מעת לעת אנו שולחים פיצוח, פעילות מתמטית לכיתה, מכיתה ז' ועד יב.
כל הפיצוחים קשורים לתוכניות הלימודים בחט"ב ובחט"ע וניתן לשלבם במהלך ההוראה הן כחיזוק, העשרה והוראה בדרך אחרת.

אתם המורים והתלמידים, מוזמנים לשלוח פתרונות. ואת המיטב שבהם נדאג לפרסם.

 

תקציר |  חזקה ונתחזק | פתרונות | חזקה ונתחזק בערבית | حلول

1. א. התוכלו לחשב את המספר: hezka1
    ב. אם תשנו את סדר החזקות, איזה מספר יהיה הגדול ביותר? הקטן ביותר?

המקור: NRICH - enriching marhematics

 


2. מה היא ספרת האחדות של המספרים: hezkatwo

המקור: ומדאת פי אלריאדיאת גיליונות לשיפור החשיבה המתמטית, 2006

 

 


3. מה היא השארית המתקבלת כאשר מחלקים 32008 במספר 7? 

hezka3

המקור: NRICH - enriching marhematics

 

 


4. א. האם המספר 3444 + 4333 מתחלק ב- 5?
    ב. התוכלו להסביר למה 599 +499 + 399+ 299 + 199 מתחלק ב- 5?

המקור: NRICH - enriching marhematics


5. נתון (בשנת 2008): a2 + a + 1 = 0

    התוכלו לחשב את הביטוי a2008 + a2009?

המקור: ד"ר עוזי ערמון - חידות ובעיות חשיבה במתמטיקה


תקציר|במעלה הר תבור

 

tavor captureפתחו את היישום במעלה הר תבור.

לפניכם תמונה של הר תבור הנמצא בלב הגליל התחתון, הידוע בכיפתו העגולה הנשקפת למרחקים. הוא מתנשא לגובה של 562 מטרים, כ-400 מטרים מעל פני סביבתו.

ביישומון, על קו המתאר שלו משורטטת באדום פונקציה המתאימה את קו הגובה בק"מ למרחק האופקי מנקודת המוצא בק"מ.

עזרו לטייל להכיר את המעלה, היכן הוא יוכל לנוח, היכן הוא הכי יתאמץ ?

 

 

 


ענו על השאלות הבאות:

1. הציגו את הטייל והזיזו אותו. עקבו אחר מסלול הטיפוס שלו לפסגה (מסומן באדום) ותארו במילים שלכם את מהלך הטיפוס. קבעו (אם אפשר):

■   היכן במעלה, העלייה היא התלולה ביותר?

■   היכן במעלה, העלייה היא הכי פחות תלולה?

■   היכן במעלה, העלייה הולכת ונהיית יותר ויותר תלולה?

■   היכן במעלה, העלייה הולכת ונהיית פחות ופחות תלולה?


2. הציגו את שיפוע המדרון.

עקבו אחר מיקום המשיק בנקודות שונות ביחס לגרף הפונקציה ומצאו:

■   הפונקציה קעורה כלפי מטה (∩):

תחומים בהם המשיק נמצא מעל הפונקציה. מה המשמעות לכך בסיפור?

■   הפונקציה קעורה כלפי מעלה (U):

תחומים בהם המשיק נמצא מתחת לפונקציה. מה המשמעות לכך בסיפור?


3. הציגו את שיפוע המדרון, עקבו אחר השינוי בשיפוע המשיק.

קבעו מהי המשמעות לכך בגרף הפונקציה, ומהי המשמעות לכך בסיפור עבור התנאים הבאים:

■   נקודות בהן שיפוע המשיק אפס.

■   נקודות בהן שיפוע המשיק שלילי.

■   נקודות בהן שיפוע המשיק חיובי.

■   תחומים בהם שיפועי המשיקים הולכים וגדלים .

■   תחומים בהם שיפועי המשיקים הולכים וקטנים.


4. עקבו אחר השיפוע. מוצגת נקודה B המתארת את גודל שיפוע המשיק בנקודה A.

