המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי

מעת לעת אנו שולחים פיצוח, פעילות מתמטית לכיתה, מכיתה ז' ועד יב.
כל הפיצוחים קשורים לתוכניות הלימודים בחט"ב ובחט"ע וניתן לשלבם במהלך ההוראה הן כחיזוק, העשרה והוראה בדרך אחרת.

אתם המורים והתלמידים, מוזמנים לשלוח פתרונות. ואת המיטב שבהם נדאג לפרסם.

תקציר| pdf אל הפונקציה צעד אחר צעד| pdf מדריך למורה

אל משפחת הפונקציות $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

א. נבחן צעד אחר צעד את שלבי הבנייה של משפחת הפונקציות $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$ , בעזרת פעולות והרכבה של פונקציות שונות.

לגבי כל אחת מהפונקציות הבאות, בכל שלב ענו, אם ניתן ללא שימוש בנגזרת. שימו לב, במעבר משלב לשלב אילו תכונות השתנו? אילו נשמרו?

		איזו פעולה הופעלה במעבר מהפונקציה הקודמת ?	מהו תחום ההגדרה?	אסימפטוטות מאונכות לצירים	האם הפונקציה זוגית? אי זוגית?	תחומי חיוביות ושליליות	תחומי עליה וירידה	סקיצה לגרף הפונקציה	סקיצה לגרף כאשר a=0
1	$y=x^{2}-a^{2}$	XXXXX
2	$y=\sqrt{x^{2}-a^{2}}$
3	$y=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$
4	$y=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

ב. חקרו, את משפחת הפונקציות $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$ , צעד אחר צעד, באופן דומה לחקירה בסעיף א

ג. חשבו את הנגזרת של הפונקציה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$ .

חקרו את משפחת הפונקציות $f'(x)$ , באופן דומה לחקירה שביצעתם בסעיף א.

ד. לפניכם אחת הפונקציות מהמשפחה $y=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$ כאשר a=2.

1. סמנו על הגרף את השטח המתואר ע"י הביטוי $\left | \int_{4}^{6}f(x)dx \right |$

2. סמנו על הגרף את השטח המתואר ע"י הביטוי $\left | \int_{-4}^{-6}f(x)dx \right |$

3. מצאו עבור $a>0$ את ערך הביוטי: $\int_{-3a}^{-2a}f(x)dx+\int_{2a}^{3a}f(x)dx$

ה. מצאו, עבור $a>0$ , את ערך הביטוי $\int_{-3a}^{-2a}f(x)dx+\int_{2a}^{3a}f(x)dx$ אם הפונקציה היא:

1. $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

2. $f(x)=\frac{x3}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

תוכלו לבדוק את תשובתכם ביישומון סכום אינטגרלים.

ו. ללא חישובים מספריים הביאו דוגמה לפונקציה נוספת כך שעבור $a>0$ ערך הביטוי $\int_{-3a}^{-2a}f(x)dx+\int_{2a}^{3a}f(x)dx$ יהיה אפס.

תוכלו לבדוק את הדוגמה שלכם ביישומון סכום אינטגרלים

תקציר| pdf פירמידה משולשת| pdf מדריך למורה

במבט נוסף על בחינת הבגרות – 807 – חרף תשע"ז – שאלה 2

Tetrahedron the Question

נתונה פירמידה משולשת OBCD, קדדקוד O בראשית הצירים , והקדקודים B,C,D נמצאים על הצירים x,y,z בהתאמה.

א. רשמו על פי הנתונים את שיעורי הקדדקדים של הפירמידה.

ב. חשבו על פי חלוקת היחסים הנתונים את שיעורי הנקודות P, K.
בדקו את חישובכם ביישומון. הפעילו את הכלי "סיבוב הצגה תלת מימדית" בכדי להתרשם מהפירמידה במבטים שונים.

