מעת לעת אנו שולחים פיצוח, פעילות מתמטית לכיתה, מכיתה ז' ועד יב.
כל הפיצוחים קשורים לתוכניות הלימודים בחט"ב ובחט"ע וניתן לשלבם במהלך ההוראה הן כחיזוק, העשרה והוראה בדרך אחרת.

אתם המורים והתלמידים, מוזמנים לשלוח פתרונות. ואת המיטב שבהם נדאג לפרסם.

 

תקציר חפש את המטמוןפתרונות ابحث عن الكنزحلول

לקראת חגיגות שנות השישים החליטו ברשות העתיקות לחשוף את תעלומת כתבי הסתרים אשר התגלו זה מכבר בחפירות ארכיאולוגיות אי שם בארץ. בחפירות נמצאו שלושה קנקני חרס עתיקים בהם קלפים עם כתבי סתרים המתארים את מקומם של שלושה מטמונים עתיקים. כמו כן, צורפה מפה המתארת את אזור החפירות, שם ע"פ ההשערה, הוטמנו המטמונים.
בחידת הכדים תוכלו להעזר גם ביישומון האינטראקטיבי המצורף מטה.  

Active Image

בסיור באתר העתיקות הצליחו לאתר את העצים, האבן הענקית, המערה ואת דרך היין כמתואר במפה המצורפת.


ע"פ כתבי החידה, היכן כדאי לדעתכם לחפור כדי לגלות את שלושת המטמונים: תרומת המקדש, מטבעות הזהב וכדי היין?

Active Image

 

לפניכם יישום דינמי בו תוכלו להעזר בפתרון חידת הכדים.

 

עובד לפי "מתמטיקה בהנאה" מאת שמואל אביטל.

 

תקציר אי שוויונות עליזיםפתרונותمتباينات مفرحة | حلول

 

Active Image1. חשוב "ממוצע אחר"

נעמי נבחנה בשני שאלונים. בראשון היא ענתה נכונה על 6 שאלות מתוך 10 השאלות הנתונות. 
במבחן השני נעמי הצליחה יותר. היא ענתה נכונה על 12 שאלות מתוך 15 השאלות הנתונות.
נעמי חישבה את הציון ממוצע שלה כך:
Active Image   

 

המורה איילה חישבה את הציון הממוצע של שני המבחנים:
Sample Image

 

 

א. בדקו, האם הממוצע שחישבה נעמי אכן נמצא בין שני הציונים שלה.
חשבו לפי השיטה של נעמי את הממוצע בין המספריםActive Image , בין המספרים Sample Image .
האם לדעתכם השיטה של נעמי לחישוב "ממוצע אחר" מתאימה לחישובי ממוצעים?

Sample Imageב. תארו במילים ובאלגברה את השיטה לחשוב "ממוצע אחר" והוכיחו אותו:
 (1) בדרך אלגברית.
 (2) בדרך גיאומטרית בעזרת האיור:

ג. האם הממוצע החשבוני (שחישבה המורה) תמיד גדול מה"ממוצע האחר" שאותו חישבה נעמי ?

מעובד לפי - NRICH, שבבים, מספר חזק מס 15.

 

 

 


Sample Image2. אי שוויונות בתמונות 

א. אוקלידס באחד מספריו "היסודות" הדגים באיור את השוויון המוכר כנוסחת הכפל המקוצר: 
Active Image
ניתן גם להדגים באיור זה את אי השוויון:
Sample Image
באיזה מקרה מתקיים השוויון?

ב. מצאו אי שוויונות שניתן להדגים אותם בעזרת האיורים הבאים. 
    חקרו באילו מקרים בכל אחד מתקיים שוויון.

Sample Image

מעובד לפי - NRICH.


Active Image3. מי גדול ממי?

לגבי כל אחד מזוגות המספרים קבעו מי גדול יותר. נמקו והסבירו כיצד קבעתם.

Active Image

א-ד מתוך "משימות לפיתוח חשיבה מתמטית- פרויקט טל"מ - חוג פלוטו"


4. שני בני דודים

א. רשמו סימן אי שוויון בין זוגות המספרים הבאים:

Sample Image

ב. החל מאיזה n מספר טבעי, מתקיים האי-שוויון:Sample Image ?
הוכיחו את נכונותו של האי-שוויון.

ג. אתגר לחטיבה העליונה-
התוכלו להעריך (ללא שימוש במחשבון) מה יותר גדול:Sample Image?
הוכיחו את השערתכם בדרכים שונות.

הידעתם?

את הסימן שווה, = , הכניס לשימוש מתמטיקאי אנגלי בשם רוברט רקורד (1510-1558) באמרתו המפורסמת: "אין שום עצמים השווים זה לזה יותר מאשר שני קטעים שווים".

