המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי

מעת לעת אנו שולחים פיצוח, פעילות מתמטית לכיתה, מכיתה ז' ועד יב.
כל הפיצוחים קשורים לתוכניות הלימודים בחט"ב ובחט"ע וניתן לשלבם במהלך ההוראה הן כחיזוק, העשרה והוראה בדרך אחרת.

אתם המורים והתלמידים, מוזמנים לשלוח פתרונות. ואת המיטב שבהם נדאג לפרסם.

תקציר| זהו שורש העניין| מדריך למורה

בעקבות בחינת הבגרות ברמת 4 יח"ל – שאלון ראשון – חרף תשע"ח – שאלה 7

חלק א

1. הגרף של פונקציה זוגית $f(x)$ נתון בסרטוט משמאל.

הפונקציה $g(x)$ מוגדרת: $g(x)=\sqrt{f(x)}$ .

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ ?

ב. השלימו: $g(5)=$ , $g(-5)=$ , $g(0)=$ , $g(4)=$ , $g(-3)=$ .

ג. רשמו שני ערכים נוספים של הפונקציה $g(x)$ שניתן להסיק מהגרף הנתון.

ד. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $g(x)$ ?

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ .

א. באיזה תחום פונקציה הנגזרת $g'(x)$ חיובית, ובאיזה תחום היא שלילית?

ב. כמה נקודות אפס יש לנגזרת $g'(x)$ ? נא לפרט.

ג. נתון שלפונקציה הנגזרת יש אסימפטוטות מאונכות לציר ה- x:
$x=-5$ ו- $x=5$ . כמו כן ידוע שלנגזרת $g'(x)$ אין נקודות קיצון.

סרטטו סקיצה לגרף הנגזרת.

א. בחרו את הטענה הנכונה מבין הטענות (1) – (3) והסבירו אותה

נתון גרף הנגזרת של $g(x)$ .

this is the root 1. השטח הצבוע הוא: $\int_{-4}^{0}g(x)dx$

2. השטח הצבוע הוא: $\int_{-4}^{0}g'(x)dx$

3. השטח הצבוע הוא: $\int_{-4}^{0}f'(x)dx$

ב. חשבו את שטח המוגבל בין גרף הפונקציה $g'(x)$ , ציר ה- x והישרים x=-4 ו- x=-3. (היעזרו במידת האפשר בסעיפים הקודמים).

ג. חשבו את שטח המוגבל בין גרף הפונקציה $g'(x)$ , ציר ה- x והישרים x=3 ו- x=4.

ד. חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה $g'(x)$ , ציר ה- x והישר x=4.

ה. הסבירו מדוע $\int_{-4}^{4}g'(x)dx$

חלק ב

1. נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{49-x^2}$

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ ?

ב. מהי נקודת הקיצון של הפונקציה הפנימית: $y=49-x^2$ ?

ג. הסבירו כיצד ניתן להסיק מהסעיף הקודם מהי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)=\sqrt{49-x^2}$ .

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{49-x^2}$ .

א. מהם תחומי החיוביות של הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ ?

הסבירו בשתי דרכים: באמצעות גרף הפונקציה $f(x)$ ובאמצעות הביטוי האלגברי של הנגזרת.

ב. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ המאונכות לציר ה- x.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ . תוכלו להיעזר בסעיפים הקודמים.

א. חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ , על ידי החלק השלילי של ציר ה- x ועל ידי הישר x=-6.

(בתשובתכם השאירו שתי נקודות אחרי הנקודה העשרונית.)

ב. חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ , על ידי החלק החיובי של ציר ה- x ועל ידי הישר x=6.

מה הקשר בין תשובותיכם לשני הסעיפים האחרונים?

ג. הסבירו מדוע $\int_{-6}^{6}g(x)dx=0$

תקציר| pdf האסימפטוטות בתנועה| pdf מדריך למורה

בעקבות בחינת הבגרות ברמת 4 יח"ל – שאלון ראשון – חרף תשע"ח – שאלה 7

ניתן להיעזר ביישומון

1. לפניכם גרף פונקציה ממשפחת הפונקציות $f(x)=\frac{4x}{(x-b)^2}+a$ .

