תקציר|אני דומה לעצמי?|أنا اشبه نفسي

הכירו את הפקרטל המפורסם, משולש סרפינסקי.

משולש סרפינסקי נוצר בסדרה אינסופית של משולשים

הדומים לעצמם בכל רמת פירוט שנסתכל בה.

לתכונה זו קוראים,  "דמיון עצמי" ,כלומר כל חלק של הפרקטל נראה כמו השלם, החלק של החלק נראה כמו החלק וכך הלאה....

1. עקבו אחר התפתחות הפרקטל של משולש סרפינסקי, ביישומון הפרקטל  או בתמונה למטה:

א. תארו כיצד בכל שלב תמונת המשולש משתנה. 

    מה משתנה במעבר משלב לשלב, ומה נשאר קבוע?

ב. מצאו חוקיות בסדרה ותארו אותה.

ג. התבוננו בשלב השני ומצאו זוגות של משולשים דומים (שאינם זהים)? מהו יחס הדמיון בכל זוג?

    אילו משולשים דומים ניתן למצוא בשלב השלישי? מהו יחס הדמיון בכל זוג?

    תארו את בניית משולש סרפינסקי בעזרת משולשים דומים.

ד. כמה משולשים ירוקים בשלב השלישי? כמה יהיו בשלב הרביעי? כמה יהיו בשלב ה- n?

ה. כמה משולשים לבנים בשלב השלישי? כמה יהיו בשלב הרביעי? כמה יהיו בשלב ה- n?

ו. נניח בשלב התחילי שטח המשולש הירוק הוא 1 יחידה רבועה.

   מהו שטח המשולשים הירוקים בשלב הראשון? השני? השלישי? 

   התוכלו להעריך את שטח המשולשים הירוקים בשלב ה-100? בשלב ה- n?

2. ניתן לעצב פרקטלים מרהיבים בצורות שונות שלהם תכונת הדמיון העצמי. 

האם תוכלו לבנות סדרה בחוקיות דומה בריבועים? נסו לציירה ולמצוא את יחס הדמיון בה.

אם תתבוננו מסביבכם תמצאו פרקטלים רבים בטבע:

עצים וענפים, הכרובית והברוקולי, פתית השלג, צדפים, הברקים וסופות הוריקן ועוד.

מנדלברוט (1924-2010), מתמטיקאי יהודי, היה  הוגה רעיון הפרקטלים. הראה, שתכונת הדמיון העצמי איננה גחמה מתמטית של גיאומטריה. היכולת להמשיך סדרות כאלו עד אין סוף התגלתה הודות ליכולתם של מחשבים מודרניים לבצע מיליארדי פעולות בשנייה, אבל היא קיימת בטבע, באוויר, בים וביבשה.

Where do we find fractals? - פוסטר מאת Fractal Foundation

3. לפניכם פרקטל ריבועי נוסף מתוך יישומון הפרקטל :

א. תארו כיצד בכל שלב תמונת הריבוע משתנה.

    מה משתנה במעבר משלב לשלב, ומה נשאר קבוע?

ב. מצאו חוקיות בסדרה ותארו אותה.

ג. התבוננו בשלב השני ומצאו זוגות של רבועים דומים (שאינם זהים)? מהו יחס הדמיון בכל זוג?

    אילו מרובעים דומים ניתן למצוא בשלב השלישי? מהו יחס הדמיון בכל זוג?

ד. כמה ריבועים מכל צבע בשלב השני? השלישי? כמה יהיו בשלב הרביעי? כמה יהיו בשלב ה- n?

ה. נניח בשלב התחילי (שלב אפס) הוא 1 יחידה רבועה.

    מהו שטח הריבוע הכתום בשלב הראשון? בשלב השני? השלישי? בשלב ה- n?

ו. נניח בשלב התחילי שטח הריבוע הכתום הוא 1 יחידה רבועה.

   מהו שטח הריבועים הכחולים בשלב הראשון? השני? השלישי? בשלב ה- n?

קראו עוד על פרקטלים:

לחיות עם אי הודאות - צבי ינאי, מדור מדע ב-YNET.

פרקטלים ומשולש סרפינסקי וחקר השברים (עמ' 4-6) - מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך היסודי

משחקים כסביבה להצגת מושגים ומשפטים מתמטיים ולפתרון בעיות, חלק ב' - נצה מובשוביץ הדר, על"ה 41.

