תקציר|  אלגברה קצת אחרת| פתרונות| الجبر بمنظار آخر| حلول

פתרו את הבעיות הבאות בדרכים שונות:

1. אם נתון ש p,q ו r מספרים שלמים וחיוביים ו      

מצאו את q.

[מקור-  Mathematics teacher vol. 100 no. 7, March  2007]

2. חשבו את N אם נתון ש:

[מקור- Mathematics teacher vol. 100 no. 8, April 2007]

3. נתון שx ו-y מספרים רציונאליים וחיוביים וסכומם שווה ל5.

מהו הערך המינימאלי של הביטוי   

[מקור- Mathematics teacher vol. 100 no. 8, April 2007]

תקציר|ללכת על פני הקוביה והתיבה|פתרונות|نسير على سطوح المكعب والصندوق| حلول

1. קוביית הקסמים

במשחק מחשב תלת מימדי עלינו לאסוף יהלומים הנמצאים על פני קוביית הקסמים. 

היהלומים משובצים בכל קודקודי הקובייה ובמרכז כל אחת מפיאותיה.

אורך המקצוע של הקובייה 10 ס"מ.

כמה יהלומים על הקוביה?

מהו המסלול הקצר ביותר לאיסוף היהלומים (העובר דרך כל קודקודי הקובייה וכל מרכזי הפאות שלה)?

2. הזבוב והעכביש

בשיעור ביולוגיה מצאנו עכביש רעב אורב לזבוב... הכיתה אורכה 5 מ', רוחבה 4 מ' וגובהה 2.5 מ'.

העכביש נמצא במרכז הקיר בחדר ואילו הזבוב יושב על אדן החלון שבקיר שממול, 

1.5 מ' מעל הרצפה ו- 0.5 מ' מהקיר הסמוך. (כמתואר באיור)

מהו המרחק הקצר ביותר שעל העכביש לזחול בכדי לתפוס את הזבוב?

3. עטיפת מתנה

ברצוני לעטוף מתנה בעזרת סרט הדוק למתנה בצורת תיבה, כך שישלים סיבוב שלם סביב התיבה. הסרט יעבור על כל פאה פעם אחת, פרט לפאות שלמעלה ולמטה  שם יהיו שני חלקי הסרט מקבילים.

איזה אורך סרט עלי להכין אם גודל המתנה 20X10X 5 סמ"ר?

תקציר|  קסמים מתמטיים עם נייר ומספריים | פתרונות|  سحر في الرياضيات بواسطة الورقة والمقص | حلول

בפעילות זאת כל מה שצריך זה כמה מילות קסם (הוקוס פוקוס, אברה-כדברא), נייר ומספריים והרבה אהבה וסקרנות לקסמים שמאחורי המתמטיקה.
הסודות מאחורי הטריקים והחידות הבאים מגיעים מענף במתמטיקה שנקרא טופולוגיה. הטופולוגיה חוקרת עצמים שאינם משתנים כאשר הם מעוותים ללא חיתוך או קריעה. (מומלץ בחום לצפות בסרט "איך להפוך כדור מהפנים אל החוץ?").

1. התוכלו לבנות בנייה "בלתי אפשרית" ?

האם תוכלו להכין מנייר אחד מבנה תלת מימדי כמתואר באיור למטה?
האם תוכלו לעשות זאת באמצעות חיתוכים וקיפולים בלבד, מבלי להשתמש בדבק?

את החידה הציג מרטין גרדנר, גדול המשעשעים והמשתעשעים במתמטיקה, באחד ממאמריו ב- Scientific American. הוא חקר את הצורה המיוחדת הזו וקרא לה hypersquare ("ריבוע מעל"). 
למרות פשטותה, זוהי חידה לא קלה לפתרון.
קחו נייר ומספריים , נסו והתנסו- בהצלחה! 

2. חור ענק בנייר קטן

בידי נייר הודעות קטן בגודל 10X10. האם לדעתכם אוכל ליצור חור בנייר כך שאוכל להשחיל את הנייר על ראשי 
בואו נתבונן בטריק טופולוגי פשוט:

שלב 1:
קפלו את הניר לשניים.

שלב 2:
חתכו לרוחב הנייר המקופל, 9 חתכים מקו הקיפול עד כחצי ס"מ.

שלב 3:
הפכו את הדף.
חתכו  בין החתכים לכוון הקיפול כחצי ס"מ.

