תקציר|יצירת מגן דוד|

בעזרת סרגל ומחוגה תוכלו ליצור עיצובים מרהיבים של מגן דוד, באופן הבא:

1) שרטטו מעגל בעזרת מחוגה. 

    שימרו על מרחק בין שתי רגלי המחוגה עד לשלב הבא.

2) סמנו נקודה. על המעגל , העמידו את חוד המחוגה על הנקודה שסימנתם וסמנו נקודה נוספת על המעגל.

   חזרו על פעולה זו  מספר פעמים עד שתקבלו שש נקודות על הקף המעגל.

   מדוע יש בדיוק שש נקודות? 

3) חברו כל נקודה עם שתי נקודות שנמצאות ממולה (החיבור נעשה לסירוגין בין הנקודות שסימנתם על הקף המעגל). 

    קיבלתם מגן דוד, שמו המתמטי הקסגרם.

4) שרטטו בעזרת סרגל שלושה קטרים מקווקווים. (בהמשך תמחקו אותם)

5) ציירו שני משולשים שקודקודם בנקודות המפגש הקטרים עם צלעות המשולשים הגדולים.

    קיבלתם מגן דוד פנימי קטן.

6) כעת תוכלו להדגיש את הקווים שברצונכם בכדי ליצור את המגן דוד המעוצב.

    לפניכם שלש צורות שיוכלו להיות בסיס ליצירתכם.

    צבעו את חלקי המגן דוד כרצונכם.

    התוכלו למצוא עיצובים נוספים למגן הדוד?

על בסיס אותו רעיון תוכלו לצייר מגו דוד בתוך מגן דוד בתוך מגן דוד...עוד ועוד.

מקור:  http://www.mathcats.com/crafts/hexagrams.html

קישורים נוספים לחקר צורת מגן הדוד והצעות לפעילות:

"מגן דוד", במונחים מתמטיים ידוע כהקסגרמה, הוא המוטיב המרכזי בדגל ישראל ולו תכונות מתמטיות מרתקות. 

בקישורים הבאים תוכלו להעמיק וללמוד על תכונותיו המעניינות, על מקורותיו וההסטוריה המגוונת שלו בתרבויות השונות, והמשמעויות השונות שהעניקו לו. תוכלו גם להתרשם מאוסף עשיר של יצירות מגני דוד בציורי קיר, איורים, תחריטים, פסיפסים ופסלים.

מגן דוד - מידע תמציתי בויקיפדיה.

גיאומטריה של מגן-דוד - בעיית החודש מס' 5 - קשר חם.

חומשי - עיתון לעידוד המתמטיקה פרי עטו של ג'רי רוזן ז"ל המוקדש כולו למגן דוד. שם תמצאו מידע ופעילויות, חידות , הצעות ליצירה, קיפולי נייר ועוד.

אלבום מגן דוד - בלוג עשיר מאין כמוהו של זאב ברקן ובו מידע על מקורו, עברו, המשמעויות השונות שמיוחסות לצורתו של המגן דוד בתרבויות השונות. באתר אוסף עצום של תמונות ויצירות של מגני דוד.

מצגת מגן דוד והדגל - בעריכת אסף פלר.

יצירות ואיורים של מגני דוד בהשראת מתמטיקה מתחרות שנת השישים מטעם מרכז המורים במתמטיקה.

רימון, מגן דוד ומתמטיקה - מצגת שנוצרה בביה"ס "אורט במעלה" טבריה, במסגרת תחרות "תמונה ישראלית בעין מתמטית"

תקציר|אנשי החידות מהודו | פתרונות

בהודו העתיקה, בשנים 1200-200 לספירה, הייתה פריחה של יצירה עשירה במתמטיקה ובמדעים. 

הם פיתחו את נושא הגיאומטריה והטריגונומטריה לצרכי חישובים אסטרונומיים, הם פיתחו שיטות לפתרון משוואות דיופנטיות אך עיקר תרומתם הייתה יצירת המספר העשרוני, שיטת הספירה שאנו משתמשים בה עד היום. הם סימנו לראשונה את המספר "אפס" והיו גם הראשונים

לקבל את המספרים השליליים.

