- עמוד הבית
- פיצוחים
מעת לעת אנו שולחים פיצוח, פעילות מתמטית לכיתה, מכיתה ז' ועד יב.
כל הפיצוחים קשורים לתוכניות הלימודים בחט"ב ובחט"ע וניתן לשלבם במהלך ההוראה הן כחיזוק, העשרה והוראה בדרך אחרת.
אתם המורים והתלמידים, מוזמנים לשלוח פתרונות. ואת המיטב שבהם נדאג לפרסם.
ערכים ומתמטיקה
תקציר|
ערכים ומתמטיקה|פתרונות|تعاون ورياضيات|حلول - قيم ورياضيات
1. חברות ומתמטיקה
בעוד שבוע יערך בבית הספר מבחן מסכם במתמטיקה בכיתה ז'. רעות ועמית החליטו להתכונן יחד ולפתור 10 בעיות מתמטיות בכל יום.
אך לרוע המזל, עמית חלתה והחסירה שבועיים של לימודים. כשחזרה היא התקשתה להשתלב בשעורי המתמטיקה ולעמוד במשימה.
ביום הראשון היא הצליחה לפתור רק בעיה אחת ואילו רעות הצליחה לפתור 10 בעיות.
נותרו עוד 6 ימים בלבד למבחן. רעות התגייסה לעזרתה של עמית ועזרה לה בשעות אחה"צ להשלים את החומר.
בימים הבאים, רעות המשיכה ופתרה 10 בעיות ביום ועמית הצליחה לפתור בכל יום 2 בעיות יותר מאשר ביום שלפני.
א. האם לדעתכם תצליח עמית לעמוד במשימה ולאחר 6 ימים תפתור 10 בעיות?
ב. הכינו טבלאות ערכים עבור מספר השאלות במתמטיקה שפתרה עמית ופתרה רעות.
ג. שרטטו במערכת צירים אחת גרף מתאים לכל אחת מהם.
ד. מהו הייצוג האלגברי של הפונקציות המתארות את מספר השאלות במתמטיקה שפתרה כל אחת מהתלמידות כתלות במספר השיעורים?
ה. בדקו ביישום הדינאמי את השרטוט שלכם ואת משוואות הישרים.
תוכלו לשנות בסרגל את מספר הימים ולעקוב אחר התקדמותה של עמית לעומת רעות.
באיזה יום עמית תצליח לפתור יותר שאלות מרעות?
ו. האם יש יום שבו פתרו השתים אותו מספר שאלות במתמטיקה? חברו משוואה המתארת מצב זה ופתרו אותה. מה משמעות הפתרון שקבלתם? כיצד בא לידי ביטוי פתרון זה באופן גרפי?
ז. תארו מקרה שבו נעזרתם בחבר/ה לכיתה כדי להשלים חומר שהחסירו. האם קיבלתם גמול בעבור עזרתכם? אם כן, מהו?
ח. תארו מקרה שבו עזרת לחברה/ה בכיתה כדי להשלים חומר. האם הצלחת במשימה? מה היה הגמול לעזרה שנתת?
2. שיעורי עזר
רועי, עמית ונעם שלושה חברים טובים תלמידי כיתה ט, תכננו לצאת לטיול משותף בשביל ישראל.
הם תכננו לחסוך יחד ולממן בעצמם את עלות הטיול, שהיא 500 ₪, באמצעות שיעורים פרטיים במתמטיקה לתלמידי כיתות ז'.
הם החליטו שהתשלום עבור שיעורי העזר יכלול מחיר התחלתי חד פעמי עבור עזרה בהפסקות ומחיר קבוע לכל שיעור שיתקיים.
בכדי לעודד את הצלחת התלמידים והתמדתם הם חשבו לארגן טיול יומי עבורם בשביל ישראל בסביבת מגוריהם.