■  מה מתאר גרף העקבות של הנקודה B? מה המשמעות לכך בסיפור ?

■  מה המשמעות בגרף הפונקציה לנקודות החיתוך של פונקצית השיפועים עם ציר ה-x? והמשמעות בסיפור?

■  מה המשמעות בגרף הפונקציה לתחומי החיוביות והשליליות של פונקצית השיפועים? והמשמעות בסיפור?


5. הצג פתרון- היכן המדרון הוא התלול ביותר?

■  מה מאפיין את המשיק בנקודת הפתרון?

■ הסבירו מה מייצג כל גרף בפתרון?

■  הסבירו מה מייצגת כל נקודה משלוש הנקודות המודגשות על הגרפים.

■  אילו תנאים בנגזרת הראשונה ובנגזרת השנייה מתקיימים בפתרון?


6. מלאו את הטבלה:

הנגזרת

השנייה

הנגזרת הראשונה

חיובי/שלילי עולה/יורדת

צורת הגרף
הפונקציה עולה וקעורה כלפי  מעלה (U) 
    הפונקציה יורדת וקעורה כלפי מטה (
נקודת פיתול
הפונקציה יורדת וקעורה כלפי מעלה (U)
הפונקציה עולה וקעורה כלפי מעלה (U)  
הפונקציה קעורה כלפי מעלה (U) 
הפונקציה קעורה כלפי מטה (∩) 

 

 

 

תקציר|שלוש פרבולות ולהן שלוש פונקציות קדומות|חומר למורה

 

לפניכם שלוש פרבולות "מחייכות"

 

 3 parabolas capture


 1. שלוש הפרבולות הללו הן נגזרות של פונקציות אחרות כך ש: 

 

,     ,    .

 

- מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציות?

- סרטטו דוגמאות אפשריות לגרפים של  פונקציות   ,   ו-  .

- במה דומות ובמה הן שונות?


2. לכל אחת מן הפונקציות חקרו את תחומי הקעירות וציינו את מספר נקודות הפיתול של הפונקציה. הסבירו במה דומות ובמה שונות הפונקציות?


3. לכל אחת מן הפונקציות העריכו את מספר נקודות הפיתול של הפונקציה ואת שיפוע המשיק שם. הסבירו לפיכך במה דומות ובמה שונות הפונקציות?

 


4. סרטטו 3 פרבולות בעלות מקסימום ואת הפונקציות הקדומות שלהן:

 

(1) לפרבולה שתי נקודות חיתוך עם ציר ה- x. 

(2) לפרבולה נקודת חיתוך אחת עם ציר ה- x

(3) פרבולה ללא נקודות חיתוך עם ציר ה- x.


5. האם הגרפים של הפונקציות הבאות יכולים לייצג פונקציות ממעלה שלישית? הסבירו.

אם כן, ציינו על הגרף היכן נקודות הפיתול ושרטטו את המשיק שם.

3 parabolas Q5 capture


הפעילות עובדה על פי:
"פונקציה ממעלה שלישית בתמונה משפחתית",  ללמוד וללמד אנליזה, פרק 9, ע"מ 209

תקציר|צביעת שני משולשים|חומר למורה

 

paint two triangels captureנתון משולש ישר זווית ABC שאורך ניצביו הם: 3, 6 ס"מ.

א. נצבע את המשולש החל מקודקוד A, עם משולש ישר זווית דומה לו (ADE) כאשר הנקודה D נעה על הצלע AB.
נסמן את אורך AD=x

הזיזו ביישומון את הנקודה D, ותארו כיצד משתנה השטח הצבוע כאשר x משתנה.

נגדיר  פונקציה S(x) המתאימה ל- x את השטח הצבוע. האם פונקציית השטח הצבוע עולה? תארו את קצב ההשתנות שלה.

 


paint two triangels capture Q2ב. באותה עת, נצבע  משולש ישר זווית חופף 'A'B'C.

נצבע את המשולש החל מקודקוד B', עם טרפז (B'C'LK) כאשר הנקודה K נעה על הצלע A''B.

