תקציר| פתרונות|

חידה 1

נדמיין  לעצמינו שאנו מקיפים את כדור- הארץ, בסרט, לאורך קו המשווה (כמו חגורה סביב כדה"א). נוסיף לסרט זה מטר אחד, כך ייווצר רווח בין הסרט לבין קו המשווה. 
א. האם ברווח זה יכול לעבור חתול (בעמידה זקופה או בזחילה)? 
הסבירו את טענתכם.
ב. על קו המשווה מוצבת אנטנה בגובה 7 מטרים, כמה מטרים יש להוסיף לסרט בכדי שהאנטנה תהיה מתחתיו?

---

חידה 2

נדמיין  לעצמינו ספורטאי המקיף  את כדור- הארץ, לאורך קו המשווה.
האם נכון להגיד שראשו עובר מרחק גדול יותר מרגליו? אם כן, אז בכמה?
מה יקרה אם הספורטאי "יקיף"  לאורך קו המשווה של .... כדור טניס?

 

תקציר|קיפולי נייר גיאומטריים |פתרונות|طي الورق هندسيًا | حلول

 

1. שטח משולש ועוד תכונות

1) גזרו לכם משולש וקפלו גובה h ופיתחו בחזרה את הקפל.

 

 

 

 

2) קפלו את הקודקוד של המשולש אל הצלע שממול.
    צבעו את קו הקיפול באדום.
    מה תוכלו לומר על קו הקיפול שקיבלתם?      
    מהו המרובע שקיבלתם?

 

 

3) קפלו גבהים למרובע לאורך קווי הקיפול כמתואר בתרשים. 
    צבעו את בסיס המשולש בכחול.

 

 

התבוננו במרובע שקיבלתם, ממנו נוכל ללמוד על תכונות חשובות של המשולש.

א. מה תוכלו לומר על סכום שלושת הזוויות המסומנות? 
    איזו מסקנה ניתן להסיק לגבי זוויות המשולש?

 

ב. איזה מרובע קיבלתם לאחר הקיפול? 
    מהן מידותיו?  
    מה תוכלו לומר על שטחו של המרובע ושטחו של המשולש?

 

ג. מה תוכלו לומר על אורך קו הקיפול m ביחס לאורך בסיס המשולש? הסבירו.נסחו מסקנותיכם במילים ובאופן מתמטי.

 

 

 

---

2. שטח טרפז

1) גזרו לכם טרפז מנייר וצבעו את שני בסיסיו בצבעים שונים.

2) קפלו גובה h כלשהו בטרפז ופיתחו בחזרה את הקפל.

 

 

 

3) קפלו את הבסיס הקטן של הטרפז על הבסיס הגדול. 
    מהו קו הקיפול שקיבלתם?

 

 

 

 

4) התבוננו בשני המשולשים שנוצרו לאחר הקיפול. 
    מה תוכלו לומר על שני המשולשים הללו?

 

 

5) קפלו לאורך קווי הקיפול כמתואר בתרשים. התבוננו במרובע שקיבלתם.   

    א. איזה מרובע קיבלתם? נמקו.

    ב. מה תוכלו להסיק לגבי אורך קטע האמצעים? (הביעו באמצעות בסיסי הטרפז a,b וגובהו h)

    ג. מהו שטחו של המרובע? (הביעו באמצעות בסיסי הטרפז a,b וגובהו h) 

        מה היחס בין שטחו של המרובע המקופל לשטח הטרפז הנתון? הסבירו! 

 

מקור: הפעילות מבוססת על עבודתה של יפית אביטל.

---

3. שטח מקבילית

1) גזרו לכם טרפז ישר זווית מנייר. 

    (לשם הנוחות הקפידו ש DG יהיה גדול מEC , מצורף דגם)

 

2) קפלו כך שקודקוד A יתלכד עם קודקוד B. 

    מה תוכלו לומר על הקטע FG ?

