תקציר|פונקציות פה ושם ובכל מקום- חלק ד'|دوال هنا وهناك في كل مكان

האקר הרשע וחבורת הרשת (סייבר) מתחרים זה בזה להגיע לראשו של מגדל גבוה בכדי להציל את פסל "הצליל הטוב". האקר בוחר לטפס במדרגות הגדולות בכדי להשמיד את הפסל. חבורת הרשת נאלצים לטפס

במדרגות קטנות יותר. הם חוששים שלעולם לא ישיגו את האקר. 

צפו  בסרט המצויר, מה דעתכם האם חבורת הרשת תצליח במשימה?

מרוץ המדרגות חלק א'          
תרגום הסרטון                

האקר וחבורת הרשת החלו בטיפוס המאתגר. עד מהרה הם שמו לב, שהמדרגות הקטנות שלהם גדלות בקצב אחר מהמדרגות של האקר הרשע. 

צפו  בסרט המצויר, מה דעתכם האם חבורת הרשת תצליח במשימה?

מרוץ המדרגות חלק ב'          

תרגום הסרטון               

א. מלאו את הטבלה תוך כדי צפייה בסרט.

    המדרגות האדומות של האקר                                המדרגות הכחולות של חבורת הרשת
                        

ב.  סמנו על ציר ה-x את מספר הפעמים שהמדרגות גדלות (1-6).

     סמנו על ציר ה-y את מספר המדרגות.

     מתוך הטבלה שיצרתם, סמנו את הנקודות המתאימות את מספר הפעמים למספר המדרגות של האקר באדום. חברו נקודות אלו לגרף.

     מתוך הטבלה שערכתם, סמנו את הנקודות המתאימות את מספר הפעמים למספר המדרגות של חבורת הרשת בכחול. חברו נקודות אלו לגרף.

ג. 1) מה תוכלו ללמוד מהגרף על מרוץ המדרגות בין האקר לחבורת הרשת?

   2)  האם ניתן לראות בגרף שבתחילת המרוץ האקר השיג את חבורת הרשת?

   3) האם ניתן לראות בגרף מתי  חבורת הרשת השיגה את האקר?

   4) אם המדרגות של האקר וחבורת הרשת היו שוות בגודלן, מתי לדעתכם חבורת הרשת הייתה משיגה את האקר?

ד. ידוע כי גובה המדרגות של האקר היה 60 ס"מ ואילו גובה המדרגות של חבורת הרשת היה 15 ס"מ.

    בכדי למדוד מה היה הגובה שלהם מהקרקע נוסיף עמודה שלישית לכל טבלה. 

           המדרגות האדומות של האקר                           המדרגות הכחולות של חבורת הרשת
               

ה. העלו את ממצאכם על מערכת הצירים שלמטה וענו על השאלות הבאות:

   1). מה תוכלו ללמוד כעת מהגרף על מרוץ המדרגות בין האקר לחבורת הרשת?

   2).  האם ניתן לראות בגרף החדש מתי  חבורת הרשת השיגה את האקר?

   3).  מה מיוחד בנקודה בה שני הגרפים נפגשים?

   4).  מה היה גובהו של המגדל אשר בראשו היה פסל "הצליל הטוב" ?

   5). אם גובהו של המגדל היה 4 מטרים, מי היה משיג במרוץ?

ו. אם n  מייצג את מספר הפעמים שהמדרגות גדלו, מהו הביטוי המתאר את גובהן של המדרגות האדומות של האקר מעל הקרקע?  מהו הביטוי המתאר את גובהן של המדרגות הכחולות של חבורת הרשת מעל הקרקע?

מקור הסרטים והפעילות -

VITAL/Ready to Teach is a production of Thirteen/WNET. Major funding for this project was provided by the U.S. Department of Education.
© 2008 Thirteen/WNET

פיצוחים נוספים בנושא מבוא לפונקציות:

1. מכונות של פונקציה- תוך כדי משחק יכירו התלמידים את הפונקציה כמכונה ואף ירכיבו מספר פונקציות פשוטות.

2. בונים בקוביות - תוך כדי התנסות מוחשית בבנייה בקוביות התלמידים יבחנו תהליכי השתנות באמצעות בניית טבלה וגרף.

3. אגדה של פונקציה - התלמידים יכירו את האגדה המפורסמת "גרגר האורז" (אגדת השחמט) העוסקת בהפתעה של השתנות של גידול פי שניים. התלמידים יבחנו את קצב הגידול וישוו זאת לגידול לינארי ואחר.