נסמן את אורך B'K'=x

הזיזו ביישומון את הנקודה D, ותארו כיצד  הפעם משתנה השטח הצבוע כאשר x משתנה.
האם פונקציית השטח הצבוע עולה? תארו את קצב ההשתנות שלה.

 


ג. תארו מתי השטחים הצבועים בשני המשולשים יהיו שווים.


ד. חשבו את השטחים הצבועים בשני המשולשים, כאשר D אמצע הקטע AB ,
ו- K אמצע הקטע A'B' .


ה. חשבו את השטחים הצבועים בשני המשולשים, כאשר  X=2.


ו. היעזרו ביישומון לשם חישוב השטחים ומלאו את הטבלה:

X=6  X=5  X=4  X=3   X=2 X=1 X=0   
              שטח צבוע במשולש 1
              שטח צבוע במשולש 2


ז. עקבו ביישומון אחר בניית הגרף המתאר את השתנות השטח הצבוע כפונקציה של x, בכל אחד מהמשולשים.
במה דומים ובמה שונים שני הגרפים?


ח. שערו כיצד נראה גרף הנגזרת של פונקצית השטח בכל אחד מהמקרים?


ט. רשמו פונקציה המתארת את השתנות השטח הצבוע כאשר x משתנה עבור כל אחד מהמשולשים. הקלידו בחלון הקלט ובדקו תשובתכם.

גזרו את הפונקציה ובדקו השערתכם.


תקצירהיכן לקנות את הפיצה?|חומר למורה

pizza capture


1. בפסטיבל מדברי גדול התמקמו שתי פיצריות במרחק 6 ק"מ זו מזו, והן מספקות על גמלים פיצות לכל דורש. הפיצריות זהות בתפריט, באיכות ובמחיר הפיצה,  וכל אחת מהפיצריות גובה שקל אחד לק"מ דמי משלוח.

א. היכן תקנו את הפיצה (התייחסו למקומות שונים בהם אתם יכולים להימצא?

ב. היכן נמצא קו פרשת הפיצה – קו התפר בין האזור שבו עדיף לקנות מפיצרייה א לבין האזור בו עדיף לקנות מפיצרייה ב?

ג. תוכלו לחקור את הבעיה באמצעות היישומון היכן לקנות את הפיצה. קבעו את יחס המחירים בין הפיצריות ל- m=1. תוכלו להגדיל ולהקטין את המרחק מהפיצרייה השנייה (). כדי לראות היכן נמצאות כל נקודות החיתוך בין העגלים, השתמשו באופציה "הפעל עקבות".


2. כיצד ישתנה קו התפר בין אזורי השיווק של הפיצריות, אם פיצרייה א תמשיך לגבות 1 ₪ לק"מ דמי משלוח ואילו פיצרייה ב תעלה את דמי המשלוח ותגבה 2 ₪ לק"מ דמי משלוח?

כדי לחקור אפשרות זו שנו את היחס בין מחירי המשלוח ל- m=2. בהתאם ישתנה גם היחס בין הרדיוסים של המעגלים (מדוע?)


3. אתם מוכנים להמשיך ולחקור את הבעיה לכל בין דמי המשלוח, וכן למצוא את הפתרונות גם בדרך אלגברית. לנוחיותכם, וכדי שהפתרון שלכם יתאים ליישומון, מקמו את הפיצרייה המשנה מחירים בראשית הצירים, ואת הפיצריה הגובה שקל אחד לק"מ מקמו בנקודה (6,0).


על״ה
עלון למורי המתמטיקה


פיצוחים
פעילויות מתמטיות למורה ולתלמיד


מאגר יישומים דינאמיים
דפי עבודה אינטראקטיביים ויישומים בגאוגברה


תוכנית מוארת חט"ב
פעילויות מתוקשבות על פי תוכנית הלימודים


תוכנית מוארת חט״ע
בקרוב...


 5club מועדון ה-5
קהילות מורים למתמטיקה ברמת 5 יח"ל


 

 

uohfaculty of educationpedagog logo shalit