שלב 4:
בזהירות רבה חתכו לאורך הקפל. אל תחתכו את שני הקצוות.

א. מהו הקף המסגרת שקיבלתם? מהו שטחה? התוכלו להסביר כיצד זה יתכן?
ב. לאיזה גודל נייר אנו זקוקים כדי ליצור מסגרת שתקיף כיתה בגודל  5X5 מטר?  
ג. האם אתם מכירים שימוש לתכונה זו בתופעות מן החיים?  

3. טבעת מביוס- אחת ושתיים

טבעת מביוס- עבודת תחריט עץ של האמן אשר 

תקציר|תמונות מספרות על סכומים|פתרונות|صور تحكي عن مجاميع|حلول

1. 

א. מצאו בעזרת האיור את הסכום 1+2+3+4+5+6

ב. מצאו את הסכום של n המספרים הטבעיים הראשונים והסבירו אותו בעזרת האיור.

2. נתון משולש שווה צלעות ששטחו 1 סמ"ר, נחצה כל צלע כך שיווצרו משולשים חדשים.

א. מהו היחס בין השטח של המשולש הכתום הגדול והמשולש כולו?

ב. מהו סכום השטחים של שלושה משולשים כתומים? ארבעה? חמישה משולשים?

ג. אם נמשיך לחלק את המשולש באופן דומה, מהו סכום שטחי n המשולשים? הכלילו את הסכום?

מקור: Mathematics Teacher, Vol. 101, 2007

3. במגדל של קוביות שש קוביות בגדלים שונים, בעלות מקצועות של 1 עד 6.

א. כמה קוביות של 1X1X1 יש במגדל?

ב. הסבירו כיצד האיור מדגים את השוויון:        

1³ + 2³ + 3³ + ... + 6³ =  ²(1+ 2 + 3 + ... + 6)      

רמז- חשבו על קובייה הפרוסה לשכבות.  

ג. מהי נוסחת סכום n  המספרים הטבעיים הראשונים המעוקבים (בחזקת 3)? הוכיחו טענתכם.

ד. הציעו דרכים נוספות להוכחת הטענה.

המקור: NRICH - enriching Marhematics. 

הוכחה ללא מילים - פרוייקט לתלמידים- צוות מחר "98". 
הוכחות ויזואליות ללא מילים (כמעט) - אורית זסלבסקי וגרייסי ויניצקי.

תקציר|  אשליות מתמטיות| פתרונות| خداعات رياضية - تناقضات (برادوكس)| حلول

1. האם 64 = 65?
חתכו לוח שחמט בגודל 8X8 משבצות לשני משולשים ושני טרפזים. (איור 1)
הרכיבו מחדש את החלקים וקיבלו לוח מלבני בגודל 5X13 משבצות. (איור 2)

שטח הריבוע הוא 64 ואילו שטח המלבן שהתקבל הוא 65. 
א. האמנם התווספה משבצת? כיצד תסבירו את התעלומה?
ב. מעניין לשים לב שהמספרים העומדים מאחורי הבנייה הם  3,5,8,13. מה מייחד סדרת מספרים זו? 
נסו לנסח את הקשר בין המספרים וכן את הקשר בין השטחים באופן אלגברי. 
ג. התוכלו למצוא דוגמאות לריבועים ומלבנים נוספים המקיימים תכונה דומה?   

מקור: http://www.cut-the-knot.org/

אפלט שניתן לבחור בו את אורך צלע הריבוע ההתחלתי
פאזל פארדוקסלי המראה כי 25 = 24

2. האם כל משולש הוא שווה שוקיים?

קרול לואיס (מחבר עליסה בארץ הפלאות ) הוכיח שכל המשולשים
הם שווי שוקיים:

א. נתון משולש ABCΔ כלשהו, כאשר D אמצע צלע BC.
ב. AF חוצה זווית הראש ו- DF אנך אמצעי נפגשים בנקודה F.
ג. נוריד אנך מהנקודה F לצלע AB ונסמן ב-G את נקודת החיתוך.
ד. נוריד אנך מהנקודה F לצלע AC ונסמן ב-H את נקודת החיתוך.

קיבלנו:

 

כלומר כל משולש הוא שווה שוקיים. היתכן? 

מקור: תבלינים מתמטיים, מחר 98, הטכניון.