הכותרת הסגולים לבין שטח העיגול הפנימי והיחס בין שטחי עלי הכותרת הורודים לשטח העגול הפנימי.

2. חשבו את השטח של עלה כותרת סגול אחד, אם ידוע שרדיוסו של המעגל הפנימי שווה ל- R ובדקו את השערתכם בסעיף א.

(ניתן להיעזר בנוסחת השטח של גזרת מעגל ברדיוס R וזווית מרכזית ברדיאנים: R=1/2R²)

3. חשבו את השטח של עלה הכותרת הורוד ושוב בדקו השערתכם מסעיף א.

קישורים נוספים:

משימה פרחונית – פיצוח העוסק בחישובי שטחים

יצירת מגן דוד – פעילות יצירה סביב המגן דוד, בנייה בעזרת סרגל ומחוגה ושאלות מתמטיות.

סרטון המציג יצירת עטיפה לדיסק פרחונית ומדליקה – היכן כאן חבוי המשושה הפרחוני?

תקציר|על כנפי הדמיון

1. אדריכל גן המשחקים

א. בשכונת "על כנפי הדמיון" הוקם גן משחקים חדש ובו מתקני ספורט ואתגרים. הגן בנוי מרצף של שלשה מתחמים ריבועיים. המרחק בין שתי הפינות המנוגדות של הגן הוא 100 מטר (ראו בשרטוט AD). אדריכל הגן תכנן לשתול ארבעה עצים שיפרשו צל בגן בנקודות: A, B, C ו-D (ראו איור).
חשבו מה המרחק בין העצים.
רמז - השתמשו ביחס הדמיון של משולשים דומים.

ב. בשלב ב של הקמת הגן, הורחב המגרש לשישה מתחמים ריבועיים. אדריכל הגן תכנן להוסיף ולשתול ארבעה עצים שיפרשו צל בגן בנקודות: E, F, G ו-H (ראו איור).
חשבו מה המרחק בין העצים הפעם.

ג. עץ נוסף נשתל בנקודה K (ראו איור).
חשבו מה המרחק בין העצים.

ד. הגנן פרש חבלים במתחם הגן על פי הוראות האדריכל. הוא היה מעוניין לחשב את הזווית שנוצרה בקודקוד B. מצאו את הזווית.
רמז- היעזרו בקווי העזר שבאיור.

מן הפנים אל החוץ

תקציר|טיול רציונלי ללונה פארק - חלק ב'

האתגר של "הרפתקת הלייזר"

אחד המתקנים המאתגרים בלונה פארק הוא "הרפתקת הלייזר", קליעה למטרה באמצעות אקדח לייזר ייחודי לעבר מטרה נסתרת. קבוצת חובבי המתמטיקה החליטו לפצח את האתגר

באמצעות כישוריהם המתמטיים ולנסות לזכות בפרס הגדול.

במשחק זה יש לפגוע במטרה המוצבת על קיר בגובה 1 מטר מעל הרצפה. אך המטרה מוסתרת ולא ניתן לפגוע בה באופן ישיר.

על השחקן לבחור באיזה מרחק מהקיר להעמיד את אקדח הלייזר ולכוונו אל מראה ניידת הניצבת 10 סנטימטרים מעל הרצפה ומוצבת במצב התחילי 30 סנטימטרים מהקיר.

קרן הלייזר הפוגעת במראה, מוחזרת ממנה (באותה זווית) ופוגעת בקיר.

לכל שחקן ושחקנית ניתנת הזדמנות אחת לפגוע במטרה. אם הצליחו, תינתן הזדמנות נוספת לפגוע במטרה נוספת, הפעם בגובה 1.5 מטרים. מי שמצליח לפגוע בשתי המטרות יזכה בפרס

הגדול! לאחר שכמה מחברי הקבוצה ניסו לפגוע במטרה ללא הצלחה ונפסלו, טכסו עיצה החברים וחיפשו משוואה מתמטית שתאפשר להם למצוא את המיקום הנכון להעמיד את אקדח

הלייזר.

תוכלו להיעזר ביישום הדינאמי  של "הרפתקאות הלייזר":

א. באיזה גובה תפגע קרן הלייזר אם נעמיד את האקדח במרחק 100 ס"מ מהקיר? 150 ס"מ? כיצד מצאתם?

ב. באיזה גובה תפגע קרן הלייזר אם נעמיד את האקדח במרחק 30 ס"מ מהקיר? כיצד תסבירו את התוצאה?

ג. השלימו את הטבלה.

170

150

120

100

75

50

40

30

מרחק הלייזר מהקיר

גובה הפגיעה

ד. מהי הפונקציה המתארת את גובה הפגיעה כתלות במרחק האקדח מהקיר? תארו את התנהגותה. (תוכלו לעקוב אחר הנקודות ביישום הדינאמי )

ה. באיזה מרחק יש להעמיד את אקדח הלייזר כך שיפגע במטרה בגובה 1 מטר? ובאיזה מרחק יש להעמיד את אקדח הלייזר כך שיפגע במטרה בגובה 1.5 מטר? הסבירו כיצד מצאתם. בדקו ביישום הדינאמי האם הצלחתם לפגוע במטרה?

ו. היכן יפגע הלייזר , אם נעמיד את אקדח הלייזר במרחק 30 סנטימטר מהקיר? התוכלו להסביר את התופעה?

ז. סמנו את הנקודות המתאימות במערכת הצירים ושרטטו את הגרף המתאר את עלות הטיול לתלמיד כתלות במספר המשתתפים. הרחיבו את הגרף של הפונקציה גם לתחום המספרים השליליים.

ח. בשלב המתקדם של המשחק ניתן לגרור את המראה ולקבוע את מרחקה מהקיר. חברי הקבוצה החליטו להציב את המראה במרחק של 50 ס"מ מהקיר. תוכלו להזיז את המראה גם ביישום הדינאמי.

מהי כעת הפונקציה המתארת את גובה הפגיעה כתלות במרחק האקדח מהקיר? שרטטו את הגרף באותה מערכת הצירים (מהסעיף הקודם) תארו את התנהגותה ובמה היא שונה מהפונקציה הקודמת.
(תוכלו לעקוב אחר הנקודות ביישום הדינאמי)

באיזה מרחק יש להעמיד הפעם את אקדח הלייזר כך שיפגע במטרה בגובה 1 מטר? ובאיזה מרחק יש להעמיד את אקדח הלייזר כך שיפגע במטרה בגובה 1.5 מטר? הסבירו כיצד מצאתם. בדקו ביישום הדינאמי האם הצלחתם לפגוע במטרה?

מקורות נוספים

התנהגות פונקצית מנה סביב נקודת אי הגדרה – משולחנו של מורה, שושנה הלוי, רחל סילבצקי ואנה ספרד, על"ה 2

חקירת פונקציה רציונלית – קשר ח"ם , חקירה בעזרת מחשב – אוסף דפי עבודה לתלמיד , מאת דפנה אשרת ואלה שמוקלר, בהנחיית אורית זסלבסקי. func3.pdf , func4.pdf , func5.pdf , func6.pdf .

מנה של פונקציות לינאריות – יישום דינאמי המלווה בדף עבודה מאת מרכז המורים.

טיול רציונאלי ללונה פארק – חלק א'

תקציר| טיול רציונלי ללונה פארק - חלק א'

1. תכנון הטיול

בבית ספרנו מתארגנת קבוצת "מועדון המתמטיקה" לצאת לטיול ללונה פארק. עלות הטיול, הכוללת הסעות ודמי כניסה קבוצתיים, היא 1200 שקלים. הוחלט כי עלות הטיול תתחלק באופן שווה בין כל התלמידים שיוצאים לטיול.

א. כמה ישלם כל תלמיד אם יצאו לטיול 10 תלמידים? 30 תלמידים?

ב. השלימו את הטבלה.

200

120

100

60

50

40

30

20

10

0

מספר התלמידים

התשלום לתלמיד



ג. מהי הפונקציה המתארת את עלות הטיול לתלמיד?

ד. סמנו את הנקודות המתאימות במערכת הצירים ושרטטו את הגרף המתאר את עלות הטיול לתלמיד כתלות במספר המשתתפים. הרחיבו את הגרף של הפונקציה גם לתחום המספרים השליליים.

ה. כיצד תשתנה הפונקציה וישתנה הגרף בכל אחד מהמקרים:

תוכלו להיעזר ביישום הדינאמי .

      1. אם תתקבל תרומה של 900 שקלים לסיוע בהוצאות הטיול?

      2. אם כל תלמיד צריך לשלם בנוסף 10 שקלים עבור פיצה.

3. אם הוחלט לממן 3 תלמידים בוגרים מהמועדון שילוו את הטיול.

ו. התקבלה תרומה מקרן חובבי המתמטיקה לעידוד פעילות מתמטיות מאתגרות והוחלט כי הקרן תשתתף בהוצאות הנסיעה לטיול. התרומה תתכן בשלוש אפשרויות שונות:

      1. מימון כל ההוצאות עבור 10 תלמידים.

      2. השתתפות בהוצאות בסה"כ של 500 שקלים.

      3. השתתפות בהוצאה של כל תלמיד ב-10 שקלים.

התאימו לכל גרף את הסיפור והפונקציה המתאימה לו. הסבירו באיזו תוכנית הייתם בוחרים ובאיזה מקרה.

מקורות נוספים

התנהגות פונקצית מנה סביב נקודת אי הגדרה – משולחנו של מורה, שושנה הלוי, רחל סילבצקי ואנה ספרד, על"ה 2

חקירת פונקציה רציונלית – קשר ח"ם , חקירה בעזרת מחשב – אוסף דפי עבודה לתלמיד , מאת דפנה אשרת ואלה שמוקלר, בהנחיית אורית זסלבסקי. func3.pdf , func4.pdf , func5.pdf , func6.pdf .

מנה של פונקציות לינאריות – יישום דינאמי המלווה בדף עבודה מאת מרכז המורים.

טיול רציונאלי ללונה פארק – חלק ב'

תקציר|אשליות מעגליות

באיזה פרח העיגול האדום גדול יותר?

צפו ברמז לפתרון:

מהו מרכז המעגל ?

האם הנקודה הימנית או אולי הנקודה השמאלית היא מרכז המעגל?

צפו ברמז לפתרון:

מישהו אכל לי מהעוגה...

אבל למעשה היא עדיין שם.

התוכלו למצוא את חתיכת העוגה הנעלמת?

צפו ברמז לפתרון:

אשליות אופטיות – אוסף אשליות מאת מתי"א חולון

מה שרואים מכאן לא רואים משם – מצגת על אשליות אופטיות מלווה בהסברים פשוטים.

מדוע כשמסתכלים על ספיראלה נראה שהיא זזה ולמעשה היא לא? - דוידסון אונליין - שאל את המומחה.

אל תאמין למראה עיניך שתי דוגמאות בהן קטעים שווים נראים שונים, וקו והמשכו נראים כבלתי רצופים. שמואל אביטל, גליונות לחשבון 51.

תעתועי ראיה אוסף אשליות אופטיות גיאומטריות, המרכז הארצי למורים יסודי.

תקציר|עיגולים ומעגלים|פתרונות

1. סידור המטבעות

חמישה מטבעות זהים נוגעים זה בזה, ומסודרים כך שמרכזיהם יוצרים שני משולשים שווה צלעות. (ראו איור)

הזיזו שני מטבעות בלבד, כך שבסידור החדש, עדיין המטבעות יהיו צמודים זה לזה ויצרו שני משולשים שווה צלעות שונים.

2. עיגולים על עיגולים

באיור עיגולים צבעוניים המסודרים בריבוע, באופן שהם מכסים חלקית זה את זה.

איזהו הצבע שתופס את השטח הגדול ביותר?

איזהו הצבע שתופס את השטח הקטן ביותר?

3. סבך הנחשים הצבעוניים

באיור ארבעה נחשים צבעוניים מתפתלים בין המעגלים: אדום, כחול, ירוק וסגול.

מבין הנחשים הצבעוניים מיהו הקצר ביותר?

מקור: http://www.puzzles.com

תקציר| תרגיל חשיבה גיאומטרי

כתב: פרופ' עמוס ארליך

החללית שלנו נחתה על כוכב-לכת מרוחק ולהפתעתנו נוכחנו שנחתנו במגרש משחקים של בית ספר. נכנסנו לכתה ונוכחנו שהם מדברים עברית ונמצאים בתחילת לימוד הגיאומטריה, אך נראה שהנחות היסוד שלהם (האכסיומות) שונות מן המקובל אצלנו.

על הלוח שלהם כתוב:

"הנחת יסוד ב: סכום הזויות בכל מרובע הוא 360⁰"

המורה מבקש מן התלמידים להוכיח שסכום הזויות במשולש הוא 180⁰.

תלמיד א: נצרף למשולש שלנו משולש נוסף, צירוף הזויות של שני המשולשים נותן זויות של מרובע לכן סכומן 360⁰, לכן לכל משולש 180⁰.

תלמיד ב: ההוכחה אינה טובה. מה מבטיח לנו ש- 360 המעלות מתחלקות בשווה בין שני המשולשים?
אך נוכל להיעזר בהנחת יסוד א שלנו, האומרת שניתן להעתיק משולש ממקום למקום, לסובב אותו ולהפוך אותו, בלי שהדבר ישנה את צלעותיו וזויותיו. אם לתפקיד המשולש הנוסף ניקח עותק של המשולש הנתון נהפוך אותו ונשים אותו כבציור שמימין, אז ההוכחה תהיה בסדר.

תלמיד א: לא צריך את זה. כמו שהִנחנו שלכל המרובעים אותו סכום זויות כך נוכל להניח גם שלכל המשולשים אותו סכום זויות.

תלמיד ג: יש לי משהו יותר פשוט. נהפוך את המשולש למרובע על-ידי הוספת קדקוד על אחת הצלעות. בקדקוד זה 180^o לכן בשאר הקדקודים יחד יש 180^o .

המורה: הנה באו אורחים מכדור הארץ. שלום אורחים יקרים.
התוכלו לומר לנו מי צודק ומי לא?

25 סטודנטים קיבלו את השאלה, התבקשו להשיב בכתב (להזדהות במספר בלבד), ואחר כך חולקו דפיהם מחדש לצורך תגובות. הסיכום שלהלן אינו מבחין בין מה שנכתב כתשובה ראשונית ובין מה שנכתב כתגובה, ובשני השלבים יכלו הסטודנטים גם לשוחח ביניהם על הענין.

כולם הסכימו שתלמיד א אינו צודק.

10 מתוך 25^.2  טענו שתלמיד ב הוכיח מקרה פרטי בלבד (וחלקם זכו להתנגדות הבודקים). עוד שניים (כנראה אותו סטודנט) פסלו את תלמיד ב בטענה שהוכיח A->Bבמקום B->A .

17 ( מתוך אותם 25^.2) טענו שתוקף הוכחתו של תלמיד ג תלוי בהגדרת מרובע.

6 מתוך אלה הזכירו במפורש שמדובר באופן שבו הוגדר מרובע באותה כתה או במקובל באותו כוכב.

18 פסלו את ההוכחה בטענה שמה שהתקבל אינו מרובע (בכמה מקרים טענו שלא יתכן שלאותה צורה גם סכום זויות 360^o וגם 180^o).

11 קיבלו את ההוכחה של ג (חלקם ציינו שהיא יפה במיוחד).

4 לא הגיבו על דברי תלמיד ג או לא אמרו משהו ברור.

ומה דעתכם?

תקציר| פירמידות המספרים

פירמידת המספרים הסודית

א. לפניכם פירמידה בה הוכנסו בשורה הראשונה המספרים: 2, 1, 4, 6
מהו הסוד של הפירמידה?
מצאו כיצד נקבעו המספרים בשאר השורות של הפירמידה.

ב. חזרו על פעולת המילוי של הפירמידה מספר פעמים כאשר אותם המספרים: 2, 1, 4 ו- 6 בתחתיתה אבל בסדר שונה.
כמה פירמידות שונות ניתן לקבל?

ג. מה צריך להיות סדר המספרים בשורה התחתונה כך שבפסגה יתקבל מספר הגדול ביותר? הקטן ביותר? נסו להסביר למה בסדר זה או אחר מתקבל בפסגה מספר גדול ביותר או קטן ביותר.

ד. קחו רביעיה אחרת של מספרים שלמים (חיוביים ושליליים) וחזרו על מילוי הפירמידה. נסו לקבוע בצורה כללית מה צריך להיות הסדר בין ארבעת המספרים שבתחתית הפירמידה על מנת שבפסגתה יתקבל מספר הגדול ביותר.

ה. לפירמידה הבאה הוכנסו לשורה הראשונה המספרים: -5, 2, 3, 4. באיזה סדר הוכנסו המספרים כך שבפיסגה יתקבל המספר אפס?

ו. לפירמידה הבאה הוכנסו בשורה הראשונה המספרים: 2 ו-15 ועוד שני מספרים כלשהם. בראש הפירמידה התקבל המספר 48. מצאו את הקשר בין x ו-y . כמה פירמידות ניתן לקבל?

מקור: http://nrich.maths.org

פירמידת המספרים העוקבים

Inline Frames

רשמו מספר שלם כלשהו בפינה השמאלית של השורה התחתונה של הפירמידה.

המשיכו לרשום מספרים עוקבים בשלושת המקומות הנותרים בשורה הראשונה.

כל מספר בפירמידה הוא סכום של שני המספרים שמתחתיו.

א. עבור אילו מספרים יתקבל בפסגה של הפירמידה מספר 84? מספר 44?

ב. הסבירו אילו מספרים ניתן לקבל בפסגה? האם ניתן לקבל כל מספר בראש הפירמידה?

ג. באחד המשחקונים התקבל בראש הפירמידה 140. מהו המספר שממנו הותחלה הפירמידה?

ד. אם נשנה את סדר המספרים בשורה הראשונה, האם ישתנה המספר בראש הפירמידה? בדקו את השערתכם והסבירו מדוע.

ה. ערכו מחקר דומה לגבי פירמידות גדולות יותר, בעלות 5 ו- 6 שורות.

מקור: http://nrich.maths.org

קישורים נוספים:

מתכונותיו של משולש פסקל - שמואל אביטל

תקציר|  פריסות אחרות | نشورات اخرى

1. היכן מסתתרת הקוביה?

א. כל אחת מהצורות A-H הבאות מורכבות מחמישה ריבועים ושני מלבנים. רק מחלקן ניתן לקפל לפי הקווים המקווקווים, ולבנות קובייה 1x1x1, ואילו מחלק מהצורות לא ניתן לבנות קובייה. התוכלו לזהות את הקוביות?

ב. כל אחת מהצורות A-H הבאות מורכבות מחמישה ריבועים ושני משולשים. רק מחלק ן ניתן לקפל לפי הקווים המקווקווים, ולבנות קובייה 1x1x1, ואילו מחלק מהצורות לא ניתן לבנות קובייה. התוכלו לזהות את הקוביות?

2. זוג מנסרות משולשות?

כל אחת מהצורות A-H הבאות מורכבות משלושה ריבועים ושני משולשים שווה צלעות אשר ניתן לקפלן לפי הקווים המקווקווים, ולבנות מנסרה משולשת.
מצאו את זוג המנסרות המשולשות אשר יתנו מנסרה באותן צבעים בדיוק, כפי שמתוארת במרכז.
התוכלו לזהות את השתיים?

מקור: http://www.puzzles.com/

מקורות נוספים:

משימות אוריינות- פיאונים: בין המשימות: פריסה של קובייה ותיבה, בניית מבנים מקוביות ועוד.

פעילות אינטראקטיבית לגילוי 11 הפריסות של הקובייה, מאת illuminations, NCTM

שחקו בפריסה של קובייה הונגרית – NRICH

פיצוחים בנושא גיאומטרית המרחב

תקציר| מהר יותר, גבוה יותר וחזק יותר

שימו לב כי בחלק מהבעיות עליכם להניח הנחות שאינן נתונות בשאלה, או לחפש נתונים שלא מופיעים בה.

במשחקים האולימפיים ב-2008, דרישות הסף לריצת 200 מטר לנשים הייתה 11.32 שניות. כיצד תוכלו להשוות מהירות זו למהירות של מכונית ?

באולימפיאדת בייג'ינג ב-2008, זכתה האצנית שלי-אן פרייזר מג'מייקה, בריצת 100 מטר לנשים, בזמן של 10.78 שניות. אם היא הייתה ממשיכה לרוץ עוד 100 מטרים, בכמה היא הייתה משיגה אצנית שעמדה בתנאי הסף (11.32 שניות) ?

דמיינו כי אתם מתחרים בריצת 200 מטר עם יוסיין בולט. בכמה מטרים הוא ישיג אתכם? (אם בכלל...)

באליפות העולם לאתלטיקה 2009, שבר האלוף האולימפי יוסיין בולט, את שיא העולם בריצת 100 מטר וקבע זמן של 9.58 שניות. בולט שיפר את השיא שקבע הוא בעצמו באולימפיאדת ביג'ין 9.69 שניות. בכמה מטרים השיג בולט את עצמו?

באימון שחיה לקראת אולימפיאדת לונדון ב-2012, שני שחיינים שוחים משני קצוות מנוגדים של הבריכה, במהירות קבועה אך שונה זה מזה. בפעם הראשונה נפגשו 30 מטר מקצה האחד של הבריכה. בפעם הבאה נפגשו 20 מטר מהקצה השני של הבריכה. מה אורכה של הבריכה ומתי יפגשו שוב?

במרוץ אופניים בזירה סגורה במסלול הוולדרום (מלבן ושני חצאי עיגול), רוכב A מסיים סיבוב שלם כשהוא על הקו הכחול. באותו זמן סיימו סיבוב גם רוכב B אשר רכב 1 מטר פנימה מהקו הכחול ורוכב C שרכב 2 מטר מחוץ לקו הכחול. איזה מרחקים שונים רכבו רוכבי האופניים? מיהו הרוכב המהיר ביניהם ומהי מהירותו?

מקור הפעילות: "מתמטיקה וספורט – הספירה לאחור לאולימפיאדה 2012":
Maths and Sport: Countdown to the Games,
מאמרים ופעילויות בנשוא ספורט ומתמטיקה מאת אוניברסיטת קיימבריג', אנגליה.

   מקורות נוספים לפעילויות של ספורט ומתמטיקה:

מתוך הפיצוח יום פאי שמח: "מרוץ הפאי", פעילות על תכנון מסלול המירוצים באולימפיאדה.

"מתמטיקה וספורט – הספירה לאחור לאולימפיאדה 2012":
Maths and Sport: Countdown to the Games, מאמרים ופעילויות בנושא ספורט ומתמטיקה מאת אוניברסיטת קיימבריג', אנגליה.

מתמטיקה וספורט – Math and sport, פרק מתוך הספר The Mathematical Collage, אשר בא להמחיש את הקשר של מתמטיקה לחיי היום יום.

מתמטיקה וספורט – אוסף פעילויות, פוסטרים ומאמרים מתוך חודש המודעות המתמטית 2010 Mathematics Awareness Month, .

על הדגל האולימפי – פעילות בהסתברות וקומבינטוריקה ועוד, מאת מחוז תל אביב

על הלפיד האולימפי – אוסף פעילויות על מסלול הלפיד וענפי הספורט השונים באולימפיאדה, מאת מחוז תל אביב

?Can Mathematics Help Usain Bolt Run Faster – כתבה ב- Science Daily, הצעות מתמטיות לאצן האולימפי כיצד לשפר את שיאי העולם שקבע.

Math in Basketball – פעילות אינטראקטיבית מלווה בסרט וידאו המסביר כיצד ניתן לתכנן את הקליעה המושלמת לסל בעזרת המתמטיקה.

בעיות תנועה

פתרון גרפי

תקציר| בתנועה מתמדת| פתרונות| حركتنا مستم ّرة

1. שני חברים יצאו לדרך, בים בם בום....

תמי וניר שכנים בבית משותף ולומדים באותה כיתה. כל בוקר הם יוצאים יחדיו ברגל מביתם בשביל המוביל לבית הספר. יום אחד הם התחילו ללכת ביחד באותו קצב (v₁).

ניר המשיך ללכת באותה המהירות מחצית מהזמן ולאחר מכן הלך במהירות איטית יותר (v₂) עד הגיעו לבית הספר. לעומתו תמי המשיכה באותה מהירות חצי מהדרך (v₁), ובמחצית השנייה של הדרך, האטה והלכה במהירות האיטית של ניר (v₂).

א. התוכלו לקבוע מי הגיע ראשון לבית הספר?

ב. אם היו תמי וניר מתחילים במהירות איטית יותר, ולאחר מכן מגבירים את הקצב.
   מי אז היה מגיע ראשון לבית הספר ?

הנחיה – תארו את הבעיה במערכת צירים והיעזרו ביישום הדינאמי.

2. ארבעה כלי רכב יצאו לדרך

אופניים, טרקטור, אופנוע ומכונית נסעו בכביש דו סטרי, כל אחד מהם במהירות קבועה משלו.

המכונית עקפה את הטרקטור בשעה 12:30 , חלפה על פני האופניים בשעה 13:00 ופגשה את האופנוע בשעה 13:30. האופנוע פגש את הטרקטור ב- 13:45 וחלף על פני האופניים בשעה 14:15.

באיזו שעה נפגשו האופניים והטרקטור?

הנחיה – תארו את הבעיה במערכת צירים והיעזרו ביישום הדינאמי.
הוכיחו את טענתכם גם באופן אלגברי.

3. חידת הנזיר

נזיר הינדי יצא מכפרו עם שחר והחל לטפס לאיטו בשביל התלול, המוליך אל המנזר שעל פסגת ההר. הנזיר הספיק להגיע למנזר, לתפילה בשעת השקיעה.