לפונקציה אסימפטוטה אופקית y=0 ואסימפטוטה אנכית x=1.

asimptuta on the move

א. על פי הגרף, קבעו עבור הפונקציה ערכי a ו-b מתאימים. נמקו.

ב. על פי ערכי a ו-b שקבעתם, ענו:

1. מהו תחום ההגדרה של $f(x)$ ?

2. מהן משוואות האסימפטוטות של $f(x)$ המאונכות לצירים?

3. מהן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים?

4. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

5. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

א. נתון לפונקציה יש אסימפטוטות שמשוואתן x=3, y=0.

1. מהם ערכי הפרמטרים a ו-b ?

2. מהן נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים?

3. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

4. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

ב. נתון לפונקציה יש אסימפטוטות שמשוואתן x=-1, y=0:

1. מהם ערכי הפרמטרים a ו-b ?

2. מהי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים?

3. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

ג. תארו כיצד משפיע הפרמטר b על גרף הפונקציה? נמקו.
התייחסו לאסימפטוטות ולנקודות מיוחדות.

3. נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4x}{(x-1)^2}$ .

ונתונה הפונקציה $g(x)$ המקיימת $g(x)=f(x)+2$ .

1. מהן משוואות האסימפטוטות של הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ ?

2. מהם שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ ?

3. מהן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- y של $f(x)$ ו- $g(x)$ ?

4. שרטטו באותה מערכת צירים סקיצה לגרף הפונקציות.

4. א. נתון לפונקציה יש אסימפטוטות שמשוואתן x=1, y=-3.

1. מהם ערכי הפרמטרים a ו-b?

2. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

3. מהי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- y ?

4. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

ב. תארו כיצד משפיע הפרמטר a על גרף הפונקציה? נמקו.
התייחסו לאסימפטוטות ולנקודות מיוחדות.

5. נתון לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת יחידה עם ציר ה-x.

1. האם ניתן לקבוע מהם ערכי הפרמטרים a ו-b ? אם כן, מהם. נמקו.

2. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

6. נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4x}{(x-1)^2}$ . קבעו מהן האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציות הבאות, ושרטטו את הגרף:

1. $g(x)=-f(x)$

2. $h(x)=f(-x)$

3. $k(x)=\left |f(x) \right |$

(3). מהי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- y ?

תקציר| pdf אינטגרל של פונקציה מוזזת אנכית | pdf מדריך למורה

בפעילות ניתן להיעזר ביישומון הגאוגברה אינטגרל של פונקציה מוזזת אנכית

א. נתון גרף הפונקציה (f(x שהיא חיובית בתחום $1\leq x\leq 3$

ידוע כי השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה (f(x, הישרים x=1 ו-x=3 וציר ה-x הוא S. ונתון גרף הפונקציה $g(x)=f(x)+5$ . (ראו איור)

move the integral up and down 1

1. מה הקשר בין הגרפים (g(x ו- (f(x?

2. רשמו אינטגרל לחישוב השטח S.

3. היעזרו באיורים מעלה והביעו בעזרת S, את השטח הכלוא מתחת לפונקציה (g(x.

4. רשמו אינטגרל לחישוב כל אחד מהשטחים ואת הקשר ביניהם. נמקו בדרכים שונות.

5. הביעו בעזרת S את האינטגרל $\int_{1}^{3}(g(x)-f(x))dx$ . נמקו באופן אלגברי וגאומטרי.

6. האם הקשר שמצאתם נכון יהיה גם עבור פונקציה שהוזזה 5 יחידות מטה?

ב. נתון $\int_{2}^{5}f(x)dx=S$ ,כאשר $f(x)$ חיובית ומוגדרת לכל x.

אם ניתן, רשמו ביטוי לערך האינטגרלים הבאים:
היעזרו בשרטוט סקיצה לגרפים וביישומון אינטגרלים להזזות אנכיות.

