תקציר|אוצרות פיתגורס|פתרונות|كنوز فيثاغورس|حلول

במצולות הים ליד האי סאמוס, מקום הולדתו של פיתגורס, נמצאו אוצרות בהם מטבעות עתיקים יקרי ערך. 

עזרו לחוקרים בחישוביהם למצוא את גודל המטבעות.

1. תיבת האוצר

בתיבה מלבנית שלושה מטבעות זהב הנוגעים זה בזה, בדומה לאיור (המטבע הגדול נוגע בשלוש צלעותיו של המלבן, הבינוני בשתי צלעותיו והקטן בצלע אחת).

רדיוס המטבע הקטן 4 ס"מ, רדיוס המטבע הבינוני 9 ס"מ. מה גודלו של המטבע הגדול?

2. מטבע הזהב

בגליל שקוטרו 2 ס"מ מונחים שלושה מטבעות בדומה לאיור. שני מטבעות ארד בקוטר 1 ס"מ המשיקים זה לזה ומטבע נוסף, מטבע זהב.

א. מהו גודל מטבע הזהב?

ב. מצאו מה המרחק בין מרכז מטבע הזהב למרכז הגליל.

ג. התוכלו למצוא באיור משולש 3:4:5?

3. ארד, כסף וזהב

שלושה מטבעות, הגדול מארד הבינוני מכסף והקטן מזהב, מונחים בקופסא מלבנית כך שהם משיקים לצלע המלבן ונוגעים זה בזה. רדיוס המטבע הגדול הוא 2 ס"מ ורדיוס המטבע הבינוני הוא 1 ס"מ.

א. מצאו מהו גודל מטבע הזהב.

ב. מצאו את מימדי הקופסא.

עובד על פי פעילויות מתוך: http://nrich.maths.org/

קישורים לבעיות נוספות ליישום משפט פיתגורס:

• מתוך "אלף אפס":
  - נתיב הזהב
  - אוסף בעיות על פיתגורס

• מתוך אתרו של דוד שי:  וריאציות פיתגוריות
• הפיצוח: משימה פרחונית
• Animated Pythagorean Theorem

תקציר|  אלגברה קצת אחרת| פתרונות| الجبر بمنظار آخر| حلول

פתרו את הבעיות הבאות בדרכים שונות:

1. אם נתון ש p,q ו r מספרים שלמים וחיוביים ו      

מצאו את q.

[מקור-  Mathematics teacher vol. 100 no. 7, March  2007]

2. חשבו את N אם נתון ש:

[מקור- Mathematics teacher vol. 100 no. 8, April 2007]

3. נתון שx ו-y מספרים רציונאליים וחיוביים וסכומם שווה ל5.

מהו הערך המינימאלי של הביטוי   

[מקור- Mathematics teacher vol. 100 no. 8, April 2007]

תקציר|ללכת על פני הקוביה והתיבה|פתרונות|نسير على سطوح المكعب والصندوق| حلول

1. קוביית הקסמים

במשחק מחשב תלת מימדי עלינו לאסוף יהלומים הנמצאים על פני קוביית הקסמים. 

היהלומים משובצים בכל קודקודי הקובייה ובמרכז כל אחת מפיאותיה.

אורך המקצוע של הקובייה 10 ס"מ.

כמה יהלומים על הקוביה?

מהו המסלול הקצר ביותר לאיסוף היהלומים (העובר דרך כל קודקודי הקובייה וכל מרכזי הפאות שלה)?

2. הזבוב והעכביש

בשיעור ביולוגיה מצאנו עכביש רעב אורב לזבוב... הכיתה אורכה 5 מ', רוחבה 4 מ' וגובהה 2.5 מ'.

העכביש נמצא במרכז הקיר בחדר ואילו הזבוב יושב על אדן החלון שבקיר שממול, 

1.5 מ' מעל הרצפה ו- 0.5 מ' מהקיר הסמוך. (כמתואר באיור)

מהו המרחק הקצר ביותר שעל העכביש לזחול בכדי לתפוס את הזבוב?

3. עטיפת מתנה

ברצוני לעטוף מתנה בעזרת סרט הדוק למתנה בצורת תיבה, כך שישלים סיבוב שלם סביב התיבה. הסרט יעבור על כל פאה פעם אחת, פרט לפאות שלמעלה ולמטה  שם יהיו שני חלקי הסרט מקבילים.

איזה אורך סרט עלי להכין אם גודל המתנה 20X10X 5 סמ"ר?

