מעגלי ארכימדס

תקצירמעגלי ארכימדספתרונותدوائر أرخميدسحلول

 

Sample Imageארכימדס (287- 212 לפנה"ס) היה מדען יווני שהגיע לתוצאות מרשימות במתמטיקה, הנדסה ופיסיקה.

ארכימדס חישב את ערך Π בדיוק רב (ראו יישומון ממוחשב), ופיתח נוסחאות לחישוב שטח פנים ונפח של גופים שונים.

אגדות רבות מסופרות על ארכימדס ותגליותיו. הוא חקר את פעולתם של מנופים ומספרים שאמר "תנו לי נקודת אחיזה ואוכל להזיז את כדור הארץ..." מיוחסת לו האמירה "אאוריקה", כאשר גילה באמבטיה את חוק הציפה, חוק ארכימדס.
האגדה גם מספרת שחייל שבא לגייסו לצבא לשם פיתוח נשק, הטיל צל על המעגלים שארכימדס צייר על החול. ארכימדס העיר לו "הסתלק, אל תקלקל לי את המעגל"... והחייל התרגז והרגו.

חלק מעבודותיו תורגמו לערבית,  והם הגיעו לאירופה במאה ה-12, אבל רק במאה ה-16 הישגיו של ארכימדס זכו להכרה  עולמית.

ארכימדס והאגדות סביבו.

על ארכימדס בהרחבה בויקיפדיה

אל תקלקל לי את המעגל - מאמר באלף אפס.


Sample Image1.  שרשרת הזהב של המלך

סיפור נודע על ארכימדס הוא על כתר הזהב המזוייף. בעקבותיו, המלך היירון השני הכיר בארכימדס גם כבלש המפענח תעלומות באמצעות חכמתו והידע הרב שלו.

המלך הזמין מצורף הממלכה שרשרת זהב ונתן בידו חוט זהב בצורה של חצי עיגול. הצורף הציע למלך ארבעה עיצובים שונים לשרשרת. המלך שוב חשד שצורף הממלכה מנסה לרמותו וזימן את ארכימדס וביקשו לבדוק האם  אורכי השרשראות שווה לחוט הזהב שהפקיד בידו.

ארכימדס מיד זהה כי הצורף מנסה לרמות את המלך.

האם תוכלו לאמוד את אורכי השרשראות?

מהי השרשרת  הקצרה ביותר?

 

 


Sample Image2. סכין הסנדלרים

השטח המוצל שבאיור הדינאמי מתאר סכין סנדלרים הנקרא ביוונית ארבלוס. (Arbelus) יש המכנים אותו סכין תורכי. ארכימדס היה הראשון שחקר את תכונותיו המתמטיות .

א. הזיזו את הנקודה C שעל קוטר חצי העיגול הגדול בכדי לשנות את צורת הארבלוס. תארו את מבנה הארבלוס.

 

ב. מהו היחס בין אורך הקשת של חצי המעגל הגדול לבין סכום אורכי הקשתות של המעגלים הפנימיים?  

Sample Imageג. משיק לשני חצאי המעגלים חותך את חצי המעגל הגדול בנקודה D. 
בונים מעגל שקוטרו הוא CD. 
מצאו את יחס שטח עיגול זה ושטח הארבלוס כאשר :

(1).  הנקודה C היא במרכז חצי המעגל הגדול.

(2).  הנקודה C מחלקת את הקטע AB ביחס 1:2.

(3).  ידוע כי רדיוס חצי המעגל הגדול הוא R, ורדיוס אחד מחצי המעגלים הקטנים הוא r.


 

Sample Imageלמתעניינים - התנסו בפרויקט "הפריזבי של ארכימדס".

בתחרות למתמטיקה לתיכונים בפלורידה, הוענק לכל משתתף פריזבי ועליו היה לחקור את התכונות הגיאומטריות של העיצוב המיוחד, באמצעות תוכנות דינאמיות.

בפרוייקט הנחיות לחקירת הארבלוס, המעגלים התאומים של ארכימדס ושרשרת מעגלי פאפוס.

 

 


3. המלחייה של ארכימדס

ארכימדס חקר את צורתה של המלחייה האופיינית לימי יוון, הסלינון, שמתוארת באיור הדינאמי הבא:

 

הסלינון הופיע לראשונה בספרו של ארכימדס, שנכתב לפני 2200 שנה, בשם "ספר הלֶּמות"
(לֶמָּה- משפט עזר להוכחת משפט אחר).

א. הסבירו כיצד נבנה הסלינון.

ב.  לפי הלמה ה-14 של ארכימדס שטחו של הסלינון שווה לשטח המעגל שקוטרו  GF. נא הוכיחו.

 

Sample Image

ג. הסבירו את "ההוכחה ללא מילים" של הלֶמָּה של ארכימדס:  

 
Sample Image

מעובד לפי: 
Nelsen (2002), "Proof Without Words: The Area of a Salinon", Mathematics Magazine, p. 130

 

על״ה
עלון למורי המתמטיקה


פיצוחים
פעילויות מתמטיות למורה ולתלמיד


מאגר יישומים דינאמיים
דפי עבודה אינטראקטיביים ויישומים בגאוגברה


תוכנית מוארת חט"ב
פעילויות מתוקשבות על פי תוכנית הלימודים


תוכנית מוארת חט״ע
בקרוב...


 5club מועדון ה-5
קהילות מורים למתמטיקה ברמת 5 יח"ל


 

 

uohfaculty of educationpedagog logo shalit