 

3) קפלו לאורך הגובה h בטרפז לפי האיור וסמנו את הנקודה C' המתלכדת עם C.

 

 

 

 

 

4) קפלו באלכסון לפי הקו 'BC.

 

 

 

 

 

 

5) פתחו את כל הקיפולים, והתבוננו בנייר המקופל:

    א. אילו מצולעים תוכלו לזהות ? 

    ב. מה תוכלו לומר על שני המשולשים המסומנים?

 

 

 

 

6) קפלו לאורך הקו h, איזה מרובע קיבלתם? מה תוכלו לומר על שטחו?

    קפלו לאורך הקו k, איזה מרובע קיבלתם? מה תוכלו לומר על שטחו?

    מה ניתן להסיק מהשוואת שטחי המרובעים הללו?

 

מקור: Mathematics through Paper Folding by ALTON T. OLSON

---

4. משולש מצרי

במצרים העתיקה ידעו ליצור משולש ישר זווית בעל צלעות 3:4:5 באמצעים פשוטים: 

במשטח ריבועי הם מתחו חבלים מכל קודקוד של הריבוע אל אמצע שתי הצלעות שממול.

כך נוצר כוכב מתומן ובו כלוא משולש מצרי, משולש ישר שווית 3:4:5.

 

 

בואו ניצור משולש מצרי- קחו נייר ריבועי וסמנו את נקודות האמצע של כל צלע ע"י חצייתם.

קפלו מנקודת האמצע אל הקודקודים שממול.

א.  מצאו משולשים מצריים (ישרי זווית 3:4:5) בנייר המקופל.

ב.  הראו כי הזווית המשולש AFB הוא משולש מצרי.

    תוכלו להיעזר באיור הבא כהוכחה ללא מילים. נמקו!

 

ג. האם מצאתם משולשים מצריים נוספים? מכמה סוגים?

ד. כמה משולשים מצריים ישנם בסה"כ בקיפול הנייר של הכוכב המתומן?

 

מקור: http://www.cut-the-knot.org/

---

 

תקציר|משלוש (בעיות) יוצא אחד|من ثلاث (مسائل) ينتج واحدة |

 

1. טקס לחיצות ידיים

א. שבעה מתמטיקאים נפגשו במסיבה. ובטקס מסורתי לחצו זה לזה ידיים. הראשון לחץ ידיים עם כל השאר. השני לחץ ידיים לכל השאר, פרט לראשון איתו כבר לחץ.

    השלישי לחץ ידיים לכל השאר פרט לראשון ולשני. וכך הלאה. כמה לחיצות ידיים היו בסה"כ?

ב. שבוע לאחר מכן נפגשו שמונה מתמטיקאים במסיבה. כמה לחיצות ידיים היו אז? ואם היו מגיעים למסיבה תשעה?

ג. שגיא ניסה לחשב כמה לחיצות ידיים תהיינה אם יהיו 20 מתמטיקאים במסיבה. 
   הוא טען שכל אחד מהם לוחץ ידיים 19 פעמים, לכן יהיו לחיצות ידיים בסה"כ.
   הילה לא הסכימה עמו. היא חישבה כך: .  
   הסבירו כיצד לדעתכם כל אחד מהם ספר? מי לדעתכם צודק?

ד. יום אחד, 161 מתמטיקאים נפגשו במסיבה. כמה לחיצות ידיים היו בסה"כ בטקס לחיצות הידיים.
    התוכלו לתאר דרך קצרה לחישוב?

ה. האם יתכנו 4851 לחיצות ידיים בטקס? כמה מתמטיקאים נפגשו אז?
    האם יתכנו 6214? 3655? 7626? 8656?