ג. דרך הנקודות K ו-P העבירו מישור המקביל למקצוע CD, וחותך את OC בנקודה Q. הציגו ביישומון את המישור המקביל והתבוננו בו במבטים שונים.

הסבירו מדוע PQ מקביל למקצוע CD. (תוכלו להיעזר בחלון הימיני התחתון)

ד. התבוננו במשולש OCD, מה ניתן לומר על הקטע PQ ?

ה. חשבו את היחס בין OQ ל-QC. נמקו תשובתכם.

מהם שיעורי הנקודה Q ?

ו. חשבו את יחס הנפחים.

ומה יקרה אם....

א. אם נזיז את הנקודה K ,

- האם וכיצד ישתנו שיעורי הנקודה Q ?

- האם המישור PQK עדיין מקביל ל-CD ?

- כיצד ישתנה יחס הנפחים?

ב. אם נזיז את הנקודהP ,

- האם וכיצד ישתנו שיעורי הנקודה Q ?

- האם המישור PQK עדיין מקביל ל-CD ?

- כיצד ישתנה יחס הנפחים?

ג. האם תוכלו להצביע על הבדל בין ההשפעה של השינוי במיקום הנקודה K ל נפח הפירמידה, לבין ההשפעה של השינוי במיקום הנקודה P על נפח הפירמידה?

ד. האם תוכלו לקבוע את הנקודות K ו-P כך שיחס הנפחים יהיה ? ? ?

אם לא, הסבירו מדוע. אם כן, כיצד? נמקו.

תקציר|המתמטיקה של התרופות

לפניכם גרף המתאר התפרקות אופיינית של האינסולין בדם מהרגע שנלקחה התרופה.

1. השלימו את הטבלה:

2. תארו במילים את התפרקות האינסולין בדם כתלות בזמן. תארו את קצב השינוי.
3. בהתבסס על הגרף והטבלה איזו פונקציה מתארת התפרקות האינסולין בדם כתלות בזמן?

4. חשבו על פי הפונקציה ובדקו בגרף.
א. כמה אינסולין נותר בדם לאחר שעה?
ב. כמה יחידות אינסולין בדם לאחר שעה וחצי?
ג. לאחר כמה זמן נותר בדם חצי מהכמות ההתחלתית של האינסולין?
ד. לאחר כמה זמן נותר בדם חצי יחידה של אינסולין?

בפתרון השאלות הבאות תוכלו להיעזר ביישומון:

1. ד"ר פאר רשם לחולה מסויים כדורי טריאזולם. לאחר שהחולה נטל מספר גלולות,
היתה בדם של החולה כמות התחלתית של 4 מיליגרם.
א. מה תהיה כמות הסם בדם לאחר שעה? לאחר 6 שעות? לאחר יממה?
ב. במשך כמה שעות תעלם השפעת הסם ?
ג. בדיקת דם מסוגלת לאבחן נוכחות של התרופה אם תמצא בדם כמות של לפחות 0.1 מיליגרם מהתרופה.
לאחר כמה זמן תתקבל בדיקה שלילית?
2. א. שרטטו גרף לכל תרופה.
ב. השוו את השפעת ארבעת הסמים וסכמו את מסקנותיכם בכל ייצוג שתבחרו. מה ניתן לומר על קצב ההתפוגגות של כל תרופה.
ג. רק שלש מן הגלולות הן אמיתיות, הצביעו על גלולת השינה הלא אמיתית ונמקו תשובתכם.
3. רופאים מתעניינים בזמן שלוקח לתרופה בדם להגיע לחצי מהכמות ההתחלתית שניטלה. זמן זה נקרא מחצית החיים.
חשבו מהו זמן מחצית החיים של כל תרופה.

הפעילות מעובדת מתוך – פעילויות חקירה תמוכות מחשב – פונקציה מעריכית ולוגריתמית – אוניברסיטת חיפה.

