אני דומה לעצמי?

תקציר|אני דומה לעצמי?|أنا اشبه نفسي

הכירו את הפקרטל המפורסם, משולש סרפינסקי.

משולש סרפינסקי נוצר בסדרה אינסופית של משולשים

הדומים לעצמם בכל רמת פירוט שנסתכל בה.

לתכונה זו קוראים,  "דמיון עצמי" ,כלומר כל חלק של הפרקטל נראה כמו השלם, החלק של החלק נראה כמו החלק וכך הלאה....

1. עקבו אחר התפתחות הפרקטל של משולש סרפינסקי, ביישומון הפרקטל  או בתמונה למטה:

א. תארו כיצד בכל שלב תמונת המשולש משתנה. 

    מה משתנה במעבר משלב לשלב, ומה נשאר קבוע?

ב. מצאו חוקיות בסדרה ותארו אותה.

ג. התבוננו בשלב השני ומצאו זוגות של משולשים דומים (שאינם זהים)? מהו יחס הדמיון בכל זוג?

    אילו משולשים דומים ניתן למצוא בשלב השלישי? מהו יחס הדמיון בכל זוג?

    תארו את בניית משולש סרפינסקי בעזרת משולשים דומים.

ד. כמה משולשים ירוקים בשלב השלישי? כמה יהיו בשלב הרביעי? כמה יהיו בשלב ה- n?

ה. כמה משולשים לבנים בשלב השלישי? כמה יהיו בשלב הרביעי? כמה יהיו בשלב ה- n?

ו. נניח בשלב התחילי שטח המשולש הירוק הוא 1 יחידה רבועה.

   מהו שטח המשולשים הירוקים בשלב הראשון? השני? השלישי? 

   התוכלו להעריך את שטח המשולשים הירוקים בשלב ה-100? בשלב ה- n?

2. ניתן לעצב פרקטלים מרהיבים בצורות שונות שלהם תכונת הדמיון העצמי. 

האם תוכלו לבנות סדרה בחוקיות דומה בריבועים? נסו לציירה ולמצוא את יחס הדמיון בה.

אם תתבוננו מסביבכם תמצאו פרקטלים רבים בטבע:

עצים וענפים, הכרובית והברוקולי, פתית השלג, צדפים, הברקים וסופות הוריקן ועוד.

מנדלברוט (1924-2010), מתמטיקאי יהודי, היה  הוגה רעיון הפרקטלים. הראה, שתכונת הדמיון העצמי איננה גחמה מתמטית של גיאומטריה. היכולת להמשיך סדרות כאלו עד אין סוף התגלתה הודות ליכולתם של מחשבים מודרניים לבצע מיליארדי פעולות בשנייה, אבל היא קיימת בטבע, באוויר, בים וביבשה.

Where do we find fractals? - פוסטר מאת Fractal Foundation

3. לפניכם פרקטל ריבועי נוסף מתוך יישומון הפרקטל :

א. תארו כיצד בכל שלב תמונת הריבוע משתנה.

    מה משתנה במעבר משלב לשלב, ומה נשאר קבוע?

ב. מצאו חוקיות בסדרה ותארו אותה.

ג. התבוננו בשלב השני ומצאו זוגות של רבועים דומים (שאינם זהים)? מהו יחס הדמיון בכל זוג?

    אילו מרובעים דומים ניתן למצוא בשלב השלישי? מהו יחס הדמיון בכל זוג?

ד. כמה ריבועים מכל צבע בשלב השני? השלישי? כמה יהיו בשלב הרביעי? כמה יהיו בשלב ה- n?

ה. נניח בשלב התחילי (שלב אפס) הוא 1 יחידה רבועה.

    מהו שטח הריבוע הכתום בשלב הראשון? בשלב השני? השלישי? בשלב ה- n?

ו. נניח בשלב התחילי שטח הריבוע הכתום הוא 1 יחידה רבועה.

   מהו שטח הריבועים הכחולים בשלב הראשון? השני? השלישי? בשלב ה- n?

קראו עוד על פרקטלים:

לחיות עם אי הודאות - צבי ינאי, מדור מדע ב-YNET.

פרקטלים ומשולש סרפינסקי וחקר השברים (עמ' 4-6) - מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך היסודי

משחקים כסביבה להצגת מושגים ומשפטים מתמטיים ולפתרון בעיות, חלק ב' - נצה מובשוביץ הדר, על"ה 41.

תוכלו לקרוא על המימדים של פרקטל- מאמר מאת NRICH

Ron Eglash on African fractals | Video on TED.com - הרצאת וידאו (אנגלית עם תרגום לעברית) - מומלץ