המתמטיקאי האנגלי תומס הראיוט (1560-1621), בעת היותו בשליחות המלכה באמריקה הצפונית, הגה  לראשונה את סימני אי השוויונות <, >, ≤, ≥ כאשר קיבל השראה מקעקוע על פרק ידם ילידי המקום בצורת:
  Sample Image
סימני האי-שוויון הומצאו 74 שנים אחרי סימן השוויון, אך הופיעו בטקסטים מודפסים לפני סימן השוויון. הסיבה לכך שלסימני האי-שוויון השתמשו באות לטינית V, שהייתה כבר קיימת כסימן דפוס. 

(מתוך "תבלינים מתמטיים")

 

Active Image

תקציר|פרבולה, לי לו ולה|פתרונות|باربولا (قطع مكافئ ) لي ، له ولها حلول 

 

 

 

 

1. שימוש "חכם" בפרבולה

Active Image

נלמד שיטה להכפלת שני מספרים חיוביים כלשהם. בואו נכפיל 8 ב-5:

1. נשרטט את הגרף y=x2.

2. נסמן על הפרבולה נקודות בהן x=-5 ו- x=8 ונעביר ישר בין הנקודות הללו. 

3. שימו לב מהי נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-y.

4. ...אכן 5×8=40 !

    א. נסו להכפיל בשיטה זו 13×8.

    ב. התוכלו להסביר מדוע השיטה עובדת? 

    ג. האם ניתן להכליל את השיטה לכל שני מספרים? אם כן, הוכיחו.

 


2. היה או לא היה?

Active Image

תום סרטט סקיצה לפרבולה: 
 Active Image
ומשיק לפרבולה:
Active Image 
תמר טענה שהאיור של תום לא יתכן.

מה דעתכם? האם ניתן ליצור פרבולה ומשיק אלו?

אם כן,  עבור אילו ערכים של b, a ו- c .

אם לא, הסבירו מדוע.


3. פתרון בכל מצב

נתונה המשוואה:  x - m)(x + 5m) = 3x)    

הראו בדרכים שונות כי למשוואה  יש פתרון לכל ערך ממשי של  m .


4. הפתעות וקשרים על הפרבולה

Active Image

א. סמנו על הפרבולה y = x2 שתי נקודות כלשהן A ו- B על הפרבולה. 

העבירו דרך הראשית ישר OC המקביל לישר AB. 

שיעורי ה-x של הנקודות A,B,C הם a,b,c בהתאמה.

מצאו את הקשר בין a,b,c.

ב. סמנו על הפרבולה y = x2 שלש נקודות כלשהן B ,A ו- C על הפרבולה.

העבירו את הישר AB וישר CD העובר דרך נקודת החיתוך של AB עם ציר ה-y. 

שיעורי ה-x של הנקודות A,B,C,D הם a,b,c,d בהתאמה.

מצאו את הקשר בין  a,b,c,d.

 

 


מאמרים ופעילויות בנושא הפרבולה:

הפרבולה כצורה גיאומטרית - חמוטל דוד - על"ה 29

שאלות עם מספר רב של תשובות נכונות - אורית זסלבסקי - על"ה 14

בעיות הקשורות למיקום שורשי המשוואה הריבועית - אנטולי שטרקמן - על"ה 24

אליפסה, היפרבולה ופרבולה מנקודת ראות מישורית ומרחבית - חמוטל דוד - על"ה 35

לראות מתמטיקה - מטח - סביבה ללימוד וחקירה של פונקציה קווית ופונקציה ריבועית. הסביבה כוללת אוסף של מצגות והסברים, משימות ותרגילים וכלים אינטראקטיביים (Applets) המסייעים בהמחשת הנושא הנלמד. הסביבה מעודדת בניית מודלים מתמטיים לתופעות מהחיים, חקירת פונקציה קווית ופונקציה ריבועית על ידי פיתוח מיומנויות חשיבה מתמטיות.

Active Image


תקציר |  לוליינות עם טרפז | פתרונות  | المنحرف trapezone

 


 

 

  1. הטרפז הצבעוני 
    אלכסוני הטרפז מחלקים אותו לארבעה חלקים. trapeztwo
    האם תוכלו ליצור טרפז כך ששני חלקים בו יהיו שווים בשטחם?
    האם תוכלו ליצור טרפז ששלושה מחלקיו יהיו שווים בשטחם?
    האם תוכלו ליצור טרפז שארבעת חלקיו יהיו שווים בשטחם?
    אם ידוע לכם ששטח המשולש הצהוב הוא a ושטח המשולש הכחול הוא b, מהו שטח הטרפז?






