מעת לעת אנו שולחים פיצוח, פעילות מתמטית לכיתה, מכיתה ז' ועד יב.
כל הפיצוחים קשורים לתוכניות הלימודים בחט"ב ובחט"ע וניתן לשלבם במהלך ההוראה הן כחיזוק, העשרה והוראה בדרך אחרת.

אתם המורים והתלמידים, מוזמנים לשלוח פתרונות. ואת המיטב שבהם נדאג לפרסם.

 

תקציר|pdfעץ פיתגורס|

 

חשבתם פעם לבנות עץ ממשפט פיתגורס?

pyt1                                            growing pythagoras tree

הכירו את הפקרטל עץ הפיתגורס, הנוצר בסדרה אינסופית של ריבועים הדומים לעצמם בכל רמת פירוט שנסתכל בה. לתכונה זו קוראים,  "דמיון עצמי" ,כלומר כל חלק של הפרקטל נראה כמו השלם, החלק של החלק נראה כמו החלק וכך הלאה..... כל ריבוע בעץ פיתגורס יוצר גרסה מוקטנת של עץ פיתגורס בעצמו.


 בשלב האפס מתחילים עם ריבוע עם צלע באורך 1.

בשלב הראשון בונים שני ריבועים זהים כך שהם יוצרים משולש ישר-זווית ושווה שוקייםעם צלע הריבוע ההתחלתי.
א. מה אורך צלע הריבועים האלה?

בשלב השני בונים על גבי כל אחד מן הריבועים האלו שני ריבועים זהים באותו אופן בדיוק.
ב. מה אורך צלע הריבועים בשלב השני?
    כמה ריבועים בשלב השני?
ג. מה ניתן לומר על המשולשים מהשלב הראשון והשני?

pyt3


עץ פיתגורס מתקבל מחזרה על התהליך אינסוף פעמים.

ד. מה אורך צלע הריבועים בשלב ה-n?
    כמה ריבועים יהיו בשלב ה-n?


ה. כיצד יראה עץ פיתגורס אם נתחיל ממשולש ישר זווית שאינו שווה שוקיים?

התנסו ביישומון עץ פיתגורס.


ו. אתגר - ניתן להראות שניתן לחסום את עץ הפיתגורס במלבן.

מצאו מה השטח האפשרי המינימלי למלבן כזה.


הצעה לפרוייקט – בנו קיר לכבוד חג האילנות, עץ פיתגורס פורח.

 pyt4


ראו צעד אחד כיצד כיתה בספרד בנתה את עץ פיתגורס באתר משחקים טופולוגיים (בספרדית).
מצורפים (למטה) תבניות להדפסה.

מקורות נוספים:

עץ פיתגורס - יישומון בגאוגברה.

הפיצוח – אני דומה לעצמי

עץ פיתגורס – ויקיפדיה

פרוייקט עץ פיתגורס – פורום מתמטיקה


pyt5pyt6


תקציר|pdfהמקבילית|pdfמדריך למורה

 

makbilitהמרובע ABCD הוא מקבילית
הנקודות E, F  מונחות על הצלעות AB, DC בהתאמה.
EB = FD 

ניתן להיעזר ביישומון המקבילית.

 

 

 

 

 

1. מה ניתן לומר על המרובע AECF ? הוכיחו טענתכם בדרכים שונות.


2. נתון גם כי

א. האם המרובע AECF מקבילית? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ב. האם המרובע AECF טרפז? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ג. האם המרובע AECF מעוין? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ד. האם המרובע AECF מלבן שאינו ריבוע? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ה. האם המרובע AECF מלבן ? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.

ו. האם המרובע AECF ריבוע ? תמיד/ לפעמים / אף פעם לא.


3. הראו כי שלש הנקודות B, O, D נמצאות על ישר אחד.

(רמז – הראו כי BD עובר דרך הנקודה O).


makbilit 24. נתון גם: OT תיכון לצלע FC ב-

א. הוכיחו:

ב. שנו ביישומון את הזווית , כך שלא בהכרח תהיה ישרה.
האם עדיין נשמר הקשר    ?
נמקו.


5. מצאו כמה שיותר מצולעים בעלי שטחים שווים. 

תקציר|pdfכדאי להזיז את הפונקציה|pdfמדריך למורה

 

נתונה הפונקציה .   a הוא פרמטר.


1. יעל הציעה לחקור פונקציה פשוטה יותר 

ובעזרת הזזות בלבד להסיק מסקנות לגבי הפונקציה הנתונה.

א. השלימו את הטבלה, תוכלו להיעזר ביישומון הדינאמי.

   

a=0   

תחום הגדרה:

אסימפטוטה אנכית:

אסימפטוטה אופקית:

נקודות הקיצון:

הגרף:

move the function table 

ב. ציינו מה דומה ומה שונה בין שתי הפונקציות? אילו תכונות  נשמרו ואילו תכונות השתנו וכיצד?

ג. כיצד תשתנה הפונקציה   כאשר נשנה את a ?
אילו תכונות  נשמרו ואילו תכונות השתנו וכיצד?

ד. עבור איזה ערך של a,  משיקה לציר ה-x ? נמקו.


2. נתונה הפונקציה    עבור a=1, k פרמטר.

לפניכם ארבעה גרפים שונים ממשפחת הפונקציות g(x)

(בקו המקווקו מוצג גרף הפונקציה f(x)+k )

תוכלו להיעזרביישומון הדינאמי- הערך המוחלט של פונקציה מוזזת.

move the function Q3

א. קבעו עבור אילו ערכי k ניתן לקבל כל אחד מהגרפים. נמקו.