למחרת עם שחר, בדיוק באותה שעה, שהחל לטפס ביום קודם, יצא הנזיר מהמנזר והחל יורד במהירות אל הכפר לאורך אותו שביל. הוא עצר למנוחת צהריים במעיין והמשיך והגיע אל ביתו בכפר בשעת השקיעה.

האם יתכן כי בשני הימים היה מקום שאליו הגיע הנזיר בדיוק באותה שעה גם בעלייה וגם בירידה?

מקורות:

• "שאלות מילוליות במשתנה אחד בגישה הגרפית" ,שוש גלעד, הוצאת מטח, 2000
• nrich

פיצוחים נוספים בנושא בעיות תנועה:

מרוץ מכוניות דינאמי - בפיצוח הפנייה לסימולציה של בעיית תנועה, למאמר העוסק בסגנונות למידה שונים, ובעיות תנועה רבות בספר האלקטרוני "לראות מתמטיקה- פונקציות" של מטח.

בעיות בתנועה בדרך אחרת - הפיצוח עוסק בפתרון בדרכים לא שגרתיות של בעיות תנועה ברמה של 4-5 יח"ל. התנועה מתוארת בגרפים של פונקציות, וסיפור הבעיה ופתרונו נקרא מתוך הגרף.

בעיית תנועה - כוונים מנוגדים - עיבוד של שאלת בגרות ברמת 3 יח"ל, מתוך מאגר היישומים הדינאמיים.

מהר יותר, גבוה יותר וחזק יותר – בעיות תנועה מתוך מציאות האולימפיאדה. שימו לב כי הבעיות מנוסחות קצת אחרת מספרי הלימוד, ובחלקן יש להניח הנחות שאינן נתונות בשאלה, או לחפש נתונים שלא מופיעים בה.

תקציר| ממוצעי פיתגורס ועוד| פתרון| حلول

האגדה מספרת שפיתגורס, המתמטיקאי היווני הנודע מימי יוון הקדומה ( 500 לפנה"ס), עבר פעם ליד חרש ברזל והתאהב בצלילי דפיקות הפטיש שהיו נעימים לאוזנו. הוא בדק ומצא, כי משקלי הפטישים היו 6, 8, 9, ו-12 ק"ג. היחסים בין משקלי הפטישים הפיקו צלילים הרמוניים.

מה מיוחד כל כך במספרים אלה? שאל.

הוא מצא כי הממוצע החשבוני בין 6 ל-12 הוא

ואילו הממוצע ההרמוני בין 6 ל-12 הוא

פיתגורס בדק גם כלי פריטה וגילה שקיים קשר מתמטי בין אורך המיתר, שעליו פורטים, ובין גובה הצליל: כשמתקיים יחס מסוים בין אורכי המיתרים, נוצרת הרמוניה בין הצלילים. כך הפך פיתגורס לראשון שהראה כי יש קשר הדוק בין מדע מדויק לבין מוסיקה.

1. מהירות ממוצעת

א. לטיול השנתי נסענו באוטובוס בכביש המהיר. בשל עומס כבד בתנועה נסע האוטובוס לאיטו במהירות של 40 קמ"ש חצי מהדרך. ובחצי השני של הדרך הצליח להגביר את מהירותו ל-80 קמ"ש. האם מהירותו הממוצעת בדרך כולה הייתה 60 קמ"ש? יותר, או פחות?

ב. באיזו מהירות היה צריך האוטובוס לנסוע בחצי הדרך השנייה בכדי שמהירותו הממוצעת תהיה 80 קמ"ש?

ג. מכונית עברה דרך של 40 ק"מ במהירות ממוצעת של 40 קמ"ש. מה צריכה להיות מהירותה הממוצעת ב-40 הק"מ הבאים כדי שמהירותה הממוצעת לאורך כל 80 הק"מ תהיה 80 קמ"ש?

2. ממוצעים בין מלבן וריבוע

נתון מלבן שמידותיו x ו-y. נשאל את עצמנו שאלות אחדות:

א. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע שהיקפו ישווה להיקף המלבן?

ב. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע ששטחו ישווה לשטח המלבן?

ג. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע שאלכסונו ישווה לאלכסון המלבן?

ד. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע שהיחס בין שטחו להיקפו ישווה ליחס בין שטח והיקף המלבן?

הידעתם?

כאשר חוקרים את תפקודם הביולוגי של גופים חיים יש חשיבות עיקרית לא לנפח הגוף בפני עצמו, או לשטח חיצוני של הגוף בפני עצמו, אלא ליחס שבין הנפח לשטח הגוף. באותה מידה בצורות שטוחות יש חשיבות ליחס שבין שטח הצורה להיקפה. למשל, מדינה שקו הגבול שלה ארוך מאוד ביחס לשטחה יש לה בעיות ביטחוניות מסובכות. באיזה ממוצע כדאי להשתמש?

3. מי גדול יותר?

נכיר ארבעה ממוצעים בין שני מספרים a ו- b הנפוצים ביותר.
שלושת הראשונים נקראים ממוצעי פיתגורס.



א. חשבו את ארבעת הממוצעים השונים בין המספרים 4 ו-12 ובין 9 ו-16.
סדרו את הממוצעים על פי גודלם.
בדקו ביישום הדינאמי.

ב. הסבירו על פי האיור הבא מדוע הממוצע החשבוני גדול מן הממוצע הגיאומטרי.

ג. הסבירו על פי היישום הדינאמי מדוע האורכים A, G ו-H הם שלושת ממוצעי פיתגורס של האורכים a ו-b.
מי גדול ממי?

ד. הוכיחו כי:

ה. הוכיחו באיור כי:

ו. סדרו את ארבעת הממוצעים על פי גודלם.

4. ארבעה ממוצעים בטרפז

הוכיחו כי:

1. קטע אמצעים בטרפז שווה לממוצע החשבוני של בסיסי הטרפז.

2. קטע מקביל לבסיסי הטרפז המחלק לשני טרפזים דומים שווה לממוצע הגיאומטרי של בסיסי הטרפז.

3. קטע מקביל בטרפז העובר דרך מפגש אלכסוניו שווה לממוצע ההרמוני של בסיסי הטרפז.

4. קטע מקביל לבסיסי הטרפז המחלק לשני טרפזים שווי שטח, שווה לממוצע הריבועי של בסיסי הטרפז.

מקורות והרחבה:

שלושת הממוצעים – פרופ' אביטל - גליונות לחשבון מס 7

על ממוצעים שונים – פרופ' אביטל – גליונות לחשבון מס 62

ממוצעים ומוסיקה – מייקל נ. פריד – על"ה 30, 2003

שבעה ממוצעים שונים בטרפז – נתן ויזדום - אוניברסיטת ג'ורג'יה

הוכחות ויזואליות ללא מילים (כמעט) - אורית זסלבסקי, גרייסי ויניצקי.

תקציר| מרובע שכזה| פתרון| شكل شكل رباعي كهذا

קפלו דף מלבני לאורכו ולרוחבו כך שיתקבלו בפתיחת הדף ארבעה מלבנים חופפים (ראו איור) כעת סמנו על כל קטע מארבעת הקטעים שהתקבלו (הקיפולים) נקודה כלשהי, וחברו את הנקודות כך שיתקבל מרובע.

המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי, Created with GeoGebra

1. חשבו ובדקו. תוכלו לנסות מצבים שונים ביישום הדינאמי.

א. אילו מרובעים ניתן לקבל?

ב. אילו מרובעים לא ניתן לקבל?

ג. האם ניתן ליצור מרובע קעור?

ד. האם אלכסוני המרובע שהתקבל תמיד יהוו קווי סימטריה?

ה. מה נקבל אם כל הנקודות יהיו באותו מרחק מהנקודה המרכזית (M)?

ו. מה נקבל אם רק זוג אחד של נקודות ימצא במרחק שווה מהנקודה המרכזית? האם יש יותר מאפשרות אחת?

2. נמצא את שטח המרובע שאלכסוניו מאונכים בעזרת קיפולי נייר.

גזרו את אחד המרובעים שיצרתם אשר אלכסוניו מאונכים.

א. קפלו שני קודקודים נגדיים אל נקודת המפגש של האלכסונים.

ב. קפלו את שני הקודקודים האחרים אל נקודת מפגש האלכסונים כך שתתקבל מעין מעטפה.



ג. איזה מרובע התקבל? נמקו.
כיצד ניתן לקבל ריבוע?

ד. מה הקשר בין צלעותיו לאלכסוני המרובע המקורי? הסבירו.

ה. איזה חלק מהווה המרובע שהתקבל משטח המרובע המקורי? כיצד מצאתם?

ו. אם ידוע כי אורכי האלכסונים של המרובע הם 6 ו-8 ס"מ. מה שטח המרובעים?
   בדקו ביישום הדינאמי.
   אם נסמן את אורכי האלכסונים של המרובע ב-x ו-y ס"מ. הביעו את שטח המרובעים.

מקורות

1. המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך היסודי, מעובד מתוך הרצאה של ג'וני אוברמן.
2. "אקפלה" – ספר מאת גיא פז, קיפולי נייר ומתמטיקה.

המשך: איזהו המעוין החסום במלבן

תקציר |מרובע שכזה| פתרון| شكل شكل رباعي كهذا

במלבן ABCD חסום מרובע APCQ.

1. הזיזו את נקודות Q ו-P ביישום הדינאמי ומצאו את מיקומן כך שהמרובע APCQ יהיה:

א. מקבילית. כמה מקביליות יתכנו?

ב. מעוין. כמה מעוינים יתכנו?

ג. רשמו מהו התנאי לכך שהמרובע יהיה מקבילית? שיהיה מעוין?

המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי, Created with GeoGebra

2. ברשותכם מלבן שמידותיו 3x6 סמ"ר.

א. חשבו את אורך צלע המעוין החסום במלבן. (רמז – זוכרים את משפט פיתגורס?)

ב. חשבו מהו היחס בין שטח המעוין לשטח המלבן.

ג. שנו ביישום הדינאמי את גובה המלבן (גררו את הנקודה C). האם עדיין המרובע החסום הוא מעוין? האם השתנה יחס השטחים? הסבירו.

3. ברשותכם נייר מדפסת A4 (אשר יחס צלעות המלבן שלו הן )

א. חשבו את אורך צלע המעוין החסום במלבן.

ב. חשבו את היחס בין שטח המעוין לשטח המלבן.

ג. לפניך נייר בגודל A4.

הסתמכו על תכונות המעוין והראו כיצד ניתן לקפלו כך שיהיה חסום בתוכו מעוין.

4. ברשותכם מלבן שמידותיו axb סמ"ר.

א. הביעו בעזרת a ו-b את אורך צלע המעוין החסום במלבן.

ב. הביעו בעזרת a ו-b את היחס בין שטח המעוין לשטח המלבן.

ג. הראו בדרך אלגברית ובדרך גיאומטרית כי קיים מעוין אחד בלבד החסום במלבן.

הקודם: מרובע שכזה - שאלכסוניו מאונכים

תקציר| פרבולות בתנועה| פתרונות

א. צפו בפרבולה המתנועעת בכל אחד מהסרטונים.
מצאו מהי התבנית האלגברית, עם פרמטר אחד בלבד, שיוצרת את תנועת הפרבולה. שימו לב באיזה ייצוג של הפונקציה הריבועית כדאי להשתמש.

1. הפרבולה מטפסת על מגדל

2. הפרבולה בים

3. לטפס על קשת בענן (ישר)

1.

4. שתי פרבולות בתנועה זו אל זו

5. הפרבולה מתגלגלת על הקשת (פרבולה)

ב. צפו בריקוד הפרבולות בסרטון הבא:

מצאו מהי התבנית האלגברית של כל אחת מארבע הפרבולות, עם פרמטר אחד בלבד, שיוצרות את תנועתן.
שימו לב באיזה ייצוג של הפונקציה הריבועית כדאי להשתמש.

ג. צפו במסלול קודקוד הפרבולה .

תארו מהו מסלול קודקוד הפרבולה כאשר משנים את הפרמטר b בתבנית.
נמקו והוכיחו את השערתכם.

ועוד פונקציות בתנועה:

כיתה רוקדת את ריקוד הפרבולות – צעדי הריקוד הם פונקציות! מאת איתן לירון.

ריקוד הפונקציות – מצגת מלווה במוסיקה בה צעדי ריקוד של פונקציות, מקור TES , רשת מורים אנגלית.

Angry birds - יישום המבוסס על המשחק הפופולרי. על התלמיד להתאים את הפונקציה הריבועית המתאימה למסלול.

המזרקה – יש להתאים פונקציה ריבועית לתמונה נתונה של פרבולות (כמזרקה), על ידי שינוי הפרמטרים בהצגה הקודקודית.



לדמיין את המספרים המדומים

תקציר | לדמיין את המספרים המדומים |פתרון  | لنتخيّل الأعداد الخياليّة

בפעילות זו נחפש את הקשר בין השורשים המרוכבים של משוואה ריבועית לגרף הפרבולה שלה. היעזרו ביישום הדינאמי.

א. נתונה הפונקציה:

מהם הפתרונות של המשוואה: ?

מהו קדקוד הפרבולה? מהו ציר הסימטריה?

תארו את מיקום השורשים הממשיים ביחס לציר הסימטריה והקדקוד.



ב.נתונה הפונקציה: .

מהם הפתרונות של המשוואה: ? כמה פתרונות ממשיים שונים?

תארו את מיקום השורשים הממשיים ביחס לציר הסימטריה והקדקוד.





ג. נתונה הפונקציה: .

מהם הפתרונות הממשיים של המשוואה ?

מהו ציר הסימטריה של הפרבולה?

מצאו את השורשים המרוכבים של המשוואה.

תארו את מיקומם של השורשים המורכבים ביחס לציר הסימטריה והקדקוד.

ידוע לנו כי למשוואה ריבועית זו, אשר הפרבולה שלה "מרחפת", שני שורשים מרוכבים. אך השאלה היכן הם? ומדוע לא נוכל לראות אותם על הגרף? באופן מפתיע, אנו נמצא דרך פשוטה לאתר את השורשים בעזרת גרף הפרבולה וגרף נוסף שנקרא לו "האחות של הפרבולה". נזכור כי במישור המרוכב, ציר ה-x מייצג את החלק הממשי של המספר וציר ה-y מייצג את החלק המדומה.

ד. נתונה משפחת הפונקציות: .

הציגו ביישומון את שורשי המשוואה . מה ניתן לומר על שני השורשים המרוכבים ועל מיקומם ביחס לציר הסימטריה?

שנו את הערך k ובדקו כיצד משתנים שורשי המשוואה. הביעו בעזרת k את שורשי המשוואה .

שנו את הערך p ובדקו כיצד משתנים שורשי המשוואה. הביעו בעזרת p את שורשי המשוואה .

הביעו בעזרת k ו-p את שורשי המשוואה . הוכיחו אלגברית.

הביעו בעזרת k ו-p את שורשי המשוואה . הוכיחו אלגברית.

ה. ניצור את גרף "האחות של הפרבולה" בעזרתו נאתר את מיקום השורשים המרוכבים.

שקפו את הפרבולה ביחס לישר y=4 וקבלו את גרף "האחות של הפרבולה". תארו את הגרף שלה ותנו ביטוי אלגברי למשוואתה.

ו. ניתן לומר על ארבעת השורשים של שתי הפרבולות האחיות?

ז. הסבירו את התהליך של מציאת השורשים המרוכבים ביחס לגרף הפרבולה, וחזרו על התהליך עבור המשוואה : .

ח. הביעו את שורשי המשוואה ואת שורשי משוואת הפרבולה האחות, בעזרת a,k,p. הוכיחו באופן אלגברי את הקשר בין השורשים.

מימדים – פרק 5 – מספרים מרוכבים

סרטון מרהיב, החמישי בסידרה "מימדים", בו מציג בפנינו המתמטיקאי הצרפתי אדריאן דואדי את הצד הגיאומטרי של המספרים המרוכבים, וכיצד ניתן לראות את המישור הממשי כישר מרוכב.

קישורים נוספים בנושא מספרים מרוכבים

הצעת פתיחה לנושא מספרים מרוכבים – גילה רון. הצגה יצירתית וקצת אחרת של המספרים המרוכבים.

בסיס אינטואיטיבי למשפט היסודי של האלגברה - מובשוביץ-הדר, זסלבסקי ושמוקלר, על"ה 16.

בשביל מה אנחנו לומדים על מספרים מרוכבים ומה עושים עם זה? שלמה יונה

מספרים מרוכבים - חוברת עזר בנושא מספרים מרוכבים שנכתבה על ידי שלמה מלמן

כיצד נולדו המספרים? מצגת הסוקרת את ההתפתחות ההיסטורית המספרים עד להופעת המרוכבים.

יישומונים

השורשים מסדר n

פעולות שונות במספרים מכוונים בייצוג הגרפי –cut the knot

Location of Complex Roots of a Real Quadratic – יישום של wolfram המציג את שורשי המשוואה הריבועית בתלת מימד.

סרטונים

מורה פרטי 5 יח': מספרים מרוכבים א' – שיעור VOD מאת הטלוויזיה החינוכית

מימדים – פרק 5 – מספרים מרוכבים

המשוואה של בטמן - Batman Equation - Numberphile

המבוך של גלטון

תקציר| המבוך של גלטון|متاهة غالتون

בואו נשחק במשחק "המבוך של גלטון", או כפי שהוא מכונה גם מכונת גלטון.
המשחק מורכב מלוח של מסמרים המסודרים כמשולש ב-7 שורות. זורקים כדור מראש הלוח, הכדור עושה דרכו מלמעלה עד למטה, כך שבכל פעם פוגע במסמר וממשיך את דרכו ימינה או שמאלה באופן אקראי וכך הלאה, עד שהוא מגיע לאחד התאים בתחתית הלוח.

1.א. באפשרותך להמר, ולבחור את התא הזוכה. הפעילו את הסימולציה והפילו כדור. (הנחיות)
האם הכדור הגיע לתא שבחרת?

הפעילו את הסימולציה 10 פעמים, כמה כדורים פגעו בתא שבחרת?

הפעילו 100 פעמים, כמה כדורים פגעו בתא שבחרת? (ניתן להפיל את הכדורים באופן רציף ולעצור כש-n קרוב ל-100). לאיזה תא נכנסו רוב הכדורים?

שרטטו סקיצה של גרף העמודות ואפיינו את צורתו.

הידעתם?

משחק המבוך הומצא על-ידי פרנסיס גלטון (Francis Galton, 1822-1911). גלטון היה מדען אנגלי שחקר תופעות שונות, בעיקר תופעות תורשה, באמצעות הסתברות וסטטיסטיקה. גלטון נחשב לחלוץ בתחום שנקרא ״חוכמת ההמונים״ ונודע בעקבות הסיפור על השור.. בשוק שוורים נערך משחק הימורים בו המבקרים התבקשו להעריך את משקלו של שור. להפתעתו של גלטון אף איש וגם אף לא אחד מהמומחים לא הצליח להעריך את המשקל האמיתי של השור, אך הממוצע של כל ההערכות היה קרוב מאד למשקל האמיתי. ממוצע ההימורים של ההדיוטות בכיכר היה 542.9 קילוגרם. משקלו האמיתי של השור היה 543.4 קילוגרם! ב 2012 – שיחזר את הניסוי, מומחה ישראלי לחכמת ההמונים, בהרצאת TED והביא לבימה שור אמיתי...

צפו בכתבה במאקו על חכמת ההמונים ופתרון משברים עם ליאור צורף.

ב. נעם בחר בתא A₂ כמנצח. תארו מסלול אפשרי שבו הכדור נופל ל- A₂.

רשמו את כל המסלולים ל- A₂, למשל LLRRLLL. כמה מסלולים אפשריים לתא זה?

שימו לב כמה פעמים פנה הכדור ימינה, וכמה פעמים פנה שמאלה בכל אחד מהמסלולים האפשריים לתא זה. האם קיים תא נוסף במבוך שיש לו אותו מספר מסלולים?

ג. השלימו לאיזה תא יגיע הכדור אם מסלולו יהיה:

ד. הפעילו את הסימולציה 500 פעמים, והשלימו את טבלת השכיחויות על פי הניסוי:

ה. שרטטו סקיצה לגרף העמודות ואפיינו את צורתו.

"זה החוק העליון של חוסר ההגיון. בכל פעם שיש כמות גדולה וכאוטית של נתונים, אתה מצעיד אותם לפי סדר הגודל שלהם ואז מופיעה, באופן מפתיע ויפהפה, צורה של סדר שהייתה סמויה לאורך כל הדרך"  Fransis Galton

התפלגות נורמלית, הנקראת גם התפלגות גאוס או עקומת הפעמון, הנה בלי ספק צורת ההתפלגות השימושית ביותר בכל תחומי המדע, החל מסטטיסטיקה, דרך ביולוגיה ועד מדעי החברה. בהתפלגות זו ניתן להשתמש לתיאור הפילוג של תוצאות ניסוי, התפלגות ממוצע ציונים בכיתה, התפלגות מנת המשכל במדגם אוכלוסייה, התפלגות מחיר של מניה ועוד ועוד . קראו על עקומת הפעמון במכון דוידסון ואצל הידען

2. כיצד נחשב את ההסתברויות השונות של הכדור הנופל בלוח גלטון?

א. נתבונן בלוח גלטון מוקטן , בעל שתי שורות בלבד. ברור שלכדור הנופל יש שתי אפשרויות בלבד בדרכו, שמאלה (L) או ימינה (R). מהי ההסתברות שיגיע לתא השמאלי?

ב. נוסיף שורה ללוח גלטון.

השלימו את תיאור המסלולים לכל תא.

בכמה מסלולים יכול הכדור להגיע לתא האמצעי?

מה מספר המסלולים האפשרי להגיע לכל אחד מהתאים בשורה השנייה?

מה ההסתברות שהכדור יפול לתא האמצעי?

ג. מתואר עץ המתאים לכדור הנופל בלוח גלטון.

ד. רשמו על העץ, בכל תא את כל המסלולים של הכדור המגיע אליו. (L שמאל, R ימין)

ה. רשמו על העץ, בכל תא את מספר המסלולים האפשריים להגיע אליו.

ו. רשמו על העץ, בכל ענף את ההסתברות להגיע אליו.

3. המבוך של גלטון הוצב בשיפוע. כיצד ישתנה המשחק בו?

כיצד ישתנו ההסתברויות אם הסיכוי של הכדור ליפול ימינה גדול יותר מהסיכוי ליפול שמאלה....

התנסו במשחק בעזרת הסימולציה.

בחרו בלוח של 7 שורות ושנו את P.

א. כיצד ישתנה גרף העמודות? במה הוא שונה מגרף הפעמון שהכרנו קודם?

ב. מה ההסתברות שכדור יפול לתא A2, אם ההסתברות של כדור לפול שמאלה היא 0.6?

ג. מה ההסתברות שכדור יפול לתא A1, אם ההסתברות של כדור לפול שמאלה היא 0.6? ולתא A6? פרטו כיצד חישבתם.

ד. רשמו נוסחה להסתברות שכדור יפול בתא k בלוח גלטון של 7 שורות.

ה. רשמו נוסחה להסתברות שכדור יפול בתא k בלוח גלטון של n שורות.

הידעתם?

חוק המספרים הגדולים של ברנולי אומר שאם חוזרים על ניסוי אקראי, כמו נפילת כדור בלוח גלטון, מספר רב של פעמים, השכיחות היחסית הנצפית בניסוי קרובה להסתברות התיאורטית. חוק המספרים הגדולים התגלה במאה ה-18 על ידי המתמטיקאי השוויצרי, ברנולי, והוא שינה את החשיבה על הסתברות, מקביעה של אירוע בדיד לחיזוי של התנהגות לטווח ארוך. ברנולי העיד שזהו חוק טריוויאלי, כל כך פשוט כך שכל הדיוט מכיר. ולמרות זאת לקח לו כ-20 שנה להוכיח את המשפט באופן מתמטי.

קראו עוד על חוק המספרים הגדולים של ברנולי, מאמר בבלוג נסיכת המדעים.

סרטונים

שני סרטוני הוראה של התפלגות בינומיאלית בעזרת כדור הנופל בלוח גלטון.

קישורים

לוח גלטון – יחידה אינטראקטיבית המלווה צעד אחר צעד את חישובי הסתברויות של נפילת כדור בלוח גלטון, התרשמות מגרף השכיחויות שבמספרים גדולים מתאר התפגות בינומית, עיסוק במשפט המספרים הגדולים ומשפט הגבול המרכזי.

יחידה מתוקשבת בנושא הסתברות למורים, הכוללת סרטים ויישומים אינטראקטיביים, ובה רקע על מדע ההסתברות, סקירה היסטורית, בחינת המשפט של המספרים הגדולים ומשפט הגבול המרכזי, חקר של משחקי מזל ויישומיהם והרחבה על מודל הסתברותי להבנת פקקי תנועה כמו גם שוק המניות. ביחידה חקר המשחק המבוך של גלטון כהמחשה של הנושאים הללו. מומלץ לצפות בהרצאה המסכמת.

יחידה מס 8: משולש פסקל, מצויינות ויצמן כוללת שתי חידות בשימוש עם מכונת גלטון.

יופיה של המתמטיקה – הסתברות, מצגת מאת גיל קלעי והרצאה מצולמת.

מוצג לא נורמי (או בעצם כן נורמלי)- פוסט מאת "אבא יש רק אחד", תיאור חוויתי במוזיאון המדע בבוסטון בו מוצג לוח גלטון.

יישום דינאמי של לוח גלטון מאת PHET

יישום דינאמי ללוח גלטון מאת math is fun.