תקציר|פונקציות פה ושם ובכל מקום- חלק ג' |פתרונות|دوال هنا وهناك وفي كل مكان

זהו סיפור עם מהודו הרחוקה על שליט עריץ ונערה חכמה שידעה קצת מסודות המתמטיקה.  

א. השלימו את הטבלה הדינאמית (גליון אקסל) וסמנו נקודות מתאימות במערכת הצירים באמצעות. 

ב. כמה גרגרי אורז יהיו לרני לאחר 5 ימים? כיצד ניתן לראות זאת בגרף? 

ג. כמה גרגרי אורז יהיו לרני לאחר שבוע? לאחר n ימים?

תקציר|פונקציות פה ושם ובכל מקום- חלק ב' |פתרונות|دوال هنا وهناك وفي كل مكان – الجزء الثاني

1. הפעם נשחק בקוביות ונבנה מבנים שונים של מדרגות. לפניכם "המדרגות התלויות":

א. השלימו את הטבלה הדינאמית (גליון אקסל) וסמנו נקודות מתאימות במערכת הצירים.

ב. האם תוכלו לדעת מתוך הגרף כמה קוביות נדרשות לבניית מדרגות בגובה 6?

ג. כמה קוביות לדעתכם צריך לבניית מדרגות בגובה 10? בגובה 100? בגובה n?

ד. מה אפשר לומר על השתנות מספר הקוביות עם עליית גובה המדרגות?

2. נבנה מדרגות בצורה שונה, "המדרגות הסימטריות".

א. השלימו את הטבלה הדינאמית (גליון אקסל) וסמנו נקודות מתאימות במערכת הצירים באמצעות.

ב. האם תוכלו לדעת מתוך הגרף כמה קוביות נדרשות לבניית מדרגות בגובה 6?

ג. מה אפשר לומר על השתנות מספר הקוביות עם עליית גובה המדרגות?

   במה שונה השתנות מספר הקוביות ב"מדרגות התלויות" מאשר ב"מדרגות הסימטריות" ? 

   כיצד ניתן לראות שוני זה בגרפים?    במה שונים ובמה דומים הגרפים?

ד. כמה קוביות לדעתכם צריך לבניית מדרגות בגובה 10? בגובה n ?

ה. הסבר נוסף לחוקיות הוא שניתן לבנות מהמדרגות מבנה ריבועי. הכיצד?  

    היעזרו באנימציה הבאה:

ו. עצבו בעצמכם מבנים נוספים של מדרגות ותארו את החוקיות, נסו להתאים לה גרף.

ז. אתגר-  במוזיאון הלאומי בוושינגטון מוצב פסל הפירמידה המרובעת של האמן היהודי אמריקאי סול לה-ויט.

 בנו גם אתם דגם של הפירמידה המרובעת. התוכלו לחשב כמה קוביות נדרשות לדגם?

  Sol LeWitt
Four-Sided Pyramid, 1999, first installation 1997
National Gallery of Art, Washington
לחצו על התמונה להגדלה

מעובד לפי מקור מתוך רשת המורים TES  -  Valley Maths 2004, D Cavill

פיצוחים נוספים בנושא מבוא לפונקציות:

1. מכונות של פונקציה- תוך כדי משחק יכירו התלמידים את הפונקציה כמכונה ואף ירכיבו מספר פונקציות פשוטות.

2. אגדה של פונקציה - התלמידים יכירו את האגדה המפורסמת "גרגר האורז" (אגדת השחמט) העוסקת בהפתעה של השתנות של גידול פי שניים. התלמידים יבחנו את קצב הגידול וישוו זאת לגידול לינארי ואחר.

3. הפונקציה בסרטים מצוירים- מרוץ המדרגות- התלמידים יעקבו אחר תהליך של השתנות בסיפור המוצג בסרט מצוייר, טבלה ובגרף.

תקציר|פונקציות פה ושם ובכל מקום- חלק א' | פתרונות|دوال هنا وهناك في كل مكان - الجزء الأول| حلول

א. בכוכב המתמטי מכונות משוכללות המייצרות מספרים סודיים. ניתן להכניס לתוכן מספרים ולקבל מספרים אחרים במקומם לפי חוקיות סודית. יצורי הכאוס פלשו לכוכב והחליטו לשבש את עבודת המכונות. 

הצילו את הכוכב! שחקו במשחק מכונת הפונקציות. עליכם לעצור את היצורים הנכנסים למכונה על ידי כך שתגלו את החוקיות של המכונה. התבוננו במספרים הנכנסים והיוצאים מהמכונה, הנרשמים בטבלה,  התוכלו למצוא את החוקיות?