   

 

 

מקור: Nrich,Handshakes

---

2. השושן המסתורי 

התבוננו באנימציה כיצד בנוי פרח השושן המסתורי Mystic Rose :

תקציר|בארץ יצורי הפרא המתמטיים |פתרונות|في بلاد الكائنات العجيبة الرياضية | حلول

 

בארץ יצורי הפרא המתמטיים חיים יחדיו שני סוגי יצורים  . 
אך כאשר שניהם פוגשים זה את זה הם בולעים זה את זה, לכן כשהם ביחד הם נקראים "זוג האפס".

היצורים הללו מתאספים יחד כדי להציג מספרים שלמים.

---

1. הנה שלושה מפגשים המייצגים את אותו מספר:

 

 

 

 

ציירו יצורים נוספים המייצגים את אותו מספר:

 

 

---

2. ושוב שלושה מפגשים המייצגים את אותו מספר. מהו?

 

 

 

 

ציירו יצורים נוספים המייצגים את אותו מספר.

 

 

---

3. איזה מפגש מייצג מספר גדול יותר?

 

 

---

4. יצורי הפרא המתמטיים יודעים גם להציג תרגילי חשבון, לדוגמה תרגיל חיבור:

 צפו בסרטון "חיבור בארץ יצורי הפרא המתמטיים" 

 

 

 

 

 

השלימו:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

תוכלו לשחק ולפתור בעיות במשחק האינטראקטיבי של חיבור יצורי הפרא. (נדרש תוסף ג'אווה בדפדפן שאינו כרום)

---

5. יצורי הפרא המתמטיים יודעים גם להציג תרגילי  חיסור :

צפו בסרטון "חיסור בארץ יצורי הפרא המתמטיים".

 

 

 

 

 

 

 

 

השלימו:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

6.  אך מה יעשו היצורים בתרגילי חיסור, כאשר לא ניתן "לקחת" מתוכם?  

     איך ניתן לקחת  ( -2) מתוך 5 ?

יצורי הפרא הנבונים הציעו להוסיף שני "זוגות האפס" כדי שאפשר יהיה לבצע את החיסור. 

 

 

 

השלימו:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

קצת היסטוריה

הסינים היו הראשונים שהתייחסו למספרים השליליים כבר במאה השנייה לפני הספירה לשם חישובים מסחריים. הם ייצגו את המספרים החיוביים (זכות) עם מקלות שחורים והשליליים (חוב) עם מקלות אדומים.

 

 

 

במאה השמינית לספירה, ההודים שהכניסו את שיטת הספירה הערבית ואת האפס, התייחסו גם הם למספרים השליליים. המתמטיקאי ההודי ברַהמַגוּפְטַה כתב:"הסכום של שתי זכויות הוא זכות, של שני חובות הוא חוב, הסכום של זכות וחוב הוא ההפרש שלהם".

 

 

 

 

אך במשך מאות בשנים גרמו המספרים השליליים למתמטיקאיים מבוכה ואלו התקשו לקבלם וקראו להם "דמיוניים ושקריים ...".  רק במאה ה-19 התקבלו המספרים השליליים כחלק ממערכת המספרים כאשר המילטון, מתמטיקאי אירי ואחרים, ייסדו בסיס מתמטי מלא למערכת המספרים השליליים.

 

 

 

---

משחקים ועוד עם מספרים שליליים:

 

"שלושה ברצף" - משחק מדליק לתרגול חיבור וחיסור מספרים שליליים. ניתן לשחק עם חבר או נגד המחשב, וכן לקבוע את רמת המשחק. 

 

 

 

מעבדת הבטריות - משחק המלווה גם במערך שיעור. מודל נוסף להצגת המספרים השליליים המלווה במערך שיעור מאת ה- NCTM. 

 

 

  

"מאזניים לפתרון משוואות הכוללות מספרים שליליים" - משחק אינטראקטיבי לפתרון משוואות אלגבריות.