משולש פסקל בויקיפדיה

תקציר| מעגלים מתגלגלים| دوائر متدحرجة

1. דו-אופן ותלת אופן

שני מעגלים מתגלגלים בתוך מעגל גדול, משיקים כל העת זה לזה ולמעגל החוסם אותם. שני המעגלים הקטנים יותר, מרכזיהם B ו-C משיקים זה לזה חסומים בתוך מעגל גדול יותר שמרכזו A.

סובבו ביישומון את הנקודה B וחקרו את המעגלים המתגלגלים.

א. האם וכיצד משתנה היקף המשולש ABC ? נמקו.

ב. מה היחס בין היקף המשולש לקוטר המעגל הגדול?

ג. אם נשנה את גודל המעגלים, כיצד ישתנה היקף המשולש ABC ? הסבירו.

ד. הוסיפו לשני המעגלים המתגלגלים מעגל נוסף שמרכזו בנקודה D. אם נשנה את גודל המעגלים כיצד ישתנה היקף המרובע ABCD? התנסו ביישומון.

2. המשולש המתגלגל

המשולש ABC חסום בין הקירות המאונכים והכדור המשיק לקירות.

חקרו ביישום הדינאמי כיצד משתנה היקף המשולש? למה הוא שווה?

3. כובע ליצן

כובע הליצן בנוי ממשולש שווה צלעות, בתוכו חסום עיגול קטן שרדיוסו 10 סנטימטר וחצי עיגול המשיק לעיגול הקטן ולצלעות המשולש.

א. מצאו מהו רדיוס חצי העיגול הגדול.

ב. מהו אורך צלע המשולש?

4. פרחים

סביב מרכז הפרח העגול מסודרים עלי הכותרת העגולים השווים בגודלם.

א. לפניכם שלושה פרחים: הפרח המשולש, הפרח המרובע, הפרח המשושה.

חשבו בכל פרח את היחס בין הרדיוס של המעגל הפנימי לבין רדיוס המעגל החיצוני.

העזרו ביישומון

ב. למתקדמים (דרוש ידע בטריגונומטריה).

לפניכם פרח עם 12 עלי כותרת. חשבו את היחס בין הרדיוס של המעגל הפנימי לבין רדיוס המעגל החיצוני.

ג. חשבו את היחס בין הרדיוס של המעגל הפנימי לבין רדיוס המעגל החיצוני בפרח בו n עלי כותרת.

הידעתם מה זה סנגקו (sangaku)?

במאה ה-17-19 שלטו השוגונים ביפן. היפנים חיו בניתוק מהמערב ולא נחשפו להתפתחויות המדעיות המערביות, אך התפתחה ופרחה מתמטיקה מקומית. מנהג עתיק היה לתלות תחת גגות של מקדשים וקברים, לוחות עץ צבעוניים עליהם צוירו בעיות גיאומטריות יפהפיות. לוחות אלו נקראו סנגקו, נתלו כאות הערכה ותודה לקדושים והזמינו את באי המקדש להתפלל וגם לפתור את החידות! לרוב בעיות ה sangaku יש סגנון מיוחד. הן מרבות לעסוק במעגלים, ריבועים, אליפסות, וכדורים במרחב, הנוגעים זה בזה. קראו עוד.

קישורים נוספים

פיצויחם בנושא מעגלים:

יישומים דינאמיים - משפטים ובעיות בנושא פאי, המעגל, בעיות עם מעגל

אוצרות פיתגורס – פיצוח ובו בעיות עם מעגלים משיקים ופתרונן בעזרת משפט פיתגורס.

חידת סנגקו בגאוגברה, וידאו המסביר כיצד לבנות בגאוגברה בתוך מעגל שלושה מעגלים משיקים זה לזה ומשיקים למעגל הגדול החוסם אותם.

בעיה הלקוחה מגיאומטריית המקדשים היפנית - אליהו לוי, הטכניון.

Japanese tample geometry -
,Tony Rothman , Scientific American May 1998 - מאמר המתאר את מסורת הסנגוקו, חידות גיאומטריות יפניות עם מעגלים וכדורים ואת פתרונן.

פלקסגון – קיפול ניר צבעוני עם חידות סנגוקו

התנהגות מתמטית בעלת גוון של שימור - שלמה חריר, משה סטופל, על"ה 35.

שרשרת שטיינר

תקציר| מה לעז ולגיאומטריה?| ما للعنزة والهندسة؟

1. במרכז שדה ריבועי 5x5 מ"ר, קשורה בחבל עז רעבתנית, האוכלת כל עשב הנקרה בדרכה.

א. מה צריך להיות אורך החבל כך שתאכל רק חצי מהשדה? מהי צורת השטח שתאכל העז?
התנסו ביישומון

ב. מהו אורך החבל הגדול ביותר שניתן לקשור בשדה זה? איזה חלק של השדה תאכל אז העז?

2. בתוך שדה רחב נמצא שטח מרוצף ריבועי שאורך צלעו 2 מטר. אל קצות השטח קשורה עז בלולאה בחבל באורך 1 מטר.
העז מסתובבת סביב השטח המגודר ואוכלת את כל העשב אליו היא מגיעה.

התנסו ביישומון,

הזיזו את הלולאה של החבל סביב, וענו:

א. מהי צורת השטח שתאכל העז? חשבו את השטח של העשב הנאכל. הסבירו.
ב. בשדה אחר העז הרעבתנית נקשרה לשטח בצורת מחומש משוכלל שאורך צלעו 2 מטרים. מהי צורת השטח שתאכל העז הפעם? חשבו את השטח של העשב הנאכל. הסבירו.
ג. כיצד ישתנה השטח שתאכל העז אם השטח יהיה בצורת משושה משוכלל שאורך צלעו 2 מטרים? משולש שווה צלעות?
ד. הכלילו מהי צורת השטח שתאכל העז סביב שטח בצורת מצולע משוכלל בעל n צלעות? הביעו את שטחו בעזרת n.

3. במרכז שדה נמצא שטח מגודר מלבני ומרוצף בגודל 4x6 מ"ר. עז רעבתנית קשורה האחת הנקודות על הצלע CD.
נסו לשער בכל אחד מהמקרים הבאים את צורת השטח שתאכל העז ואת שטחה.
בדקו ביישומון.

א. העז קשורה אל הקודקוד C בחבל שאורכו 3 מטרים, 4 מטרים, 5 מטרים, 10 מטרים.
ב. העז קשורה אל אמצע הצלע CD בחבל שאורכו 3 מטרים, 4 מטרים, 5 מטרים, 10 מטרים.
ג. היכן לדעתכם נקשרה העז, אם צורת השדה שהתקבלה כבאיור הבא.
ד. אורך החבל 10 מטרים, היכן יש לקשור את העז על הצלע CD, כך שיתקבל שטח מקסימלי?

תקציר| דמיון ברחבי העולם| פתרונות| בערבית

1. הפירמידה במצריים

תאלס היה פילוסוף ומתמטיקאי יווני, מהמאה ה-7 לפנה"ס. תאלס היה הראשון שראה את הצורך בחשיבה דדוקטיבית וחקר את רעיון ההוכחות הגיאומטריות. הוא מפורסם בשני משפטים גיאומטריים שנקראו על שמו, משפטי תאלס, האחד קשור לדמיון והשני למעגל.

הפירמידה הגדולה בגיזה שבמצריים, הידועה גם בשם הפירמידה של ח'ופו, הפרעה שבנה אותה, היא אחת משבעת פלאי תבל. רבים ניסו בעת העתיקה לאמוד את גובהה ללא הצלחה, אך תאלס (600 לפנה"ס) חישב את גובהה של הפירמידה באמצעים פשוטים ובעזרת הידע המתמטי שלו.

נשכב על החול ביום שמש ליד הפירמידה ובקש שיסמנו בחול את גובהו. לאחר שסמנו את גובהו בחול הוא נעמד בתחילת הסימון כך שגופו יצר צל לאורך הסימון על החול ומעבר לסימון. באותו זמן יצרה הפירמידה אותה ביקש למדוד צל משלה.

תאלס אמר לנלווים אליו:
"כאשר צילי יגיע לגובהי המסומן, מדדו את צל הפירמידה."

הם מדדו ומצאו שאורך צל הפירמידה 145 מ'. מה גובה הפירמידה?

הסבירו את שיטת מדידתו של תאלס.

2. בעית המיתרים של בסקרה – הודו

בסקרה (Bhaskra) אסטרונום ומתמטיקאי הודי מהמאה ה-12. מפורסם בפיתוח שיטות לפתרון משוואות ריבועיות ועוד, חיבר כללים לפעולות במספרים חיוביים ושליליים ואף הציג שתי הוכחות יפות ופשוטות למשפט פיתגורס בעזרת דמיון משולשים.

בין שני עמודים בגובה 15 מטר ו-10 מטר,נמתחו מיתרים באלכסון. בנקודת המפגש בין המיתרים הוצב עמוד תומך.
לא ידוע המרחק בין העמודים.

א. חשבו את גובהו של העמוד התומך.

רמז - סמנו במשתנים את המרחקים של שני העמודים מהעמוד התומך.

ב. האם משנה המרחק בין העמודים ?
   התנסו ביישומון והסבירו ממצאכם.

ג. אם ידוע שגובה שני העמודים a ו-b. הביעו באמצעות a ו-b את גובה העמוד התומך.

3. התעלה בסאמוס (יוון)

באי סאמוס היפהפה שביוון העתיקה (הידועה כיום בשם פיתגוריה..), בעיר הנמל החשובה לא היו מספיק מים לתושבים ולצבא, אך היה שפע של מים בהרים. בשנת 530 לפנה"ס, נחפרה תעלה באורך של קילומטר דרך ליבו של הר אבן קשה (ההר קסטרו). שני צוותי חפירה התקדמו זה מול זה משני קצות התעלה והצליחו להיפגש באמצע כמעט ללא טעות. החופרים השתמשו בפטישים ואיזמלים בלבד, ולא היה ברשותם מצפן, מפה טופוגרפית או כל מכשיר ניווט אחר. זוהי משימה מאתגרת גם כיום עם יכולות הטכנולוגיה המודרנית. מהנדס חפירת התעלה, יאופלינוס (Eupalinos) השתמש בתכנון אך ורק בגיאומטריה ובפתרון פשוט ומפתיע הצליח לתת לשני צוותי החפירה את הזווית המדויקת בה יחפרו. כיצד עשה זאת?

הבעיה שהתמודד איתה אופלינוס היה לקבוע את הכוון של כל צוות חפירה. לשם כך ערך סיור רגלי מסביב לאי בין המעין שבהר עד לעיר הנמל בקצה השני, כשהוא הולך בקווים ישרים ואנכים זה לזה. הוא מדד את אורכי קטעי המסלול שלו, וכך הצליח לדמיין משולש ישר זווית עם הזווית המבוקשת.

א.   מה מתאר סכום הניצבים האנכיים?

ב.   כיצד ניתן למדוד את הניצב האופקי של המשולש?

ג. כיצד קבעו היוונים זווית ישרה?

      יש הסוברים שהשתמשו בשני מקלות באורכים שווים וסימון האמצע של כל אחד מהם.
      הסבירו כיצד עובדת השיטה?

הרחבה:
השיטה המצרית למשולש ישר זווית: משולש מצרי (בעיה 4 בפיצוח קיפולי נייר גיאומטריים)

4. דמיון בסין

ראשית נכיר את עקרון "משני הצדדים".

א. הנקודה E היא נקודה כלשהי על אלכסון המלבן ABCD. מעבירים מהנקודה E קטעים המקבילים לצלעות המלבן.
מה הקשר בין שטחי שני המלבנים שנוצרו (DHEG  ו- FEIB )?
הזיזו את הנקודה E ביישומון, בדקו והוכיחו השערתכם.

ב. הראו כי המשולשים ΔAFE~ΔEIC

ג. השתמשו בעקרון "משני הצדדים" (שוויון השטחים) בכדי לחשב את היחס a/b באמצעות h₁ ו-h₂.

ד. פתחו את עקרון "משני הצדדים" גם עבור מקבילית.
    הראו כי המשולשים ΔAFE~ΔEIC דומים, וחשבו את היחס a/b באמצעות h₁ ו-h₂.
נסחו משפט לגבי יחס הגבהים במשולשים דומים.

תוכלו להיעזר ביישומון.

5. להשקיף על אי בים – סין

המתמטיקה הסינית שימשה את מהנדסי האימפריה הסינית במדידות של שטחי שדות, בהכנת לוח השנה, לצרכים צבאיים, נווט וכדומה. המתמטיקאי הסיני ליו הואי, בן המאה ה-3, כתב את הספר "תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה", ובאחד הפרקים כתב מדריך מתמטי לאי בים, הכולל בעיות שונות בנווט ופתרונן המתמטי.

כיצד נמדוד את גובהו של צוק הררי בלב ים ?
ליו הואי פיתח שיטה הנקראת "הפרש כפול" למדידת עצם רחוק מבלי להגיע אליו, בעזרת עקרון "הפנים חוץ".

"העמדתי שני מוטות באורך 3 מטרים במרחק של 1000 צעדים זה מזה, כך שיהיו בקו ישר עם האי. הלכתי אחורה 123 צעדים מהמוט הראשון עד שראיתי את קצה המוט וקצה הסלע בקו אחד. כך גם צעדתי 127 צעדים מהמוט השני. כך הצלחתי למדוד את הגובה של הסלע באי ומרחקו מהמוט. "

התוכלו גם אתם למדוד את גובה הסלע?

א.  השלימו את משולש AHI למקבילית. העבירו מהנקודה G שעל אלכסון המקבילית, מקבילים לצלעות. סמנו את המשולשים הדומים שהתקבלו.

ב.  חשבו את אורכי צלעות המשולשים בעזרת הפרשי האורכים הנתונים. היעזרו ביישומון

ג.  חשבו בעזרת עקרון "משני הצדדים" את גובה הסלע AB.

ד.  הכלילו את השיטה.

מקורות נוספים:

ההנדסה של האימפריה, סרט של ערוץ ההיסטוריה על בניית תעלת סאמוס. (בערך 7 דקות)

פיצוחים בנושא דמיון:

פרויקט עולמי למדידת היקף כדור הארץ

ממוצעי פיתגורס ועוד

על כנפי הדמיון

אני דומה לעצמי

תקציר| הפסיכולוגיה של המבצעים |الحملة المربحة

מן העיתונות : הפסיכולוגיה של מבצעי הנחות

בכדי לעודד מכירות, ולפתות לקוחות לקנות מוצר מסוים, סוחרים יוצאים במבצע ומציעים אותו במחיר מוזל. אך למעשה הם מפסידים מכך. כך עולה ממחקר חדש שפורסם בכתב עת של שיווק (Journal of Marketing).

חוקרים , מאוניברסיטת מינסוטה בדקו את עמדות הצרכנים כלפי מדיניות הנחות. הם מצאו, שקונים מעדיפים לקבל תוספת חינם מאשר לקבל משהו זול יותר. הסיבה העיקרית לכך שרוב האנשים מתקשים בהבנת שברים ואחוזים. צרכנים מתקשים לעתים קרובות להבין , למשל, כי הגדלת הכמות ב- 50% שווה בערכה להנחה של 33% במחיר. הנחקרים העדיפו באופן גורף הגדלת הכמות על הוזלה במחיר. בניסוי, החוקרים מכרו 73% יותר קרם ידיים כשזה הוצע בחבילת בונוס מאשר כאשר הוצע במבצע הוזלה שווה ערך (גם לאחר שניטרלו השפעות אחרות, כגון הרצון לאגור) . תפיסה שגויה זו נשארה בעינה גם כשהמוצר היה בהנחה משמעותית. בניסוי אחר, הציעו שתי עסקות על מכירת פולי קפה : 33% כמות נוספת חינם או 33% הנחה על המחיר. הצעת ההנחה כדאית הרבה יותר, אך הקונים ראו את שתי ההצעות כשוות ערך.

מחקרים אף הראו דרכים אחרות שבהן סוחרים עלולים לנצל את חרדת המספרים של הצרכנים. אחת הוא לבלבל עם מבצעי הנחה כפולים. אנשים נוטים להעדיף מוצר שהופחת ב -20% , ולאחר מכן על ידי הנחה נוספת של 25% , יותר מאחד שהיה נתונה לשווה ערך, חד פעמי , הנחה של 40%.

1. קופסת דגנים של 500 גרם עולה 25 ש"ח.

המבצע הענק: קופסת הדגנים הוגדלה ב- 50% והמחיר נשאר 25 ש"ח.

המבצע החם: מחיר קופסת הדגנים הוזל ב- 50%.

איזה מבצע כדאי יותר לדעתך?

       א. חשבו מה מחיר הדגנים ל-100 גרם.

       ב. מה מחיר הדגנים ל-100 גרם במבצע הענק. (לאחר הגדלת הכמות) ?

       ג. מהו אחוז ההנחה במבצע הענק של הגדלת הכמות ב- 50% ?

       ד. מה מחיר קופסת הדגנים לאחר ההוזלה במבצע החם ?
       מה מחיר הדגנים ל-100 גרם במבצע החם לאחר ההנחה?

       ה. לאחר חישוביך – קבעו מהו המבצע המשתלם ונמקו.

ו. הציעו דרכים נוספות לפתרון.

2. קופסת מיץ תפוזים של  250 מ"ל עולה 5 ₪.

המבצע הענק: קופסת המיץ הוגדלה ב- 40% והמחיר נשאר 5 ש"ח.

המבצע החם: מחיר מיץ התפוזים הוזל ב- 25%.

איזה מבצע כדאי יותר לדעתך?

      א. חשבו מה מחיר מיץ התפוזים לכל יחידת מ"ל בכל אחד מהמבצעים.

      ב. מהו אחוז ההנחה במבצע הענק של הגדלת הכמות ב- 40% ?

      ג. לאחר חישוביך – קבעו מהו המבצע המשתלם ונמקו.

3. חפיסת שוקולד של 100 גרם עולה 10 ש"ח.

המבצע הענק: חפיסת השוקולד הוגדלה ב- 50% והמחיר נשאר 10 ש"ח.

התבקשת ממנהל החנות לתכנן את המבצע כך שמחיר ההנחה במבצע הענק של הגדלת הכמות ב- 50% יהיה שווה ערך למחיר השוקולד במבצע החם.
באיזה אחוז יש להוזיל את חפיסת השוקולד?

4. חבילת עודיות של 200 גרם עולה 10 ש"ח.

מבצע פיצוץ: חבילת העוגיות הוזלה ב- 10%, ויום לאחר מכן הוזלה שוב ב- 30%.

מבצע חגיגה: חבילת העוגיות הוזלה ב- 40%.

איזה מבצע כדאי יותר לדעתך?

חשבו את מחיר חבילת העוגיות בכל אחד מהמבצעים.
לאחר חישוביך – קבעו מהו המבצע המשתלם ונמקו.

עובד ע"פ MatheMatics teacher | Vol. 107, No. 4 • November 2013

מקורות נוספים:

משימות אוריינות בנושא אחוזים

מבצעים חמים – אחוזים- יחידת לימוד בעריכת יעקב לדור, סמינר אורנים

תקציר| בדרך לפיתגורס| פתרונות| الطريق الى فيتاغوروس| حلول

1. עניין של דמיון

רשותך משולש ישר זווית אשר אורכי ניצביו 3 ס"מ ו-4 ס"מ.

יצרו שני משולשים חדשים באופן הבא:

הגדילו פעם אחת את המשולש פי 3.

הגדילו פעם נוספת את המשולש פי 4.

היעזרו ביישום הדינאמי ,
תוכלו להזיז ולסובב את המשולשים ולשנות את גודלם.

א. האם תוכלו ליצור משולש חדש משני המשולשים שהגדלתם הדומה למשולש הראשון?

הסבירו מדוע הם דומים. מה יחס הדמיון בין המשולש המקורי למשולש שבניתם?

ב. ע"פ הדמיון שמצאתם חשבו את אורך היתר של המשולש המקורי ואת אורך היתר של המשולש החדש. התוכלו לנסח קשר ביניהם?

ג. באופן דומה חשבו את היתר של משולש ישר זווית אשר אורכי ניצביו 3 ס"מ ו- 7 ס"מ.

(הגדילו את המשולש פעם אחת פי 3 ופעם נוספת פי 7, צרו משולש חדש הדומה למשולש הראשון. הביעו את יחס הדמיון).

ד. בהינתן משולש ישר זווית בעל אורכי ניצבים: a ו-b . מה תוכלו לומר על אורך היתר ?

2. העפיפון

.יואב וחבורת הפיתגוראים בנו עפיפון המורכב משני משולשים ישרי זווית חופפים

א. הסבירו מדוע המקלות התומכים של העפיפון מאונכים זה לזה.

ב. יואב מצא שהמקל התומך הקצר מחלק את המקל התומך הארוך לשני חלקים באורך: 36 ס"מ ו- 64 ס"מ.
אך הוא וחבורתו התקשו לחשב את מידות העפיפון.

התוכלו לדעת מהן מידות העפיפון, כלומר לחשב את אורכי הניצבים של המשולשים?

אוריינות

ערך מוחלט

פונקציות

תקציר| ערך מוחלט | ﻗﻴﻤﺔ ﻤطﻠﻘﺔ ﻓﻲ ﻤﻤر اﻟﺼﻔوف اﻟﺘﺎﺴﻌﺔ

בפעילות זו מומלץ להיעזר ביישומון "המסדרון", המדמה את ההליכה במסדרון והכיתות.

א. תארו במילים את השתנות המרחק של נעה מכיתה ט2 מהרגע שנכנסה למסדרון עד להגעתה.

ב. איך יראה לדעתכם גרף המתאר את השתנות המרחק של נעה מכיתה ט2 ביחס לזמן ההליכה שלה במסדרון? סרטטו איור המציג את הגרף הזה.

ג. צפו ביישומון אחר הליכתה של נעה במסדרון , ועצרו את הזמן עם הגעתה לט'2. הפעילו עקבות.
האם הגרף המתקבל תואם את השערכתם? הסבירו מה רואים בגרף?

ד. נעה הולכת מתחילת המסדרון עד ט'2. בנו פונקציה המתארת את המרחק של נעה ביחס לזמן הליכתה. מלאו את טבלת הערכים ובנו גרף מתאים. רשמו את התבנית האלגברית לפונקציה.

ה. בפעם אחרת נעה הולכת מתחילת המסדרון עד ט'2 , אבל אינה נעצרת וממשיכה מיד בדרכה עד ליציאה. תארו במילים את המרחק של נעה מהכיתה ט'2 מהרגע שנכנסה למסדרון עד ליציאתה מהמסדרון.

ו. איך יראה לדעתכם הפעם הגרף, המתאר את המרחק של נעה מכיתה ט'2 ביחס לזמן ההליכה שלה במסדרון? שרטטו גרף זה.

ז. צפו ביישומון ועקבו אחר הליכתה של נעה במסדרון , מכניסתה למסדרון עד ליציאתה. הפעילו עקבות. האם הגרף המתקבל תואם את השערכתם? הסבירו מה רואים בגרף?

ח. נעה הולכת מתחילת המסדרון עדסופו. בנו פונקציה המתארת את המרחק של נעה מכיתה ט2 ביחס לזמן. מלאו את טבלת הערכים ובנו גרף מתאים. רשמו את התבנית האלגברית לפונקציה.
(היעזרו בערך מוחלט)

ט. תלמידה אחרת, נטע מכיתה ט'4, גם צעדה מתחילת המסדרון עד לסופו. כיצד לדעתכם תשתנה הפונקציה והגרף, אם הפונקציה תתאר את המרחק שלה מ-ט'4.

י. שנו ביישומון את מספר הכיתה ל-4, וצפו אחר הליכתה של נטע במסדרון , מכניסתה למסדרון עד ליציאתה. הפעילו עקבות. האם הגרף המתקבל תואם את השערכתם? הסבירו מה רואים בגרף?
מה דומה ומה שונה בין שני הגרפים?

יא. ביום אחר נעה וגיל נכנסו למסדרון באותו זמן והלכו מתחילתו ועד סופו. גיל מיהרה מאד והלכה במהירות הכפולה מזו של נעה.במה יהיה שונה הגרף המתאר את מרחקה של גיל מט'2 לעומת הגרף המתאר את מרחקה של נעה מט'2?

יב. שוב במסדרון כיתה ט. נעה היתה בתחילת המסדרון וגיל היתה בקצהו השני. בדיוק באותו זמן, נעה וגיל הלכו זו לקראת זו באותה מהירות.
כיצד יראו הגרפים המתארים את מרחקה של נעה ושל גיל מט'2 ביחס לזמן?

מעובד על פי: MATHEMATICS TEACHER, 2012| Vol. 106, No. 3
הפעילות מתוך החוברת פונקציית ערך מוחלט לעתודה מדעית טכנולוגית.

תקציר|שטיח סירפינסקי| פתרונות

פְרַקטָל הוא צורה גאומטרית שמורכבת מעותקים מוקטנים של עצמה בכל רמת פירוט שנסתכל בה.

לא חשוב כמה נתבונן אל תוך חלקיו של הפרקטל, תמיד נמצא בו חלקים הדומים לצורתו המקורית, כך שפרט קטן בצורה, דומה לצורת המקור כולה. (ויקיפדיה)

אחד הפרקטלים המפורסמים והמעניינים נקרא על שם מתמטיקאי פולני וולך סירפינסקי (1917), "שטיח סירפינסקי". הנה הוא לפניכם: התוכלו להסביר את מבנהו?

שישה שלבים בשטיח סירפנסקי מתוך: ויקיפדיה

לפניכם תיאור כיצד בונים את השטיח. מתחילים משטיח ריבועי שאורך צלעו 1 מטר. בסדרה של צעדים חותכים ממנו ריבועים קטנים יותר ויותר.