1. $\int_{2}^{5}(f(x)+3)dx$

2. $\int_{2}^{5}(f(x)-3)dx$

3. $\int_{3}^{6}(f(x-1)+3)dx$

4. $\int_{2}^{5}(-f(x)+3)dx$

ג. נתון $\int_{0}^{3}f(x)dx=S$ רשמו אם אפשר ביטוי לאינטגרלים הבאים:

1. $\int_{-3}^{3}(f(x)+1)dx$ , כאשר ידוע (f(x זוגית.

2. $\int_{-3}^{3}(f(x)+1)dx$ , כאשר ידוע (f(x אי זוגית.

ד. נתון גרף הפונקציה והפונקציה המקיימת

move the integral up and down 4

ניתן להיעזר ביישומון בגאוגברה

1. הוסיפו את הסקיצה של גרף הפונקציה (g(x לאותה מערכת צירים.

2. הראו כי (g(x אי זוגית, והסבירו מדוע היא סימטרית ביחס לראשית.

האם גם (f(x אי זוגית? האם גרף הפונקציה סימטרי? כיצד?

3. חשבו את ערך האינטגרל $\int_{-1}^{1}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך האינטגרל $\int_{-1}^{1}f(x)dx$ .

4. נתון $\int_{b}^{c}g(x)dx=S$ אם ניתן, רשמו ביטוי לערך האינטגרל $\int_{b}^{c}f(x)dx$ .

5. חשבו את ערך הביטוי $\int_{1}^{2}g(x)dx+\int_{-2}^{-1}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך הביטוי $\int_{1}^{2}f(x)dx+\int_{-2}^{-1}f(x)dx$ .

6. הסבירו מדוע לכל שני מספרים b ו-c המקיימים $0<b<c$ מתקיים:

$\int_{-c}^{-b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx=c-b$

7. נתונה הפונקציה $f(x)=g(x)+k$ עבור איזה ערך של k יתקיים:

$\int_{-c}^{-b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx=2\left (c-b \right )$

תקציר| pdf אינטגרל של פונקציה מוזזת אופקית| pdf מדריך למורה

א. נתון גרף הפונקציה (f(x
ידוע כי השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה (f(x, הישרים x=1 ו-x=3 וציר ה-x הוא S.

גרף הפונקציה והשטח הוזזו 2 יחידות ימינה. (ראו איור)

1. רשמו ביטוי לפונקציה (g(x בעזרת (f(x.

2. אם ניתן, הביעו בעזרת S, את השטח הכלוא מתחת לפונקציה (g(x.(ראו איור)

3. רשמו אינטגרל לחישוב כל אחד מהשטחים.

ב. נתון $\int_{1}^{3}f(x)dx=S$

אם ניתן, רשמו ביטוי לערך האינטגרלים הבאים:

היעזרו בשרטוט סקיצה לגרפים וביישומון אינטגרל של הזזה אופקית.

1. $\int_{3}^{5}f(x-3)dx$

2. $\int_{-1}^{1}f(x+3)dx$

3. $\int_{1}^{3}f(x-3)dx$

4. $\int_{2}^{4}f(x-1)dx$

ג. קבעו עבור אילו ערכי a , b ו-k יתקיים:

1. $\int_{a}^{b}f(x-5)dx=\int_{1}^{3}f(x)dx$

2. $\int_{a}^{b}f(x+7)dx=\int_{1}^{3}f(x)dx$

3. $\int_{a}^{b}f(x-k)dx=\int_{1}^{3}f(x)dx$

ד. נתון $\int_{0}^{3}f(x)dx=S$ רשמו אם אפשר ביטוי לאינטגרלים הבאים:

1. $\int_{0}^{6}f(x-3)dx$ , כאשר ידוע (f(x זוגית.

2. $\int_{0}^{6}f(x-3)dx$ , כאשר ידוע (f(x אי זוגית.

ה. נתונה הפונקציה $f(x)=(x-5)^3-4x+20$ והפונקציה (g(x המקיימת $g(x)=f(x+5)$

1. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה (f(x ו- (g(x באותה מערכת צירים.