תוכלו לקרוא על המימדים של פרקטל- מאמר מאת NRICH

Ron Eglash on African fractals | Video on TED.com - הרצאת וידאו (אנגלית עם תרגום לעברית) - מומלץ

תקציר|אני ואתה נשנה את העולם |פתרונות|أنا وأنت نغيّر العالم

זוכרים את הסרט "תעביר את זה הלאה" ("Pay It Forward")?  זוהי דרמה המבוססת על הספר המצליח של קתרין ריאן הייד. הסרט יצא בשנת 2000 וגרם לאנשים רבים שצפו בו לפעול ברוח הרעיון, לתרום לחברה ולהאמין כי "אני ואתה נשנה את העולם".

טרוור הוא ילד ממשפחה קשת יום שחי בלאס וגאס. כאשר הוא מגיע לכיתה ז' בבית הספר הוא מקבל מהמורה שלו משימה לימודית - לנסות ולמצוא דרך שתשנה את העולם.

צפו בסרט אחר הרעיון הקטן של טרוור שיכול לעשות שנוי גדול:

"אני אעשה משהו טוב עבור שלושה אנשים. וכשהם ישאלו כיצד הם יגמלו לי בעבור זה, אני אומר להם תעבירו את זה הלאה... כל אחד מכם יעביר לעוד שלושה אנשים. כך יוצא שתשעה אנשים נוספים יצטרכו לעשות מעשה טוב לעוד עשרים ושבעה! ואז תנסו לחשב... אתם רואים כמה גדול זה יוצא?"

נניח כי בכל יום "מעבירים את זה הלאה".

1. מה תוכלו לומר על הגידול של מספר האנשים שמעבירים את זה הלאה ככל שהימים חולפים?  
    התוכלו לנחש כמה אנשים יעבירו מעשה טוב ביום ה-6 ? 

    התוכלו לנחש באיזה יום יותר מ-1000 אנשים נוספים יעבירו מעשה טוב הלאה? 

    כעת נחשב "כמה גדול זה יוצא?" - השלימו את הטבלה את הדינאמית (אקסל), וסמנו נקודות מתאימות במערכת הצירים.

 הערה- תוכלו להיעזר במילוי הטבלה בגיליון האלקטרוני בנוסחה והעתקתה. (בכל שלב גדול מספר האנשים שקיבלו להעביר הלאה פי שלוש מהשלב הקודם) 

2. המבצע שיזם טרוור "להעביר את זה הלאה" עבד שישה ימים.

    כמה אנשים נוספים עשו מעשה טוב ביום השישי? 

    מה מספר המעשים הטובים שנעשו במבצע "העבירו הלאה" במהלך ששת הימים?

3. המבצע "להעביר את זה הלאה" עבד n ימים.

    כמה אנשים נוספים עשו מעשה טוב ביום ה-n?

    מה מספר המעשים הטובים שנעשו במבצע "העבירו הלאה" במהלך n הימים?

4. באיזה יום מתחילת המבצע כל תלמידי הכיתה שלכם "יעבירו את זה הלאה" לאחרים?

     כמה ימים דרושים כדי שכל תלמידי בית הספר שלכם "יעבירו את זה הלאה" לאחרים?

     האם ניתן להעריך זאת מתוך הנקודות שסימנתם במערכת הצירים?

5. התבוננו במערכת הצירים בגרף שיצרתם. האם כדאי לחבר את הנקודות שעל הגרף?

    האם תוכלו למצוא נקודה בה x=6.5 ? מה המשמעות של נקודה זו?

    כיצד לדעתכם נראה הגרף של מבצע "העבר את זה הלאה"?

6. חשבו כמה זמן ייקח עד ש-1000 אנשים בדיוק יעבירו הלאה מעשה טוב לאחרים.

7. כיום יש במדינת ישראל כ- 7,500,000‏‏‏ תושבים. 

    כמה ימים דרושים כדי שכל תושבי מדינת ישראל ייטלו חלק במבצע?

8. כיצד היה משתנה אופן גידול האנשים אם טרוור היה מציע "להעביר הלאה" בכל יום לאיש נוסף אחד בלבד? 

    כיצד הייתה משתנים הגרף והחוקיות?