  2. מה לטרפז ופיתגורס?
    הנשיא ה- 20 של ארה"ב, ג'ימס גרפילד, (James A. Garfield ,1876) אהב להשתעשע במתמטיקה ומצא הוכחה מקורית ואלגנטית למשפט פיתגורס באמצעות טרפז. trapezthree
    התוכלו להסביר בעזרת האיור את הוכחת גרפילד? תוכלו להיעזר בנוסחת השטח של טרפז. 









  3. שטח טרפז 
    נתון טרפז בעל בסיסים באורך a ו- b וגובה h. trapezfour
    נוסחת שטח הטרפז: 
    trapezequation
    הוכיחו את נוסחת שטח הטרפז בארבע דרכים שונות, ע"פ ארבעת האיורים מטה.
    מדוע לדעתכם מכפילים בכל אחת מהדרכים בחצי?
    האם תוכלו למצוא או להמציא דרך נוספת להוכחת שטח הטרפז? trapezfive































  4. ועוד אתגר לסיום... קומדיה גיאומטרית: נראה כי שטח כל טרפז שווה לאפס!
    נתון טרפז ABCD בעל בסיסים באורך a ו- b.
    נאריך את הבסיס a ב- b יחידות. נאריך את הבסיס b מהצד השני ב- a יחידות. (ראו שרטוט). 
    trapezsix
    הכיצד?

 


עוד כמה מילים על הטרפז...

המילה "טרפז" הינה מילה יוונית עתיקה שמשמעה שולחן אוכל ("טרפזיון" - שולחן אוכל, "טרפזה" - ארוחה). המילה עצמה מורכבת מ"טטרה" (ארבע) והשורש "פד" רגל), כלומר, הצורה טרפז היא כשולחן ארבע רגליים. table

בימי-הביניים השתמשו במונח "טרפז" לכל מרובע, פרט למקבילית, ורק במאה ה- 18 המילה "טרפז" קיבלה את המשמעות של היום. יש המגדירים את הטרפז כמרובע עם לפחות זוג אחד של צלעות מקבילות. לפי הגדרה זו קבוצת הטרפזים היא קבוצת המרובעים המכילה את כל המקביליות למיניהן. עד היום יש המעדיפים הגדרה זו כי הנוסחה לחשוב שטח טרפז מתאימה לחישוב שטח כל הצורות בקבוצה זו. אך ההגדרה המסורתית והשכיחה (גם בארץ), קובעת כי לטרפז בדיוק זוג צלעות מקבילות אחד, כך שהטרפז הוא צורה נפרדת מכל שאר המקביליות. 
המצרים הקדמונים הכירו את נוסחת שטח הטרפז והשתמשו בה לחישובים שונים עבור חתכים של פירמידה מרובעת. גם המשפט: "קטע האמצעים בטרפז שווה למחצית סכום הבסיסים" היה ידוע להם ונמצא כתוב על פפירוס רינד (2000 לפנה"ס) וחרוט על קירות בית המקדש אדפו במצריים העליונה.

מתוך "תבלינים מתמטיים", קלרה זיסקין ולאה לטנר

תקציר|להדפסה|פתרונות|هيئة محاور

 

קצת היסטוריה 
Sample Image

רֶנֶה דֶקַרְט, מדען, פילוסוף ומתמטיקאי צרפתי ( 1596-1650 ) הוא זה שהמציא את מערכת הצירים המוכרת לנו, וזו נקראת על שמו המערכת הקרטזית. הלא הוא אותו פילוסוף בעל האמרה המפורסמת:

'אני חושב, משמע -אני קיים'. רנה דקרט נחשב לאבי של גיאומטריה אנליטית, תחום המתמטיקה שמטפל בבעיות של גיאומטריה בעזרת אלגברה.

 

 

 

 

 


1. הריבוע המסובב

לפניכם שני ריבועים במערכת צירים, הימני צלעותיו מקבילות לצירים והשמאלי "ריבוע מסובב".

א. בנו ארבעה ריבועים שונים ורשמו את שיעורי קודקודיהם. ציירו במערכת הצירים, או בנו בעזרת הזזת קודקודי הריבוע ביישום האינטראקטיבי.
ב. בנו ריבוע בו הנקודות (5,3) ו- (5,7) הם קודקודים סמוכים של הריבוע. תארו כיצד לבנות ריבוע כאשר נתונים שני קודקודים סמוכים.

ג. בנו ריבוע בו הנקודות (5,3) ו- (5,7) הם קודקודים נגדיים של הריבוע. תארו כיצד לבנות ריבוע כאשר נתונים שני קודקודים נגדיים.