יחד הם החליטו על נוסח המודעה:
זוהר, זיו וקרן ,תלמידי כיתה ז', היו מעוניינים בעזרה במתמטיקה לאותו מספר שיעורים והתלבטו במי לבחור.
זוהר אמר שיבחר בנעם כי התשלום הראשון שלה הוא חינם.
זיו אמר שהוא יבחר בעמית, מפני שלה יש את הציון הגבוה ביותר במתמטיקה. לדבריו רועי לא הוגן בדרישותיו, כי למרות שהוא בעל הציון הנמוך ביותר, צריך לשלם לו את התשלום הראשון הגבוה ביותר.
קרן טענה שככל שמספר השיעורים גדל כך גם הכדאיות משתנה. קרן החליטה להיעזר ברועי, מכיוון שהיא מעוניינת במחיר הנמוך ביותר לשיעור.
מה דעתכם על טענותיהם של זוהר, עמית וקרן?
במי הייתם בוחרים וכיצד הייתם מנמקים את בחירתכם?
היעזרו ביישום הדינאמי הבא, בו מוצג גרף לכל הצעה.
- התאימו לכל הצעה את הגרף המתאים. בדקו האם צדקתם ע"י סימון התיבה.
- התאימו לכל ישר משוואה. בדקו האם צדקתם ע"י סימון התיבה.
- תוכלו לשנות את מספר השיעורים (בסרגל הגרירה) ולבדוק את התשלום לכל הצעה.
- שימו לב לטבלה הדינאמית משמאל.
א. אם זוהר זיו וקרן מתכננים ללמוד רק שלושה שיעורים פרטיים. מי מהם ישלם הכי מעט? הכי הרבה?
כיצד ניתן לראות זאת בגרף ?
ב. אם היו מתכננים ללמוד שישה שיעורים, מה היתה הבחירה היקרה ביותר ? היקרה יותר ?
ולאחר עשרה שיעורים?
הסבירו כיצד מצאתם.
ג. לאחר כמה שיעורים שילמו קרן וזיו אותו מחיר?
חברו משוואה המתארת מצב זה ופתרו אותה. כיצד בא לידי ביטוי פתרון זה בגרף?
ד. לאחר כמה שיעורים שילמו זוהר וזיו אותו מחיר?
חברו משוואה המתארת מצב זה ופתרו אותה. כיצד בא לידי ביטוי פתרון זה בגרף ?
ה. לאחר כמה שיעורים שילמו זוהר וקרן אותו מחיר?
חברו משוואה המתארת מצב זה ופתרו אותה. כיצד תוכלו להסביר פתרון זה בגרף ?
ו. לאחר כמה שיעורים יהיה לרועי, נעם ועמית מספיק כסף לצאת לטיול בשביל ישראל ?
חברו משוואה המתארת מצב זה ופתרו אותה. כיצד בא לידי ביטוי פתרון זה בגרף ?
האם שלושת החברים תרמו במידה שווה לקופת הטיולים המשותפת? האם הסדור ביניהם נראה לך הוגן?
הפעילויות עובדו על פי - שילוב החינוך לערכים בהוראת המתמטיקה, ד"ר יעל אדרי ("שער-חם", 2008)
מקורות נוספים:
על מתמטיקה וערכים:
האם יש סתירה בין חינוך לערכים לבין חינוך לחשיבה מתמטית? - מצגת מכנס למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי, 2008. (לתקציר)
פעילויות נוספות על חיתוך ישרים:
חיבור לאינטרנט - לראות מתמטיקה- פונקציות.
גניבת מכוניות - לראות מתמטיקה- פונקציות.
במבט אחר לזכרו של מרטין גרדנר
תקציר|
במבט אחר- לזכרו של מרטין גרדנר|פתרונות|بنظرة أخرى لذكرى مارتن جاردنر|حلول
מרטין גרדנר (1914-2010), גדול המשתעשעים במתמטיקה.