9. כיצד תשתנה החוקיות אם מעבירים הלאה בכל יום לשני אנשים נוספים? 

    לשלושה, לארבעה אנשים נוספים?

    התאימו גרף לכל מקרה.

10. לקראת פורים, בית הספר "חופים", בו 1000 תלמידים, פתח במבצע של משלוחי מנות. 

        על כל תלמיד לשלוח לשלושה אנשים משלוח מנות. וכל אחד מהם עליו לשלוח משלוח מנות לשלושה אנשים נוספים.

        תוך כמה צעדים במבצע יקבלו יותר ממיליון אנשים משלוח מנות?

        כיצד תשתנה החוקיות? כיצד ישתנה הגרף?

פרוייקט "תעביר את זה הלאה" בשפת הסימנים

זהו פרוייקט חברתי-התנדבותי ליצירת מודעות, גישור ואיחוד בין הקהילה ה'שומעת' והקהילה ה'חירשת' בישראל. למד את שפת הסימנים והעבר את הידע שלך הלאה, כך נרחיב את קהילת דוברי שפת הסימנים.

"תעביר את זה הלאה" - פרוייקטים קהילתיים

המקום בו נפגשים אנשים טובים כדי לעשות מעשים טובים.

פינג-פונג מתמטי - על"ה 38, תשס"ז 2007, רון אהרוני, גילוי נוסחא לסכום של סדרה גיאומטרית.

תקציר|שעשועי משולשים |פתרונות|تسالي مثلثات|حلول

1. אתגר המשולשים 

באיור מתואר דגם של משולשים הבנויים מגפרורים.

כמה משולשים (מכל גודל) בסה"כ באיור?

התוכלו להוריד שני גפרורים מהמבנה המשולש הבא כדי שיהיו בו שני משולשים בלבד.

2. משולש המשולשים 

באיור מתואר דגם של משולש המשולשים הבנויים מגפרורים.

1) בניית משולש המשולשים הבנוי מגפרורים
     א. מכמה גפרורים בנוי הדגם?
     ב. הוסיפו לדגם שורה של משולשים, כמה גפרורים נוספו?
         כמה גפרורים יש בדגם כעת?
     ג. התוכלו למצוא את החוקיות למספר הגפרורים בדגם בו n שורות.

2) המשולשים הקטנים
     התבוננו במשולשים הקטנים במשולש המשולשים.
     א. כמה משולשים קטנים בדגם? 
     ב. איזה חלק מהווה כל משולש קטן מהמשולש הגדול?
     ג. הוסיפו לדגם שורה של משולשים, כמה משולשים קטנים נוספו?
        כמה משולשים קטנים יש בדגם כעת?
     ד. התוכלו למצוא את החוקיות למספר המשולשים הקטנים בדגם בו n שורות.

3) המשולשים כולם

     במשולש המשולשים ניתן למצוא משולשים שווי צלעות מגדלים שונים.

     א. כמה משולשים שווי צלעות (מכל גודל) בסה"כ באיור?

         תוכלו להיעזר בספירה בסרטון הקצר הבא.

      ב. הוסיפו לדגם שורה של משולשים, כמה משולשים שווי צלעות (מכל גודל) יש בדגם כעת?

      ג. התוכלו למצוא את החוקיות למספר המשולשים בדגם בו n שורות.

3. גזרו עוד ועוד משולשים 

באיור משולש שווה צלעות שניתן לגזור אותו לארבעה משולשים קטנים יותר.

א. הראו כיצד ניתן לגזור את המשולש ל- 9 משולשים

    שווי צלעות קטנים יותר. כיצד ניתן לחתוך ל- 16 משולשים?

    מהי מסקנתכם?

ב. כיצד ניתן לגזור את המשולש ל-6 משולשים שווי צלעות?

    רמז - המשולשים לא בהכרח באותו גודל.

ג. דנה גזרה את המשולש הגדול באופן המתואר באיור.

   כמה משולשים שווי צלעות נוצרו בחיתוך?

ד. התוכלו לגזור באופן דומה את המשולש ל- 8 משולשים?

   הראו כי ניתן לגזור את המשולש לכל מספר זוגי של משולשים.

ה. הציעו דרך לגזור את המשולש שווה הצלעות ל-7 משולשים שווי צלעות. ל-11 משולשים?