המתמטיקאים ההודיים הידועים ביותר הם: אריבסהטה הראשון מהמאה ה-6 שחישב בדיוק רב את המספר פאי.ברהמהגופטה מהמאה ה-7, אשר עסק במשוואות דיופנטיות והידוע בזכות משפט המשמש לחישוב שטחו של מרובע החסום במעגל לפי צלעותיו. בהסקרא השני מהמאה

ה-12 אשר עסק בפתרון משוואה ריבועית.

תרומתם של המדענים ההודים בחשבון ובאלגברה השפיעה רבות על התפתחות המתמטיקה בארצות הערב ולאחר מכן בארצות אירופה.

לפניכם כמה חידות עתיקות שהציגו המתמטיקאים ההודים העוסקות דווקא במשפט פיתגורס היווני:

1. עץ הצפצפה הבודד

על גדות נהר הגנגס צמח עץ צפצפה בודד.

לפתע הגיע משב רוח חזק וכפף את גזעו של העץ. 

נשבר העץ  המסכן וצמרתו נפלה על הגדה הנגדית של הנהר שרוחבו 4 מטרים.  גזע העץ הגאה, באורך 3 מטרים, נותר לעמוד מאונך לזרם הנהר.

התוכלו לדעת מה היה גובהו של העץ לפני שהרוח שברה אותו?

2. פרח הלוטוס הקדוש

פרח הלוטוס מקודש על הבודהיסטים, שלפי אמונתם פרץ הצמח ופרח בכל מקום עליו דרכו רגליו של הנסיך התינוק סאדהראתה (בעתיד בודהה). תחת שורשיו הנטועים עמוק בביצה שוכנים אוצרות. 

באגם שקט צמח פרח מרהיב של הלוטוס הקדוש. שורשיו של הצמח עמוק בקרקעית האגם והפרח התנשא כחצי מטר מעל פני המים. הוא היה פרח יחיד וכשרוח נשבה נישא הפרח על פני המים ונעלם רק באביב המוקדם מצא אותו דייג במרחק של שני מטרים מהמקום שבו הפרח

גדל.

התוכלו לדעת מה עומקו של האגם בו צמח הלוטוס?

3. ירושת האיכר

איכר הודי  עשיר וחובב מתמטיקה הוריש לשלושת בניו את חלקתו הריבועית.

האיכר סימן על אחת מצלעות המגרש את אמצעו (E) ומתח קו עד לנקודה כלשהי על הצלע שממול (F). 

הבן הצעיר קיבל חלקה בתוך המגרש בצורת משולש אשר שטחו 9 דונם.

את שתי החלקות הנותרות הוריש לשני בניו הבכורים התאומים.

מהי הנקודה (F) שבחר האיכר כך ששטחי חלקות הבנים התאומים היו שווים?

4. המנזר הבודהיסטי

כל יום יצא האיכר ההודי מביתו (A) לתפילת הבקר במנזר ((B.

הוא הלך בקצב מתון ומדוד בעודו ממלמל את אותה שירה בכל יום ויום.

לעיתים היה עושה את דרכו דרך המעיין הקדוש (C) ולעיתים עבר דרך הנהר (D). 

התוכלו להביע את הדרך מבית האיכר לנהר (AD=d) לפי הדרך מבית האיכר למעיין (AC=a)

ומן המעיין עד המנזר (CB=b)?

מהי התשובה הנכונה?

הפיצוח נכתב ע"י נטליה קונצ'יקוב במסגרת קורס כתיבה יצירתית במתמטיקה

תקציר |מתמטיקה מכל הלב | פתרונות | رياضيات من القلب | حلول | ערבית| פתרונות בערבית

למסיבת סוף השנה אפו התלמידים חמש עוגות בצורת לב.

א. הסבירו כיצד נבנתה התבנית של כל עוגה.

ב. חשבו את השטח של כל עוגה, כאשר ידוע שהקטע המסומן אורכו 10 ס"מ. מהי העוגה הגדולה ביותר ?