תקציר|  קסמים מתמטיים עם נייר ומספריים | פתרונות|  سحر في الرياضيات بواسطة الورقة والمقص | حلول

בפעילות זאת כל מה שצריך זה כמה מילות קסם (הוקוס פוקוס, אברה-כדברא), נייר ומספריים והרבה אהבה וסקרנות לקסמים שמאחורי המתמטיקה.
הסודות מאחורי הטריקים והחידות הבאים מגיעים מענף במתמטיקה שנקרא טופולוגיה. הטופולוגיה חוקרת עצמים שאינם משתנים כאשר הם מעוותים ללא חיתוך או קריעה. (מומלץ בחום לצפות בסרט "איך להפוך כדור מהפנים אל החוץ?").

1. התוכלו לבנות בנייה "בלתי אפשרית" ?

האם תוכלו להכין מנייר אחד מבנה תלת מימדי כמתואר באיור למטה?
האם תוכלו לעשות זאת באמצעות חיתוכים וקיפולים בלבד, מבלי להשתמש בדבק?

את החידה הציג מרטין גרדנר, גדול המשעשעים והמשתעשעים במתמטיקה, באחד ממאמריו ב- Scientific American. הוא חקר את הצורה המיוחדת הזו וקרא לה hypersquare ("ריבוע מעל"). 
למרות פשטותה, זוהי חידה לא קלה לפתרון.
קחו נייר ומספריים , נסו והתנסו- בהצלחה! 

2. חור ענק בנייר קטן

בידי נייר הודעות קטן בגודל 10X10. האם לדעתכם אוכל ליצור חור בנייר כך שאוכל להשחיל את הנייר על ראשי 
בואו נתבונן בטריק טופולוגי פשוט:

שלב 1:
קפלו את הניר לשניים.

שלב 2:
חתכו לרוחב הנייר המקופל, 9 חתכים מקו הקיפול עד כחצי ס"מ.

שלב 3:
הפכו את הדף.
חתכו  בין החתכים לכוון הקיפול כחצי ס"מ.

שלב 4:
בזהירות רבה חתכו לאורך הקפל. אל תחתכו את שני הקצוות.

א. מהו הקף המסגרת שקיבלתם? מהו שטחה? התוכלו להסביר כיצד זה יתכן?
ב. לאיזה גודל נייר אנו זקוקים כדי ליצור מסגרת שתקיף כיתה בגודל  5X5 מטר?  
ג. האם אתם מכירים שימוש לתכונה זו בתופעות מן החיים?  

3. טבעת מביוס- אחת ושתיים

טבעת מביוס- עבודת תחריט עץ של האמן אשר 

תקציר|תמונות מספרות על סכומים|פתרונות|صور تحكي عن مجاميع|حلول

1. 

א. מצאו בעזרת האיור את הסכום 1+2+3+4+5+6

ב. מצאו את הסכום של n המספרים הטבעיים הראשונים והסבירו אותו בעזרת האיור.

2. נתון משולש שווה צלעות ששטחו 1 סמ"ר, נחצה כל צלע כך שיווצרו משולשים חדשים.

א. מהו היחס בין השטח של המשולש הכתום הגדול והמשולש כולו?

ב. מהו סכום השטחים של שלושה משולשים כתומים? ארבעה? חמישה משולשים?

ג. אם נמשיך לחלק את המשולש באופן דומה, מהו סכום שטחי n המשולשים? הכלילו את הסכום?

מקור: Mathematics Teacher, Vol. 101, 2007

3. במגדל של קוביות שש קוביות בגדלים שונים, בעלות מקצועות של 1 עד 6.

א. כמה קוביות של 1X1X1 יש במגדל?

ב. הסבירו כיצד האיור מדגים את השוויון:        

1³ + 2³ + 3³ + ... + 6³ =  ²(1+ 2 + 3 + ... + 6)      

רמז- חשבו על קובייה הפרוסה לשכבות.  

ג. מהי נוסחת סכום n  המספרים הטבעיים הראשונים המעוקבים (בחזקת 3)? הוכיחו טענתכם.

ד. הציעו דרכים נוספות להוכחת הטענה.

המקור: NRICH - enriching Marhematics. 

הוכחה ללא מילים - פרוייקט לתלמידים- צוות מחר "98". 
הוכחות ויזואליות ללא מילים (כמעט) - אורית זסלבסקי וגרייסי ויניצקי.