כתב ספרים רבים ומדור פופולארי בעיתון סיינטיפיק אמריקן, על קסמים, חידות ומשחקים מתמטיים.
אמרו עליו שהוא גרם לאלפי ילדים להיות מתמטיקאים ולאלפי מתמטיקאים להיות ילדים.."ראו דף מחווה לזכרו באתר סיינטיפיק אמריקן, ודף מחווה נוסף לזכרו באתר Wolfram.
1. זריזות מחשבה
מלבן חסום ברבע מעגל כמתואר באיור.
האם תוכלו לקבוע בזריזות מהו אורכו של האלכסון AC ?
שאלה ברוח דומה- בעיית השער הקטון בפיצוח "המחנה הכי הכי".
2. זה בתוך זה
אורך צלע הריבוע החיצוני 2.
מהו שטחו של הריבוע הפנימי?
פי כמה גדול שטח הריבוע הגדול משטח הריבוע הקטן?
3. תריסר גפרורים
אילו שטחים שלמים ניתן ליצור מתריסר גפרורים?
לדוגמה, ריבוע בעל שטח של 9 יחידות רבועות, או צלב בעל שטח של 5 יחידות רבועות.
התוכלו לבנות מכל שנים עשר הגפרורים צורה בעל שטח של 8 יחידות רבועות? 6 ? 4?
4. גמישושה - פלקסגון
בספרו הראשון בשנת 1956, פרסם מרטין גרדנר את הפלקסגון (Flexagon), ומאז הפך משחק זה לשגעון בקרב חובבי שעשועי המתמטיקה. הפלקסגון, בתרגום חופשי מצולע גמיש, הוא מצולע המקופל מרצועת נייר ולו תכונה מדהימה שניתן לשנות את מספר הפנים שלו ואת צורתם כאשר מגמישים אותו. למשל, לגמישושה שנבנה יש שלושה צדדים... הכירו את הפלקסגון:
הוראות הכנה:
1. הדפיסו על נייר בריסטול את התבנית לגמישושה, וגזרו את הרצועה.
2. חזקו את הקווים בעזרת עט וסרגל, כדי להקל על הקיפול בהמשך.
3. סמנו את צלעות המשולשים גם בצד השני של הרצועה.
4. צבעו בשלושה צבעים או מספרו את המשולשים באופן הבא:
5. הפכו את הרצועה צבעו בשלושה צבעים או מספרו את המשולשים באופן הבא:
6. קפלו לפי האיור, משמאל הרצועה כלפי מעלה, ומימין לרצועה כלפי מטה.
7. כעת הפכו וקפלו לאורך הקו המסומן, כך שתקבלו משושה.
8. הכניסו את המשולש האחרון והדביקו אותו בזהירות.
9. אם קיפלתם נכון, תקבלו משושה עם שני צדדים בצבעים שונים (או ממוספרים 1 ו- 2).
10. קפלו וכופפו לאורך הקווים וגלו כיצד ניתן לגלות את המשושה בצבע השלישי (ממוספר 3). רמז- התבוננו באיור:
בואו נכין גמישושה מעוצב צבעו כל חלק באיור מטה באופן אחר.
כמה צדדים יהיו הפעם לגמישושה המעוצב?
ועוד. לכבוד מרטין גרדנר, סרטון להכנת פלקסגון בעל שישה צדדים שונים!
אם נדבקתם בשגעון הפלקסגון , תוכלו ללמוד עוד בפורטל הפלקסגון.
עוד חידות ומשחקים של מרטין גרדנר:
ט"ו בשלט- אלף אפס- משחק אינטראקטיבי על פי מרטין גרדנר
קח אחד וקבל 21 - אלף אפס - חידה.
מזיזים את הזוזים, ד"ר זיווה דויטש, פרופ' בנימין וייס, פרופ' מיכה א. פרלס - מאמר המתאר משחק Bulgarian Solitaire מאת מרטין גרדנר.