ג. פי כמה יגדל שטח כל "לב", אם נכפיל את בסיס התבנית (הקטע המסומן) פי 2?

ד. אם נסמן את בסיס התבנית ב-a, הביעו את שטח כל לב באמצעות a.

עוד לבבות מתמטיים תוכלו למצוא - http://www.mathematische-basteleien.de/heart.htm

משימת אתגר- האם תוכלו לשרטט לכם לב מגרפים של פונקציות?

קחו לכם פתק ריבועי וקפלו לב לבבי.

עקבו אחר ההוראות באיור ובסרטון הבא :

התבוננו בלב שקיבלתם:

א. מצאו חלוקות שונות של הלב למצולעים שונים.
ב. איזה חלק של הריבוע מהווה הלב.

תקציר| פחות או יותר

1.  בבוסתן 

לפניך מפת בוסתן פירות ישראלי.

כל חלקת עצים מגודרת. עליך להגדיר עבור מערכת ההשקיה את התחום בו כל חלקה נמצאת.

א. רשמו מערכת אי שוויונות המתארת את שטח עצי התפוח. 
ב. איזה שטח מתואר ע"י אי השוויונות הבאים: 

ג. רשמו מערכת אי שוויונות המתארת את שטח עצי הזית.

ד. הוכיחו כי שטח עצי הזית שווה לשטח כל עצי הפירות האחרים.

2.  עבודה בחופשת הקיץ 

הקיץ החליטה הילה לעבוד בחופשת הקיץ בכדי לחסוך לטיול "מחוף אל חוף".  
הילה מתכוונת לעבוד לא יותר מ-20 שעות בשבוע (בכדי שתספיק גם לנוח ולבלות) ובכל זאת להרוויח לפחות 360 שקל לשבוע העבודה. 
להילה שתי הצעות עבודה: שמרטפית ושוטפת כלים במסעדה. 
עבור שעת העבודה בשמרטפות משלמים 20 שקל ועבור שטיפת כלים 24 שקל לשעה.

א. אם הילה תעבוד רק בשמרטפות או רק בתור שוטפת כלים, כמה היא תרוויח?

ב. אם הילה תחלק את שעות העבודה בין שמרטפות לבין שטיפת כלים שווה בשווה, 
כמה היא תרוויח?

ג. הציעו להילה חלוקה כזאת של שעות עבודה, כך שהיא תחסוך סכום כסף הגדול ביותר האפשרי.

3.  משחק כדורסל

ארז חזר ממשחק כדורסל וסיפר בגאווה למשפחתו על המשחק:
"היו לי 10 כדורים חוזרים, 2 חסימות ו-3 התקפות מתפרצות והכי חשוב.. הצלחתי לקבל מספר נקודות שלא קטן ממספר הנקודות הגבוה ביותר שהיה לי בעונה הקודמת".
ארז, חובב החידות, סרב לחשוף כמה נקודות קלע אך רמז:

(1) לא זרקתי אף קליעת עונשים. (עבור קליעת עונשין מקבלים נקודה אחת). 
(2) מספר הסלים של 2 נקודות קטן או שווה ל-8. 
(3) מספר הסלים של 2 נקודות היה גדול מפעמיים ממספר הסלים של השלשות (עבור שלשה מקבלים 3 נקודות).
(4) מספר הנקודות הגבוה ביותר בעונה שעברה היה 18.

ננסה לעזור למשפחתו של ארז לגלות מהו מספר הנקודות שקלע:

א. סמנו: ב-x את מספר הסלים של 2 נקודות וב-y את מספר הסלים של 3 נקודות.
הביעו באמצעות x ו- y את הרמזים של ארז.

ב. שרטטו במערכת צירים בה  ו-  (מדוע?), את הישרים המתאימים לרמזים (2) ו-(3). סמנו את כל הנקודות ששיעוריהן מקיימים את הרמזים הללו.

ג. הוסיפו למערכת הצירים גם את הישר המתאים לרמז האחרון.
סמנו את כל הנקודות ששיעוריהן מקיימים את כל הרמזים של ארז.