התבוננו במכונה שבאיור:

1) מה יהיה פלט המכונה כאשר נכנס המספר 1?

2) מה יהיה פלט המכונה כאשר נכנס המספר 11?

3) איזה מספר נכנס למכונה אם יצא המספר 11?

4) כתבו ביטוי אלגברי המתאר מה יהיה פלט המכונה אם הקלט היה n.

היו זריזים, ומצאו את החוקיות של כל מכונה ועזרו להציל את הכוכב. (בחרו פעולה ולאחריה מספר)                                                                                                                                           

מקור המשחק - PBS                       

ב. בכוכב המתמטי יצאו בתוכנית הגנה והמציאו מכונות משוכללות אף יותר כך שבהן קשה יותר לגלות את החוקיות הסודית של המכונה. במכונות החדשות ניתןלהרכיב כמה רכיבים זה אחר זה. המכונה המורכבת עובדת כך שהמספר היוצא מהרכיב הראשון (הפלט מהשלב הראשון) עובר לרכיב הבא ונכנס אליו (הקלט של השלב הבא), וכך הלאה...

לפניך מכונה הבנויה משני רכיבים:

                                            
1) הכניסו למכונה את המספר 2 , איזה מספר לדעתכם תקבלו ביציאה? 

     חברו תרגיל חשבוני מתאים. 

2) הכניסו מספרים שונים למכונה ומלאו את הטבלה: 

3) התוכלו לדעת איזה מספר נכנס למכונה אם המספר הסודי שיצא ממנה הוא 100? 99?

4) יצורי הכאוס שיבשו את עבודת המכונה והפכו את סדר הרכיבים. 
    הכניסו כעת למכונה את המספר 2 , איזה מספר תקבלו ביציאה? חברו תרגיל חשבוני מתאים. 

בכוכב המתמטי החליטו להתחכם אף יותר ויצרו את מכונת "המספרים הסודית ביותר". 
המכונה החדשה מורכבת מחמשה רכיבים.

שחקו במכונה האינטראקטיבית ועקבו אחר פעולתה. 
בכל שלב בחרו מספרים בעזרת החיצים ופעולות מתוך ארבע פעולות החשבון.

השתמשו במכונה האינטראקטיבית כדי ליצור את המכונה המבצעת את התהליך הבא:

בחרו מספר (קלט)
      הכפילו אותו

      הוסיפו 2 לתשובה

      חלקו את התוצאה ב-2 

      חסרו ממה שקיבלתם 7 

      הכפילו את התוצאה ב-4

1) מהו המספר הסודי שתפלוט המכונה אם בחרתם כקלט את המספר 5? 
    חברו תרגיל חשבוני מתאים.

2) מהו המספר הסודי שתפלוט המכונה אם בחרתם כקלט את המספר 5- ? 
    חברו תרגיל חשבוני מתאים.

3) אם תבחרו כקלט את n מה יהיה הפלט ?

4) האם תוכלו להרכיב מכונת מספרים דומה אך פשוטה יותר? כלומר הרכיבו מכונה הפועלת לפי אותו תהליך המורכבת ממספר קטן יותר של רכיבים.

5) התוכלו לדעת איזה מספר נקלט במכונה אם המספר הסודי שנפלט ממנה הוא 120?
    ואם הוא 50?
    חברו תרגילים חשבוניים מתאימים המתארים כיצד מצאתם.

6) יצורי הכאוס הצליחו לפצח גם הפעם את הקוד הסודי... כיצד עשו זאת?
    אם ידוע כי המספר הסודי שנפלט מהמכונה הוא x, תנו ביטוי באמצעות x המתאר את הקלט.

אתגר לכיתה 

התוכלו להרכיב מכונה מחמישה רכיבים (עם ארבעת פעולות החשבון) שהקלטים שלה הם:

  2, -4, 0, 1, 5  כך שהמכונה תתן את הפלט הגדול ביותר?

בחרו אתם חמישה מספרים שונים ובנו מכונה אחרת בה הפלט יהיה המספר הגדול ביותר.

מקור הפעילות - Learning Math - פעילות מתוקשבת למורי חטיבת הביניים.

פיצוחים נוספים בנושא מבוא לפונקציה:

1. בונים בקוביות - תוך כדי התנסות מוחשית בבנייה בקוביות התלמידים יבחנו תהליכי השתנות באמצעות בניית טבלה וגרף.