תקציר|  אשליות מתמטיות| פתרונות| خداعات رياضية - تناقضات (برادوكس)| حلول

1. האם 64 = 65?
חתכו לוח שחמט בגודל 8X8 משבצות לשני משולשים ושני טרפזים. (איור 1)
הרכיבו מחדש את החלקים וקיבלו לוח מלבני בגודל 5X13 משבצות. (איור 2)

שטח הריבוע הוא 64 ואילו שטח המלבן שהתקבל הוא 65. 
א. האמנם התווספה משבצת? כיצד תסבירו את התעלומה?
ב. מעניין לשים לב שהמספרים העומדים מאחורי הבנייה הם  3,5,8,13. מה מייחד סדרת מספרים זו? 
נסו לנסח את הקשר בין המספרים וכן את הקשר בין השטחים באופן אלגברי. 
ג. התוכלו למצוא דוגמאות לריבועים ומלבנים נוספים המקיימים תכונה דומה?   

מקור: http://www.cut-the-knot.org/

אפלט שניתן לבחור בו את אורך צלע הריבוע ההתחלתי
פאזל פארדוקסלי המראה כי 25 = 24

2. האם כל משולש הוא שווה שוקיים?

קרול לואיס (מחבר עליסה בארץ הפלאות ) הוכיח שכל המשולשים
הם שווי שוקיים:

א. נתון משולש ABCΔ כלשהו, כאשר D אמצע צלע BC.
ב. AF חוצה זווית הראש ו- DF אנך אמצעי נפגשים בנקודה F.
ג. נוריד אנך מהנקודה F לצלע AB ונסמן ב-G את נקודת החיתוך.
ד. נוריד אנך מהנקודה F לצלע AC ונסמן ב-H את נקודת החיתוך.

קיבלנו:

 

כלומר כל משולש הוא שווה שוקיים. היתכן? 

מקור: תבלינים מתמטיים, מחר 98, הטכניון.

תקציר|  חפש את המטמון| פתרונות|  ابحث عن الكنز| حلول

לקראת חגיגות שנות השישים החליטו ברשות העתיקות לחשוף את תעלומת כתבי הסתרים אשר התגלו זה מכבר בחפירות ארכיאולוגיות אי שם בארץ. בחפירות נמצאו שלושה קנקני חרס עתיקים בהם קלפים עם כתבי סתרים המתארים את מקומם של שלושה מטמונים עתיקים. כמו כן, צורפה מפה המתארת את אזור החפירות, שם ע"פ ההשערה, הוטמנו המטמונים.
בחידת הכדים תוכלו להעזר גם ביישומון האינטראקטיבי המצורף מטה.  

בסיור באתר העתיקות הצליחו לאתר את העצים, האבן הענקית, המערה ואת דרך היין כמתואר במפה המצורפת.


ע"פ כתבי החידה, היכן כדאי לדעתכם לחפור כדי לגלות את שלושת המטמונים: תרומת המקדש, מטבעות הזהב וכדי היין?

לפניכם יישום דינמי בו תוכלו להעזר בפתרון חידת הכדים.

עובד לפי "מתמטיקה בהנאה" מאת שמואל אביטל.

תקציר|  אי שוויונות עליזים| פתרונות| متباينات مفرحة | حلول

1. חשוב "ממוצע אחר"

נעמי נבחנה בשני שאלונים. בראשון היא ענתה נכונה על 6 שאלות מתוך 10 השאלות הנתונות. 
במבחן השני נעמי הצליחה יותר. היא ענתה נכונה על 12 שאלות מתוך 15 השאלות הנתונות.
נעמי חישבה את הציון ממוצע שלה כך:
   

המורה איילה חישבה את הציון הממוצע של שני המבחנים:

א. בדקו, האם הממוצע שחישבה נעמי אכן נמצא בין שני הציונים שלה.
חשבו לפי השיטה של נעמי את הממוצע בין המספרים , בין המספרים  .
האם לדעתכם השיטה של נעמי לחישוב "ממוצע אחר" מתאימה לחישובי ממוצעים?

ב. תארו במילים ובאלגברה את השיטה לחשוב "ממוצע אחר" והוכיחו אותו:
 (1) בדרך אלגברית.
 (2) בדרך גיאומטרית בעזרת האיור:

ג. האם הממוצע החשבוני (שחישבה המורה) תמיד גדול מה"ממוצע האחר" שאותו חישבה נעמי ?

מעובד לפי - NRICH, שבבים, מספר חזק מס 15.