ד. מהו המספר הגדול ביותר של הנקודות שיכול היה לקבל ארז?

 4. אימון כושר ושריפת קלוריות

באימון שחייה ניתן לשרוף 12 קלוריות בדקה ואילו ברכיבה על אופניים ניתן
לשרוף 8 קלוריות בדקה.
דנה החליטה לשלב באימון את שתי הפעילויות הספורטיביות.

א. סמנו את מספר דקות השחייה ב-x, ואת מספר דקות רכיבה באופניים ב-y.
    רשמו ביטוי למספר הקלוריות שנשרפות באימון המשלב שחייה ורכיבת אופניים.

ב. כמה קלוריות תשרוף דנה באימון של 30 דקות בשחייה בלבד ?
    ברכיבה באופניים בלבד? 
    אם תחלק את זמן האימון שווה בשווה בין שחייה ואופניים?

ג. דנה החליטה להתאמן לכל היותר 30 דקות כך שתשרוף לפחות 300 קלוריות.
   הציעו לדנה תוכנית אימונים מתאימה. 

ד. דנה חייבת לרכב על האופניים לפחות 10 דקות באימון ובשאר האימון לשחות. מהו המספר המרבי (מקסימלי) של קלוריות אותו תוכל לשרוף?

יישומים אינטראקטיביים לשרטוט גרף לאי שוויון לינארי:

פתרון אי שוויון או מערכת אי שוויונות לינארית - ישום בעזרת Geogebra.

פתרון מערכת אי שוויונות לינאריים באמצעות גרפים - יישום מבית 

פעילויות ומאמרים בנושא אי שוויונות לינאריים:

משוואות של אי-שוויונים ממעלה ראשונה במישור - מחר 98- התרת מערכות "או" ומערכות "וגם" של אי-שוויונים ממעלה ראשונה בשני משתנים, תוך התייחסות לצורת תחום הפתרון. זוהי הקדמה לחוברת "תכנון לינארי - מושגים, שיטות, יישומים - לימוד בשילוב מחשב.

לביצוע המטלות ניתן להעזר בכל תוכנת מחשב המאפשרת חקירת פונקציות ו/או במחשבון גרפי.

התרת אי-שוויון ומערכת אי-שוויונים ממעלה ראשונה- מחר 98-  דפי עבודה לתלמיד בנושא: הפונקציה הקווית,  המשלבים את המחשב בלימוד הנושא. דפים אלה הם חלק מחוברת הנקראת "שילוב המחשב בלימוד המתמטיקה - הפונקציה הקווית. הדפים בנויים בצורה של גילוי של תכונות הפונקציה, ע"י העלאת השערות ובדיקתן של דוגמאות רבות במחשב. בנוסף לכל דף עבודה לתלמיד, יש דף למורה המכיל המלצות למורה וכן הפניה לנספח.

תקציר| המלך מתיא חובב המתמטיקה| פתרונות|  الملك متيا مُحب للرياضيات

1. גינת השושנים 

בחצר המלך גינת ורדים נדירה ובה שבעה שיחי ורדים השתולים בשורה. המלך ביקש לגדר סביב כל שיח ורד במוטות עץ ייחודיים ויקרים, כמתואר באיור:

המלך אמר כי כרגע בגינה 7 שיחי ורדים, אך כבר בחודש הקרוב הוא יגדיל את הגן ל-25 שיחי ורדים, ובתכנון הסופי יהיו אף 100 שיחים!

א. כמה מוטות צריך בכדי לגדר 7 שיחי ורדים? 25 שיחים? 100 שיחים?
    הסבירו כיצד מצאתם?

ב. נפלה מחלוקת בין שלושת יועציו כמה מוטות עץ דרושים למשימה וכיצד לספור את מוטות העץ.

ראו כיצד היועץ תחכמוני ספר את המוטות: 

ראו כיצד היועץ חשבוני ספר את המוטות:

ראו כיצד היועץ אין-כמוני ספר את המוטות:

התאימו לכל יועץ את תרגיל החשבון  שלפיו ספר את מוטות העץ והסבירו במילים כיצד ספר.