ו. אתגר- האם ניתן לחתוך משולשים שווי צלעות לכל מספר של משולשים?

מקורות נוספים:

כיצד מחלקים משולש? , פרופ' שמואל אביטל, גליונות לחשבון מס' 50 .

חפיפה בגן היתכן?, בעיית החודש 22, קשר ח"ם.

גיאומטריה של מגן דוד, בעיית החודש 5, קשר ח"ם.

קסמי משולשים - חידה מאלף אפס

תקציר|הרהורים על התחלקות |פתרונות|تفكير في القسمة |تفكير في القسمة _ حلول.

המשפט הקטן של פרמה לכל p  ראשוני  n^p)-n)  מתחלק ב- p.

פרמה (1665-1601) כהרגלו לא הציג את הוכחת המשפט.

אויילר אחריו הביא שתי הוכחות, אחת המבוססת על התכונות של מקדמי הבינום והשנייה על תכונות של שאריות. 

לפניכם הוכחה באינדוקציה, מתוך אלף אפס.

קראו גם על המשפט הגדול (האחרון) של פרמה.

א. הסבירו ע"פ האיור, או בדרך אחרת, מדוע עבור כל n טבעי n²)-n) מתחלק ב- 2.

ב. התבוננו בסרטון של בניית הקובייה. כמה חלקים מכל סוג בנויה הקובייה 3x3x3: 
 

הסבירו כיצד ניתן להסיק מבניית הקובייה כי 3-(3³) מתחלק ב- 3. 

האם הביטוי מתחלק גם ב-6?

דמיינו בניית קוביית nxnxn.  
תארו את חלקי הקובייה והסבירו מדוע  לכל  n טבעי,  n³)-n) מתחלק ב- 3.
הראו כי הביטוי מתחלק גם ב-6. 

ג. דן טען שהוא יוכיח את טענה זו בעזרת פירוק לגורמים.

 (n³)-n = n.( (n²) - 1) = n(n-1)(n+1)    

מה ניתן לומר על שלושת הגורמים של הביטוי? 

מה ניתן להסיק מהפירוק לגורמים?

ד. דנה המשיכה וטענה כי באופן דומה, בעזרת פירוק לגורמים, אפשר להוכיח טענות נוספות כגון:

         1). לכל n טבעי,  n⁵) - n) מתחלק ב- 6.

         2). לכל n טבעי,  n⁵) - n)  מתחלק ב- 5. 
                    רמז- בדקו את כל האפשרויות לספרה האחרונה של המספר n.

         3). לכל n טבעי,  n⁵) - n)  מתחלק ב- 30.

ה. דן ודנה בדקו מקרים שונים של המשפט הקטן של פרמה.

הם ביקשו להראות כי (11¹⁰) - 10 מתחלק ב- 11.

המורה הציעה להם להיעזר בנוסחאות הפירוק לפי הבינום של ניוטון (מצורפות מטה) .

הכיצד?

ו. "אם כך.." אמר דן ניתן להסיק כי: " 999,9999,999 מתחלק ב-11" בדקו.

דנה מיד הוסיפה: "אז גם  999,999 מתחלק ב-7 ". ". בדקו.

דן ודנה נסחו טענה חדשה יחד: 

לכל מספר ראשוני אפשר להתאים מספר שכולו תשיעיות המתחלק בראשוני זה. מה דעתכם?

דנה חשב כמעה והוסיף , "ראה המשפט אינו נכון כאשר n=2  ו- n=5". מדוע?

התוכלו לתקן את המשפט?

נוסחאות פירוק ע"פ נוסחת הבינום של ניוטון

 פירמידה שכזו 

שימו לב לעובדה המפתיעה בפירמידה שלפנינו:

בכל שורה מספר המתחלק ב-11.

11:11 =1

1001:11=91

100001:11=9091

10000001:11=909091

כלומר המספר 10 בחזקת n ועוד 1, כאשר n טבעי אי זוגי , מתחלק ב-11.

הוכיחו בעזרת אחד נוסחאות הפירוק שבטבלה מעלה.

אחד עשר מי יודע?

א. בחרו מספר בן ארבע ספרות, חברו לו את המספר בסדר ספרות הפוך.
האם קיבלתם מספר המתחלק ב- 11? הכיצד?