אתגרים- מגזין חידות- שלש חידות מאת מרטין גרדנר, מתוך ספרו AHA.
אוסף חידות של מרטין גרדנר באתר PUZZLES.COM
Hexaflexagons, Probability Paradoxes, and the Tower of Hanoi- קישור לספרו הראשון של מרטין גרדנר של משחקים וחידות מתמטיות.
לכבוד יום ההולדת 90 למרטין גרדנר, על"ה 34, פרופ' נצה מובשוביץ הדר. במאמר מתואר פועלו ודוגמה לקסם מתמטי הנקרא "תעלול הפסנתר".
ציור באדום, כחול וצהוב
תקציר|ציור באדום כחול וצהוב |פתרונות|رسم بالأحمر بالأزرق و بالأصفر |حلول
מונדריאן (1872-1944), צייר הולנדי, חלוץ הסגנון האבסטרקטי.
מונדריאן העריך מאד את יופייה של המתמטיקה ובמיוחד של הגיאומטריה ובטא זאת בציוריו. הוא שאף להגיע לפשטות, איזון והרמוניה באמצעות ציור של רשתות של קווים מקבילים ואנכיים,
שימוש בצבעי היסוד ושמירה על יחסים מתמטיים. האיזון מושג על ידי ניגודים ומובע באמצעות הקו הישר והזווית הישרה. בשנים 1921-1943 צייר סדרה של ציורים
הנקראת: קומפוזיציה בצהוב, כחול ואדום.
היו גם אתם מונדריאן ליום אחד...
1. קחו דף ושרטטו ישרים בצבע שחור באופן הבא:
שרטטו ישר AB המאונך ל AC:
שרטטו ישר FE המאונך ל- AC:
שרטטו ישר GH המאונך ל- AB:
א. מה תוכלו לומר על הישרים FE ו-AB? הוכיחו.
ב. מה תוכלו לומר על הישרים FE ו-GH? הוכיחו.
ג. מה תוכלו לומר על המרובע EKGA? הוכיחו.
ד. נתון ABCD מלבן. מה תוכלו לומר על המרובע DFKH? הוכיחו.
ה. ידוע כי FD=DH. מה תוכלו לומר על המרובע DFKH? הוכיחו.
השלימו את היצירה- הוסיפו ישרים נוספים מאונכים ומקבילים לישרים הקיימים וצבעו באדום, כחול וצהוב את חלק מהמלבנים. השאירו חלק מהמלבנים צבועים בלבן.
תוכלו להתנסות ביצירות נוספות במשחק האינטרקטיבי.
2. אילתורים
א. שרטטו מלבן שמידותיו הן: 6x7 סמ"ר.
מהו שטחו? שרטטו את הישר EF כך ש:
ושרטטו את הישר GH כך ש:
ב. צבעו את המרובעים הכחול והאדום, חשבו את מידת האורך והרוחב שלהם.
ג. ידוע שהמרובע הצהוב הוא מלבן ששטחו 1 סמ"ר.
חשבו מהו היחס בין השטחים הצבעוניים לשטח הלבן.
האם לדעתכם יחס זה מוסיף לאיזון וההרמוניה של הציור?
3. מונדריאן בתנועה
באמצעות הציור הדינאמי של מונדריאן בתנועה תוכלו ליצור יצירות דומות לזו של מונדריאן.
הזיזו את הישר המאונך GH (ע"י הזזת הנקודה G), כך ש- AG= 3 .
התבוננו בציור החדש, האם אהבתם אותו? האם לדעתכם הוא מאוזן והרמוני?
א. חשבו את מידות המלבנים הצבועים בציורכם החדש.
ב. חשבו את היחס בין השטחים הצבעוניים לשטח הלבן.
ג. שנו שוב את הציור באמצעות היישום מונדריאן בתנועה, הפעם כרצונכם.
האם תוכלו למצוא ציור בו שטח המלבנים הצבעוניים שווה לשטח המלבנים הלבנים?