מקורות נוספים:

הסכנות באקמול – שיעור אינטראקטיבי לחקר השאלה מה קורה שלוקחים תרופת האקמול לכאב ראש בכמויות שונות ובזה אחר זה.

יישומונים ופיצוחים בנושא גידול ודעיכה:

אני ואתה נשנה את העולם – פיצוח העוסק בפונקציה המעריכית דרך סרט הקולנוע "העבר את זה הלאה".
דעיכה רדיואקטיבית - סימולציה לדעיכה רדיואקטיבית. ישומון דינאמי ודף עבודה בו ניתן לחקור כיצד משפיעים הפרמטרים השונים של פונקצית הדעיכה על הגרף הן בייצוג הגרפי, הטבלאי והויזואלי. כמו כן ניתן לעקוב אחר ערכים של הפונקציה.וכן להתרשם מקצב הדעיכה באנימציה של המיכל המתרוקן.
מרוב עצים לא רואים את היער...סימולציה לגידול מעריכי של יער ישומון דינאמי ודף עבודה בו ניתן לחקור כיצד משפיעים הפרמטרים השונים של פונקצית הגידול על הגרף הן בייצוג הגרפי, הטבלאי והויזואלי. כמו כן ניתן לעקוב אחר ערכים של הפונקציה .וכן להתרשם מקצב הגידול באנימציה של היער הגדל.
עלייה במחירי הדירות – הפעילות כוללת דף עבודה ויישומון דינאמי, ועוסקת בהשוואה בין עליה של המחירים של שתי דירות בגידול מעריכי.

תקציר| pdf 1 האינטגרל כפונקציה| pdf 1 מדריך למורה

חקרתם את הפונקציה $f(x)=-3x^{2}e^{x^{3}}$ ואת הפונקציה $g(x)=\left | f(x) \right |$ וקיבלתם את הגרפים:

integral as a function

1. הסבירו מדוע $g(x)=-f(x)$ . כיצד תכונה זו מתבטאת בגרף?

2. השוו בין ערכי האינטגרל המסויים:

$I_{2}=\int_{- 1}^{0}g(x)dx , I_{1}=\int_{- 1}^{0}f(x)dx$ , אין צורך לחשב ערכים מספריים.

מה מייצג כל אינטגרל ? הסבירו.

3. נגדיר פונקציה $h(a)=\int_{- 1}^{0}f(x)dx$ .

תוכלו להיעזר ביישומון וגררו את הנקודה A, והתבוננו בחלון השמאלי.

א. על פי הגרף של $f(x)$ תארו כיצד משתנה $h(a)$ ככל ש- a גדל?

ב. באיזה תחומים, אם בכלל, הפונקציה $h(a)$ חיובית? שלילית?

ג. באיזה תחומים, אם בכלל, הפונקציה $h(a)$ עולה? יורדת?

ד. האם לפונקציה $h(a)$ יש נקודות קיצון? אם כן, מהן?

ה. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה $h(a)$ . מה מייצג הגרף?

ו. רשמו ביטוי אלגברי מתאים לפונקציה $h(a)$ .

סמנו עם העכבר את חלון הגרפי השני. רשמו ביטוי אלגברי עבור הפונקציה $h(x)$ בחלון הקלט (שימו לב יש לרשום את הביטוי כמשתנה של x ולא של a) ובדקו שהגרפים מתלכדים.

4. נגדיר פונקציה $t(a)=\int_{- 1}^{a}g(x)dx$ .

תוכלו להיעזר ביישומון וגררו את הנקודה A, והתבוננו בחלון השמאלי.

א. על פי הגרף של $g(x)$ תארו כיצד משתנה $t(a)$ ככל ש- a גדל?

ב. באיזה תחומים, אם בכלל, הפונקציה $t(a)$ חיובית? שלילית?

ג. באיזה תחומים, אם בכלל, הפונקציה $t(a)$ עולה? יורדת?

ד. האם לפונקציה $t(a)$ יש נקודות קיצון? אם כן, מהן?