ב. בחרו מספר בעל מספר זוגי של ספרות, חברו לו את המספר בסדר ספרות הפוך.
האם גם הפעם קיבלתם מספר המתחלק ב- 11? הכיצד?

ג. בחרו מספר דו ספרתי והצמידו לו את המספר בסדר ספרות הפוך. 
קיבלתם מספר פלינדרום ארבע ספרתי (abba) האם גם הוא מתחלק ב- 11?

ד. האם כל מספר פלינדרום עם מספר זוגי של ספרות מתחלק ב-11?

     
 קראו עוד: מבחן החלוקה ב-11 - אורט בראודה             קראו עוד: יבין ניבי- על פלינדרומים ועל מספרים פלינדרומים,

                                                                                 ד"ר זיווה דויטש, עקיבא קדרי, אלף אפס

מקורות נוספים:

עזרי לימוד להמחשה של מקרה פרטי של המשפט הקטן של פרמה, דן בן שאול, על"ה 35

תגובה למאמר "הוכחה בדרך אחרת", מרק אפלבאום, על"ה 35

9, 99, 999 ומספרים פלינדרומים, יפים כץ, על"ה 34

הוכחה בדרך אחרת, פתחי סלאח, על"ה 31

מה מבינים תלמידנו במושג האינדוקציה, יונתן אחיטוב, על"ה  29

החשבון המודולארי בשירות האינדוקציה, עופר ליבה, על"ה 20

פלינדרום אצל אבן עזרא - קלרה זיסקין, על"ה 33            

הלוך ושוב, בעיית החודש 6, קשר ח"ם               

סימני התחלקות א, סימני התחלקות ב' , ד"ר מריטה ברבש, מכללת אחווה

בעיות נוספות בנושא:

הוכחת משפטי התחלקות (ללא אינדוקציה) - ליקטה, יצרה וערכה קלרה זיסקין.

בעיות יפות בהתחלקות - ליקטה, יצרה וערכה קלרה זיסקין.

תקציר|יום כדור הארץ|פתרונות|יום כדור הארץ בערבית|حلول

כמה עצים צריך לשתול בשנה בכדי לפצות על זיהום האוויר שיוצרת מכונית משפחתית אחת?

ראשית, שאלו את הוריכם על המכונית המשפחתית שלכם: 

א. כמה קילומטרים בשנה נוסעת המכונית? (למשל, 20,000 ק"מ).

ב. כמה ליטרים של דלק צורכת המכונית בממוצע לכל קילומטר? (למשל 12 ק"מ ליטר). 

כעת לחישובים:  

א. חשבו כמה ליטרים של דלק צורכת מכוניתכם בשנה?

ב. מכונית ממוצעת פולטת לכל ליטר של דלק כ-2.36 ק"ג פחמן דו חמצני (CO2 ).
    חשבו כמה פחמן פולטת מכוניתכם בשנה?

ג. ידוע כי 1000 עצים סופגים 20,000 ק"ג פחמן דו חמצני.
    כמה עצים יש לשתול בכדי שיפצו על פליטת הפחמן של מכוניתכם?

ד. בישראל כל שנה מיובאות כ- 150,000 מכוניות חדשות.
    כמה עצים יש לשתול בכדי למנוע את זהום האוויר שהן עלולות לגרום?

ולמעשים: 

הציעו דרכים כיצד ניתן להפחית את זיהום האוויר ממכוניות?

שמעתם על  "אפקט הפרפר"?

מדען בשם אדוארד לורנץ שחקר את תופעות מזג האוויר, הגה את רעיון אפקט הפרפר. טען שרפרוף כנפיים של פרפר במקום אחד בעולם יכול לגרום לסערה במקום אחר, מרוחק ממנו. כלומר, שינוי קטן באטמוספרה במקום אחד יכול לגרום לשרשרת

של שינויים שיתפתחו ויגדלו לסערה ענקית הרחק הרחק מהמקום שהשינוי החל בו.

הֱיו גם אתם פרפרים - עשו דבר קטן במקום שאתם גרים בו, ויחד עם עוד פרפרים כמותכם, 

ילדים ומבוגרים שהסביבה יקרה להם חוללו שינוי:  

מקור: סבבה, האתר לאיכות הסביבה