 

---

מקורות

• Nrich - Adding and Subtracting Positive and Negative Numbers
• Colored-Chip Model for Integers יחידת לימוד למורים מאת Annenberg Media להכרות עם המודל "אסימונים צבעוניים" לפעולות החשבון עם מספרים שליליים. ביחידה וידאו קצר ומומלץ של השתלמות מורים המציג את המודל ונשאלת שם השאלה האם המודל מתאים להצגת כל פעולה?
• הקניית המושג "מספרים מכוונים"- שילוב נימוקים חוץ ופנים מתמטיים - מיכאל קורן- על"ה 32.
• מתולדות המתמטיקה - על המספרים השליליים - שמואל אביטל, גליונות לחשבון 21.

---

תקציר|הפרש ריבועים | פתרונות| فرق مربعين | حلول

 

1. ללא מילים

לפניכם שלוש הוכחות דינאמיות ללא מילים להפרש שטח ריבועים.

 

 

 

 

 

 

 

 

הסבירו את האיורים הדינאמיים והראו בדרך אלגברית את נכונות הנוסחה:

(a²-b²)=(a-b)(a+b)

---

2. מטבעות הזהב

סוחר עשיר אסף מטבעות זהב. יום אחד נשאל "כמה מטבעות זהב יש לך?".

הסוחר הסס לרגע וענה ברמיזה: 

"אהההם...  אם אחלק את מטבעותיי לשני חלקים אז ההפרש ביניהם יהיה קטן פי 77 מהפרש הריבועים שלהם".

התוכלו לדעת כמה מטבעות זהב לסוחר?

---

3. מיהו המספר

העלו מספר דו ספרתי בריבוע, הפכו את סדר ספרותיו והעלו גם בריבוע. 

הפרש הריבועים יצא גם הוא ריבוע.

התדעו מהו המספר?

---

4. קסמי חשבון

א. בחרו שני מספרים עוקבים, חשבו את הפרש הריבועים שלהם.

    האם קיבלתם את סכום שני המספרים שבחרתם? הכיצד?

ב. בחרו שני מספרים הנבדלים זה מזה ב-2.

    חשבו את הפרש הריבועים שלהם ואת סכומם. התדעו מה הקשר? הסבירו.

ג. בחרו שני מספרים הנבדלים זה מזה ב-3.

    חשבו את הפרש הריבועים שלהם ואת סכומם. התדעו מה הקשר? הסבירו.

ד. התוכלו לדעת במה נבדלים שני מספרים זה מזה כאשר הפרש ריבועים שלהם גדול פי 77 מסכומם?

   (ע"פ המאמר - Revisiting a Difference of Squares, David Slavit, Mathematics Teacher, February 2001)

---

5. משחקים במחשבון

זיו שיחק במחשבון וקיבל כמה תוצאות מפתיעות:

65²-35²=3000

55²-45²=1000

85²-65²=3000

א. התוכלו למצוא עוד זוגות מספרים שהפרש הריבועים שלהם יתן כפולה של 1000?

ב. התוכלו למצוא שני מספרים שהפרש הריבועים שלהם 5000? 

ג. רון הצטרף לשעשועי החישובים ומצא גם הוא תופעה מפתיעה:

                       56²-45²=1111

                      89²-12²=7777

                      78²-23²=5555

ד. האם ניתן לקבל גם את המספרים הבאים 3333, 9999, 8888? הסבירו כיצד.

---

6. משפטון פרמה

פרמה, מתמטיקאי צרפתי נודע מהמאה ה-17,  עסק בתורת המספרים .

פרמה גילה כי כל מספר ראשוני הגדול מ-2 , ניתן להציג באופן אחד ויחיד כהפרש של שני ריבועים.התוכלו להוכיח?

 

 

 

רמז באיור המצורף ללא מילים:

 מקור: אתרו של דוד שי, המשפט האחרון של פרמה

---

למתעניינים, מקורות נוספים:

בעיה ופתרונה - גליונות לחשבון, שמואל אביטל

הוכחות ויזואליות: השקפותיהם ואמונותיהם של תלמידים- רז הראל וטומי דרייפוס, על"ה 41

---