1 +7.3                           4 +6.3                      7.2 + 8

מי מהיועצים צודק?

ג.  כיצד לדעתכם יספור כל יועץ מוטות עבור 25 שיחים?  100 שיחים? רשמו תרגילים מתאימים. 

ד. האם אתם ספרתם את מוטות העץ בדומה לאחד היועצים? הסבירו את שיטתכם.

ה. רועי טען שהוא ספר אחרת את מוטות הגדר של שבעת השיחים. הוא ספר כך: 7.4 - 6. הסבירו את שיטתו.

ו. כמה מוטות צריך בכדי לגדר מספר כלשהו של שיחי ורדים?  רשמו במילים ובתבנית אלגברית.

מקור: Nrich

2. שולחן הסעודה הגדולה

המלך מתיא אהב לארח לארוחות חגיגיות בחדר האוכל המלכותי. שם היו לו למכביר שולחנות ריבועיים לארבעה, והמון כסאות. כשערך סעודה גדולה בקש מיועציו המתמטיים לחבר את השולחנות זה לזה לשורה אחת ארוכה של שולחן ארוך.

נא ענו על השאלות הבאות:

א. כמה כיסאות ניתן לסדר סביב שולחן אחד? שני שולחנות מחוברים? שלושה שולחנות מחוברים?

ב. כמה כיסאות ניתן לסדר סביב 10 שולחנות? 20 שולחנות? כיצד מצאתם את מספר הכיסאות?

ג. כיצד תקבעו כמה כיסאות ניתן להושיב סביב מספר כלשהו (n) של שולחנות? הסבירו.

ד. כמה שולחנות יש להצמיד עבור 18 אנשים?

ה. האם ניתן להושיב בסידור שולחנות זה בדיוק 25 אנשים?

ו. כיצד תקבעו  כמה שולחנות יש להציב עבור מספר כלשהו של אנשים (p)?

להרחבה:

לקראת נשף פתיחת שנת הלימודים בממלכה, המלך מתיא מתכוון לערוך סעודה גדולה רבת משתתפים, ובקש שיארגנו לו לכבוד המאורע שולחן מלבני. (כמתואר באיור)

א. חקרו כמה כסאות ניתן לסדר סביב שולחן מלבני כזה?

ב. תכננו שולחן לארוחה בת 1000 מוזמנים.

מקור: illumination- Chairs Around The Table

3. שביל המלך

המלך בקש מיועציו לתכנן בגנו שביל ייחודי המרוצף מאבנים בצורת מצולעים משוכללים (משושה משוכלל, ריבוע, משולש שווה צלעות). אורך כל צלע של אבן מצולע משוכלל היא: 10 ס"מ. השביל יהיה מרוצף בסידור של תבניות החוזרות על עצמן.

יועצי המלך המתמטיים, זולו ומולו, הגישו למלך שתי תוכניות ריצוף.
השביל של זולו:

השביל של מולו:

ענו עבור כל אחד מהשבילים:

א. זהו את התבנית שחוזרת על עצמה וצבעו אותה.

ב. כמה אבנים מכל סוג צריך עבור תבנית אחת? מהו אורכה?

ג. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל משתי תבניות? שלש תבניות?

ד. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל מעשר תבניות? מה יהיה אורך השביל?

ה. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל באורך 50 מטר ?

ו. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל מ-n תבניות?

תכננו גם אתם עיצובים נוספים לשביל המלך וענו על השאלות א-ו.

תוכלו להיעזר בתכנון השביל בכלי האינטראקטיבי:  "שמיכת טלאים", ולהוסיף גם צורות אחרות.

מקור: Teacher to Teacher Press - The king's Pathway

למתעניינים, מקורות נוספים:

אוסף מאמרים מתורגמים- על ראשית האלגברה של המרכז היסודי. 

דפוסים גיאומטריים- התייחסות וניתוח פריאל, מרקוורט .