תקציר|עץ פיתגורס|

תקציר|המקבילית|מדריך למורה

המרובע ABCD הוא מקבילית
הנקודות E, F  מונחות על הצלעות AB, DC בהתאמה.
EB = FD 

ניתן להיעזר ביישומון המקבילית.

1. מה ניתן לומר על המרובע AECF ? הוכיחו טענתכם בדרכים שונות.

2. נתון גם כי

א. האם המרובע AECF מקבילית? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ב. האם המרובע AECF טרפז? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ג. האם המרובע AECF מעוין? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ד. האם המרובע AECF מלבן שאינו ריבוע? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ה. האם המרובע AECF מלבן ? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ו. האם המרובע AECF ריבוע ? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

3. הראו כי שלש הנקודות B, O, D נמצאות על ישר אחד.

(רמז – הראו כי BD עובר דרך הנקודה O).

4. נתון גם: OT תיכון לצלע FC ב-

א. הוכיחו:

ב. שנו ביישומון את הזווית , כך שלא בהכרח תהיה ישרה.
האם עדיין נשמר הקשר    ?
נמקו.

5. מצאו כמה שיותר מצולעים בעלי שטחים שווים. 

תקציר|כדאי להזיז את הפונקציה|מדריך למורה

נתונה הפונקציה .   a הוא פרמטר.

1. יעל הציעה לחקור פונקציה פשוטה יותר 

ובעזרת הזזות בלבד להסיק מסקנות לגבי הפונקציה הנתונה.

א. השלימו את הטבלה, תוכלו להיעזר ביישומון הדינאמי.

		a=0
תחום הגדרה:
אסימפטוטה אנכית:
אסימפטוטה אופקית:
נקודות הקיצון:
הגרף:

ב. ציינו מה דומה ומה שונה בין שתי הפונקציות? אילו תכונות  נשמרו ואילו תכונות השתנו וכיצד?

ג. כיצד תשתנה הפונקציה   כאשר נשנה את a ?
אילו תכונות  נשמרו ואילו תכונות השתנו וכיצד?

ד. עבור איזה ערך של a,  משיקה לציר ה-x ? נמקו.

2. נתונה הפונקציה    עבור a=1, k פרמטר.

לפניכם ארבעה גרפים שונים ממשפחת הפונקציות g(x). 

(בקו המקווקו מוצג גרף הפונקציה f(x)+k )

תוכלו להיעזרביישומון הדינאמי- הערך המוחלט של פונקציה מוזזת.

א. קבעו עבור אילו ערכי k ניתן לקבל כל אחד מהגרפים. נמקו.

ב. הוסיפו לגרפים את הישר שהוא האסימפטוטה של f(x). 
באילו מקרים גרף הפונקציה g(x) ישיק לישר זה? הסבירו.

תקציר |  חזקה ונתחזק | פתרונות | חזקה ונתחזק בערבית | حلول

1. א. התוכלו לחשב את המספר: 
    ב. אם תשנו את סדר החזקות, איזה מספר יהיה הגדול ביותר? הקטן ביותר?

המקור: NRICH - enriching marhematics

2. מה היא ספרת האחדות של המספרים: 

המקור: ומדאת פי אלריאדיאת גיליונות לשיפור החשיבה המתמטית, 2006

3. מה היא השארית המתקבלת כאשר מחלקים 3²⁰⁰⁸ במספר 7? 

המקור: NRICH - enriching marhematics

4. א. האם המספר 3⁴⁴⁴ + 4³³³ מתחלק ב- 5?
    ב. התוכלו להסביר למה 5⁹⁹ +4⁹⁹ + 3⁹⁹+ 2⁹⁹ + 1⁹⁹ מתחלק ב- 5?

המקור: NRICH - enriching marhematics

5. נתון (בשנת 2008): a² + a + 1 = 0

    התוכלו לחשב את הביטוי a²⁰⁰⁸ + a²⁰⁰⁹?

המקור: ד"ר עוזי ערמון - חידות ובעיות חשיבה במתמטיקה

תקציר|במעלה הר תבור

פתחו את היישום במעלה הר תבור.

לפניכם תמונה של הר תבור הנמצא בלב הגליל התחתון, הידוע בכיפתו העגולה הנשקפת למרחקים. הוא מתנשא לגובה של 562 מטרים, כ-400 מטרים מעל פני סביבתו.

ביישומון, על קו המתאר שלו משורטטת באדום פונקציה המתאימה את קו הגובה בק"מ למרחק האופקי מנקודת המוצא בק"מ.

עזרו לטייל להכיר את המעלה, היכן הוא יוכל לנוח, היכן הוא הכי יתאמץ ?

ענו על השאלות הבאות:

1. הציגו את הטייל והזיזו אותו. עקבו אחר מסלול הטיפוס שלו לפסגה (מסומן באדום) ותארו במילים שלכם את מהלך הטיפוס. קבעו (אם אפשר):

■   היכן במעלה, העלייה היא התלולה ביותר?

■   היכן במעלה, העלייה היא הכי פחות תלולה?

■   היכן במעלה, העלייה הולכת ונהיית יותר ויותר תלולה?

■   היכן במעלה, העלייה הולכת ונהיית פחות ופחות תלולה?

2. הציגו את שיפוע המדרון.

עקבו אחר מיקום המשיק בנקודות שונות ביחס לגרף הפונקציה ומצאו:

■   הפונקציה קעורה כלפי מטה (∩):

תחומים בהם המשיק נמצא מעל הפונקציה. מה המשמעות לכך בסיפור?

■   הפונקציה קעורה כלפי מעלה (U):

תחומים בהם המשיק נמצא מתחת לפונקציה. מה המשמעות לכך בסיפור?

3. הציגו את שיפוע המדרון, עקבו אחר השינוי בשיפוע המשיק.

קבעו מהי המשמעות לכך בגרף הפונקציה, ומהי המשמעות לכך בסיפור עבור התנאים הבאים:

■   נקודות בהן שיפוע המשיק אפס.

■   נקודות בהן שיפוע המשיק שלילי.

■   נקודות בהן שיפוע המשיק חיובי.

■   תחומים בהם שיפועי המשיקים הולכים וגדלים .

■   תחומים בהם שיפועי המשיקים הולכים וקטנים.

4. עקבו אחר השיפוע. מוצגת נקודה B המתארת את גודל שיפוע המשיק בנקודה A.

■  מה מתאר גרף העקבות של הנקודה B? מה המשמעות לכך בסיפור ?

■  מה המשמעות בגרף הפונקציה לנקודות החיתוך של פונקצית השיפועים עם ציר ה-x? והמשמעות בסיפור?

■  מה המשמעות בגרף הפונקציה לתחומי החיוביות והשליליות של פונקצית השיפועים? והמשמעות בסיפור?

5. הצג פתרון- היכן המדרון הוא התלול ביותר?

■  מה מאפיין את המשיק בנקודת הפתרון?

■ הסבירו מה מייצג כל גרף בפתרון?

■  הסבירו מה מייצגת כל נקודה משלוש הנקודות המודגשות על הגרפים.

■  אילו תנאים בנגזרת הראשונה ובנגזרת השנייה מתקיימים בפתרון?