ד. בערוב ימיו, האמין מונדריאן שככל שהשטח הלבן גדול יותר הציור יותר מאוזן ומשרה שלווה.
ציירו ציור כזה באמצעות היישום מונדריאן בתנועה וחשבו את היחס בין השטחים
הצבעוניים לשטח הלבן.
לדוגמה, שנו את הציור כך שאחת מצלעות המלבן האדום והמלבן הכחול תהיינה 1 ס"מ.
4. הפסים השחורים בציור
מונדריאן נתן גם חשיבות לפסים השחורים בציוריו, המקיפים ותוחמים את המלבנים השונים.
חשבו בכל אחד מהציורים שלכם את ההיקף של שני המרובעים הכחול והאדום.
בדקו בציור הדינאמי, האם תקבלו תוצאה דומה עם שינוי מימדי המלבנים? הסבירו את התוצאה.
התוכלו להסביר תופעה זו גם באופן אלגברי?
מקורות נוספים:
The (Mathematical) Problem of Mondrian’s Paintings
מהו ערך המערך?
תקציר| מה ערך המערך? | המערך למורה| גרסה להדפסה
האם קרה לכם, שאחרי שפתרתם בעיה או חידה והתבוננתם בה שוב, גיליתם עוד ועוד דרכים לפתור אותה, חלקן פשוטות בהרבה מזו הראשונה?
הפעילות שלפניכם, מתחילה כחידה שניתן לפתור בדרכים מגוונות. מגוון הפתרונות והשאלות שבהמשך מאפשרים להתבונן על פעולות מתמטיות מוכרות באור חדש.
הפעילות פשוטה אך היא עוסקת באחד מהרעיונות המרכזיים של המתמטיקה.
1. גלו את המספר שבמשבצת הריקה
לפניכם מערך משבצות צבעוני:
2. האם יש רמזים עודפים?
א. הניחו שלכל המשבצות הצבועות באותו מילוי יש אותו ערך. האם תוכלו לגלות את המספר החסר מבלי להשתמש בכל המספרים הרשומים בשולי המערך?
ב. נסו לגלות את המספר החסר בכמה שיותר דרכים.
ג. אם כן – נסו להשאיר מספר מינימלי של מספרים שמאפשר לגלות את המספר החסר.
3. בדרך שלהם
אור אמרה: אני ראיתי שסכום המספרים בשתי השורות התחתונות הוא 22 והבנתי שסכום המספרים בעמודה הימנית הוא 11. למה אור מתכוונת, לדעתכם?
נועם אמר: אני הסתכלתי בשתי השורות האמצעיות והגעתי למסקנה שהערך של משבצת כחולה גדול ב- 3 מהערך של משבצת צהובה. אחר כך הסתכלתי בשתי העמודות הימניות והגעתי למסקנה שסכום המספרים בעמודה הימנית הוא 11. מה לדעתכם היו השיקולים של נועם?
אלון אמר: הדרך שלי דומה לשל נועם אבל אני קראתי לאדום A לכחול K ולצהוב Y. מהעמודות השמאליות למדתי ש- A=Y+1 . בשורה השנייה יש רק משבצות אדומות וצהובות ולכן יכולתי לכתוב 3Y+Y+1=5, וככה הגעתי לערכים של כל הצבעים.
המשיכו את הדרך של אלון.
עינת אמרה: אני בכלל לא התייחסתי למילוי והגעתי לאותה תשובה. מה יכולה להיות הדרך של עינת?
4. האם הרמזים מספיקים?
א. לפניכם חידת מספרים חדשה.
ב. הפעם הרמזים מאפשרים למצוא רק חלק מהמספרים החסרים.
ג. אם ניתן למצוא את הערך של שורה או עמודה – מצאו בדרכים שונות.
ד. אם לדעתכם לא ניתן למצוא את ערכה של שורה או של עמודה – הסבירו מדוע לא ניתן לעשות זאת.