2. אגדה של פונקציה - התלמידים יכירו את האגדה המפורסמת "גרגר האורז" (אגדת השחמט) העוסקת בהפתעה של השתנות של גידול פי שניים. התלמידים יבחנו את קצב הגידול וישוו זאת לגידול לינארי ואחר.

3. הפונקציה בסרטים מצוירים- מרוץ המדרגות- התלמידים יעקבו אחר תהליך של השתנות בסיפור המוצג בסרט מצוייר, טבלה ובגרף.

משחקים נוספים

מכונת פונקציות עם שלב אחד ועם שני שלבים.

משחקים מבית  Interactivate- Shodor

מכונה של פונקציות

מבחן הקו האנכי לפונקציה- האם אוסף הנקודות במערכת הצירים מתארת פונקציה?

חוק המלך- משחק ישן וחביב להורדה מבית מטח, עליכם לגלות את חוק המלך לעבור חדרים ולפתור חידות עד שתגיעו אל המלך.

Math Function Mania 2.6 - משחק להורדה, משחק להכרות עם פונקציות בו 20 רמות קושי. 
ניתן לשחק גם בזוגות.

צפו בסרט - Math Magic - קסם מתמטי- תן לי ואנחש את מספרך.

תקציר| זהו את הזהות הטריגונומטרית| פתרונות| ميّزوا المتطابقات المثلثية| حلول

1. זהויות טריגונומטריות לסכום זוויות

באיור הבא נתון DB=1.

א. איזה קטע באיור שווה ל- (sin(α+β ?   

    איזה קטע באיור שווה ל- (cos(α+β ? 

ב. שנו באיור הדינאמי את הזווית α באמצעות הקודקוד A,     

    כך שסכום הזוויות α+β  נשאר קבוע.   

    אילו גדלים משתנים באיור ואילו נשמרים? 

    האם מתקיים sin(α+β)=sinα+sinβ ?

    האם מתקיים cos(α+β)=cosα+cosβ ?

ג. שנו באיור הדינאמי את הזווית β באמצעות הקודקוד B,   

    כך שסכום הזוויות α+β למעשה משתנה.

    אילו גדלים משתנים באיור ואילו נשמרים? 

    האם מתקיים sin(α+β)=sinα+sinβ ?

    האם מתקיים cos(α+β)=cosα+cosβ ?

*  אילו זוויות α, β מקיימות sin(α+β)=sinα+sinβ ?

   ברצוננו להביע את (sin(α+β באמצעות sinα ו- sinβ בלבד. 

ד. הביעו את אורכי הקטעים:

GH, BF, HF, DG, DH, BH באמצעות β,α בלבד.      

ה. רשמו נוסחאות מתאימות:

_________________ = (sin(α+β

_________________ = (cos(α+β

ו. רשמו נוסחאות מתאימות לזווית כפולה:

_________________ = (sin(2α

_________________ = (cos(2β

מקור: הוכחות ויזואליות: השקפותיהם ואמונותיהם של התלמידים, רז הראל טומי דרייפוס, על"ה 41

2. זהויות טריגונומטריות לזווית כפולה

א. הסבירו מדוע זווית AOB> כפולה מזווית BAM>  

ב. עקבו באיור הדינאמי אחר השתנות הזוויות וערכי הסינוס שלהן. 

ג. הביעו את AM בשתי דרכים:

    1) בעזרת משולש ΔAOM  

    2) בעזרת משולש ΔABM 

    מה ניתן להסיק?  

ג. כיצד תוכיחו את הנוסחה כאשר הזווית AOB> קהה?

ד. הביעו את OM בשתי דרכים. מה תוכלו להסיק הפעם? 

מקור: NRICH

3. עוד זהויות טריגונומטריות לזווית כפולה 

באיור הבא נתון CB=2.

נסמן t=tanα.

הביעו את אורכי צלעות המשולשים באיור באמצעות t.

הוכיחו באמצעות האיור את הזהויות הטריגונומטריות הבאות לזווית כפולה:

4. זהויות טריגונומטריות מפתיעות 

ידועה הנוסחה: 

נסמן tanα=t. הוכיחו את הזהויות ושימו לב לתופעה המפתיעה:

מה נקבל אם נרשום ממול כל אחד מהזהויות את המקדמים של t מהמונה ומהמכנה בסדר עולה?

מהי הנוסחה ל- (tan(5α?  ל- (tan(nα?

זהויות טריגונומטריות בשילוב גישת "מה אם לא?" - גילה רון, אורית זסלבסקי, קשר חם.

משחקים ודפי עבודה לתרגול בטריגונומטריה - NCTM