ה. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה $t(a)$ . מה מייצג הגרף?

ו. רשמו ביטוי אלגברי מתאים לפונקציה $t(a)$ .

סמנו עם העכבר את חלון הגרפי השני. רשמו ביטוי אלגברי עבור הפונקציה $t(x)$ בחלון הקלט (שימו לב יש לרשום את הביטוי כמשתנה של x ולא של a) ובדקו שהגרפים מתלכדים.

5. השוו בין הפונקציות $h(a)$ ו- $t(a)$ . במה דומים ובמה שונים הגרפים שלהם?

מהי נקודת החיתוך בין הגרפים?

הרחבה:

6. אם נשנה את הגבול התחתון של האינטגרל $h(a)=\int_{- 0.5}^{a}f(x)dx$ ,

כיצד לדעתכם ישתנה גרף הפונקציה $h(a)$ ? כיצד ישתנה הביטוי האלגברי של הפונקציה?
הסבירו מסקנתכם.

הזיזו ביישומון את הנקודה B וקבעו אותה כך ש- $x=-0.5$ , גררו את הנקודה A ועקבו אחר בניית הגרף של $h(a)$ .

במקרה זה, היכן יפגשו הגרפים $h(a)$ ו- $t(a)$ ?

בדקו מסקנתכם עבורי ערכי גבול תחתון שונים.

7. חקרו כיצד ישתנו ממצאיכם עבור הפונקציות:

א. $f(x)=x^{3}-x$ ו- $g(x)=\left | f(x) \right |$

ב. $f(x)=x^{3}-x$ ו- $g(x)=-f(x)$

שערו ובדקו ביישומון היכן יפגשו הגרפים $h(a)$ ו- $t(a)$ ? נמקו.

planning a garden capture תקציר| pdf 1 מתכננים גינה| מדריך למורה

בשטח מלבני שממדיו 8 מטרים ו- 6 מטרים מתכננים גינת נוי.

מתכנני הגינה בודקים אפשרויות שונות לשתול דשא בשני שטחים בצורת ריבועים זהים, ובשטח נוסף בצורת מלבן כמתואר בציור.

השטחים המיועדים לדשא מופיעים בציור בירוק מקווקו. שאר השטח מיועד לפרחים.

א. הציעו תכנית אפשרית של גינה התואמת את התיאור. מה שטח הדשא במקרה זה?

ב. הציעו תכנית נוספת שמתאימה לתיאור. מה שטח הדשא הפעם?

ג. פתחו את היישומון, וגררו את הנקודה האדומה כך שתתקבל חצר שונה מאלה שתכננתם בסעיפים הקודמים.

ד. כשגוררים את הנקודה האדומה מופיע על צג המחשב גרף שמתאים לאורך צלע הריבוע את שטח הדשא. מה אורך צלע הריבוע כאשר שטח הדשא מינימלי?

ה. סמנו ב- x את אורך צלע הריבוע במטרים. רשמו את הפונקציה המתאימה ל- x את שטח הדשא במ"ר. מהו תחום הפונקציה.

ו. הראו בדרך מתמטית שכאשר x=2.75 שטח הדשא מינימלי. מהו שטח הדשא במקרה זה?

ז. אורן חיבר בטעות את סכום השטחים המיועדים לפרחים במקום את סכום השטחים המיועדים לדשא. כשהמשיך בפתרון גילה שגם בפונקציה שלו הנגזרת מתאפסת כאשר x=2.75 . כיצד זה ייתכן?

ח. הציגו את שתי הפונקציות באמצעות תיבת הבחירה. מה הקשר ביניהן? הסבירו.

עמוד 5 מתוך 28

thumbnail logos

אל הפונקציה צעד אחר צעד

פירמידה משולשת במערכת הצירים

המתמטיקה של התרופות

האינטגרל כפונקציה

מתכננים גינה