1. התבוננו באיורים, וביישומון. תארו במילים כיצד עוברים משלב לשלב.
2. השלימו את התמונה של השטיח בשלב השלישי. צבעו את הריבועים שחותכים מהשטיח.

3. כמה שטח ישאר מהשטיח בשלב ה-4? בשלב ה-5 ?
4. השלימו את טבלת הנתונים:

5. רשמו ביטוי אלגברי המתאר את הקשר בין מספר השלב בחיתוך השטיח לבין השטח שנותר.
6. כמה שטח ישאר בשלב החיתוך ה-10?
7. באיזה שלב של החיתוך יהיו יותר "חורים" מאשר שטח השטיח?
8. באיזה שלב של חיתוך ישאר מהשטיח רק 1% מהשטח המקורי?
9. מה תוכלו לומר על שטחו של שטיח סירפינסקי כאשר מספר החיתוכים שואף להיות אינסופי. 10. כיצד תשתנה הנוסחה של שטח השטיח החתוך אם נתחיל משטיח שאורך צלעו 4 מטרים.

למחשבה נוספת:
1. מהו ההיקף של השטיח לאחר חיתוך אחד? שימו לב להיקף גם סביב הריבוע הקטן שנחתך.
2. מהו ההיקף של השטיח בשלב השני, השלישי, הרביעי?
3. מה תוכלו לומר על ההיקף של שטיח סירפינסקי כאשר מספר החיתוכים שואף להיות אינסופי. 4. קראו על המימד של פרקטלים.

סרטונים מהרשת על פרקטלים:

מהו פרקטל – סרטון קצר המסביר את מבנה הפרקטל והופעותיו בטבע.

פרקטלים בעיצובים אפריקאים - הרצאה מרתקת מ-TED של רון אגלס.

מקורות נוספים:

מוזאון הכאוס הוירטואלי – מהו פרקטל? מהו המימד של הפרקטל?, סנונית.

משולש סירפינסקי –הוראות הכנה וחקירה – טומי דרייפוס, אוניברסיטת תל אביב.

משולש סירפינסקי – הוראות הכנה, כיתה בפיתה.

מה זה פרקטל? – אאוריקה.

משחקים כסביבה להצגת מושגים ומשפטים מתמטיים ולפתרון בעיות – נצה מובשוביץ הדר, על"ה 40

הפיצוח – אני דומה לעצמי

תקציר|יום מעשים טובים

יום מעשים טובים - צל מרובעים

ביום המעשים הטובים שחל כל שנה ב-17.3.

מועצת התלמידים עורכת יריד קהילתי, בו התלמידים מציעים למכירה מוצרים שונים,

ונציגי הקהילה מציגים לתלמידים מגוון אפשרויות התנדבות בקהילה.

מועצת התלמידים חלקה תפקידים בארגון היריד.

1. צל מרובע ביריד

קרן ואורי התנדבו לתכנן ציליות ליריד. הם נדרשו להקצות לכל דוכן אותו שטח של צל.

הם הציעו לבנות את הצילייה באמצעים פשוטים של יריעת בד נמתחת וארבעה מוטות כמוצג באיור הבא.

קרן ואורי בנו דגם של צלייה, והצל שנוצר היה בצורת מרובע. מרובע הצל היה כללי, לא בעל כל תכונה מיוחדת.

כיצד יחשבו את הצל? קרן טענה שתוכל לחשב את שטחו, אם רק תוכל למקמו על רשת.

אורי, אשר היה ידוע בתחביבו של שרטוט מפות, נעזר במרצפות, ושרטט את המרובע על רשת.

משבצת אחת בשרטוט שווה ליחידת שטח.

א. הציעו דרכים שונות לחישוב את שטח המרובע.
ב. קרן ואורי החליטו לתכנן מרובעים שונים של צל באותו שטח. עזרו להם לתכנן במידה וניתן - ריבוע, מלבן, דלתון וכדומה באותו שטח נתון כאשר קודקודיהם על הרשת.

2. צללים מרובעים

שחר וטל הקימו דוכן כדי למכור לימונדה מפירות הגינה שלהם.
הם הזמינו את הצילייה המוכנה הבאה בשטח של 25 יחידות שטח. אך ביום היריד נאלצו לשנות את אחד המוטות (אחד מקודקודי המרובע).

מותר להם לשנות את צורת מרובע הצל אך עליהם לשמור על אותו שטח שהוקצה להם ולא לשנות את שטח המרובע. היעזרו ביישומון הבא, (להורדת קובץ גאוגברה).
הזיזו רק את הנקודה P, כך ששטח המרובע PARK ישאר אותו דבר.

א. הציעו מרובעים שונים בשטח זהה.
ב. סמנו את הנקודות P המתאימות למרובעים שמצאתם. תארו כיצד מצאתם?
ג. מה משותף לכל הנקודות האלו ? כיצד תסבירו את התופעה ?
ד. תארו שיטה בה ניתן למצוא מרובע שווה שטח למרובע נתון.
ה. האם ניתן להזיז נקודה נוספת במרובע כך שהשטח ישמר ? מהי?

3. ללא כל צל של ספק או רשת

לפניכם מרובע PARK.

א. בנו מרובע ששניים מקדקודיו מתלכדים עם קדקודים של המרובע PARK ושטחו שווה לשטח המרובע PARK.
ב. בנו משולש ששניים מקדקודיו מתלכדים עם קדקודים של המרובע PARK ושטחו שווה לשטח המרובע PARK. (רמז – בנו מרובע שווה שטח ושנו אותו למשולש)
ג. בנו מחומש ששניים מקדקודיו מתלכדים עם קדקודים של המרובע PARK ושטחו שווה לשטח המרובע PARK.
ד. בנו מקבילית ששניים מקדקודיו מתלכדים עם קדקודים של המרובע PARK ושטחו שווה לשטח המרובע PARK.

ה. הכדורגל במונדיאל

תקציר |  האם הכדורגל הוא עגול? |  בערבית

האם הכדורגל הוא עגול?

תקציר

התבוננו בכדורגל.
מאילו מצולעים הוא מורכב? מה תוכלו לומר על תכונותיהם?
הכדורגל בנוי ממחומשים ומשושים משוכללים. גוף כזה נקרא פאון משוכלל למחצה. אך מהם הגופים המשוכללים? ומה מיוחד בהם? מהם גופים משוכללים למחצה?

א. הגופים המשוכללים

ב. מהם גופים חצי משוכללים? ואיזה גוף הוא הכדורגל?

ג. האם גם אויילר שיחק בכדורגל?

ד. הכדורגל בחלל

ה. הכדורגל במונדיאל

גלגלי המזל

תקציר| גלגלי המזל| دواليب الحظ

1. "גלגל אותה" פעילות אינטראקטיבית עם גלגל מזל, רולטה
2. בואו נתכנן גלגלי מזל
3. משחק התאמה בין גלגלי המזל וגרף העמודות- רמה קלה.
4. גלגלי המזל בעדלאידע - משחק התאמה בין גלגלי המזל וגרף העמודות - רמה בינונית
5. קישורים לפעילויות ומשחקים בנושא הסתברות

1."גלגל אותה"

במשחק "גלגל אותה" שני גלגלי מזל, הממוספרים מ- 1 עד 4. באפשרותכם לחבר או לחסר את שני המספרים. מספר המטרה שלכם הוא 3.

א. מהן כל האפשרויות לניצחון במשחק? כמה אפשרויות יש?

ב. מה לדעתכם הסיכוי לנצח במשחק? האם תבחרו בחיבור או בחיסור המספרים?

היישומון "גלגל המזל" – Nrich

הדרכה

ג. נסו את מזלכם בגלגל המזל.. סובבו ביישום האינטראקטיבי את שני גלגלי המזל וחברו את המספרים שהגרלתם.

     1. שחקו משחקון אחד, האם ניצחתם? שחקו 10 משחקונים, בכמה משחקונים ניצחתם?
         הריצו את המשחק 100 משחקונים. בכמה משחקונים ניצחתם?

     2. איזה סכומים ניתן לקבל? איזה סכום הוא בעל הסיכוי הקטן ביותר להתקבל?
         ואיזה סכום הוא בעל הסיכוי הגדול ביותר להתקבל?

     3. התבוננו בגרף העמודות, והסבירו מה מתארת כל עמודה.

     4. אם ניתנה לכם האפשרות לבחור במספר מטרה סכום לניצחון, איזה מספר הייתם בוחרים?

ד. נסו שוב את מזלכם בגלגל המזל.. סובבו ביישום האינטראקטיבי את שני גלגלי המזל וחסרו את המספרים שהגרלתם.

     1. שחקו משחקון אחד, האם ניצחתם? שחקו 10 משחקונים, בכמה משחקונים ניצחתם?
         הריצו את המשחק 100 משחקונים. בכמה משחקונים ניצחתם?

     2. איזה הפרשים ניתן לקבל? איזה הפרש הוא בעל הסיכוי הקטן ביותר להתקבל?
         ואיזה הפרש הוא בעל הסיכוי הגדול ביותר להתקבל?

     3. התבוננו בגרף העמודות, והסבירו מה מתארת כל עמודה.

     4. אם ניתנה לכם האפשרות לבחור במספר מטרה הפרש לניצחון, איזה מספר הייתם בוחרים?

מעובד על פי פעילות באתר Nrich

2. בואו נתכנן גלגלי מזל

א. בנו שני גלגלי מזל בהם הסיכוי לקבל סכום זוגי שווה לסיכוי לקבל סכום אי זוגי? הציעו זוגות שונים של גלגלי מזל.

ב. בנו שני גלגלי מזל בהם הסיכוי לקבל סכום זוגי גדול מהסיכוי לקבל סכום אי זוגי?

ג. בנו שני גלגלי מזל בהם הסיכוי לקבל הפרש זוגי שווה לסיכוי לקבל הפרש אי זוגי?

3. משחק התאמה

לפניכם שלושה זוגות של גלגלי מזל שיצרו את ארבעה גרפי עמודות.
התאימו לכל זוג של גלגלי מזל את גרף העמודות המתאים לו. (שימו לב, האם מדובר בסכום או הפרש המספרים)

1.

2.

3.




4. גלגלי המזל בעדלאידע

ביריד העדלאידע יצרו זוגות שונים של גלגלי מזל מתוך הגלגלים מטה. באפשרותכם לבחור מתוכם זוג גלגלי מזל ולשחק את המשחק כאשר מספר המטרה הוא סכום המספרים שהגרלתם או הפרשם. אך גרפי העמודות השייכים לכל זוג התבלבלו... מי שייך למי?



5. קישורים

פעילויות נוספות

משחקי מזל בחנוכה – בפיצוח בעיות ברמות קושי שונות בהסתברות. בבעיה הראשונה משחק בו ניתן להתנסות עם יישום אינטראקטיבי.

פעילות בהסתברות וייצמן: זהירות 7 בדרך!: לתלמיד / למורה

אי ודאות - משימות אוריינות, האגף לפיתוח תוכניות לימודים

מראשיתה של תורת ההסתברות – פרופ' אביטל , הסבר על מושג ההסתברות, ראשיתה של תורת ההסתברות בתקופת המתמטיקאים בליז פסקל ופייר פרמה ושימוש בה במשחקי מזל.

בעיה בהסתברות – והצעה לפתרונה באופן גרפי, גליונות לחשבון, פרופ' אביטל.

משחקים

סולמות ונחשים – שחקו בסולמות ונחשים, משחק אינטראקטיבי, עם גלגלי מזל (רמה 1) או שתי קוביות (רמה 2) וחקרו מה ההסתברות שלכם לטפס במעלה הלוח. הפעילות כוללת גם דפי עבודה , פתרונות ולוח משחק להדפסה. פעילות מאת Math Interactivities

משחקי מזל ביריד – משחק אינטרנטי (מותאם גם ל-IPAD) בו מספר שלבים. המטרה לזכות בכמה שיותר כרטיסים במשחקים בהם יש לחשב הסתברויות ברמות שונות. הכרטיסים יזכו אותך בכניסה ליריד בו עוד חמישה משחקי הסתברות שונים.

יישומונים להסתברות ניסויית

אוסף כלים אינטראקטיביים להגרלה – מטבע, קובייה, קלפים וגלגלי מזל. ניתן לבצע את ניסוי ההגרלה שוב ושוב ולראות את ההתאמה בין ההסתברות הניסויית להסתברות התיאורטית.

כלי אינטראקטיבי לבניית גלגל מזל צבעוני (הפעלת היישומון מומלץ להשתמש בדפדפן אקספלורר או להתקין בכרום את התוסף (החינמי)  (IE Tab

סרטונים בהסתברות

מהי ההסתברות למפולת שלגים? - סרטון ופעילות אינטראקטיבית לחקר ההבדל בין הסתברות ניסויית והסתברות תיאורטית והצגתן בגרף עמודות או טבלת שכיחות יחסית. מלווה בדף עבודה.

מהי ההסתברות למצוא דרכך במדבר? – סרטון אנימציה משעשע, תלת מימד, המסביר בפשטות והומור מושגי יסוד בהסתברות.

כפל בעזרת האצבעות- מטריקים בחשבון לאלגברה

תקציר|  כפל בעזרת האצבעות| פתרונות

עוד משחר ההסיטוריה בני האדם משתמשים באצבעות הידיים לשם ספירה ופעולות חשבון.
בפעילות זו נכיר ונחקור כיצד אפשר לכפול בעזרת אצבעות הידיים.

כיצד כופלים ב-9 באמצעות האצבעות?



כופפו את האצבע הרביעית אצבעותיכם מייצגות את המספרים 1 עד 10. פרשו את אצבעות שתי ידיכם.

בכדי לייצג את המכפלה 4X9.



- כל אצבע משמאל לאצבע המכופפת מייצגת כפולה של 10.(....10,20,30)
- כל אצבע מימין לאצבע המכופפת מייצגת כפולה של 1.(....1,2,3)
- בכדי למצוא את המכפלה 9X4 ספרו 31, 32, 33, 34, 35, 36.

נערך לפי : http://www.multiplication.com/lesson10_nines_fingers.htm

א. נסו לכפול בשיטה זו כפולות שונות של המספר 9.
צפו גם בסרט " קל להכפיל ב-9 ", הסבירו והוכיחו באופן אלגברי מדוע השיטה עובדת.

Multiply By Nines Easy Math Trick

ב.  התוכלו להרחיב שיטה זו בכדי להכפיל מספרים דו ספרתיים (10-99) ב-9?

כיצד כופלים שני מספרים הגדולים מ-5 וקטנים מ-10 באמצעות האצבעות?

א. בימי הביניים הייתה נפוצה שיטה לכפל של מספרים בין 5-9 באמצעות האצבעות,
    אשר הניחה ידיעת לוח הכפל עד מס' 5.
   צפו בסרט "כפל באצבעות" והתנסו בקסם שעומד מאחורי השיטה.

ב. לפניכם דוגמא מתוך הסרט המסבירה כיצד כופלים 8X6 באמצעות האצבעות.
    הדגימו כפולות נוספות לפי שיטה זו.



בכדי להכפיל 8X6: פרסו את שתי ידכם, האגודל מייצגת את המספר 6,
כופפו ביד ימין האצבע 7 וכך הלאה עד הזרת שמייצגת את המספר 10.
אצבע אחת (6) וביד שמאל 3 אצבעות (8).



ספרת האחדות של המכפלה היא: 2X4=8 ספרת העשרות של המכפלה היא: 3+1=4

  8X6=40+8=48

ג. הסבירו והוכיחו באופן אלגברי מדוע השיטה עובדת

ד. הציעו שיטה לכפל בעזרת האצבעות למספרים בין 10 ל-15

ה. ליצור דמיוני שש אצבעות בכל אחת משתי ידיו. אילו כפולות הוא יוכל לבצע בשיטת כפל זו?

שיטות כפל וטריקים נוספים

  צפו בסרט הוידאו לשיטת הקווים, שיטה יעילה לכפל שני מספרים כלשהם.

הסבר על השיטה במאמר "כפל גוון וצבע" מתוך מספר חזק מס' 5.

שיטה נוספת לכפל שני מספרים כלשהם באמצעות הכפלה וחילוק ב-2 בלבד!

טריקים שונים ומדליקים לכפל בע"פ.

תקציר| מקומות גיאומטריים אנושיים| פתרונות

צאו החוצה אל החצר, רצוי ביום שמשי ונאה וגלו בהנאה מקומות גיאומטריים אנושיים. קחו עמכם גיר לשרטוט או כדור (לציון נקודה) וחבל (לציון ישר ואפשר גם למדידה) ורצוי גם מצלמה...

1. בחרו נציג מהכיתה שיעמוד במקום קבוע.

הסתדרו כך, שכל אחד מכם יעמוד במרחק 1 מטר ממנו.

באיזו צורה נעמדתם? הסבירו.

2. קבעו שתי נקודות במקום כלשהו. (שני כדורים או שתי אבנים).

הסתדרו כך, שכל אחד מכם יעמוד במרחק שווה משתי הנקודות.

באיזו צורה נעמדתם? מה מאפיין אותה ביחס לשתי הנקודות? הסבירו.

3. קבעו ישר על ידי מתיחת קו בגיר על הרצפה, או חבל.

הסתדרו כך, שכל אחד מכם יעמוד במרחק 1 מטר מהישר.

באיזו צורה נעמדתם? מה מאפיין אותה ביחס לישר? האם ישנן אפשרויות נוספות? הסבירו.

4. שרטטו בגיר זווית ישרה על הרצפה. (או בחרו פינה של מבנה).

הסתדרו כך, שכל אחד מכם יעמוד במרחק שווה משוקי הזווית.

באיזו צורה נעמדתם? מה מאפיין אותה ביחס לזווית? האם ישנן אפשרויות נוספות? הסבירו.

כיצד ישתנה המקום הגיאומטרי אם הזווית תהיה חדה? הסבירו.

5. קבעו ישר על ידי מתיחת קו בגיר על הרצפה, או חבל. קבעו נקודה.

הסתדרו כך, שכל אחד מכם יעמוד במרחק שווה מהישר וגם מהנקודה.

באיזו צורה נעמדתם? הסבירו.

Human Loci הפעילות מעובדת על רעיון מתוך inthinking.co.il

החתול והסולם המחליק

סולם נשען על עץ. החתלתולה טיפסה עד לגובה חצי מהסולם ואז הוא החל להחליק עד שהשתטח. החתלתולה נאחזה בסולם ולא הרפתה. התוכלו לדמיין מה המסלול שעשתה עם תנועת הסולם?

היעזרו ביישומון.

nbsp;

א. מצאו את המקום הגיאומטרי המתאר את אוסף הנקודות בהן הייתה החתלתולה בשעה שהסולם החליק. הסבירו את התוצאה גם באופן גיאומטרי.

ב. אם החתולה היתה בגובה של שני שליש הסולם. מהו המקום הגיאומטרי שנוצר הפעם?

החידה מעובדת לפי Numberplay: Catbird Seat - NYTimes.com

מקורות נוספים:

– פיצוח ובו שלושה כתבי חידה בהם רמזים למציאת שלושה מטמונים בעזרת מציאת המקום הגיאומטרי. כולל מעגל אפולוניוס.
מחשבמתטיקה – פעילויות ממוחשבות (derive) בגיאומטריה אנליטית.

יישומונים דינאמיים

אריה, תנין והקוף - אנך אמצעי כאוסף הנקודות שמרחקן שווה משתי נקודות קבועות.
היכן המרכז? - מרכזי מעגלים המשיקים לשוקי זווית – חוצה זווית. יישומון מאת מתמטיקה משולבת, וייצמן.
שאלה מבגרות - מתיחת מיתר במעגל, אליפסה ככווץ המעגל.

תקציר| לקפל פרבולה

הגדרה גיאומטרית:
פרבולה היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה (המוקד) וישר קבוע (המדריך) שווה.

1. בעזרת קיפולים של דף נייר ונקודה אחת עליו נוכל ליצור באורח פלא פרבולה.
ללא סרגל, מחוגה או כל כלי מדידה...

על דף נייר:

- סמנו נקודה C בקרבת אחת משפות הדף.
- סמנו נקודה D על שפת הדף אליה התייחסתם קודם.
- קפלו את הדף כך שהנקודה C תתלכד עם הנקודה D.
- פתחו את הקפל וסמנו נקודה D אחרת על שפת הדף.
- שוב קפלו את הדף כך שהנקודה C תתלכד עם הנקודה שסימנתם על שפת הדף.
- חיזרו על התהליך עוד מספר פעמים.כדי לראות את התמונה שיוצרים הקפלים באופן ברור מומלץ לעבור עליהם בעזרת עפרון וסרגל.

מה קיבלתם?

- השוו את הנייר המקופל שלכם עם זה של חברכם. תארו את הדומה ואת השונה.

- קחו נייר נוסף, סמנו נקודה בתוכו במקום שונה וחזרו על התהליך. מה קיבלתם הפעם?

שאלות למחשבה:

א. ראינו כי הקיפולים יוצרים את המתאר של הפרבולה. מהם לדעתכם המוקד והמדריך?
ב. מה ניתן לומר על היחס הגיאומטרי בין הנקודות C,D וישר הקיפול ?
ג. מה ניתן לומר על ישר הקיפול ביחס לפרבולה ?
ד. אם נזיז את הנקודה C קרוב יותר לשפת הדף כיצד תשתנה הפרבולה? כיצד תשתנה הפרבולה אם נרחיק את הנקודה משפת הדף?

Thinking out loud

2. לשחק בקיפולים:
בכדי להבין את הפלא ובכדי שנוכל לחקור מצבים שונים היעזרו ביישומון (קובץ גאוגברה להורדה).
א. גררו את הנקודה D והפעילו עקבות אחר הקיפולים. מה קיבלתם? מה ניתן לומר על כל קיפול ביחס לפרבולה?
ב. בודאי שמתם לב כי הקיפול משיק לפרבולה, התוכלו לשער היכן נקודת ההשקה? כיצד נקודת ההשקה קשורה לנקודה D?
ג. צרו ביישומון פרבולות שונות על ידי שינוי מיקום הנקודה C.

1. כיצד תשתנה הפרבולה אם נמקם את C קרוב יותר לשפת הדף?
2. כיצד תשתנה הפרבולה אם נמקם את C רחוק יותר משפת הדף?
3. כיצד תשתנה הפרבולה אם נמקם את C על שפת הדף?
4. כיצד תשתנה הפרבולה אם נמקם את C מתחת לשפת הדף?

3. כיצד נוכיח כי קיפולי הנייר יוצרים פרבולה?

נתבונן באיור הבא המייצג את קיפולי הנייר של הפרבולה:

א. הסבירו מדוע CM=MD.
ב. הקו המקווקו מייצג את קו הקיפול. מה תוכלו לומר עליו ביחס ל- CD?
ג. נבנה אנך לישר המייצג את שפת הדף דרך הנקודה D. הסבירו מדוע CP=DP .
ד. הראו על פי ההגדרה הגיאומטרית של הפרבולה כי הנקודה P על הפרבולה.
ה. ציינו מיהו המדריך ומיהי נקודת המוקד.

4. עוד משחקי פרבולה

לפניכם יישומון לבניית הפרבולה כמקום הגיאומטרי.

א. הסבירו איזו תכונה מקיימת הנקודה P ביחס לישר המדריך ולנקודת המוקד.
ב. קרבו והרחיקו את נקודת המוקד מהמדריך. כיצד תשתנה הפרבולה?
ג. שנו את מיקום המדריך באופנים שונים. כיצד תשתנה הפרבולה?
ד. צרו, אם ניתן, בעזרת היישומון את הפרבולות הבאות: y²=-x, y=x² , y²=x+1
מצאו את המוקד והמדריך של כל פרבולה

נקודה למחשבה:
כיצד יראה המקום הגיאומטרי אם המדריך לא יהיה ישר אלא מעגל?

מקורות נוספים:

הפרבולה כצורה גיאומטרית – חמוטל דוד, על"ה 29.

Famous Curves Index– מדור באתר The MT History of Mathematics archive ובו רשימת עקומים מפורסמים במתמטיקה עם הסבר היסטורי ומתמטי וכן יישומים דינאמיים מדגימים.

אוגדן למורה: גיאומטריה אנליטית - פעילויות ממוחשבות – מחשבמטיקה, מכון וייצמן

תקציר| לרבע את הירח

אחת הבעיות שהעסיקו את המתמטיקאים מאות בשנים, היתה כיצד ניתן "לרבע" את המעגל, כלומר כיצד ניתן לבנות בעזרת סרגל ומחוגה ריבוע ששטחו כשטח מעגל נתון. בניסיונתיהם הרבים, ניסו גם לרבע צורות מעגליות כגון סהרונים.

"סהרון" היא צורה החסומה על ידי שתי קשתות מעגליות, בדומה לירח.

1. לרבע את הסהרון של היפוקרטס

א. עקבו ביישומון אחר שלבי הבנייה ותארו במילים כיצד בנה היפוקרטס את הסהרון. רשמו את הנתונים באופן מתמטי.

ב. הראו כי שטח המעגל הקטן שווה לחצי משטח המעגל הגדול.

ג. מה היחס בין שטח של הסהרון ושטח המשולש ?
חשבו את שטח הסהרון בעזרת חיבור וחיסור שטחים.

ד. בנו ריבוע ששטחו כשטח הסהרון.

2. לרבע את המעגל- האמנם?

היפוקרטוס טען כי "הוכיח" שניתן לרבע את המעגל, (לבנות ריבוע ששטחו שווה לשטח המעגל)

למרות שכיום ידוע שלא ניתן לעשות זאת. במה טעה היפוקרטס?