ב. הוסיפו לגרפים את הישר שהוא האסימפטוטה של f(x)
באילו מקרים גרף הפונקציה g(x) ישיק לישר זה? הסבירו.


 

תקציר |  חזקה ונתחזק | פתרונות | חזקה ונתחזק בערבית | حلول

1. א. התוכלו לחשב את המספר: hezka1
    ב. אם תשנו את סדר החזקות, איזה מספר יהיה הגדול ביותר? הקטן ביותר?

המקור: NRICH - enriching marhematics

 


2. מה היא ספרת האחדות של המספרים: hezkatwo

המקור: ומדאת פי אלריאדיאת גיליונות לשיפור החשיבה המתמטית, 2006

 

 


3. מה היא השארית המתקבלת כאשר מחלקים 32008 במספר 7? 

hezka3

המקור: NRICH - enriching marhematics

 

 


4. א. האם המספר 3444 + 4333 מתחלק ב- 5?
    ב. התוכלו להסביר למה 599 +499 + 399+ 299 + 199 מתחלק ב- 5?

המקור: NRICH - enriching marhematics


5. נתון (בשנת 2008): a2 + a + 1 = 0

    התוכלו לחשב את הביטוי a2008 + a2009?

המקור: ד"ר עוזי ערמון - חידות ובעיות חשיבה במתמטיקה


תקציר|במעלה הר תבור

 

tavor captureפתחו את היישום במעלה הר תבור.

לפניכם תמונה של הר תבור הנמצא בלב הגליל התחתון, הידוע בכיפתו העגולה הנשקפת למרחקים. הוא מתנשא לגובה של 562 מטרים, כ-400 מטרים מעל פני סביבתו.

ביישומון, על קו המתאר שלו משורטטת באדום פונקציה המתאימה את קו הגובה בק"מ למרחק האופקי מנקודת המוצא בק"מ.

עזרו לטייל להכיר את המעלה, היכן הוא יוכל לנוח, היכן הוא הכי יתאמץ ?

 

 

 


ענו על השאלות הבאות:

1. הציגו את הטייל והזיזו אותו. עקבו אחר מסלול הטיפוס שלו לפסגה (מסומן באדום) ותארו במילים שלכם את מהלך הטיפוס. קבעו (אם אפשר):

■   היכן במעלה, העלייה היא התלולה ביותר?

■   היכן במעלה, העלייה היא הכי פחות תלולה?

■   היכן במעלה, העלייה הולכת ונהיית יותר ויותר תלולה?

■   היכן במעלה, העלייה הולכת ונהיית פחות ופחות תלולה?


2. הציגו את שיפוע המדרון.

עקבו אחר מיקום המשיק בנקודות שונות ביחס לגרף הפונקציה ומצאו:

■   הפונקציה קעורה כלפי מטה (∩):

תחומים בהם המשיק נמצא מעל הפונקציה. מה המשמעות לכך בסיפור?

■   הפונקציה קעורה כלפי מעלה (U):

תחומים בהם המשיק נמצא מתחת לפונקציה. מה המשמעות לכך בסיפור?


3. הציגו את שיפוע המדרון, עקבו אחר השינוי בשיפוע המשיק.

קבעו מהי המשמעות לכך בגרף הפונקציה, ומהי המשמעות לכך בסיפור עבור התנאים הבאים:

■   נקודות בהן שיפוע המשיק אפס.

■   נקודות בהן שיפוע המשיק שלילי.

■   נקודות בהן שיפוע המשיק חיובי.

■   תחומים בהם שיפועי המשיקים הולכים וגדלים .

■   תחומים בהם שיפועי המשיקים הולכים וקטנים.


4. עקבו אחר השיפוע. מוצגת נקודה B המתארת את גודל שיפוע המשיק בנקודה A.

■  מה מתאר גרף העקבות של הנקודה B? מה המשמעות לכך בסיפור ?

■  מה המשמעות בגרף הפונקציה לנקודות החיתוך של פונקצית השיפועים עם ציר ה-x? והמשמעות בסיפור?

■  מה המשמעות בגרף הפונקציה לתחומי החיוביות והשליליות של פונקצית השיפועים? והמשמעות בסיפור?


5. הצג פתרון- היכן המדרון הוא התלול ביותר?

■  מה מאפיין את המשיק בנקודת הפתרון?

■ הסבירו מה מייצג כל גרף בפתרון?

■  הסבירו מה מייצגת כל נקודה משלוש הנקודות המודגשות על הגרפים.

■  אילו תנאים בנגזרת הראשונה ובנגזרת השנייה מתקיימים בפתרון?


6. מלאו את הטבלה:

הנגזרת

השנייה

הנגזרת הראשונה

חיובי/שלילי עולה/יורדת

צורת הגרף
הפונקציה עולה וקעורה כלפי  מעלה (U) 
    הפונקציה יורדת וקעורה כלפי מטה (
נקודת פיתול
הפונקציה יורדת וקעורה כלפי מעלה (U)
הפונקציה עולה וקעורה כלפי מעלה (U)  
הפונקציה קעורה כלפי מעלה (U) 
הפונקציה קעורה כלפי מטה (∩) 

 

 

 

על״ה
עלון למורי המתמטיקה

ISSN: 0792-5735 


פיצוחים
פעילויות מתמטיות למורה ולתלמיד


מאגר יישומים דינאמיים
דפי עבודה אינטראקטיביים ויישומים בגאוגברה


תוכנית מוארת חט"ב
פעילויות מתוקשבות על פי תוכנית הלימודים


תוכנית מוארת חט״ע
בקרוב...


 

uohfaculty of educationpedagog logo shalit