הפוך על הפוך

תקציר |  הפוך על הפוך | פתרונות | مقلوب على مقلوب

אם נתונה פונקציה חד-חד ערכית, (f(x, שבה לכל תמונה יש מקור אחד ויחיד, נוכל להפוך את ההתאמה ולהתאים לכל תמונה מקור. 
כך תתקבל פונקציה הפוכה (f ^-1(x. 
הקשר האלגברי בין התבניות המתאימות לשתי הפונקציות הוא שהמשתנים x ו- y התחלפו.

מבחינה גרפית, הגרפים של שתי פונקציות הפוכות זו לזו וסימטריים ביחס לישר y = x. כלומר, אם נקפל את מערכת הצירים לאורך הישר y = x, הגרפים של הפונקציות, יתלכדו. 

(ערוך לפי פונקציה הפוכה - יחידת לימוד משולבת מחשב של מכון וייצמן לכיתה ט'.) 

1. ניפגש או לא ניפגש?
   נקודות למחשבה...
   א. האם יתכן כי הגרפים של שתי פונקציות הפוכות לא יחתכו? תנו דוגמה.
   ב. ידוע כי לגרפים של שני פונקציות הפוכות ישנה נקודה משותפת אחת. כיצד תוכלו לאפיין אותה?
   ג. האם יתכן שלגרפים של שתי פונקציות הפוכות תהיינה שתי נקודות חיתוך ? אם כן, תנו דוגמה.
   ד. האם יתכן שלגרפים של שתי פונקציות הפוכות תהיינה יותר משתי נקודות חיתוך ? הסבירו.
   האם יתכן שהגרפים של שתי פונקציות הפוכות יתלכדו? נמקו.
   
   מתוך: אלה שמוקלר, זוגות של פונקציות, המחלקה להוראית הטכנלוגיה והמדעים, טכניון. 
   
2. הזוג הנצחי: הפונקציות המעריכית והלוגריתמית
   לפניכם גרפים של שתי פונקציות הפוכות, מעריכית ולוגריתמית בבסיס טבעי: y= lnx ,y=e^x
   אנו רואים כי הגרפים סימטריים ביחס לישר y=x ואין להם נקודה חיתוך. 
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   נקודות למחשבה...
   א. האם יתכן ששתי פונקציות הפוכות, המעריכית (y=a^x ) והלוגריתמית, (y= log_a x) ישיקו זו לזו?
   אם כן, באיזו נקודה ועבור אילו ערכים של a?
   ב. האם יתכן שלשתי פונקציות הפוכות, המעריכית והלוגריתמית תהינה שתי נקודות חיתוך?
   שלוש נקודות חיתוך? אם כן, עבור אילו ערכים של a?
   ג. עבור אילו ערכים של לשתי הפונקציות אין כלל נקודות חיתוך?
   
   תוכלו להיעזר בסרטוט הגרפים של זוגות הפונקציות ההפוכות המעריכות-לוגריתמיות ובחנו את המצב ההדדי שלהם:
    
   לקריאה נוספת: עותמאן עלי, שתי הערות על נושאים מתוכנית הלימודים, על"ה 14, עמ' 42-53.
   
3. הקשר ההופכי
   האיור הבא מספר ללא מילים את הקשר בין נגזרת של פונקציה לנגזרת הפונקציה ההפוכה לה.
   התוכלו לנסח את הקשר ולהסבירו? 
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   מתוך: "הוכחות ויזואליות ללא מילים" מאת א. זסלבסקי, ג. ויניצקי, קשר ח"ם.
   
   
4. נוסחה מהפכנית
   באחד מספרי הלימוד הישנים מצאנו נוסחה מעניינת ולצידה איור:
   
   התוכלו להסביר את הנוסחה ואת ייחודה?
   
   

   נקודות למחשבה...

   א. הביעו בעזרת אינטגרל מסוים את השטח הכחול.
   ב. הביעו את שטח המסגרת הצבעונית (הכחול והתכלת יחד).
   ג. הביעו את השטח הצבוע בתכלת בשתי דרכים שונות.
   ד. נגדיר: f(x)=x2. מצאו את ערכו של בשתי דרכים: בחישוב אינטגרל מסוים ובשימוש הנוסחה המהפכנית.
   ה. תוך שימוש בנוסחה המהפכנית, מצאו את ערכו של האינטגרל: 

מעובד לפי Nrich.maths.org

עוד על פונקציות הפוכות:

• זוגות של פונקציות - אלה שמוקלר - המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים, טכניון.
• פונקציה הפוכה - יחידת לימוד משולבת מחשב של מכון וייצמן לכיתה ט'.
• יחידה אינטראקטיבית על פונקציות הפוכות - באנגלית - של אוניברסיטת דיוק