א. הראו כי : שטח ששת הסהרונים - שטח המשושה = שטח המעגל הקטן היעזרו בחיבור וחיסור שטחים.

ב. משושה, בהיותו מצולע, ניתן לרבע, כלומר לבנות ריבוע בעל שטח שווה. היפורקטס הראה שניתן לרבע סהרונים.
מכאן ניתן להסיק שניתן לרבע את המעגל... האמנם? במה טעה היפורקטס?

3. לרבע את הסהרונים של אלחאסן

אלחאסן סרטט את שני סהרונים באיור הבא בעזרת שלושה חצאי מעגלים.

א. עקבו ביישומון אחר שלבי הבנייה ותארו במילים כיצד בנה את הסהרונים. רשמו את הנתונים באופן מתמטי.

ב. מה היחס בין שטח של שני הסהרונים ושטח המשולש ?

ג. בנו ריבוע ששטחו כשטח שני הסהרונים.

מקורות נוספים:

מי הפך את הירח לריבוע? – עטרה שריקי, קשר ח"ם

מצגת "לרבע את המעגל", רקע היסטורי ומתמטי. (באנגלית)

תקציר| דלתוני ריצוף| לדפי גזירה| פתרונות והנחיות

1. פירוק והרכבה של משולש שווה-צלעות

לפניכם משולש שווה צלעות. כידוע גובה במשולש שווה-צלעות מחלק אותו לשני משולשים חופפים. (מדוע?)

גזרו משולש שווה צלעות והרכיבו מחדש את שני המשולשים על ידי הצמדת שני קדקודים של משולש אחד לשני קדקודים של המשולש השני.

כמה מצולעים שונים תוכלו להרכיב בדרך זו?

2. דלתון הריצוף

אחת הצורות שניתן ליצור באמצעות הצמדת המשולשים היא דלתון.

דלתונים מיוחדים אלה נקראים דלתוני-ריצוף בגלל האפשרות ליצור

בעזרתם ריצופים של צורות גאומטריות רבות ואף של המישור כולו.

א. מהן התכונות המיוחדות של דלתונים אלה?

1. מהן מידות הזויות של דתלוני-ריצוף?
2. מצאו קשרים בין אורכי האלכסונים של הדלתון לבין אורכי הצלעות.

ב. גזרו מדפי הגזירה מספר דלתונים ונסו להרכיב באמצעותם מצולעים שונים, כך שדלתוני הריצוף נצמדים לאורך צלע שלמה.

1. אילו מהצורות הבאות ניתן להרכיב משולש, מרובע, מחומש, משושה?
2. אילו מצולעים משוכללים הצלחתם לבנות? הסבירו כיצד.

נסו להרכיב את המצולעים ביותר מאשר דרך אחת.

ג. הציעו דרכים שונות לרצף משטח בעזרת דלתוני הריצוף.

3. משושים

בבית הספר “חופים” יש חצרות פנימיות בצורת משושה. במסגרת פרוייקט לשיפור פני בית הספר עלתה הצעה
ליצור משטחים משושים באמצעות אריחי קרמיקה בצורת דלתוני ריצוף .

בקטלוג הגלריה לאריחים מצאו את הדגם שבתמונה וניסו לברר:

א. פי כמה גדול היקף המשושה החיצוני מהיקף המשושה הפנימי?
פי כמה גדול השטח?

ב. האם ניתן לבנות את ריצוף הקרמיקה באמצעות אריחים בשני צבעים בלבד, מבלי שלאריחים באותו צבע תהיה צלע משותפת?

ג. האם ניתן לבנות את ריצוף הקרמיקה באמצעות אריחים בשלושה צבעים בלבד מבלי שלאריחים באותו צבע תהיה צלע משותפת?

ד. האם ניתן להמשיך את הריצוף ולקבל משושה עוד יותר גדול הבנוי מאותם האריחים?
לכמה אריחים נוספים תזדקקו?

4. ריצוף באריחים בשני גדלים

לפניכם שני אריחים לריצוף. שני דלתוני ריצוף כך שהצלע הקצרה בדלתון הגדול שווה באורכה לצלע הארוכה בדלתון הקטן.

א. מה יחס ההיקפים בין שני הדלתונים? מהו יחס השטחים?

ב. הצמידו את שני אריחי הדלתונים זה לזה. איזה מרובע התקבל? תארו תכונותיו.

ג. נסו להרכיב מצולעים שונים מדלתוני ריצוף אלו.

ד. האם ניתן לבנות דלתון ריצוף דומה גדול יותר המורכב משני אריחים אלו?

5. ריצוף באריחים בגדלים משתנים

תלמידי מגמת האמנות רוצים ליצור עיטור מיוחד לקיר מבנה המגמה בעזרת דלתוני ריצוף.
בהצעה ניתן להשתמש בגדלים שונים של דלתוני ריצוף.

התקבלו שתי הצעות:
הקבוצה של חן הציעה לבנות עיטור של פרח, והקבוצה של נוי הציעה לבנות עיטור משושה.

א. תארו את בניית הריצוף בכל אחת מההצעות.

ב. תכננו (בשרטוט או במילים) כיצד ניתן להוסיף שכבה נוספת לכל אחד מהעיטורים. לכמה דלתונים תזדקקו להוספת שכבה?

בעת שקילת ההצעה יש לבדוק בכל אחד מהעיטורים:

א. האם קיים יחס קבוע בין היקפי השכבות ?

ב. פי כמה גדול שטח האריחים הסגולים משטח האריחים בתכלת ?

ג. האם נוכל להגדיל את העיטור על ידי הוספת שכבות של דלתוני ריצוף?

ד. האם נוכל להוסיף שכבות נוספות של דלתוני ריצוף גם כלפי פנים?

ה. האם נוכל באופן זה למלא את כל השטח הלא מרוצף?

ו. האם ניתן למלא את כל השטח הפנימי בדלתוני ריצוף בדרך אחרת?

קישורים

דלתוני ריצוף בויקיפדיה

עוד ריצופי דלתונים בבלוג math humbre

היצירה Fractal Tessellation of Spirals שלהאמן Robert Fathauer מבוססת על דלתוני ריצוף

טרנסיטיביות

תורת המשחקים

תקציר | על מתמטיקה ודמוקרטיה| פתרונות

1. החלטה גורלית

בית ספר "עלומים" נקלע לקשיים כלכליים, וההנהלה נאלצה להודיע על קיצוצים בתקציב.

מועצת התלמידים המודאגת התגייסה כדי לסייע להחלץ מהמשבר, וכינסה את כל תלמידי השכבה הבוגרת לישיבת חירום

והציעה שלוש הצעות:

    א. לוותר על תקציב מסיבת סוף השנה ולגייס כספים באירוע התרמה לשכבה הצעירה.

    ב. קיצור הטיול השנתי ביום ובמקומו לצאת ליום עבודה בחקלאות כתרומה לבית הספר.

    ג. צמצום שירותי הנקיון בבית הספר ויצירת תורנות ניקיון של התלמידים.

לקראת ההצבעה, לאחר דיון סוער, יודעים כל המשתתפים בדיון את סדרי העדיפות של חבריהם.

יושב ראש מועצת התלמידים מתאר את התמונה הבאה:

- מרבית החברים מעדיפים את הצעה א על הצעה ב

- מרבית החברים מעדיפים את הצעה ב על הצעה ג

- מרבית החברים מעדיפים את הצעה ג על הצעה א.

האם מצב זה ייתכן? הסבירו.

2. בחירות למועצת תלמידים

בבית הספר "עלומים" מקיימים כל שנה בחירות למועצת התלמידים.

על פי חוקי בית הספר כל תלמיד יכול להציע את מועמדותו למועצת התלמידים. כל תלמיד שם בקלפי פתק עם שם אחד.

אם יש תלמיד שזכה ב- 40% מהקולות הכשרים או יותר , אז התלמיד שזכה במספר הקולות הגדול ביותר נבחר לראשות מועצת התלמידים.

אם אף אחד מהתלמידים לא זכה ב- 40% מהקולות הכשרים או יותר נערך סיבוב שני בו מתמודדים שני המועמדים שזכו במירב הקולות.

אלה מתן וגל מציגים את מועמדותם לראשות מועצת התלמידים.

    א. כמה אפשרויות לסדר עדיפות בין המועמדים קיימות? 

ב. לאחר חודש של תעמולת בחירות יודע כל אחד מתלמידי בית הספר את סדרי העדיפויות של כל אחד מחבריו:

96 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: אלה > מתן > גל

110 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: מתן   > גל    > אלה

95 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: גל   > אלה > מתן

20 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: אלה > גל    > מתן

20 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: מתן > אלה > גל

20 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: גל    > מתן    > אלה

אם כל אחד יצביע על פי העדפותיו:

1. האם יהיה סיבוב בחירות שני?

  2. מי יהיה ראש מועצת התלמידים? 

  3. המועמד מתן צופה את תוצאות הבחירות מראש. הוא וחברתו נועה מחליטים להצביע בעד גל (במקום בעד מתן).

האם החלטתם יכולה להשפיע על תוצאות הבחירות? הסבירו.

קישורים נוספים:

דמוקרטיה מנקודת המבט של מתמטיקה– חומר לעבודות מחקר – ד"ר פיטר סמובול על שיטות בחירה שונות ופרדוקסים של בחירות.

דמוקרטיה במספרים – שיעור באזרחות מאת מטח. עיבוד ניתוח של סקר המוצג בתמונות, אינפוגרפיקה. שימוש בתוכנת Thinglink המאפשרת הוספת "נקודות חמות" על גבי תמונות.

מקימים קואליציה (סימולציה) - הצעה לפעילות בכיתה בנושא הקמת הקואליציה בישראל בעקבות תוצאות הבחירות לכנסת ה-19. הפעילות מתבססת על סימולציה המבוססת על קובץ אקסל.

בחירות רבותיי, בחירות – מכון דוידסון - בסדרת הכתבות נדבר על סקרי הבחירות, על ההסכמים שיוצר אחוז החסימה, על הקשר של הבחירות לתורת המשחקים ועוד.

המתמטיקה של הדמוקרטיה – מאמר דיעה מתוך הבלוג – למה ללמוד מתמטיקה

כל היישומים פותחו במרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי, בעזרת התוכנה גאוגברה, בהתאמה לשאלות מבגרויות.

נושא

3 יח"ל

4 יח"ל

5 יח"ל

אנליזה
תשע"א
- 003 חורף, שאלה 4

תש"ע
- 003 חורף, שאלה 5

תשס"ט
- 003 חורף, שאלה 5
- 003 חורף, שאלה 1
- 003 קיץ, שאלה 5
- 003 מועד ב', שאלה 1א'
- 003 מועד ב', שאלה 1ב'

תשס"ח
- 003 קיץ, שאלה 5

תשס"ו
- 003 חורף, שאלה 5

תשע"ב
- 804 חורף, שאלה 8

תשע"א
- 003 חורף, שאלה 4
- 004 חורף, שאלה 5

תש"ע
- 003 חורף, שאלה 5
- 004 חורף, שאלה 4
- 004 חורף, שאלה 5
- 004 קיץ, שאלה 5
- 004 מועד ב, שאלה 3
- 804 מועד ב, שאלה 9

תשס"ט
- 003 חורף, שאלה 1
- 004 חורף, שאלה 4
- 003 חורף, שאלה 5
- 003 קיץ, שאלה 5
- 003 מועד ב', שאלה 1א'
- 003 מועד ב', שאלה 1ב'
- 004 קיץ, מועד ב', שאלה 5
- 004 מועד ב', שאלה 3
- 004 מועד ב', שאלה 5

תשס"ח
- 003 קיץ, שאלה 5
- 004 חורף, שאלה 5

תשס"ו
- 003 חורף, שאלה 5
- 003 חורף, שאלה 5 - הכללה

תשע"א
- 806 קיץ, מועד ב', שאלה 9

תש"ע
- 006 קיץ, שאלה 4

תשס"ט
- 006 מועד ב', שאלה 5

אלגברה
המאגר החדש
- 801 שאלה 5

   שינוי נושא נוסחא-
- 801 שאלה 5
- 801 שאלה 6

   קריאת גרפים-
- 801 שאלה 21

   פונקציות-
- 802 שאלה 5
- 802 שאלה 14

גדילה ודעיכה-
- 802 שאלה 2
- 802 שאלה 8-9
- 802 שאלה 26

   סדרות-
- 801 שאלות 16-17
- 802 שאלה 22
- 802 שאלה 23
- 802 שאלה 26

טריגונומטריה המאגר החדש
- 802 שאלה 7
- 802 שאלה 25
- 802 שאלה 27
- 802 שאלה 19-20 תש"ע
- 804 קיץ, שאלה 7
- 004 מועד ב', שאלה 2

תשס"ט
- 004 מועד ב, שאלה 2

גאומטריה
וגאומטריה אנליטית

המאגר החדש
- 801 שאלה 29

   גאומטריה אנליטית-
- 801 שאלה 23
- 801 שאלה 32,33,34

תשע"ב
- 804 קיץ, שאלה 4

תשע"א
- 805 קיץ, שאלה 2

תש"ע
- 005 חורף, שאלה 4

תשס"ט
- 804 קיץ, שאלה 5

תשס"ז
- 005 חורף, שאלה 3
- 005 מועד ב, שאלה 3

תשע"ג
- 807 קיץ, שאלה 1

תשע"ב
- 806 קיץ, שאלה 5
- 807 קיץ, שאלה 4

תשע"א
- 007 קיץ, שאלה 2
-007 חורף, שאלה 1

תש"ע
- 005 חורף, שאלה 4
- 007 מועד ב', שאלה 1א'
- 007 מועד ב', שאלה 1ב'
- 007 מועד ב', שאלה 2
- 806 מועד ב', שאלה 5

תשס"ט
- 007 קיץ, שאלה 1
- 807

תשס"ז
- 005 חורף, שאלה 3
- 005 מועד ב, שאלה 3

הצעה להתאמת שאלות בגרות משאלון 003 לשאלון 803

מאגר יישומים דינאמיים לפי נושא

אוסף יישומים דינאמיים ודפי עבודה אינטראקטיביים לשילוב בכיתת המתמטיקה.
כל היישומים פותחו במרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי, בעזרת התוכנה גאוגברה, ניתן לצפות בהם ובנוספים בעמוד מרכז המורים בגאוגברה טיוב.

אלגברה

גאומטריה

טריגונומטריה

מספרים שליליים
משוואות ואי-שוויונות
נוסחאות
בעיות מילוליות
סדרות
מספרים מרוכבים

רשימת משפטים והוכחותם (אורט)

זוויות

משולשים

המלבן

מרובעים

מצולעים

שטחים

קטע אמצעים

דמיון

משפט פיתגורס

פאי

המעגל

בעיות עם המעגל

גאומטריית המרחב

וקטורים

בעיות חקר

מעגל היחידה
פונקציה טריגונומטרית
טריגונומטריה במישור

פונקציות וחדו"א

קריאת גרפים

הפונקציה (קדם אנליזה)

הישר

פונקציה ריבועית

פונקציה פולינומיאלית

פונקציה רציונאלית

פונקציה מעריכית ולוגריתמית

פונקציית השורש

פעולות על פונקציות

הגדרת הנגזרת

תכונות הפונקציה (אנליזה)

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

בעיות קיצון

אינטגרלים

מספרים מרוכבים

גאומטריה אנליטית

גאומטריה אנליטית
מקומות גיאומטריים

ספרי גאוגברה
אוסף יישומונים מקובצים

ספר גיאומטרית המרחב

ספר המספרים המרוכבים

ספר הוקטורים

ספר הנגזרת - בפיתוח גלית נגרי חדיף

ספר בגאומטריה - בפיתוח מורי גאוגברה

ספר בנושא פונקציות - בפיתוח מורי גאוגברה

מאגר שאלות בגרות בשילוב יישומים דינאמיים

מדריכים לעבודה בגאוגברה

אתרים נוספים עם יישומונים

המחשה

מספרים שליליים

מספרים מכוונים

מודל

חיבור וחיסור

נושא: מספרים שליליים

כיתה: ז

תיאור: פעילות אינטראקטיבית לדיון במודל מד חום בבעיות מילוליות של מספרים שליליים. ביישומון סימולציה למד חום, ניתן להעלות ולהוריד את הטמפרטורה.

מספרים שליליים

מספרים מכוונים

וקטור

נושא: מספרים שליליים

כיתה: ז

תיאור: ניתן להדגים ולחקור סכום של מספרים שליליים. ביישום דינאמי זה כל רישום מספרי מתואר על-ידי חץ (וקטור) שלו גודל וכיוון, כאשר אורך החץ מבטא את ערכו המוחלט של המספר וכיוונו מבטא את סימנו: חץ ימינה מספר חיובי, חץ שמאלה מספר שלילי. מכאן גם השם מספרים מכוונים.

מספרים שליליים

מספרים מכוונים

נושא: מודל ויזואלי לחיבור מספרים מכוונים בעזרת קשתות

כיתה: ז

תיאור: ניתן להדגים ולחקור סכום של מספרים שליליים. ביישום דינאמי זה, המחובר הראשון מוצג כנקודה על ציר המספרים והמחובר השני מייצג תנועה בצעדים ימינה או שמאלה- תלוי בסימן המחובר השני. תנועה ימינה- המחובר השני חיובי ותנועה שמאלה- המחובר השני שלילי. תוצאת החיבור היא הנקודה אליה הגענו.

ערך מוחלט

פתרון גרפי

משוואות עם ערך מוחלט

נושא: משוואות ואי שוויונות.

כיתה: ז'- יב'

תיאור: יישום דינאמי שעוסק בהרחבה ובהעמקה במושג הערך המוחלט. הערך המוחלט של מספר מבטא בציר המספרים את מרחקו של המספר מהאפס.

מתוך הפעילות לכיתה המדעית - פונקצית הערך המוחלט.

פונקציה

ערך מוחלט

משוואות

נושא: משוואות ואי שוויונות.

כיתה: ז'- יב'

תיאור: דף עבודה אינטראקטיבי ו יישום דינאמי לחקירת מספר הפתרונות של משוואות עם ערך מוחלט |cx+d =|ax+b.

הרחבה ופירוט של הפעילות במאמר:
"משוואות בערך מוחלט - מה נלמד מהייצוג הגרפי שלהן?",
סטופל ופריש - על"ה 40.

ערך מוחלט

משוואות

נושא: משוואות ואי שוויונות.

כיתה: ז'- יב'

תיאור: דף עבודה אינטראקטיבי ו יישום דינאמי לחקירת מספר הפתרונות של משוואות עם ערך מוחלט מהסוג |ax+b|= |cx+d|.

הרחבה ופירוט של הפעילות במאמר:
"משוואות בערך מוחלט - מה נלמד מהייצוג הגרפי שלהן?",
סטופל, פריש על"ה 40.

הוכחה

הפרש ריבועים

שטחים

נוסחאות

נושא: נוסחאות.

כיתה:

מבוסס על בחינת בגרות:

תיאור: יישום דינאמי - ובו הוכחה ויזואלית לנוסחת הפרש ריבועים בעזרת חישובי שטחים.

מתוך הפיצוח: "הפרש ריבועים"

הוכחה

הפרש ריבועים

שטחים

נוסחאות

נושא: נוסחאות.

כיתה:

מבוסס על בחינת בגרות:

תיאור: יישום דינאמי - הוכחה ויזואלית לנוסחת הפרש ריבועים בעזרת חישובי שטחים.

מתוך הפיצוח: "הפרש ריבועים"

הוכחה

הפרש ריבועים

שטחים

נוסחאות

נושא: נוסחאות.

כיתה:

מבוסס על בחינת בגרות:

תיאור: יישום דינאמי - הוכחה ויזואלית לנוסחת הפרש ריבועים בעזרת חישובי שטחים.

מתוך הפיצוח: "הפרש ריבועים"

ריבוע

נוסחאות הכפל המקוצר

כפל מקוצר

נושא: נוסחאות

תיאור: המחשה ויזואלית לנוסחה של ריבוע של דו איבר כחלק מנוסחאות הכפל המקוצר.

יישום דינאמי

מבחני פיזה

מחסן

נושא: בעיות מילוליות

מקור: המרכז הארצי למורים למתמטיקה

תיאור: מתבסס על שאלה מתוך דוגמאות למבחני פיזה 2012. סרטון בתלת מימד ויישומון (דרוש להוריד גאוגברה 5)
בסרטון ניתן להתבונן במחסן במבטים שונים. ביישומון נבנה המחסן על פי התוכנית המתוארת בשאלה וניתן להתבונן בו בתצוגת תלת מימד, לסובב ואף לשנות את מימדי המחסן. ניתן גם ליצור מבט על, צד קדמי אחורי וכדומה.
* יש צורך להוריד את גרסת הניסוי של גאוגברה 5.

יישום דינאמי

אוריינות

גרף

נושא: בעיות מילוליות

כיתה: ז'-ט'

תיאור: מתבסס על שאלה מתוך משימות האוריינות לכיתה ט'. יישום דינאמי המדמה את הסיטואציה של השחייה של שני שחיינים, ובניית הגרף המתאר את השחייה.

מקור: המרכז הארצי למורים למתמטיקה

בעיות תנועה

נושא: בעיות מילוליות.

כיתה: ט, י, יא

תיאור: יישום דינאמי מתוך הפיצוח בתנועה מתמדת. ניתן לבדוק בעזרת היישום מצבים שונים העונים על תנאי הבעיה, להעלות השערות ולפתור את השאלה באופן גרפי ובאופן אלגברי.

בעיות תנועה

נושא: בעיות מילוליות.

כיתה: ט, י, יא

תיאור: יישום דינאמי מתוך הפיצוח בתנועה מתמדת. ניתן לבדוק בעזרת היישום מצבים שונים העונים על תנאי הבעיה, להעלות השערות ולפתור את השאלה באופן גרפי ובאופן אלגברי.

יישום דינאמי

גאומטריה אנליטית

נושא: בעיות מילוליות.

כיתה:

מבוסס על בחינת בגרות: מאגר 801, גיאומטריה אנליטית, שאלה 32,33,34.

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי

משימות אוריינות

נושא: בעיות מילוליות.

מקור: "מתמטיקה משולבת" לכיתה ט–חלק ב' - הוצאת מכון ויצמן

כיתה: ט

תיאור: משימה אוריינית ובה בעיה מילולית מן המציאות המובילה לפתרון משוואות. היישום הדינאמי מציג בצורה מוחשית את המתואר בבעיה ומאפשר חקירתה ואף הרחבתה. הפעילות מלווה בדף עבודה, יישום דינאמי 1, יישום דינאמי 2.

המשימה "שומר מסך" מופיעה גם במשימות אוריינות כולל דף עבודה ופתרונו.



בעיות תנועה

נושא: בעיות מילוליות.

כיתה: יא'- יב'

מבוסס על בחינת בגרות: שאלון 003, קיץ תשס"ט, מועד ב', שאלה 1ב'.

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה מבחינת בגרות.

בעיות תנועה

נושא: בעיות מילוליות.

כיתה: יא'- יב'

מבוסס על בחינת בגרות: שאלון 003, קיץ תשס"ט, שאלה 1.

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה מבחינת בגרות.

יישום דינאמי

גרף

נושא: בעיות מילוליות

כיתה: ח', ט', י'

תיאור: יישום המדגים כיצד מחשבים את מדד מסת גוף האדם (BMI) בעזרת גרף על פי נתוני הגובה H (במטרים) והמשקל M (בק"ג).
המדד BMI נותן הערכה כמותית האם אדם נמצא במשקל תקין, בעודף או בתת משקל.
היישום מוחשי וויזואלי ומתבסס על הנוסחה: I=M/H^2

שאלה בנושא מופיעה במאגר החדש של 801, שאלה 12.

בעיות תנועה

נושא: בעיות מילוליות

כיתה: יא'- יב'

מבוסס על בחינת בגרות: שאלון 003, חורף תשס"ט, שאלה 1.

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה מבחינת בגרות.

בעיות תנועה

משימות אוריינות

ישר

נושא: בעיות מילוליות.

כיתה: ז'- י'

תיאור: בעיה מילולית מתוך הפיצוח ערכים ומתמטיקה ובה חקירת פתרון שתי משוואות לינאריות, או חיתוך בין שני ישרים. הבעיה מלווה ביישום דינאמי לחקירה ולהמחשה ויזואלית של פתרון הבעיה. ביישום ניתן לחקור את הקשר בין הייצוג הטבלאי, הגרפי והאלגברי של הישרים ומציאת נקודת החיתוך ביניהם.

בעיות תנועה

משוואות

ישר

נושא: בעיות מילוליות.

כיתה: ז'- י'

תיאור: בעיה מילולית מתוך הפיצוח ערכים ומתמטיקה ובה חקירת פתרון שתי משוואות לינאריות, או חיתוך בין שני ישרים. הבעיה מלווה ביישום דינאמי לחקירה ולהמחשה ויזואלית של פתרון הבעיה. ביישום ניתן לחקור את הקשר בין הייצוג הטבלאי, הגרפי והאלגברי של הישרים ומציאת נקודת החיתוך ביניהם.

יישום דינאמי

היקף מעגל

בעיה מילולית

משולשים

מרובעים

נושא: בעיות מילוליות.

מקור: המרכז הארצי למורים למתמטיקה

תאור: מתבסס על שאלה מתוך משימות האוריינות לכיתה ט, בגלגל הענק, בנושא שאלות מילוליות. המשימה אינטגרטיבית ומשלבת נושאים שונים כגון: היקף מעגל ומקטע, גיאומטריה של משולשים ומרובעים, סימטריה במעגל ועוד. היישום הדינאמי מדמה את סיבובי גלגל הענק ושני רוכבים עליו. ניתן לשנות את מימדי הגלגל ואת מספר המושבים בו.