ד. האם רביעיות הנקודות הבאות הם קודקודים של ריבוע? האם תוכלו לקבוע מיהו הריבוע ללא ציורו במערכת הצירים?

   1. (8,3) (7,8) (2,7) (3,2)

   2. (3,3) (7,4) (8,8) (4,7)

   3. (16,19) (18,22) (21,20) (19,17)

   4. (4,20) (21,19) (20,2) (3,3) 

ה. (a,b) ו- (c,d) הם קודקודים נגדיים בריבוע. מהם שיעורי שני הקודקודים האחרים?

  1. (8,3) (7,8) (2,7) (3,2)

  2. (3,3) (7,4) (8,8) (4,7)

  3. (16,19) (18,22) (21,20) (19,17)

  4. (4,20) (21,19) (20,2) (3,3) 

 


2. שבעה ריבועים חבויים

Sample Image

במערכת הצירים הבאה מסומנות 25 נקודות שהו קודקודים של שבעה ריבועים.

שלש הנקודות המובלטות הן קודקודים המשותפים לשני ריבועים.

התוכלו למצוא את כל שבעת הריבועים החבויים?

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 3. ריבוע בתוך ריבוע בתוך ריבוע

 

הריבוע המסובב ABCD, חסום בתוך ריבוע גדול שצלעותיו מקבילות לצירים. 

בתוכו בנוי ריבוע קטן נוסף כמתואר באיור הדינאמי.

א. מהם שיעורי הריבוע הגדול ? מהו שיעורי הריבוע הקטן ?

ב. מהו שטח כל אחד מהריבועים ?

ג. בנו איור דומה במערכת הצירים או בעזרת האיור הדינמי וציינו את שיעורי הקודקודים של הריבועים וחשבו את שטחיהם.

ד. (A(a,b ו- (C(c,d הם קודקודים נגדיים בריבוע. מהם שיעורי שני הקודקודים האחרים? מהו שטח הריבוע ABCD? 

 


עוד על מערכת הצירים

משחקים אינטראקטיביים להכרות ותרגול מערכת הצירים:

מכרה היהלומים - משחק  אינטראקטיבי - הקש את הקורדינטות ואסוף את היהלומים שבדרך.

Billy the Bug -  עזרו לבילי הג'וק למצוא חטיפים לזלילה המפוזרים במערכת הצירים ברביע הראשון.

Billy the Bug -  עזרו לבילי הג'וק למצוא חטיפים לזלילה המפוזרים במערכת הצירים בארבעת הרביעים.

מאובני דינוזאורים- עזרו לחוקרים למצוא במערכת הצירים מאובני דינוזאורים. (בדומה לצוללות)

Transmographer -  הזזות, שיקופים וסיבובים של מצולעים במערכת הצירים.

פעילויות ומשחקים:

פעילויות במערכת צירים- פעילויות מגוונות במערכות צירים שונות שהוכנו ע"י המרכז למורים למתמטיקה ביסודי: סימון נקודות ברביע הראשון ויצירת תמונות, הגדלה עפ"י יחס, יצירת תמונות של "מראה עקומה", סימון נתיבי מסעותיו של קולומבוס.

משחק "ארבע בריבוע"- חובר ע"י נצה מובשוביץ-הדר , ארבע בריבוע הוא משחק שמטרתו תרגול בזיהוי ובסימון נקודות במערכת צירים.

חלת הדבש - משחק במערכת הצירים שהוכן ע"י המרכז למורים למתמטיקה ביסוד.  משחק בו צריך למקם נקודות על מערכת צירים על פי תוצאות המתקבלות מזריקות שתי קוביות. המנצח הוא זה השם ארבע תוויות בשורה, או באלכסון או יוצר ריבוע.

בדוק את דמיונך- ציירו ציורים במערכת צירים על פי של שיעורי נקודות נתונות, וחיבורם בקווים ישרים. יש ראשית לנסות לנחש מהי הצורה המתקבלת ולאחר מכן לבדוק ניחוש זה. כמו כן, יש התייחסות להשפעה של שינוי של אחד משיעורי הנקודה על הציור המתקבל. מתוך גליונות לחשבון. 

ייצור מערכת צירים- אתר ליצירה של דפי עבודה לכיתה, בו ניתן ליצור מערכת צירים לפי דרישתך.


על״ה
עלון למורי המתמטיקה

ISSN: 0792-5735 


פיצוחים
פעילויות מתמטיות למורה ולתלמיד


מאגר יישומים דינאמיים
דפי עבודה אינטראקטיביים ויישומים בגאוגברה


תוכנית מוארת חט"ב
פעילויות מתוקשבות על פי תוכנית הלימודים


תוכנית מוארת חט״ע
בקרוב...


 

uohfaculty of educationpedagog logo shalit