5. הפינה לשיפוטיכםהמחיר של 3 כרטיסי נוער ו- 2 כרטיסי מבוגר להופעה בפארק הוא 120 ₪.
המחיר של 6 כרטיסי נוער ו- 5 כרטיסי מבוגר לאותה הופעה הוא 270 ₪.
זוג הורים רוצה להגיע להופעה עם שני ילדיהם. כמה ישלמו?
ב. לכל אחת מן המשוואות הבאות קבעו את מספר הפתרונות.
7. שומרי משקל
א. פתרו ללא מחשבון את מערכת המשוואות
ב. נסו לחבר עוד מערכות משוואות ידידותיות עם חזות מפלצתית
הגמד שרצה להיות ענק
הגמד שרצה להיות ענק
תקציר|כיד הדמיון|פתרונות|الخيال الواسع|حلول
שירה: אריק איינשטיין
מילים: נירה צפריר
גמד אחד רצה להיות ענק-נק-נק-נק
לכן התחיל במרץ רב לזלול הכל
אכל המון עוגות עם קרם
שתה קצפת עם קפה
ולהפסקה קלה שתה מרק...
הגמד שלנו רצה להיות ענק, נכנס אל תוך הבית אכל ואכל... וראה זה פלא הוא גדל וגדל ועימו גם גדל הבית.
צפו בהנפשה אשר ביישום הדינאמי.
תוכלו לקבוע פי כמה יגדלו/יקטנו הגמד והבית ע"י הזזה של סרגל הגרירה.
לפניכם שלש תמונות של בית הגמד שהוגדל להיות בית הענק:
א. האם בית הגמד דומה לבית הענק לאחר כל הגדלה?
ב. האם כל צורה בבית הגמד (המבנה הירוק, הדלת החומה, הגג האדום) נשמרה עם ההגדלה?
ג. פי כמה הוגדל בית הגמד?
ד. האם כל קטע בציור בית הגמד השתנתה באותו יחס? אם כן, מהו בכל אחת מההגדלות?
ה. בית הגמד בנוי ממספר צורות גיאומטריות. מהן?
ו. התבוננו בכל אחת מהתמונות:
האם המלבן של הדלת החומה בבית הגמד דומה למלבן הדלת בבית הענק?
כיצד השתנה היקף המלבן עם ההגדלה? הסבירו.
כיצד השתנה שטח המלבן עם ההגדלה? הסבירו.
ז. התבוננו בכל אחת מהתמונות:
האם המשולש של הגג האדום בבית הגמד דומה למשולש הגג בבית הענק?
כיצד השתנה היקף המשולש עם ההגדלה? הסבירו.
כיצד השתנה שטח המשולש עם ההגדלה? הסבירו.
ח. הגמד הגדיל את ביתו פי 2, אך החליט לשנות את הצלעות של הגג האדום בבית הענקים כך שהשוקיים של משולש הגג החדש יהיו באותו גודל של בסיס המשולש. (ראו ציור) האם עדיין המבנה, הגג והדלת יהיו דומים זה לזה?
ט. הגמד שלנו רוצה להיות ענק בגובה של 12 יחידות. פי כמה יש להגדיל את הציור כולו?
י. הגמד שלנו שואף להיות בבית ענקים שהיקף המבנה הירוק שלו 54 יחידות. פי כמה יש להגדיל את הציור כולו?
יא. הגמד שלנו חולם להיות בבית ענקים ששטחו של המבנה הירוק 225 יחידות רבועות. פי כמה יש להגדיל את הציור?
המלצה:
-
חקירה אינטראקטיבית של מלבנים דומים, יחס הצלעות,ההיקפים, השטחים . מאת NCTM.
חקירה אינטראקטיבית של תיבות דומות, יחס המקצועות, שטחי פנים, הנפחים . מאת NCTM.