יישום דינאמי

מבחני פיזה

נושא: בעיות מילוליות.

מקור: המרכז הארצי למורים למתמטיקה

תאור: מתבסס על שאלה מתוך דוגמאות למבחני פיזה 2012. היישום הדינאמי מדמה דלת מסתובבת עם שלש כנפיים. ניתן לשנות את מספר הכנפיים בדלת וכן את מימדי הפתחים.

יישום דינאמי

פונקציה

אוריינות

בעיות

קיצון

נושא: בעיות מילוליות.

כיתה: י'-י"ב

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי לביצוע משימה בה שילוב של פונקצית הישר ופונקציה ריבועית.

מתוך משימות אוריינות לכיתה ט בנושא פונקציות

סדרה חשבונית

סכום סדרה

נושא: סדרות

כיתה: י-יא

תיאור: יישום דינאמי להמחשה ויזואלית של סדרה חשבונית ושל סכום סדרה חשבונית.

היישומון נכתב על ידי עידן טל (This e-mail address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.).

גדילה מעריכית

אחוזים

נושא: סדרות

כיתה: 3 יחידות

תיאור: פעילות המדגימה גדילה מעריכית לפי סיפור ומקשרת גם לשימוש באחוזים.

מקור:

Ledwith, Jennifer. "Exponential Growth Functions." ThoughtCo, Feb. 11, 2020, thoughtco.com/what-are-exponential-growth-functions-2312200.

סדרה חשבונית

יישום דינאמי

סדרות

נושא: סדרות.

כיתה:

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי לבעיה מילולית הדורשת ידע בסדרה חשבונית.

נכתב על ידי עמרי נווה ונערך על ידי מרכז המורים.

פונקציה מעריכית

סדרה הנדסית

גידול מעריכי

נושא: סדרות.

כיתה:

מבוסס על בחינת בגרות: המאגר החדש, שאלון 802, שאלה 26.

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה ממאגר 802.

הפעילות עוסקת בהשוואה בין עליה של המחירים של שתי דירות בגידול מעריכי.
ביישום ניתן להשוות ולקשר בין הייצוג הגרפי, הטבלאי והאלגברי. ניתן לעקוב אחר ערכים וניתן גם לשנות את קבועי פונקצית הגידול.

גידול ודעיכה

פונקציה מעריכית

סדרה הנדסית מתכנסת

נושא: סדרות.

כיתה:

מבוסס על בחינת בגרות: המאגר החדש, שאלון 802, שאלה 8-9.

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה ממאגר 802 העוסקת בדעיכה מעריכית של עיצים ביער. היישום מתאים כמובן גם ללומדים לשאלון 805 או 807. ביישום ניתן לחקור כיצד משפיעים הפרמטרים השונים של פונקצית הדעיכה על הגרף הן בייצוג הגרפי, הטבלאי והויזואלי. כמו כן ניתן לעקוב אחר ערכים של הפונקציה. וכן להתרשם מקצב הדעיכה באנימציה של המיכל המתרוקן.

יישום דינאמי

פונקציה

גדילה מעריכית

נושא: סדרות

כיתה: י-יא-יב

מבוסס על בחינת בגרות: המאגר החדש, שאלון 802, שאלה 2.

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה ממאגר 802 העוסקת בגדילה מעריכית של עצים ביער. היישום מתאים כמובן גם ללומדים לשאלון 805 או 807. ביישום ניתן לחקור כיצד משפיעים הפרמטרים השונים של פונקצית הגדילה על הגרף הן בייצוג הגרפי, הטבלאי והויזואלי. כמו כן ניתן לעקוב אחר ערכים של הפונקציה.

סדרה חשבונית

סדרה הנדסית

גידול מעריכי

קישוריות

נושא: סדרות.

כיתה: י, יא, יב

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי לחקירת הקשר בין סדרה הנדסית (גיאומטרית) בייצוגה המספרי, הנוסחה האלגברית ולייצוגה הגרפי. ניתן לשנות את האיבר הראשון של הסדרה ואת מנת הסדרה ולבדוק את השפעתם על הגרף. מתאים לכל רמות הלימוד.

מבוסס על המאגר החדש, שאלון 802, שאלה 22.

אלגברה

סדרה חשבונית

נושא: סדרות.

כיתה: י, יא

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי לחקירת הקשר בין סדרה חשבונית בייצוגה המספרי , הנוסחה האלגברית ולייצוגה הגרפי.
ניתן לשנות את האיבר הראשון של הסדרה ואת הפרש הסדרה ולבדוק את השפעתם על הגרף. מתאים לכל רמות הלימוד.

מבוסס על המאגר החדש, שאלון 802, שאלה 23.

אלגברה

סדרה חשבונית

יישום דינאמי

נושא: סדרות.

כיתה: ח, י'-י"ב

תיאור: יישום דינאמי שנועד לתמוך בחקירה של שאלה שכיחה על אורכי השלבים בסולם המהווים סדרה חשבונית.
ביישום ניתן לראות באופן ויזואלי כיצד משפיע שינוי ההפרש (d) על הסולם עצמו, על סדרת המספרים בטבלה וכן על הייצוג הגרפי של הסדרה.
ניתן גם לשנות את אורך השלב הראשון ולצפות בשינויים בסדרה. מה קורה כאשר מתקבל איבר שלילי בסדרה?

מבוסס על המאגר החדש, שאלון 801, סדרות, שאלות 16-17.

יישום דינאמי

פונקציה

מערכת צירים

פונקציית פולינום

פונקציה זוגית

שיקוף

פונקציה אי זוגית

תכונות הפונקציה

נושא: הפונקציה - קדם אנליזה

כיתה: ט - י

תיאור: היישומון מופיע בפעילות: פונקציות מבעד למראה – שיקופים ביחס לצירים. היישומון מאפשר התבוננות בגרף של פונקציה המתקבל מגרף אחר באמצעות שיקוף בציר X. ההתבוננות יכולה להיות נקודתית (עקבות) או כללית. היישומון מצורף לפעילות שמפגישה את התלמידים, באמצעות שתי "מכונות", עם שתי טרנספורמציות פשוטות: האחת מבצעת שיקוף ביחס לציר ה-X. האחרת מבצעת שיקוף ביחס לציר ה- Y.

יישום דינאמי

פונקציה

מערכת צירים

פונקציית פולינום

פונקציה זוגית

שיקוף

פונקציה אי זוגית

תכונות הפונקציה

נושא: הפונקציה - קדם אנליזה

כיתה: ט - י

תיאור: היישומון מופיע בפעילות: פונקציות מבעד למראה – שיקופים ביחס לצירים. היישומון מאפשר התבוננות בגרף של פונקציה המתקבל מגרף אחר באמצעות שיקוף בציר Y. ההתבוננות יכולה להיות נקודתית (עקבות) או כללית. היישומון מצורף לפעילות שמפגישה את התלמידים, באמצעות שתי "מכונות", עם שתי טרנספורמציות פשוטות: האחת מבצעת שיקוף ביחס לציר ה-X. האחרת מבצעת שיקוף ביחס לציר ה- Y.

יישום דינאמי

קיפולי נייר

פונקציה הפוכה

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

גרף פונקציה ריבועית

נושא: הפונקציה - קדם אנליזה

כיתה: י' או י"א

תיאור: היישומון מופיע בפעילות: אל הגרף של פונקציית השורש הריבועי, בה פונקציית השורש הריבועי והגרף שלה מוצגים באמצעות הקשר ביניהם לבין הענף החיובי של הפונקציה .y=x^2 ההיכרות עם הקשרים בין שתי הפונקציות האלה זורעת זרעים לקראת פעילות המשך, העוסקת בין הנגזרות של שתי הפונקציות האלה. ביישומון הדינמי גוררים נקודה על גרף הפונקציה y = x^2 ורואים את שיעורי הנקודה המתקבלת ממנה באמצעות שיקוף בישר y=x.

יישום דינאמי

פונקציה הפוכה

קיפולי נייר

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

גרף פונקציה ריבועית

נושא: הפונקציה - קדם אנליזה

כיתה: י - י"א

תיאור: יישומון זה מאפשר לנהל שיח כיתתי על תכונות של פונקציות שהן הרכבה של פונקציות חזקה עם מעריך טבעי (x^n) על פונקציה אחרת, כלומר פונקציות מהצורה: (f(x)^n), n מספר טבעי, ועל הקשר בין פונקציות אלה לבין הפונקציות הפנימיות שלהן. היישומון מאפשר, באמצעות סרגל גרירה לשנות את המעריך ולדון בתכונות שמאפיינות גרפים המתקבלים ממעריכים זוגיים לעומת תכונות של גרפים שמתקבלים ממעריכים אי-זוגיים.

מדריך למורה

יישום דינאמי

פונקציה

פונקציה רציונלית

אסימפטוטות

משפחת פונקציות

מספר הופכי

נושא: הפונקציה - קדם אנליזה

כיתה: ט - י

תיאור: היישומון מאפשר לנהל שיח כיתתי שיעסוק בתכונות משפחת פונקציות זו, על שני חלקיה. ניתן גם לחבר עבור התלמידים משימות שבהן משולב היישומון. דוגמאות למשימות המבוססות על יישומון זה אפשר למצוא בפעילות "משפחת הפונקציות y=1/x^n מעריך טבעי".

יישום דינאמי

הזזות

מתיחות

כיווץ

טרנספורמציות לינאריות

נושא: הפונקציה - קדם אנליזה

כיתה: ט – י

תיאור: בעזרת היישומון ניתן לנהל שיח כיתתי שיעסוק בחקר הקשר בין תכונות הגרפים של פונקציות לבין הגרפים של הפונקציות המתקבלות מהכפלת ערכי הפונקציה בקבוע חיובי. לחילופין ניתן לחבר פעילויות לתלמידים שמנחות חקר כנ"ל ולשלב בהן את היישומון (ראו דוגמה בפעילות "מתיחה אנכית וכיווץ אנכי של גרף של פונקציה").

יישום דינאמי

פונקציה הפוכה

קיפולי נייר

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

גרף פונקציה ריבועית

נושא: הפונקציה - קדם אנליזה

כיתה: י – י"ב

תיאור: יישומון זה מאפשר לנהל שיח כיתתי על תכונות של פונקציות שהן הרכבה של ערך מוחלט על פונקציה אחרת ועל הקשר בין פונקציות אלה לבין הפונקציות הפנימיות שלהן. ניתן גם לחבר עבור התלמידים משימות שבהן משולב היישומון.

מדריך למורה

יישום דינאמי

פונקציה הפוכה

קיפולי נייר

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

גרף פונקציה ריבועית

נושא: הפונקציה - קדם אנליזה

כיתה: ט – י

תיאור: בעזרת יישומון זה ניתן לסרטט גרף של פונקציה נתונה וגרף של הפונקציה הופכית לה. אפשר לשנות את הפונקציה הנתונה לכל פונקציה אחרת (פולינומית, רציונאלית, שורש, טריגונומטרית ועוד) .בעזרת היישומון ניתן לנהל שיח כיתתי שיעסוק בחקר הקשר בין תכונות הגרפים של פונקציות לבין הגרפים של הפונקציות ההופכיות להן. לחילופין ניתן לחבר פעילויות לתלמידים שמנחות חקר כנ"ל ולשלב בהן את היישומון (ראו דוגמה בפעילות "פונקציה הופכית לפונקציה פולינומית“).

יישום דינאמי

פונקציה הפוכה

קיפולי נייר

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

גרף פונקציה ריבועית

נושא: הפונקציה - קדם אנליזה

כיתה: ט – יא

תיאור: בעזרת יישומון זה ניתן לשקף גרף של פונקציה (f(x (פונקציית הקלט) ביחס לציר ה- x ולראות את הגרף המתקבל (g(x (פונקציית הפלט).

מדריך למורה

יישום דינאמי

פונקציה הפוכה

קיפולי נייר

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

גרף פונקציה ריבועית

נושא: הפונקציה - קדם אנליזה

כיתה: ט – י

תיאור: בעזרת יישומון זה ניתן לשקף גרף של פונקציה (f(x (פונקציית הקלט) ביחס לציר ה- Y ולראות את הגרף המתקבל (g(x) (פונקציית הפלט).

מדריך למורה

יישום דינאמי

הזזות

מתיחות

טרנספורמציות

שיקופים

נושא: הפונקציה - קדם אנליזה

כיתה: ט – י"א

תיאור: פעילות לכיתה בדסמוס לתרגול טרנפורציות של הזזות, מתיחות ושיקופים. ניתן להוסיף ולהעשיר את הפעילות.

מחבר: צוות דסמוס

נגזרת

פונקציה

קעירות

פיתול

נושא: הפונקציה.

כיתה:  י, יא

תיאור: בעליה להר תבור היכן המטפס נמצא במקום התלול ביותר? דף עבודה ויישום דינאמי לחקירה של תכונת הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה. מעקב אחר שיפוע המשיק ומיקומו מעל ומתחת לגרף תרמוז לנו על נקודת הפיתול. כאן המקום לדון בקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת הראשונה וכן גם הנגזרת השנייה.

נושא: הפונקציה.

כיתה: י-יב

תיאור: דף עבודה אינטראקטיבי ויישום דינאמי לחקירת השאלה כיצד משתנה גרף הפונקציה (הרציונאלית) כאשר מרכבים עליה את פונקצית הישר. האם וכיצד משתנות נקודות הקיצון? האם וכיצד משתנות האסימפטוטות. ניתן לבצע חקירה דומה על כל פונקציה אחרת.

מצורף גם דף עבודה שנכתב על ידי רבקה קלטוביץ על פי תרגילים מהספר (יואל גבע)

יישום דינאמי

פונקציה

נושא: הפונקציה.

כיתה:

מבוסס על בחינת בגרות: שאלון 804, מועד ב' 2006, שאלה 7.

תיאור: יישום דינאמי

יישום דינאמי

פונקציה

אסימפטוטות

קיצון

נושא: הפונקציה.

כיתה:

תיאור: יישום דינאמי בו ניתן להקליד פונקציה ולחקות את תהליך החקירה שלה. ניתן לצפות שלב אחר שלב באיפיוני הפונקציה כגון נקודות אפס, נקודות קיצון, אסימפטוטות מקבילות לצירים ורק אז ליצור את הגרף. ניתן גם להגדיר תחום סגור לפונקציה. היישום נוצר על ידי רותם ינקלוביץ במסגרת קורס גאוגברה תשע"ג.

יישום דינאמי

משיקים

פונקציה זוגית

נושא: הפונקציה

תיאור: יישום דינאמי לחקירת הקשר בין תכונת הזוגיות של הפונקציה לזוגיות הנגזרת. ניתן לבדוק את שיפועי המשיקים בנקודות סימטריות של הפונקציה.

יישום דינאמי

פונקציה הפוכה

הוכחה

נושא: הפונקציה

תיאור: דף עבודה אינטרקאטיבי ויישום דינאמי לחקירה של הקשר בין הנגזרות של פונקציות הפוכות. הנגזרת של פונקציה הפוכה שווה להופכי של נגזרת הפונקציה עצמה. הנחיה להוכחה אלגברית וכן להוכחה ויזואלית.

f(x ) = af(bx+c)+d

נושא: טרנספורמציות של פונקציות

כיתה: י'- יב'

תיאור: ניתן לחקור בעזרת היישום הדינאמי כיצד משפיע כל פרמטר בטרנספורמציה הלינארית על גרף הפונקציה. הכרות עם הזזות אנכיות ואופקיות וכן גם מתיחות אנכיות ואופקיות. ניתן לבצע את הטרנספורמציה על פונקציה ריבועית, פולינום ממעלה שלישית, טריגונומטרית או כל פונקציה אחרת.

פונקציה

טרנספורמציה

הזזה

פרמטרים

נושא: הפונקציה.

כיתה: ט-י"ב

תיאור: מחשבון פונקציות המאפשר שינוי פרמטרים במשפחות של פונקציות (לינארית, ריבועית וערך מוחלט). מאפשר חקירת הזזות ומתיחות. וכמו כן מאפשר לבצע פעולות בין שתי הפונקציות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק וכן הרכבה.

היישום הדינאמי נכתב על ידי פרופ' יהודה שוורץ, תורגם ונערך על ידי מרכז המורים

פונקציה

משיק

עלייה

נושא: הפונקציה.

כיתה: ט'- י"ב

תיאור: בעזרת היישום הדינאמי ניתן לבדוק עבור אילו ערכי x הפונקציה עולה? מתי הפונקציה יורדת? ביישום הדינאמי ניתן לעקוב גם אחר הגרף, ערכי הנקודה שעל הגרף וטבלת ערכים. כמו כן ניתן לעקוב אחר משיקים בנקודות השונות שעל הפונקציה ואחר השתנות שיפוע המשיקים.

לעסוק בשאלה של הקשר בין עליה וירידה של הפונקציה ושיפועי המשיקים.

פונקציה

חיוביות

נושא: תכונות הפונקציה

כיתה: ט'- יב'

תיאור: בעזרת היישום הדינאמי ניתן לבדוק עבור אילו ערכי x ערכי הפונקציה חיוביים?

מתי הפונקציה שלילית?

ליישום הדינאמי

פונקציה

פונקציה הפוכה

נושא: הפונקציה.

כיתה: י-י"ב

תיאור: ישום דינאמי לחקירה של תכונות פונקציות הפוכות, התנאי לקיום פונקציה הפוכה והסימטריה לישר y=x.

פונקציה

זוגיות

נושא: הפונקציה.

כיתה: י-י"ב

תיאור: יישום דינאמי המאפשר לבדוק עבור פונקציות שונות האם הן זוגיות , אי זוגיות, או לא זה ולא זה.

פונקציה זוגית כאשר לכל נקודה יש על הפונקציה נקודה סימטרית ביחס לציר ה-y.

פונקציה אי זוגית כאשר לכל נקודה יש נקודה סימטרית ביחס לראשית.

מה הקשר בין שיעורי הנקודות הסימטריות?

יישום דינאמי

נגזרת

פונקציה

קעירות

נושא: הפונקציה.

כיתה: י-י"ב

תיאור: יישום דינאמי, פעילות ודף עבודה אינטראקטיבי לחקירת תכונות הפונקציה כגון עליה וירידה, קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה לגרפים של פונקצית הנגזרת. וכן כיצד מושפעת הנגזרת מפעולות הזזה של הפונקציה? תורגם ונערך על פי האתר: GeogebraCalculus

אנליזה

יישומון

טרום אנליזה

מעריך זוגי ואי-זוגי

מכפלה של גורמים ריבועיים אי-פריקים

מכפלה של גורמים לינאריים

פונקציית פולינום

תיאור: יישומון זה מאפשר לנהל שיח כיתתי על התנהגות של פונקציות פולינום המוצגת כמכפלת גורמים ליניאריים. נציין, שכל פולינום ניתן להצגה כמכפלה של גורמים לינאריים ו/או גורמים ריבועיים אי-פריקים. יישומון זה מתייחס רק לפונקציות שניתנות להצגה כמכפלה של גורמים לינאריים בלבד.

נושא: פונקציה פולינומיאלית

תיאור: דף עבודה אינטראקטיבי ויישומון לחקירה של פונקציה ממעלה שלישית ותכונותיה המתקבלת על ידי מכפלה של ישר בפרבולה. פעילות זו יכולה להיות המשך לפעילות של פונקציה ריבועית כמכפלת פונקציות קוויות

פרבולה

אינטגרל

קודקוד

שטחים

נושא: פונקציה פולינומיאלית

כיתה: יא'- יב'

מבוסס על בחינת בגרות: שאלון 003, חורף תשע"א, שאלה 4.

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה מבחינת בגרות.

פרבולה

אינטגרל

שטחים

נושא: פונקציה פולינומיאלית

כיתה:

מבוסס על בחינת בגרות:

תיאור: דף עבודה אינטראקטיבי ויישום דינאמי לחקירת הגרפים של פולינומים המיוצגים כמכפלת גורמים לינאריים והשפעת ריבוי השורש על הגרף.

פרבולה

אינטגרל

קודקוד

שטחים

נושא: פונקציה פולינומיאלית

כיתה:

מבוסס על בחינת בגרות:

תיאור: דף עבודה אינטראקטיבי ויישום דינאמי בו ניתן לחקור כיצד משפיע ריבוי השורש (חזקת הגורם) על התנהגות גרף הפולינום.

פונקציה

שורש

פרמטרים

נושא: פונקציה פולינומיאלית

כיתה: יא'-יב'

מבוסס על בחינת בגרות: שאלון 804, קיץ תש"ע, מועד ב', שאלה 9.

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה מבחינת בגרות.

פונקציה

הזזה

חזקה

נושא: פונקציה פולינומיאלית

כיתה: י'
תיאור: דף עבודה אינטראקטיבי ויישום דינאמי החוקרים את משפחת פונקציות החזקה בצורה המוזזת מהצורה f(x)=a(x-p)ⁿ+k . ראשית יש חלוקה לפונקצית חזקה זוגית ואי זוגית,. לאחר מכן חוקרים הזזות ומתיחות של פונקציות החזקה. פעילות זו היא הרחבה להכרות עם הפונקציה הריבועית בצורה הקודקודית.

פונקציה

שיפוע

מדרגה

נושא: פונקציה פולינומיאלית

כיתה: ז'- יב'

תיאור: יישום דינאמי לבניית מדרגה למדידת שיפוע דרך שתי נקודות שעל הפונקציה. ניתן לבנות מדרגות מספר, ומדרגות שונות על כל פונקציה.

יישום דינאמי

פונקציה הפוכה

קיפולי נייר

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

גרף פונקציה ריבועית

נושא: פונקציה פולינומיאלית

כיתה: י - י"א

תיאור: יישומון זה מאפשר לנהל שיח כיתתי על תכונות של פונקציות שהן הרכבה של פונקציות חזקה עם מעריך טבעי (x^n) על פונקציה אחרת, כלומר פונקציות מהצורה: (f(x)^n), n מספר טבעי, ועל הקשר בין פונקציות אלה לבין הפונקציות הפנימיות שלהן. היישומון מאפשר, באמצעות סרגל גרירה לשנות את המעריך ולדון בתכונות שמאפיינות גרפים המתקבלים ממעריכים זוגיים לעומת תכונות של גרפים שמתקבלים ממעריכים אי-זוגיים.

מדריך למורה

נגזרת

גרף

הרכבת פונקציות

אנליזה

נעלה בחזקה זוגית או אי זוגית

נושא: אנליזה, הרכבת פונקציות, הקשר בין הגרף לנגזרת

כיתה: י' - יב'

שאלון: מבחן בגרות שאלון ראשון ברמת 5 יח"ל, 806- קיץ תשע"ו, מועד א'

תיאור:השאלה מתוך , מהווה בסיס לפעילות חקר והתנסות בעזרת יישומון בגאוגברה (להורדה).

בפעילות התלמיד מתבקש לחקור את הפונקציה באופן איכותני, כפונקציית חזקה מורכבת , ולהבחין בין חזקות זוגיות ואי זוגיות.

בפעילות גם הזמנה לתלמידים מתקדמים להמשיך ולבנות ולחקור.

יישום דינאמי

פונקציה הפוכה

קיפולי נייר

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

גרף פונקציה ריבועית

נושא: תכונות הפונקציה- אנליזה

כיתה: מכיתה י והלאה

תיאור: יישומון זה מאפשר לקבוע אם פונקציה היא זוגית, אי-זוגית או שאינה זוגית ואינה אי-זוגית. היישומון נועד לשמש ככלי בשיח כיתתי העוסק במושגים: זוגיות של פונקציה ואי-זוגיות של פונקציה, ובמושגים נלווים כמו שיקוף בישר וסימטריה ביחס לנקודה. היישומון ניתן לשילוב גם בתוך פעילויות שמורים מחברים עבור כיתותיהם. דוגמה לשילוב היישומון בפעילות לתלמידים ניתן לראות בפעילויות פונקציה זוגית ואי- זוגית חלק א, חלק ב.

יישום דינאמי

פונקציה הפוכה

קיפולי נייר

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

גרף פונקציה ריבועית

נושא: תכונות הפונקציה- אנליזה

כיתה: י – י"ב

תיאור: יישומון זה מאפשר לנהל שיח כיתתי על תכונות של פונקציות שהן הרכבה של ערך מוחלט על פונקציה אחרת ועל הקשר בין פונקציות אלה לבין הפונקציות הפנימיות שלהן. ניתן גם לחבר עבור התלמידים משימות שבהן משולב היישומון.

מדריך למורה

יישום דינאמי

פונקציה הפוכה

קיפולי נייר

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

גרף פונקציה ריבועית

נושא: תכונות הפונקציה- אנליזה

כיתה: ט – י

תיאור: בעזרת יישומון זה ניתן לסרטט גרף של פונקציה נתונה וגרף של הפונקציה הופכית לה. אפשר לשנות את הפונקציה הנתונה לכל פונקציה אחרת (פולינומית, רציונאלית, שורש, טריגונומטרית ועוד) .בעזרת היישומון ניתן לנהל שיח כיתתי שיעסוק בחקר הקשר בין תכונות הגרפים של פונקציות לבין הגרפים של הפונקציות ההופכיות להן. לחילופין ניתן לחבר פעילויות לתלמידים שמנחות חקר כנ"ל ולשלב בהן את היישומון (ראו דוגמה בפעילות "פונקציה הופכית לפונקציה פולינומית“).

