המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי

עד קצה הגבול

ארבעה חברים חובבי מתמטיקה כינו זה את זה בשמות מתמטיקאים מפורסמים.
הארבעה התערבו מי יצליח לחשוב על פונקציה, בה מעורב המספר 100 ואשר תתן ערך גדול יותר עבור מספרים גדולים.
הראשון, המכונה נפייר, בחר פונקציה לוגריתמית:

השני, המכונה ברנולי, בפונקציה מעריכית:

השלישי, ארכימדס, החליט לבחור בחזקות של 100:

הרביעי, המכונה דה-מואבר, אוהב להיות מיוחד , בחר בפונקציה שהיא מכפלה:

א. מי מהחברים לדעתכם בחר בפונקציה המקבלת ערכים גדולים יותר עבור ערכי x גדולים?
ב. התוכלו למצוא מאיזה ערך של x הפונקציה הזו אכן גדולה יותר?
ג. כיצד ישתנו הפונקציות אם נחליף את המספר 100 במיליון? ביליון?

Sample Image

כל דרדק יודע כי אין מספר הגדול ביותר, אך מספרים גדולים מופיעים במגוון תחומים מתמטיים ומדעיים. מספרים גדולים סקרנו את האדם עוד משחר ההיסטוריה ותיארו אותם "כחול על פני הים", "ככוכבים בשמיים". רבים מנסים לתת שמות למספרים גדולים: מיליון, ביליון, טריליון, גוגול ואפילו גוגולפלקס.
במאה ה-3 לפנה"ס המתמטיקאי ארכימדס ניסה להעריך את מספר גרגרי החול ביקום וטען כי המספר אינו עלה על 10⁶³. מפורסמת גם האגדה ההודית על מספר ענק ובלתי נתפס של גרגרי האורז על לוח השחמט (ראו פיצוח).
במדעי המחשב, בו יש חשיבות לכמת את מספר הצעדים הגדול הדרוש לפתרון בעיה באופן יעיל, מגדירים את מושג הסיבוכיות (פתרון יעיל כאשר הסיבוכיות של הזמן גדלה באופן פולינמיאלי ולא מעריכי למשל).

Sample Image

אשר- מתוך האתר הרשמי

משמעויות שונות למושג האינסוף (ויקיפדיה) אשר משותף להן הוא תפיסת האינסוף כדבר מה גדול מעבר ליכולת ההבנה האנושית, דבר מה שתכולתו גדולה לאין שיעור, תהליך שלא יגיע לסופו לעולם. הסימן ¥, המסמל אינסוף, הוכנס לשימוש במאה ה-17 ע"י סטודנט אנגלי למתמטיקה וואליס. הוא סימן לייצוג מספרים גדולים מאד וייצוג למספרים קטנים מאד. (מתוך תבלינים מתמטייים)
קראו עוד על איך סופרים אינסוף ?- בארץ הדעת.
תערוכת אמנות על האינסוף. (אתר פירסומי)

לפניכם זוג של פונקציות:

((g(x) פונקציה מורכבת.

א. התאימו לכל פונקציה את הגרף.
ב. במה דומות ובמה שונות הפונקציות הללו?
    היעזרו ביישום הדינאמי (גיאוגברה) ועקבו אחר נקודות שונות.
    התייחסו בתשובתכם לנקודות בעלות מאפיינים ייחודיים כמו נקודת קיצון, ונקודות פיתול.
    תחומי עליה וירידה ולאסימפטוטות. נמקו.

ג. נתונה הפעם הפונקציה:

שערו כיצד נראה גרף הפונקציה-

   תוכלו להיעזר ביישום הדינאמי (גאוגברה) ורשמו בשורת הקלט למטה:

   האם הקשרים ששיערתם בסעיפים הקודמים מתקיימים גם לגבי הזוג החדש? נמקו.
   בדקו את השערתכם עבור פונקציות שונות.

ד. מצאו פונקציות נוספות שהרכבתן שומרת על התכונות שמצאתם.
ה. מצאו את הגבול של הביטויכאשר וכאשר .
הנחיה - מצאו זוג פונקציות בדומה לסעיפים הקודמים , חקרו ושרטטו סקיצה לגרפים.

Sample Image

מושג הגבול, אשר מתאר תהליך של התכנסות לערך מסויים משהו שמתקרבים אליו, אך אף פעם לא מגיעים אליו, הוא מושג שימושי ובסיסי במתמטיקה המודרנית. אך כבר בימי יוון תהו המתמטיקאים והפילוסופים על מהותו. לדוגמה בפרדוקס המשעשע של זנון (וכן מצגת מאת G-math). במאה ה-3 לפני הספירה חשב ארכימדס את שטחו של המעגל בשיטת המיצוי, לפיה הוא קרב את שטח המעגל לשטח מצולע משוכלל החסום בתוכו.

רעיונות אלו שוכללו ע"י ניוטון ולייבניץ כאשר פיתחו את החשבון האינפסיטמלי, ובהמשך ע"י קושי וויירשטראס, עם פיתוח החשבון הדיפרנציאלי.

קראו בהרחבה על מושג הגבול במילון המושגים: פונקציות.
פיצוחים הנוגעים לנושא: אני דומה לעצמי, סדרה הנדסית מתכנסת, יום פאי שמח