2. אי שוויונות בתמונות 

א. אוקלידס באחד מספריו "היסודות" הדגים באיור את השוויון המוכר כנוסחת הכפל המקוצר: 

ניתן גם להדגים באיור זה את אי השוויון:

באיזה מקרה מתקיים השוויון?

ב. מצאו אי שוויונות שניתן להדגים אותם בעזרת האיורים הבאים. 
    חקרו באילו מקרים בכל אחד מתקיים שוויון.

מעובד לפי - NRICH.

3. מי גדול ממי?

לגבי כל אחד מזוגות המספרים קבעו מי גדול יותר. נמקו והסבירו כיצד קבעתם.

א-ד מתוך "משימות לפיתוח חשיבה מתמטית- פרויקט טל"מ - חוג פלוטו"

4. שני בני דודים

א. רשמו סימן אי שוויון בין זוגות המספרים הבאים:

ב. החל מאיזה n מספר טבעי, מתקיים האי-שוויון: ?
הוכיחו את נכונותו של האי-שוויון.

ג. אתגר לחטיבה העליונה-
התוכלו להעריך (ללא שימוש במחשבון) מה יותר גדול:?
הוכיחו את השערתכם בדרכים שונות.

הידעתם?

את הסימן שווה, = , הכניס לשימוש מתמטיקאי אנגלי בשם רוברט רקורד (1510-1558) באמרתו המפורסמת: "אין שום עצמים השווים זה לזה יותר מאשר שני קטעים שווים".

המתמטיקאי האנגלי תומס הראיוט (1560-1621), בעת היותו בשליחות המלכה באמריקה הצפונית, הגה  לראשונה את סימני אי השוויונות <, >, ≤, ≥ כאשר קיבל השראה מקעקוע על פרק ידם ילידי המקום בצורת:
  . 
סימני האי-שוויון הומצאו 74 שנים אחרי סימן השוויון, אך הופיעו בטקסטים מודפסים לפני סימן השוויון. הסיבה לכך שלסימני האי-שוויון השתמשו באות לטינית V, שהייתה כבר קיימת כסימן דפוס. 

(מתוך "תבלינים מתמטיים")

תקציר|פרבולה, לי לו ולה|פתרונות|باربولا (قطع مكافئ ) لي ، له ولها | حلول 

1. שימוש "חכם" בפרבולה

נלמד שיטה להכפלת שני מספרים חיוביים כלשהם. בואו נכפיל 8 ב-5:

1. נשרטט את הגרף y=x2.

2. נסמן על הפרבולה נקודות בהן x=-5 ו- x=8 ונעביר ישר בין הנקודות הללו. 

3. שימו לב מהי נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-y.

4. ...אכן 5×8=40 !

    א. נסו להכפיל בשיטה זו 13×8.

    ב. התוכלו להסביר מדוע השיטה עובדת? 

    ג. האם ניתן להכליל את השיטה לכל שני מספרים? אם כן, הוכיחו.

2. היה או לא היה?

תום סרטט סקיצה לפרבולה: 
 
ומשיק לפרבולה:
 
תמר טענה שהאיור של תום לא יתכן.

מה דעתכם? האם ניתן ליצור פרבולה ומשיק אלו?

אם כן,  עבור אילו ערכים של b, a ו- c .

אם לא, הסבירו מדוע.

3. פתרון בכל מצב

נתונה המשוואה:  x - m)(x + 5m) = 3x)    

הראו בדרכים שונות כי למשוואה  יש פתרון לכל ערך ממשי של  m .

4. הפתעות וקשרים על הפרבולה

א. סמנו על הפרבולה y = x2 שתי נקודות כלשהן A ו- B על הפרבולה. 

העבירו דרך הראשית ישר OC המקביל לישר AB. 

שיעורי ה-x של הנקודות A,B,C הם a,b,c בהתאמה.

מצאו את הקשר בין a,b,c.

ב. סמנו על הפרבולה y = x2 שלש נקודות כלשהן B ,A ו- C על הפרבולה.

העבירו את הישר AB וישר CD העובר דרך נקודת החיתוך של AB עם ציר ה-y. 

שיעורי ה-x של הנקודות A,B,C,D הם a,b,c,d בהתאמה.

מצאו את הקשר בין  a,b,c,d.