יישום דינאמי

פונקציה הפוכה

קיפולי נייר

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

גרף פונקציה ריבועית

נושא: תכונות הפונקציה- אנליזה

כיתה: ט – י

תיאור: יישומון זה מציג גרפים של פונקציות מהמשפחה: y=x^n עם מעריך טבעי. הגרפים מוצגים בשני חלונות נפרדים, חלון לפונקציות עם מעריך זוגי וחלון לפונקציות עם מעריך אי-זוגי. היישומון מאפשר לנהל שיח כיתתי שיעסוק בתכונות משפחת פונקציות החזקה עם מעריך טבעי, על שני חלקיה. ניתן גם לחבר עבור התלמידים משימות שבהן משולב היישומון. דוגמאות למשימות המבוססות על יישומון זה אפשר למצוא בפעילות "פונקציית חזקה ממעלה זוגית וממעלה אי-זוגית".

מדריך למורה

פונקציה

קעירות

פיתול

נושא: תכונות הפונקציה- אנליזה

כיתה:  י - י"ב

תיאור: בעליה להר תבור היכן המטפס נמצא במקום התלול ביותר?

דף עבודה ויישום דינאמי לחקירה של תכונת הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה.

מעקב אחר שיפוע המשיק ומיקומו מעל ומתחת לגרף תרמוז לנו על נקודת הפיתול.

כאן המקום לדון בקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת הראשונה וכן גם הנגזרת השנייה.

פונקציה

נושא: תכונות הפונקציה- אנליזה

כיתה: י-י"ב

תיאור: יישום דינאמי בו ניתן להקליד פונקציה ולחקות את תהליך החקירה שלה.

ניתן לצפות שלב אחר שלב באיפיוני הפונקציה כגון נקודות אפס, נקודות קיצון, אסימפטוטות מקבילות לצירים ורק אז ליצור את הגרף.

ניתן גם להגדיר תחום סגור לפונקציה.

היישום נוצר על ידי רותם ינקלוביץ במסגרת קורס גאוגברה תשע"ג.

יישום דינאמי

תכונות הפונקציה

שיפוע משיק

תכונות הנגזרת

ביטוי אלגברי

נושא: קשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

כיתה: י"ב

תיאור: היישומון מופיע בפעילות: אל הנגזרת של הפונקציה y=lnx. היישומון מספק הסבר ויזואלי דינמי לביטוי האלגברי הפשוט של נגזרת הפונקציה y=lnx.

נגזרת

פונקציה

קעירות

פיתול

נושא: הפונקציה.

כיתה:  י, יא

תיאור: בעליה להר תבור היכן המטפס נמצא במקום התלול ביותר? דף עבודה ויישום דינאמי לחקירה של תכונת הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה. מעקב אחר שיפוע המשיק ומיקומו מעל ומתחת לגרף תרמוז לנו על נקודת הפיתול. כאן המקום לדון בקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת הראשונה וכן גם הנגזרת השנייה.

נגזרת

משיק

עלייה וירידה

נושא: הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת שלה.

כיתה: י'-יב' (3-4-5 יח"ל)

תיאור: ביישום הדינאמי ניתן לחקור את אופן השתנות הפונקציה מבחינת תחומי עליה וירידה, נקודות שיא ושפל (מקסימום ומינימום), נקודות פיתול והתנהגות המשיק לפונקציה בכל נקודה.
כל זאת תוך תנועת הדמות המצוירת. כמו כן ניתן לעקוב אחר השתנות השיפוע ותוך כדי לבנות את גרף הנגזרת.

ביישום מוצגת פונקצית הסינוס, אך ניתן לשנותה על ידי הקלדה של פונקציה חדשה
בחלון הקלט, למשל: f(x)=x³-3x.

פונקציה

משיק

עלייה

נושא: הפונקציה.

כיתה: ט'- י"ב

תיאור: בעזרת היישום הדינאמי ניתן לבדוק עבור אילו ערכי x הפונקציה עולה? מתי הפונקציה יורדת? ביישום הדינאמי ניתן לעקוב גם אחר הגרף, ערכי הנקודה שעל הגרף וטבלת ערכים. כמו כן ניתן לעקוב אחר משיקים בנקודות השונות שעל הפונקציה ואחר השתנות שיפוע המשיקים.

לעסוק בשאלה של הקשר בין עליה וירידה של הפונקציה ושיפועי המשיקים.

יישום דינאמי

נגזרת

פונקציה

קעירות

נושא: הפונקציה.

כיתה: י-י"ב

תיאור: יישום דינאמי, פעילות ודף עבודה אינטראקטיבי לחקירת תכונות הפונקציה כגון עליה וירידה, קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה לגרפים של פונקצית הנגזרת. וכן כיצד מושפעת הנגזרת מפעולות הזזה של הפונקציה? תורגם ונערך על פי האתר: GeogebraCalculus

לינארי

שיפוע

הישר

נושא: הישר.

כיתה: ז- ח

תיאור: יישום דינאמי לחקירת עליה וירידה של הישר. ביישום סימולציה של שני שטחים מלבניים, האחד מתמלא בצבע באופן קבוע והשני מתרוקן מצבע באופן קבוע. ניתן לעקוב אחר השתנות גובה הצבע בטבלאות המספריות, ובנקודות המתארות את גובה הצבע כפונקציה של הזמן. תוך האנימציה ניתן לראות בבירור את תהליך העליה והירידה ולחקור את הקשר לייצוג האלגברי.

פונקציה

פרמטרים

משוואת הישר

שיפוע

נושא: הישר.

כיתה: ח'- יב'

תיאור: דף עבודה אינטראקטיבי ויישום דינאמי לחקירת השפעת הפרמטרים על משוואת הישר y=ax+b. כמו כן יש אפשרות לשרטט מדרגות שונות על פי שתי נקודות על הישר.

אוריינות

ערכים ומתמטיקה

בעיה מילולית

נושא: הישר

כיתה: ז'- י'

תיאור: בעיה מילולית מתוך הפיצוח ערכים ומתמטיקה ובה חקירת פתרון שתי משוואות לינאריות, או חיתוך בין שני ישרים. הבעיה מלווה ביישום דינאמי לחקירה ולהמחשה ויזואלית של פתרון הבעיה. ביישום ניתן לחקור את הקשר בין הייצוג הטבלאי, הגרפי והאלגברי של הישרים ומציאת נקודת החיתוך ביניהם.

יישום דינאמי

פונקציה ריבועית

פונקציה קווית

נושא: פונקציה ריבועית.

כיתה:

תיאור: יישום דינאמי של הפונקציה הריבועית כמכפלה של פונקציות קוויות

יישום דינאמי

פונקציה ריבועית

קודקוד

בעיות קיצון

ערך קיצון

נושא: פונקציה ריבועית.

כיתה: ט

תיאור: הישומון מופיע בפעילות: למצוא את הפתרון הטוב ביותר – חלק א העוסקת בבעיות ערך קיצון, אותן ניתן לפתור באמצעות מציאת קודקוד של פרבולה. בישומון ניתן לעקוב אחר השינוי בשטח הרצפה בצמוד לשינוי בגרף הפונקציה המתארת אותו.

יישום דינאמי

פונקציה ריבועית

קודקוד

בעיות קיצון

ערך קיצון

נושא: פונקציה ריבועית.

כיתה: ט

תיאור: היישומון מופיע בפעילות: למצוא את הפתרון הטוב ביותר – חלק א העוסקת בבעיות ערך קיצון, אותן ניתן לפתור באמצעות מציאת קודקוד של פרבולה. הישומון מתאים לבעיה העוסקת בשטח של גינה. ניתן לעקוב אחר שינוי בשטח הגינה בצמוד לשינוי בגרף הפונקציה המתארת אותו.

יישום דינאמי

פונקציה ריבועית

קודקוד

בעיות קיצון

ערך קיצון

נושא: פונקציה ריבועית.

כיתה: ט

תיאור: היישומון מופיע בפעילות: למצוא את הפתרון הטוב ביתר – חלק ב. פעילות זו עוסקת במציאת מלבן בעל שטח גדול ביותר. היישומון מאפשר לעקוב אחר השתנות שטח הגינה כאשר משנים את צלעותיה.

יישום דינאמי

פונקציה ריבועית

קודקוד

בעיות קיצון

ערך קיצון

נושא: פונקציה ריבועית.

כיתה: ט

תיאור: היישומון מופיע בפעילות: למצוא את הפתרון הטוב ביותר – חלק ג. פעילות זו עוסקת בבעיות ערך קיצון, אותן ניתן לפתור באמצעות מציאת קודקוד של פרבולה. היישומון מראה את השתנות אורך קטע בין שתי נקודות על שתי פרבולות, כאשר גוררים את אחת הנקודות.

פרבולה

פונקציה ריבועית

קודקוד

נושא: פונקציה ריבועית.

כיתה: ט-י

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי לחקירת גרף הפונקציה הריבועית המוצגת בצורה המוזזת (נקראת גם הצורה הקודקודית).

יישום דינאמי

קודקוד

פונקציה מוזזת

נושא: פונקציה ריבועית

תיאור:יישום דינאמי לתרגול הכרת הפונקציה הריבועית בצורה המוזזת או בצורה הקודקודית.

היישום נכתב על ידי מירטה לוין, ונערך על ידי מרכז המורים

פרבולה

פונקציה ריבועית

קודקוד

נושא: פונקציה ריבועית

תיאור: יישום דינאמי לחקירת גרף הפונקציה הריבועית המוצגת בצורתו המוזזת. כיצד נמצא את ציר הסימטריה והקודקוד? אילו פרמטרים וכיצד משפיעים על מיקום הקודקוד? ניתן לבדוק ביישום נקודות סימטריות על הפרבולה בעזרת חיתוך עם ישר המקביל לציר x.

ניתן לשלב יחד עם דף העבודה והיישום לבעיה.

נלקח ממאגר 802.

פרבולה

פונקציה ריבועית

קודקוד

ציר סימטריה

נושא: פונקציה ריבועית

כיתה: ט-י

תיאור: יישום דינאמי לחקירת גרף הפונקציה הריבועית המוצגת בצורתו הסטנדרטית. כיצד נמצא את ציר הסימטריה והקודקוד? אילו פרמטרים וכיצד משפיעים על מיקום הקודקוד? ניתן לבדוק ביישום נקודות סימטריות על הפרבולה בעזרת חיתוך עם ישר המקביל לציר x.

ניתן לשלב יחד עם דף העבודה והיישום לבעיה.

נלקח ממאגר 802.

נושא: פונקציה ריבועית.

כיתה: ט-י

תיאור: יישום דינאמי לחקירת גרף הפונקציה הריבועית המוצגת בצורת המכפלה. כיצד נמצא את נקודות החיתוך עם ציר x? כיצד נמצא את ציר הסימטריה והקודקוד? ניתן לבדוק ביישום נקודות סימטריות על הפרבולה בעזרת חיתוך עם ישר המקביל לציר x.
ניתן לשלב יחד עם דף העבודה והיישום לבעיה.

נלקח ממאגר 802.

נושא: פונקציה ריבועית

כיתה:  י-יא

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי לחקירת הקשר בין פונקציה ריבועית בצורה המוזזת וההופכית לה. בעזרת היישום התלמידים בונים את גרף הפונקציה הרציונאלית על פי תכונות הפונקציה הריבועית המוכרת להם. חוקרים את התכונות של פונקציה רציונאלית, תחומי ההגדרה אסימפטוטות, נקודות קיצון וכדומה. חקירה של משפחות ותת משפחות והשפעת הפרמטרים על הגרפים.

יישום דינאמי

פונקציה

קודקוד

מכפלה

נושא: פונקציה ריבועית.

כיתה:

מבוסס על בחינת בגרות: המאגר החדש, שאלון 802-פונקציות, שאלה 5.

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה מבחינת בגרות.

יישום דינאמי

פונקציה

סטנדרטי

נושא: פונקציה ריבועית.

כיתה:

מבוסס על בחינת בגרות: המאגר החדש, שאלון 802-פונקציות, שאלה 14.

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה מבחינת בגרות.

פונקציה

הזזה

פרמטרים

פרבולה

פונקציה ריבועית

הצגה קודקודית

טרנספורמציות

נושא: הפונקציה הריבועית

כיתה: ט'- יב'

תיאור: ביישום הדינאמי ניתן לבצע טרנספורמציות של פרבולה בהצגה הקודקודית של פונקציה ריבועית.

שינוי הפרמטרים בתבנית f(x)=k(x+m)²+n.

הזזות ומתיחות של גרף הפרבולה והקשר להצגה האלגברית של הפונקציה הריבועית. בפעילות יש להתאים פונקציה ריבועית לתמונה נתונה של פרבולות (כמזרקה), על ידי שינוי הפרמטרים בהצגה הקודקודית.

פונקציית שורש ריבועי

יישומון

שורש ריבועי

טרום אנליזה

תיאור: יישומון זה מאפשר לנהל שיח כיתתי על תכונות של פונקציות שהן הרכבה של שורש ריבועי על פונקציה אחרת ועל הקשר בין פונקציות אלה לבין הפונקציות הפנימיות שלהן. ניתן גם לחבר עבור התלמידים משימות שבהן משולב היישומון.

יישום דינאמי

זוגיות

הרכבת פונקציות

חקירת פונקציה

אינטגרל

פונקציה הופכית

בגרות

חקירה איכותנית

פונקציית שורש

אל הפונקציה צעד אחר צעד

נושא: אנליזה, חקירת פונקציות מנה עם שורש, אינטגרל

כיתה: יא'

שאלון: שאלון ראשון ב5 יח"ל- 806 - חרף תשעז- שאלה 7

תיאור: בפעילות נתבונן בפונקציה נתונה מתוך שאלת הבגרות. בפעילות שני חלקים:
בראשון הנחיה לחקור משפחה של פונקציות, פונקצית מנה עם שורש , באופן איכותני, ללא נגזרת.נסתכל על בניית פונקציה, צעד אחר צעד בעזרת פעולות על פונקציה כגון: הרכבה של פונקצית שורש, מציאת פונקציה הופכית $\frac{1}{f(x)}$ , וכפל פונקציות. בפעילות התייחסות לתכונות של הפונקציה הנחקרת, וכן למקרים פרטיים במשפחה (a=0).
בחלק השני, התבוננות באינטגרלים והקשר שלהם לשטחים ולתכונות הפונקציה.

מומלץ להיעזר בחקירת הפונקציות בתוכנה גרפית כגון גאוגברה או desmos.

יישום דינאמי

קיפולי נייר

פונקציה הפוכה

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

גרף פונקציה ריבועית

נושא: פונקציית השורש

כיתה: י' או י"א

תיאור: היישומון מופיע בפעילות: אל הגרף של פונקציית השורש הריבועי, בה פונקציית השורש הריבועי והגרף שלה מוצגים באמצעות הקשר ביניהם לבין הענף החיובי של הפונקציה .y=x^2 ההיכרות עם הקשרים בין שתי הפונקציות האלה זורעת זרעים לקראת פעילות המשך, העוסקת בין הנגזרות של שתי הפונקציות האלה. ביישומון הדינמי גוררים נקודה על גרף הפונקציה y = x^2 ורואים את שיעורי הנקודה המתקבלת ממנה באמצעות שיקוף בישר y=x.

יישום דינאמי

נגזרת

פונקציה הפוכה

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

שיפוע משיק

גרף פונקציה ריבועית

נושא: פונקציית השורש

כיתה: י' או י"א

תיאור: היישומון מופיע בפעילות: אל הנגזרת של פונקציית השורש הריבועי. ביישומון מוצג הקשר בין שיפועי המשיקים של פונקציית השורש הריבועי לשיפועי המשיקים של הענף החיובי של הפונקציה y=x^2.

יישום דינאמי

פונקציה הפוכה

קיפולי נייר

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

גרף פונקציה ריבועית

נושא: פונקציית השורש

כיתה: י - י"א

תיאור: יישומון זה מאפשר לנהל שיח כיתתי על תכונות של פונקציות שהן הרכבה של שורש ריבועי על פונקציה אחרת ועל הקשר בין פונקציות אלה לבין הפונקציות הפנימיות שלהן. ניתן גם לחבר עבור התלמידים משימות שבהן משולב היישומון. נשים לב שהתפריט להציג או להסתיר את הגרפים ואת התצוגה האלגברית, בהתאם למטרת השיעור.

פונקציה

שורש

פרבולה

פונקציה ריבועית

נושא: פונקציית השורש.

כיתה: יא'-יב'

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה מבחינת בגרות.

מבוסס על בחינת בגרות:שאלון 804, קיץ תש"ע, מועד ב', שאלה 9.

פונקציה

שורש

הרכבת פונקציות

נושא: פונקציית השורש

כיתה: י-י"ב

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי לחקירה של הרכבת פונקצית השורש על פונקצית הישר ועל פונקציה ריבועית.

פונקציה

שורש

תחום הגדרה

מכפלת פונקציות

נושא: פונקציית השורש

כיתה: י-י"ב

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי לחקירה של פונקציות שונות עם שורש.

ביישום שתי פונקציות שורש של פונקציה לינארית.

נשאלת השאלה האם וכיצד משתנה תחום ההגדרה בפעולות סכום ומכפלת הפונקציות.

בדף העבודה משימות המאירות נקודות בעייתיות במציאת תחום ההגדרה.

פונקציה

שורש

ערך מוחלט

פונקציה ריבועית

פונקציה ליניארית

נושא: פונקציית השורש

כיתה: י-י"ב

תיאור: דף עבודה (המכיל סרטוני הדגמה) ויישום דינאמי לחקירה של הרכבת פונקצית השורש על פונקציה לינארית, פונקציה ריבועית וערך מוחלט.

חקר סביב השאלה "האם ריבוע של שורש שווה לשורש של ריבוע".

דף העבודה מלווה בסרטוני הנחייה לחקר.

היישומון מתבסס על היישומון של פרופ' יהודה שוורץ מתוך האתר   mathMINDShabits

יישום דינאמי

פונקציה

שורש

נושא: פונקציית השורש

כיתה: י-י"א

תיאור: יישום דינאמי

מבוסס על בחינת בגרות: שאלון 804, מועד ב' 2006, שאלה 7.

אנליזה

יישומון

תכונות הפונקציה

גרף הפונקציה

חקירה של פונקציות לוגריתמיות

תיאור: יישומון זה מאפשר לנהל שיח כיתתי על תכונות של פונקציות המתקבלות כאשר מרכיבים את הפונקציה y=lnx על פונקציה אחרת, כלומר על פונקציות מהצורה: (y=lnf(x

הדיון מעמיק בקשרים בין התכונות של פונקציה מורכבת לבין תכונות הפונקציות המרכיבות אותה.

אנליזה

יישומון

תכונות הפונקציה

גרף הפונקציה

חקירה של פונקציות מעריכיות

תיאור: יישומון זה מאפשר לנהל שיח כיתתי על תכונות של פונקציות המתקבלות כאשר מרכיבים את הפונקציה y=e^x על פונקציה אחרת, כלומר על פונקציות מהצורה: (y=e^f(x

הדיון מעמיק בקשרים בין התכונות של פונקציה מורכבת לבין תכונות הפונקציות המרכיבות אותה.

אנליזה

יישומון

תכונות הפונקציה

גרף הפונקציה

חקירה של פונקציות לוגריתמיות

תיאור: פעילות לכיתה בדסמוס לתרגול התכונות של פונקציות מעריכיות. ניתן להוסיף ולהעשיר את הפעילות.

הפעילות מתאימה לכיתות י"ב בנושא: פונקציות מעריכיות.

מחבר: צוות דסמוס

פונקציה מעריכית

פונקציה לוגריתמית

נושא: פונקציה מעריכית ולוגריתמית

כיתה:

מבוסס על בחינת בגרות: 2006, שאלון 007, מועד ב'.

תיאור: יישום דינאמי

יישום דינאמי

תכונות הפונקציה

שיפוע משיק

תכונות הנגזרת

ביטוי אלגברי

נושא: פונקציה מעריכית ולוגריתמית

כיתה: י"ב

תיאור: היישומון מופיע בפעילות: אל הנגזרת של הפונקציה y=lnx. היישומון מספק הסבר ויזואלי דינמי לביטוי האלגברי הפשוט של נגזרת הפונקציה y=lnx.

יישום דינאמי

תכונות הפונקציה

שיפוע משיק

תכונות הנגזרת

ביטוי אלגברי

נושא: אל נגזרת הפונקציה y=ln(x)

כיתה: י"ב

תיאור: היישומון מופיע בפעילות: אל הנגזרת של הפונקציה y=lnx. היישומון מספק הסבר ויזואלי דינמי לביטוי האלגברי הפשוט של נגזרת הפונקציה y=lnx.

יישום דינאמי

פונקציה הפוכה

קיפולי נייר

פונקציות

פונקציית שורש ריבועי

גרף פונקציה ריבועית

נושא: פונקציה מעריכית ולוגריתמית

כיתה: י"ב

תיאור: היישומון מופיע בפעילות: אל הגרפים של הפונקציות הלוגריתמיות- חלק א+חלק ב. היישומון מאפשר לחקור את הקשרים בין הפונקציות הלוגריתמיות לבין הפונקציות המעריכיות המתאימות להן. בחלק א של הפעילות עוסקים בפונקציות y=log_ax a>1, ובחלק ב של הפעילות עוסקים בפונקציות y=log_ax, 0<a<1.

פונקציה לוגריתמית

בעיות קיצון

נושא: אורך קטע בין פונקציות לוגריתמיות.

כיתה: י"א- י"ב

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה מבחינת בגרות.

מבוסס על בחינת בגרות:שאלון 004, חורף תשס"ח, שאלה 5.

גידול ודעיכה

פונקציה מעריכית

נושא: פונקציה מעריכית ולוגריתמית

כיתה: י"א-י"ב

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה ממאגר 802 העוסקת בגדילה מעריכית של עצים ביער.

היישום מתאים כמובן גם ללומדים לשאלון 805 או 807.

ביישום ניתן לחקור כיצד משפיעים הפרמטרים השונים של פונקצית הגדילה על הגרף הן בייצוג הגרפי, הטבלאי והויזואלי.

מבוסס על בחינת בגרות: המאגר החדש, שאלון 802, שאלה 2.

גידול ודעיכה

פונקציה מעריכית

נושא: פונקציה מעריכית ולוגריתמית

כיתה: י"א-י"ב

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה ממאגר 802 העוסקת בדעיכה מעריכית של חומר רדיואקטיבי.

היישום מתאים כמובן גם ללומדים לשאלון 805 או 807.

ביישום ניתן לחקור כיצד משפיעים הפרמטרים השונים של פונקצית הדעיכה על הגרף הן בייצוג הגרפי, הטבלאי והויזואלי.

כמו כן ניתן לעקוב אחר ערכים של הפונקציה. וכן להתרשם מקצב הדעיכה באנימציה של המיכל המתרוקן.

מבוסס על בחינת בגרות: המאגר החדש, שאלון 802, שאלה 8-9.

גידול ודעיכה

פונקציה מעריכית

נושא: פונקציה מעריכית ולוגריתמית

כיתה: י"א-י"ב

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה ממאגר 802.

הפעילות עוסקת בהשוואה בין עליה של המחירים של שתי דירות בגידול מעריכי.

ביישום ניתן להשוות ולקשר בין הייצוג הגרפי, הטבלאי והאלגברי.

ניתן לעקוב אחר ערכים וניתן גם לשנות את קבועי פונקצית הגידול.

מבוסס על בחינת בגרות: המאגר החדש, שאלון 802, שאלה 26.

פונקציה הפוכה

פונקציה מעריכית

פונקציה לוגריתמית

נושא: הפונקציה מעריכית ולוגריתמית.

כיתה: יב' (5 יח"ל)

תיאור: יישום דינאמי לחקירת הקשר בין הפונקציות ההפוכות המעריכית והלוגריתמית והסימטריה לישר y=x .

מתוך המצגת  של ההרצאה "חדו"א של הפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות" ובעיה מתוך הפיצוח "הפוך על הפוך".

הרכבת פונקציות

פונקציה לוגריתמית

נושא: הרכבה של פונקציות לוגריתמיות ((g(x)=ln(f(x

כיתה: יב' (4-5 יח"ל)

תיאור: דף עבודה אינטראקטיבי ויישום דינאמי לחקירה של הרכבת פונקציות מסוגים שונים על פונקציית ln .

ניתן לחקור בעזרת היישום הדינאמי כיצד משפיעה ההרכבה על תחומי העליה והירידה על נקודות הקיצון האסימפטוטות ועל גבולות הפונקציה באינסוף.

כמו כן נשאלת השאלה מתי נוצרת נקודת אי רציפות סינגולארית ("חור").

ניתן להכניס לחלון הקלט פונקציות שונות להרכבה.

הרחבה לפעילות בפיצוח עד קצה הגבול.

פונקציה מעריכית

הרכבת פונקציות

עלייה וירידה

נושא: הרכבה של פונקציות על פונקציה מעריכית ((g(x)=e^(f(x

כיתה: יב' (4-5 יח"ל)

תיאור: דף עבודה אינטראקטיבי ויישום דינאמי לחקירה של הרכבת פונקציות מסוגים שונים על פונקצייה מעריכית.

ניתן לחקור בעזרת היישום הדינאמי כיצד משפיעה ההרכבה על תחומי העליה והירידה על נקודות הקיצון האסימפטוטות ועל גבולות הפונקציה באינסוף.

כמו כן נשאלת השאלה מתי נוצרת נקודת אי רציפות סינגולארית ("חור").

ניתן להכניס לחלון הקלט פונקציות שונות להרכבה.

הפעילות בהרחבה בפיצוח עד קצה הגבול

הרכבת פונקציות

פונקציה לוגריתמית

נושא: פונקציה מעריכית ולוגריתמית

כיתה: יא'- יב'

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה מבחינת בגרות.

מבוסס על בחינת בגרות:שאלון 004, חורף תשס"ט, שאלה 4.