2. הראו כי (g(x אי זוגית.

3. חשבו את ערך האינטגרל $\int_{-1}^{1}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך האינטגרל $\int_{4}^{6}f(x)dx$

ו. נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x-5}{\sqrt{x^2-10X+24}}$ והפונקציה $g(x)=f(x+5)$ .

1. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה (f(x ו- (g(x באותה מערכת צירים.

2. הראו כי (g(x אי זוגית. האם גם (f(x אי זוגית? נמקו.

3. הסבירו מדוע לכל $1<a<b$ מתקיים השוויון: $\int_{a}^{b}g(x)dx=\int_{a+5}^{b+5}f(x)dx$

4. חשבו את ערך האינטגרל $\int_{6}^{7}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך האינטגרל $\int_{4.5}^{5.5}f(x)dx$

5. חשבו את ערך הביטוי $\int_{1}^{2}g(x)dx + int_{-2}^{-1}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך הביטוי . $\int_{6}^{7}g(x)dx + \int_{-7}^{-6}g(x)dx$ .

תקציר| pdf אינטגרל של פונקציה זוגית ואי זוגית|מדריך למורה

ניתן להיעזר ביישומון

1. נתון גרף הפונקציה (f(x בתחום בו x חיובי.

א. השלימו את הגרף כך ש-f(x) תהיה פונקציה אי זוגית.

הסבירו מהי התכונה האלגברית של פונקציה זוגית ומה משמעותה הגאומטרית בגרף.

even and odd function

ב. נתון כי: $\int_{0}^{b}f(x)dx=S$ . הביעו אם אפשר בעזרת S את ערך האינטגרל:

1. $\int_{-b}^{0}f(x)dx$

2. $\int_{-b}^{b}f(x)dx$

3. $\int_{0}^{2b}f(x)dx$

ג. נתון כי: $\int_{a}^{b}f(x)dx=A$ . הביעו אם אפשר בעזרת A את ערך האינטגרל:

1. $\int_{-b}^{-a}f(x)dx$

2. $\int_{-b}^{b}f(x)dx$

3. $\int_{-b}^{-a}f(x)dx+\int_{a}^{b}f(x)dx$

2. נתון גרף הפונקציה בתחום בו x חיובי.

א. השלימו את הגרף כך ש-f(x) תהיה פונקציה זוגית.

הסבירו מהי התכונה האלגברית של פונקציה זוגית ומה משמעותה הגאומטרית בגרף.

even and odd function

ב. נתון כי: $\int_{0}^{b}f(x)dx=S$ . הביעו אם אפשר בעזרת S את ערך האינטגרל:

1. $\int_{-b}^{0}f(x)dx$

2. $\int_{-b}^{b}f(x)dx$

3. $\int_{0}^{2b}f(x)dx$

ג. נתון כי: $\int_{a}^{b}f(x)dx=A$ . הביעו אם אפשר בעזרת A את ערך האינטגרל:

1. $\int_{-b}^{-a}f(x)dx$

2. $\int_{-b}^{b}f(x)dx$

3. $\int_{-b}^{-a}f(x)dx+\int_{a}^{b}f(x)dx$

3. נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}}$ ונתון הגרף שלה.

odd and even3

א. הראו כי (f(x אי זוגית.

ב. הסבירו מדוע $\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}f(x)dx=0$

ג. האם נכון לומר כי $\int_{-\pi }^{\pi}f(x)dx=0$ ?

ד. חשבו $\int_{\frac{7\pi }{4}}^{\frac{9\pi }{4}}f(x)dx=0$ . נמקו.
היעזרו בתכונת המחזוריות של הפונקציה.

4. נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}$

א. הראו כי $g(x)=-f(x-\frac{\pi }{2})$ .

ב. סרטטו סקיצה לגרף (g(x.

ג. חשבו את האינטגרל . $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}g(x)dx=0$

עמוד 1 מתוך 28

thumbnail logos