מאמרים ופעילויות בנושא הפרבולה:

הפרבולה כצורה גיאומטרית - חמוטל דוד - על"ה 29

שאלות עם מספר רב של תשובות נכונות - אורית זסלבסקי - על"ה 14

בעיות הקשורות למיקום שורשי המשוואה הריבועית - אנטולי שטרקמן - על"ה 24

אליפסה, היפרבולה ופרבולה מנקודת ראות מישורית ומרחבית - חמוטל דוד - על"ה 35

לראות מתמטיקה - מטח - סביבה ללימוד וחקירה של פונקציה קווית ופונקציה ריבועית. הסביבה כוללת אוסף של מצגות והסברים, משימות ותרגילים וכלים אינטראקטיביים (Applets) המסייעים בהמחשת הנושא הנלמד. הסביבה מעודדת בניית מודלים מתמטיים לתופעות מהחיים, חקירת פונקציה קווית ופונקציה ריבועית על ידי פיתוח מיומנויות חשיבה מתמטיות.

תקציר |  לוליינות עם טרפז | פתרונות  | المنحرف 

1. הטרפז הצבעוני 
   אלכסוני הטרפז מחלקים אותו לארבעה חלקים. 
   האם תוכלו ליצור טרפז כך ששני חלקים בו יהיו שווים בשטחם?
   האם תוכלו ליצור טרפז ששלושה מחלקיו יהיו שווים בשטחם?
   האם תוכלו ליצור טרפז שארבעת חלקיו יהיו שווים בשטחם?
   אם ידוע לכם ששטח המשולש הצהוב הוא a ושטח המשולש הכחול הוא b, מהו שטח הטרפז?
   
   
   
   
   
   

   ---

2. מה לטרפז ופיתגורס?
   הנשיא ה- 20 של ארה"ב, ג'ימס גרפילד, (James A. Garfield ,1876) אהב להשתעשע במתמטיקה ומצא הוכחה מקורית ואלגנטית למשפט פיתגורס באמצעות טרפז. 
   התוכלו להסביר בעזרת האיור את הוכחת גרפילד? תוכלו להיעזר בנוסחת השטח של טרפז. 
   
   
   
   
   
   
   
   
   

   ---

3. שטח טרפז 
   נתון טרפז בעל בסיסים באורך a ו- b וגובה h. 
   נוסחת שטח הטרפז: 
   
   הוכיחו את נוסחת שטח הטרפז בארבע דרכים שונות, ע"פ ארבעת האיורים מטה.
   מדוע לדעתכם מכפילים בכל אחת מהדרכים בחצי?
   האם תוכלו למצוא או להמציא דרך נוספת להוכחת שטח הטרפז? 
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

   ---

4. ועוד אתגר לסיום... קומדיה גיאומטרית: נראה כי שטח כל טרפז שווה לאפס!
   נתון טרפז ABCD בעל בסיסים באורך a ו- b.
   נאריך את הבסיס a ב- b יחידות. נאריך את הבסיס b מהצד השני ב- a יחידות. (ראו שרטוט). 
   
   הכיצד?

עוד כמה מילים על הטרפז...

המילה "טרפז" הינה מילה יוונית עתיקה שמשמעה שולחן אוכל ("טרפזיון" - שולחן אוכל, "טרפזה" - ארוחה). המילה עצמה מורכבת מ"טטרה" (ארבע) והשורש "פד" רגל), כלומר, הצורה טרפז היא כשולחן ארבע רגליים. 

בימי-הביניים השתמשו במונח "טרפז" לכל מרובע, פרט למקבילית, ורק במאה ה- 18 המילה "טרפז" קיבלה את המשמעות של היום. יש המגדירים את הטרפז כמרובע עם לפחות זוג אחד של צלעות מקבילות. לפי הגדרה זו קבוצת הטרפזים היא קבוצת המרובעים המכילה את כל המקביליות למיניהן. עד היום יש המעדיפים הגדרה זו כי הנוסחה לחשוב שטח טרפז מתאימה לחישוב שטח כל הצורות בקבוצה זו. אך ההגדרה המסורתית והשכיחה (גם בארץ), קובעת כי לטרפז בדיוק זוג צלעות מקבילות אחד, כך שהטרפז הוא צורה נפרדת מכל שאר המקביליות. 
המצרים הקדמונים הכירו את נוסחת שטח הטרפז והשתמשו בה לחישובים שונים עבור חתכים של פירמידה מרובעת. גם המשפט: "קטע האמצעים בטרפז שווה למחצית סכום הבסיסים" היה ידוע להם ונמצא כתוב על פפירוס רינד (2000 לפנה"ס) וחרוט על קירות בית המקדש אדפו במצריים העליונה.

מתוך "תבלינים מתמטיים", קלרה זיסקין ולאה לטנר