אינטגרל

שטח בין עקומים

נושא: שטחים, אינטגרלים.

כיתה: ז'-יב'

תיאור: הדגמה דינאמית, בעזרת יישום, של ההוכחה כי השטח באיור של שני העקומים החסומים בין מקבילים ואשר ה"רוחב" של כל אחד מהם זהה, שווה. ניתן לשנות את העקום על ידי גרירת הנקודות.

מתוך המאמר: ידע אינטואיטיבי וידע לוגי כמרכיבים של הפעילות המתמטית, אפרים פישביין, דינה תירוש ואביבה ברש, על"ה 22.

נושא: אינטגרלים.

כיתה: יא-יב.

תיאור: יישומון דינאמי בו ניתן להדגים סיבוב שטח בין גרף של פונקציה לבין ציר ה-x. מלווה במצגת בה סרטונים קצרים להדגמה.

יישום דינאמי

ערך מוחלט

אינטגרל

אינטגרל מסויים

סימטריה

בגרות

חקירה איכותנית

פונקציה קדומה

פונקציית אינטגרל

האינטגרל כפונקציה

נושא: אנליזה, אינטגרל

כיתה: יא' - יב'

שאלון: בעקבות שאלה 4-ג, בחינת הבגרות – 35807 – קיץ תשע"ו, מועד א.

תיאור: הפעילות עוסקת בקשר שבין פונקציה, אינטגרל מסויים, ופונקציה שמוגדרת באמצעותו – פונקציית ההצטברות שנקרא לה כאן פונקצית האינטגרל. הפעילות היא פעילות חקר מלווה ביישומון בגאוגברה.

יישום דינאמי

יחס שטחים

אינטגרלים

נושא: אינטגרלים.

כיתה: י'-י"ב

תיאור: יישום דינאמי לחקירה של יחס השטחים של פונקצית חזקה.

גרף פונקצית החזקה מחלק ריבוע באורך יחידה לשני שטחים.

מצאו מהו יחס השטחים והאם הוא תלוי במעלת החזקה?

פרבולה

בעיות

קיצון

אינטגרל

נושא: אינטגרלים.

כיתה: י-י"ב

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה מבחינת בגרות.

מבוסס על בחינת בגרות: שאלון 806, קיץ תשע"א, מועד ב', שאלה 9.

פונקציה הפוכה

פונקציה מעריכית

לוגריתמים

אינטגרל

אינטגרל מסויים

נושא: אינטגרלים.

כיתה: יא'-יב'

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה מבחינת בגרות.

מבוסס על בחינת בגרות:שאלון 004, חורף תש"ע, שאלה 4.

אינטגרל

נושא: אינטגרלים.

כיתה: י, יא, יב

תיאור: יישום דינמי לחקירה והמחשה של חישוב השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה בעזרת סכומי רימן.

ביישום ניתן לקבוע את גבולות השטח הכלוא וכן את מספר המלבנים המחלקים את השטח.

יישום דינאמי

תכונות הפונקציה

שיפוע משיק

תכונות הנגזרת

ביטוי אלגברי

נושא: הגדרת הנגזרת

כיתה: י"ב

תיאור: היישומון מופיע בפעילות: אל הנגזרת של הפונקציה y=lnx. היישומון מספק הסבר ויזואלי דינמי לביטוי האלגברי הפשוט של נגזרת הפונקציה y=lnx.

נגזרת

משיק

גבול

נושא: הגדרת הנגזרת.

כיתה: י'- יב'

תיאור: יישום דינאמי להמחשת הגדרת הנגזרת כשיפוע המשיק שהוא גבול שיפוע החותכים.

ביישום מוצג המשיק לפונקציה y=x²בנקודה A בה x=1 וישר חותך AB, בין שתי נקודות שעל הפונקציה.

ניתן להזיז את נקודה B, ולעקוב אחר שינוי שיפוע החותך ואופן חישוב שיפוע החותך.

ככל שהנקודה B מתקרבת לנקודה A, שיפוע החותך קרוב (מבחינה ויזואלית ומבחינה חישובית) לשיפוע המשיק.

ניתן לבצע תהליך זה גם עבור נקודות אחרות על הפונקציה. ניתן להקליד בחלון הקלט פונקציה אחרת. לדוגמא: f(x)=x³.

נגזרת

משיק

נושא: הגדרת הנגזרת.

כיתה: י'-יא' (3-4-5 יח"ל)

תיאור: ביישום הדינאמי ניתן לחקור ולגלות את הכלל לנגזרת של פונקצית חזקה. בעזרת סרגל הגרירה משתנה החזקה של הפונקציה.
אפשר לעקוב בכל פונקצית חזקה מסויימת אחר השתנות שיפוע המשיקים בנקודות השונות (מומלץ לאסוף את הנתונים בטבלה) ומאידך אפשר לחקור את שינוי שיפוע המשיק עבור x מסוים לפונקציות חזקה שונות.

כמו כן, ניתן לעקוב אחר שרטוט השתנות המשיקים של כל פונקציה (הנגזרת).

נגזרת

פונקציה

זוגיות

משיק

נושא: פונקציות

כיתה: י-י"ב

תיאור: יישום דינאמי לחקירת הקשר בין תכונת הזוגיות של הפונקציה לזוגיות הנגזרת.

ניתן לבדוק את שיפועי המשיקים בנקודות סימטריות של הפונקציה ולשער מה הקשר בין הנגזרות של פונקציות הפוכות.

מומלץ להמשיך ולחקור בעזרת היישומון הנגזרת של פונקציה הפוכה.

נגזרת

פונקציה

פונקציה הפוכה

נושא: פונקציות

כיתה: י-י"ב

תיאור: דף עבודה אינטרקאטיבי ויישום דינאמי לחקירה של הקשר בין הנגזרות של פונקציות הפוכות.

הנגזרת של פונקציה הפוכה שווה להופכי של נגזרת הפונקציה עצמה. הנחיה להוכחה אלגברית וכן להוכחה ויזואלית.

פונקציה רציונלית

אסימפטוטות

הזזה אופקית

הזזה אנכית

יישומון

טרום אנליזה

גרף הפונקציה

תיאור: היישומון מאפשר הכרות עם משפחת הפונקציות f(x)=(1/(x-a))+b. במיוחד מתאים להתייחס למשפחה זו כהזזה אופקית, אנכית או משולבת של גרף הפונקציה f(x)=1/x ולדון בהשפעה של ההזזה על האסימפטוטות של הפונקציה.

פונקציה רציונלית

הזזה אנכית

אסימפטוטה אנכית

יישומון

טרום אנליזה

גרף הפונקציה

תיאור: היישומון מאפשר הכרות עם משפחת הפונקציות f(x)=(1/x)+b. במיוחד מתאים להתייחס למשפחה זו כהזזה אנכית של גרף הפונקציה f(x)=1/x ולדון בהשפעה של ההזזה על האסימפטוטות של הפונקציה.

פונקציה רציונלית

הזזה אופקית

אסימפטוטה אופקית

יישומון

טרום אנליזה

גרף הפונקציה

תיאור: יישומון מאפשר הכרות עם משפחת הפונקציות f(x)=1/(x-a) במיוחד מתאים להתייחס למשפחה זו כהזזה אופקית של גרף הפונקציה f(x)=1/x ולדון בהשפעה של ההזזה על האסימפטוטות של הפונקציה.

הזזה אופקית

הזזה אנכית

יישומון

ייצוג אלגברי

טרום אנליזה

תיאור: יישומון זה מאפשר לנהל שיח כיתתי על הזזה אנכית של פונקציה, על הזזה אופקית של פונקציה ועל שילוב של שתי ההזזות. בפרט, היישומון מאפשר לדון בקשר בין הייצוג הגרפי לייצוג האלגברי של פונקציה המתקבלת מפונקציה אחרת באמצעות הזזה. ניתן גם לחבר עבור התלמידים משימות שבהן משולב היישומון.

יישום דינאמי

פונקציה

פונקציה רציונלית

אסימפטוטות

משפחת פונקציות

מספר הופכי

נושא: פונקציה רציונאלית

כיתה: ט - י

תיאור: היישומון מאפשר לנהל שיח כיתתי שיעסוק בתכונות משפחת פונקציות זו, על שני חלקיה. ניתן גם לחבר עבור התלמידים משימות שבהן משולב היישומון. דוגמאות למשימות המבוססות על יישומון זה אפשר למצוא בפעילות "משפחת הפונקציות y=1/x^n מעריך טבעי".

נושא: פונקציה רציונאלית.

כיתה: י'- יב'

תיאור: דף עבודה אינטראקטיבי לחקירה של טרנספורמציות של היפרבולה. ניתן לחקור בעזרת היישום הדינאמי כיצד משפיעים הפרמטרים על גרף הפונקציה ועל מיקום האסימפטוטות האנכיות והאופקיות.
כמו כן ניתן לחקור את המעבר בין שני ייצוגים שקולים להיפרבולה.

הערה: ניתן להקדים את חקירת הנושא עוד לפני לימוד הנגזרות, כבר בכיתה י'.

פונקציה רציונלית

חקירת פונקציה

נושא: פונקציה רציונאלית.

כיתה: יא'-יב'

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה מבחינת בגרות לחקירה של משפחת פונרציות רציונליות. חקירה כיצד משפיע הפרמטר על התנהגות גרף הפונקציה מבחינת נקודות חיתוך על הצירים, נקודות קיצון והאסימפטוטות האנכיות.

מבוסס על בחינת בגרות:שאלון 035004, קיץ תש"ע,מועד ב', שאלה 3.

זוגיות

פונקציה רציונלית

הזזות

מתיחות

נושא: פונקציה רציונאלית

כיתה: י-י"ב

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי. לחקירה ולתרגול של משפחת פונקציות מנה, כאשר במכנה החזקה משתנה. חקירה של הפרמטרים המשפיעים על הזזות ומתיחות של הגרף, על זוגיות הפונקציה, על האסימפטוטות ועוד.

דף העבודה מוביל להכללה ולתרגול הנושא. מתאים החל מרמת 3 יח"ל וכמובן גם לרמת 4-5 יח"ל.

פונקציה רציונלית

נושא: פונקציה רציונאלית

כיתה: יא'- יב'

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי המבוססים על שאלה מבחינת בגרות.

מבוסס על בחינת בגרות: שאלון 004, מועד ב' תשס"ט, שאלה 3.

פונקציה רציונלית

הזזות

פונקציה הופכית

נושא: פונקציה רציונאלית

כיתה: י-יא

תיאור: דף עבודה ויישום דינאמי לחקירת הקשר בין פונקציה ריבועית בצורה המוזזת וההופכית לה.

בעזרת היישום התלמידים בונים את גרף הפונקציה הרציונאלית על פי תכונות הפונקציה הריבועית המוכרת להם.

חוקרים את התכונות של פונקציה רציונאלית, תחומי ההגדרה אסימפטוטות, נקודות קיצון וכדומה.

חקירה של משפחות ותת משפחות והשפעת הפרמטרים על הגרפים.


פונקציה רציונלית

הרכבת פונקציות

נושא: פונקציה רציונאלית.

כיתה: י-יב

תיאור: דף עבודה אינטראקטיבי ויישום דינאמי לחקירת השאלה כיצד משתנה גרף הפונקציה (הרציונאלית) כאשר מרכבים עליה את פונקצית הישר g(x)=ax+b.

האם וכיצד משתנות נקודות הקיצון?

האם וכיצד משתנות האסימפטוטות?

ניתן לבצע חקירה דומה על כל פונקציה אחרת.

מצורף גם דף עבודה שנכתב על ידי רבקה קלטוביץ על פי תרגילים מהספר (יואל גבע)

כתב עת על"ה - עלון למורי המתמטיקה

על"ה 15 תשנ"ה, 1994

על"ה 14 תשנ"ד, 1994

על"ה 13 תשנ"ג, 1993

על"ה 12 תשנ"ג, 1993

על"ה 11 תשנ"ב, 1992

על"ה 10 תשנ"ב, 1992

על"ה 9 תשנ"ב, 1991

על"ה 8 תשנ"א, 1991

על"ה 7 תש"ן, 1990

על"ה 6 תש"ן, 1990

על"ה 5 תשמ"ט, 1989

על"ה 4 תשמ"ח, 1988

על"ה 3 תשמ"ח, 1987

על"ה 2 תשמ"ז, 1987

על"ה 1 תשמ"ו, 1986

על"ה 56 תשע"ח, 2018

על"ה 55 תשע"ז, 2017

על"ה 54 תשע"ו, 2016

על"ה 53 תשע"ו, 2016

על"ה 52 תשע"ה, 2015

על"ה 51 תשע"ה, 2015

על"ה 50 תשע"ד, 2014

על"ה 49 תשע"ג, 2013

על"ה 48 תשע"ג, 2013

על"ה 47 תשע"ב, 2012

על"ה 46 תשע"ב, 2012

על"ה 45 תשע"א, 2011

על"ה 44 תשע"א, 2011

על"ה 43 תשע"א, 2010

על"ה 42 תש"ע, 2010

על"ה 41 תשס"ט, 2009

על"ה 40 תשס"ט, 2009

על"ה 39 תשס"ח, 2008

על"ה 38 תשס"ז, 2007

על"ה 37 תשס"ז, 2007

על"ה 36 תשס"ו, 2006

על"ה 35 תשס"ו, 2005

על"ה 34 תשס"ה, 2005

על"ה 33 תשס"ה, 2004

על"ה 32 תשס"ד, 2004

על"ה 31 תשס"ד, 2004

על"ה 30 תשס"ג, 2003

על"ה 29 תשס"ג, 2002

על"ה 28 תשס"ב, 2002

על"ה 27 תשס"ב, 2001

על"ה 26 תש"ס, 2000

על"ה 25 תש"ס, 2000

על"ה 24 תשנ"ט, 1999

על"ה 23 תשנ"ט, 1998

על"ה 22 תשנ"ח, 1998

על"ה 21 תשנ"ח, 1997

על"ה 20 תשנ"ז, 1997

על"ה 19 תשנ"ז, 1996

על"ה 18 תשנ"ו, 1996

על"ה 17 תשנ"ו, 1995

על"ה 16 תשנ"ה, 1995

על"ה 57 תשע"ט, 2019

על"ה 58 תש"ף, 2020

פיצוחים

הפיצוחים

יישומים דינאמיים

אלגברה יישומים דינמיים

מספרים שליליים

משוואות ואי שוויונות

נוסחאות

בעיות מילוליות

סדרות

פונקציות וחדו"א

הפונקציה

פונקציה פולינומיאלית

תכונות הפונקציה -אנליזה

קשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

הישר

פונקציה ריבועית

פונקציית השורש

פונקציה מעריכית ולוגריתמית

אינטגרלים

הגדרת הנגזרת

פונקציה רציונאלית

פונקציות פולינום

קריאת גרפים יישומים דינאמיים

בעיות קיצון

מספרים מרוכבים

פעולות על פונקציות

גאומטריה

משפט פיתגורס

זוויות

משולשים יישומים דינאמיים

המלבן

מרובעים יישומים דינאמיים

מצולעים

שטחים

קטע אמצעים

דמיון

פאי

המעגל

בעיות עם המעגל

גאומטריית המרחב

וקטורים

בעיות חקר

טריגונומטריה יישומים דינאמיים

מעגל היחידה

פונקציה טריגונומטרית

טריגונומטריה במישור

גאומטריה אנליטית יישומים דינמיים

גאומטריה אנליטית

מקומות גאומטריים

אתרים נוספים עם יישומונים

מדריכים לעבודה בגאוגברה

תחרויות

בואו נשחק מתמטיקה תש"ף

חדר בריחה תש"ף

משחקי אפליקציה תש"ף

משחקי קופסה תש"ף

בואו נשחק מתמטיקה תשע"ט

חדר בריחה תשע"ט

משחקי קופסה תשע"ט

משחקי מחשב תשע"ט

בואו נשחק מתמטיקה תשע"ח

חדר בריחה תשע"ח

משחקי מחשב תשע"ח

משחקי קופסה תשע"ח

בואו נשחק מתמטיקה תשע"ז

כיתה משחקת תשע"ז

משחקי מחשב תשע"ז

משחקי קופסה תשע"ז

חדר בריחה תשע"ז

בואו נשחק מתמטיקה תשע"ו

כיתה משחקת

משחקי מחשב

משחקי קופסה

בואו נשחק מתמטיקה תשע"ה

משחקים שעלו לגמר התחרות וזכו בפרסים

עמוד 2 מתוך 3

התחלה
קודם
1
2
3
הבא
סיום

התפלגות נורמלית, הנקראת גם התפלגות גאוס או עקומת הפעמון, הנה בלי ספק צורת ההתפלגות השימושית ביותר בכל תחומי המדע, החל מסטטיסטיקה, דרך ביולוגיה ועד מדעי החברה. בהתפלגות זו ניתן להשתמש לתיאור הפילוג של תוצאות ניסוי, התפלגות ממוצע ציונים בכיתה, התפלגות מנת המשכל במדגם אוכלוסייה, התפלגות מחיר של מניה ועוד ועוד . קראו על עקומת הפעמון במכון דוידסון ואצל הידען

על״ה
עלון למורי המתמטיקה

ISSN: 0792-5735

פיצוחים
פעילויות מתמטיות למורה ולתלמיד

מאגר יישומים דינאמיים
דפי עבודה אינטראקטיביים ויישומים בגאוגברה

תוכנית מוארת חט"ב
פעילויות מתוקשבות על פי תוכנית הלימודים

תוכנית מוארת חט״ע
בקרוב...

מרכז מורים ארצי במקצוע: מתמטיקה. הפרויקט מבוצע ע"י אוניברסיטת חיפה

עפ"י מכרז 22/11.2020 עבור המזכירות הפדגוגית, משרד החינוך.

© כל הזכויות שמורות למשרד החינוך

עיצוב והקמת אתר: אגף מחשוב ומערכות מידע, אוניברסיטת חיפה. עדן אוריון ושני זילברמן

מרכז מורים ארצי במקצוע: מתמטיקה. הפרויקט מבוצע ע"י אוניברסיטת חיפה

עפ"י מכרז 22/11.2020 עבור המזכירות הפדגוגית, משרד החינוך.

© כל הזכויות שמורות למשרד החינוך

עיצוב והקמת אתר: אגף מחשוב ומערכות מידע, אוניברסיטת חיפה. עדן אוריון ושני זילברמן

		170	150	120	100	75	50	40	30	מרחק הלייזר מהקיר
										גובה הפגיעה

200	120	100	60	50	40	30	20	10	0	מספר התלמידים
										התשלום לתלמיד

	במשחקים האולימפיים ב-2008, דרישות הסף לריצת 200 מטר לנשים הייתה 11.32 שניות. כיצד תוכלו להשוות מהירות זו למהירות של מכונית ?
	באולימפיאדת בייג'ינג ב-2008, זכתה האצנית שלי-אן פרייזר מג'מייקה, בריצת 100 מטר לנשים, בזמן של 10.78 שניות. אם היא הייתה ממשיכה לרוץ עוד 100 מטרים, בכמה היא הייתה משיגה אצנית שעמדה בתנאי הסף (11.32 שניות) ?
	דמיינו כי אתם מתחרים בריצת 200 מטר עם יוסיין בולט. בכמה מטרים הוא ישיג אתכם? (אם בכלל...)
	באליפות העולם לאתלטיקה 2009, שבר האלוף האולימפי יוסיין בולט, את שיא העולם בריצת 100 מטר וקבע זמן של 9.58 שניות. בולט שיפר את השיא שקבע הוא בעצמו באולימפיאדת ביג'ין 9.69 שניות. בכמה מטרים השיג בולט את עצמו?
	באימון שחיה לקראת אולימפיאדת לונדון ב-2012, שני שחיינים שוחים משני קצוות מנוגדים של הבריכה, במהירות קבועה אך שונה זה מזה. בפעם הראשונה נפגשו 30 מטר מקצה האחד של הבריכה. בפעם הבאה נפגשו 20 מטר מהקצה השני של הבריכה. מה אורכה של הבריכה ומתי יפגשו שוב?
	במרוץ אופניים בזירה סגורה במסלול הוולדרום (מלבן ושני חצאי עיגול), רוכב A מסיים סיבוב שלם כשהוא על הקו הכחול. באותו זמן סיימו סיבוב גם רוכב B אשר רכב 1 מטר פנימה מהקו הכחול ורוכב C שרכב 2 מטר מחוץ לקו הכחול. איזה מרחקים שונים רכבו רוכבי האופניים? מיהו הרוכב המהיר ביניהם ומהי מהירותו?

נושא	3 יח"ל	4 יח"ל	5 יח"ל
אנליזה	תשע"א - 003 חורף, שאלה 4 תש"ע - 003 חורף, שאלה 5 תשס"ט - 003 חורף, שאלה 5 - 003 חורף, שאלה 1 - 003 קיץ, שאלה 5 - 003 מועד ב', שאלה 1א' - 003 מועד ב', שאלה 1ב' תשס"ח - 003 קיץ, שאלה 5 תשס"ו - 003 חורף, שאלה 5	תשע"ב - 804 חורף, שאלה 8 תשע"א - 003 חורף, שאלה 4 - 004 חורף, שאלה 5 תש"ע - 003 חורף, שאלה 5 - 004 חורף, שאלה 4 - 004 חורף, שאלה 5 - 004 קיץ, שאלה 5 - 004 מועד ב, שאלה 3 - 804 מועד ב, שאלה 9 תשס"ט - 003 חורף, שאלה 1 - 004 חורף, שאלה 4 - 003 חורף, שאלה 5 - 003 קיץ, שאלה 5 - 003 מועד ב', שאלה 1א' - 003 מועד ב', שאלה 1ב' - 004 קיץ, מועד ב', שאלה 5 - 004 מועד ב', שאלה 3 - 004 מועד ב', שאלה 5 תשס"ח - 003 קיץ, שאלה 5 - 004 חורף, שאלה 5 תשס"ו - 003 חורף, שאלה 5 - 003 חורף, שאלה 5 - הכללה	תשע"א - 806 קיץ, מועד ב', שאלה 9 תש"ע - 006 קיץ, שאלה 4 תשס"ט - 006 מועד ב', שאלה 5
אלגברה	המאגר החדש - 801 שאלה 5 שינוי נושא נוסחא- - 801 שאלה 5 - 801 שאלה 6 קריאת גרפים- - 801 שאלה 21 פונקציות- - 802 שאלה 5 - 802 שאלה 14 גדילה ודעיכה- - 802 שאלה 2 - 802 שאלה 8-9 - 802 שאלה 26 סדרות- - 801 שאלות 16-17 - 802 שאלה 22 - 802 שאלה 23 - 802 שאלה 26
טריגונומטריה	המאגר החדש - 802 שאלה 7 - 802 שאלה 25 - 802 שאלה 27 - 802 שאלה 19-20	תש"ע - 804 קיץ, שאלה 7 - 004 מועד ב', שאלה 2 תשס"ט - 004 מועד ב, שאלה 2
גאומטריה וגאומטריה אנליטית	המאגר החדש - 801 שאלה 29 גאומטריה אנליטית- - 801 שאלה 23 - 801 שאלה 32,33,34	תשע"ב - 804 קיץ, שאלה 4 תשע"א - 805 קיץ, שאלה 2 תש"ע - 005 חורף, שאלה 4 תשס"ט - 804 קיץ, שאלה 5 תשס"ז - 005 חורף, שאלה 3 - 005 מועד ב, שאלה 3	תשע"ג - 807 קיץ, שאלה 1 תשע"ב - 806 קיץ, שאלה 5 - 807 קיץ, שאלה 4 תשע"א - 007 קיץ, שאלה 2 -007 חורף, שאלה 1 תש"ע - 005 חורף, שאלה 4 - 007 מועד ב', שאלה 1א' - 007 מועד ב', שאלה 1ב' - 007 מועד ב', שאלה 2 - 806 מועד ב', שאלה 5 תשס"ט - 007 קיץ, שאלה 1 - 807 תשס"ז - 005 חורף, שאלה 3 - 005 מועד ב, שאלה 3
הצעה להתאמת שאלות בגרות משאלון 003 לשאלון 803

אלגברה	גאומטריה	טריגונומטריה
מספרים שליליים משוואות ואי-שוויונות נוסחאות בעיות מילוליות סדרות מספרים מרוכבים	רשימת משפטים והוכחותם (אורט) זוויות משולשים המלבן מרובעים מצולעים שטחים קטע אמצעים דמיון משפט פיתגורס פאי המעגל בעיות עם המעגל גאומטריית המרחב וקטורים בעיות חקר	מעגל היחידה פונקציה טריגונומטרית טריגונומטריה במישור
פונקציות וחדו"א
קריאת גרפים הפונקציה (קדם אנליזה) הישר פונקציה ריבועית פונקציה פולינומיאלית פונקציה רציונאלית פונקציה מעריכית ולוגריתמית פונקציית השורש פעולות על פונקציות הגדרת הנגזרת תכונות הפונקציה (אנליזה) הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת בעיות קיצון אינטגרלים מספרים מרוכבים
		גאומטריה אנליטית
		גאומטריה אנליטית מקומות גיאומטריים
		ספרי גאוגברה אוסף יישומונים מקובצים
		ספר גיאומטרית המרחב ספר המספרים המרוכבים ספר הוקטורים ספר הנגזרת - בפיתוח גלית נגרי חדיף ספר בגאומטריה - בפיתוח מורי גאוגברה ספר בנושא פונקציות - בפיתוח מורי גאוגברה
מאגר שאלות בגרות בשילוב יישומים דינאמיים
מדריכים לעבודה בגאוגברה
אתרים נוספים עם יישומונים

מספר הפאות הנפגשות בכל קודקוד

פאון
Polyhedron