המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי

מדורי המרכז

מוסף מיוחד - Zoom על הפנים היפות של החינוך המתמטי - התגייסות בימי קורונה

כתבו: עדי אדלשטיין, אבי נתן, צוות "לומדים קרוב רחוק", איילת קריספין, טל בן-יוסף, מיה קורן וצוות מרכז המורים הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי

תקציר: לפני כחצי שנה שינה העולם המוכר לנו את פניו, עם פרוץ משבר הקורונה. כולנו נערכנו תוך ימים להוראה מרחוק באמצעים דיגיטליים, תוך כדי למידה מתמדת.

ההתגייסות של המורים ושל מערך ההדרכה היתה מרשימה במיוחד. היא כללה, בנוסף להשקעה הרבה של המורים בבניית סביבה תומכת ומלמדת לתלמידים האישיים, גם הדרכות, השתלמויות, מיזמים שונים ופיתוח מהיר של חומרי למידה מותאמים ללמידה מרחוק.

המוסף המיוחד, "Zoom על הפנים היפות של החינוך המתמטי – התגייסות בימי קורונה", מציג דוגמאות אחדות מתוך הפעילות הענפה שהתרחשה.

מקור: על"ה 58 תש"ף, 2020.

להיות או לא להיות (עם מסכה)? ניתוח קבלת החלטות בתקופת הקורונה בכלים של תורת המשחקים

כתבה: קרני שיר.

מדור: מעבר לאופק.

תקציר: אביב 2020, אנחנו נמצאים בעיצומה של תקופת הקורונה. על פי ההנחיות יש לעטות מסכה, ולשמור על מרחק של 2 מטר האחד מהשני. כולנו כבר רגילים להסתובב עם מסכה, אבל האם אנחנו מקפידים לעטות אותה?

במסגרת חיבור זה נבחן, בעזרת חישובי הסתברויות ובכלים של תורת המשחקים, היבטים שונים הקשורים בקבלת ההחלטה אם לעטות מסכה. תוך כדי בחינה זו נתוודע למושגים בסיסיים ודילמות מרכזיות בתורת המשחקים, ננתח תועלת מול הפסד של שחקן רציונלי המתלבט האם להישאר עם מסכה במהלך מפגש חברתי, שיקולים אותם הוא יכול להפעיל, והחלטות הנובעות מהם. לסיכום נראה מה ניתן לעשות כדי ליצור אווירה חברתית בה אנשים ירגישו יותר מחויבים להיות עם מסכה.

מקור: על"ה 58 תש"ף, 2020.

מגיאומטריה לאלגברה ובחזרה – המקרה של מקומות גיאומטריים

כתבה: אנא וקנין.

מדור: במבט נוסף.

תקציר: המאמר דן בהוראת הנושא גאומטריה אנליטית בכיתות י"ב ברמת 5 יחידות לימוד מנקודת מבט מקשרת. במאמר מוצעות, בליווי דוגמאות ויישומונים דינמיים, דרכים להתבונן בבעיות דרך עדשת הגאומטריה האוקלידית, הן כדי לשער, לפני התהליך האלגברי, מהו המקום הגאומטרי שעתיד להתקבל, והן במטרה לפרש, בסיום התהליך, את התוצאה שהתקבלה.

מקור: על"ה 58 תש"ף, 2020.

שימוש בגישה גרפית לצורך פתרון שאלות בהסתברות

כתב: אלכס גנלין.

מדור: עיון ודיון.

תקציר: מאמר זה מציג ומנתח בעיות בהסתברות שפתרונן מבוסס על יחסי שטחים או על יחסי נפחים. הבעיות המופיעות במאמר אינן כלולות בתוכנית הלימודים, אך הידע הדרוש לפתרונן מבוסס על תכנים מתמטיים הכלולים בתוכנית הלימודים.

מקור: על"ה 58 תש"ף, 2020.

"אם יוצאים מגיעים למקומות מופלאים"- מסע בעקבות שלוש נקודות ממוצעות

כתבו: אסתר גרונהט ועינב אייזיקוביץ-עודי.

מדור: חקירה מתמטית.

תקציר: במאמר זה הכותבות מבקשות לחלוק עם הקוראים מסע חקר, שנקודת המוצא שלו היא תופעה מתמטית שהציגו באחד הגליונות הקודמים של על"ה. הכותבות מציעות הצצה לתהליך שבו חיפשו לגלות, לדעת ולהבין משהו שלא היה ידוע להן. המסע כולל חיפושי דרך, נתיבים ללא מוצא, הפתעות מתמטיות במקומות לא צפויים, וניסיון רפלקטיבי להבנת התהליך.

מקור: על"ה 58 תש"ף, 2020.

חמש דרכים שונות לפתרון משוואה (אי-רציונאלית) אחת

כתבה: חמוטל דוד.

מדור: חקירה מתמטית.

תקציר: במאמר זה מוצגות חמש דרכים שונות לפתרון המשוואה: (x^2-5=√(5-x. משוואה זו נראית לכאורה תמימה ופשוטה, אך ניסיון ראשון לפתור אותה בדרך אלגברית- בסיסית ושגרתית על-ידי העלאה בריבוע של שני האגפים, מראֶה כי המשימה אינה פשוטה כלל ועיקר. עושר השיקולים וכיווני החשיבה המשולבים בפתרונות השונים המוצגים בהמשך, מסווג את הבעיה בקבוצה מכובדת של בעיות המזמנות חקר.

מקור: על"ה 58 תש"ף, 2020.

תקציר| זהו שורש העניין| מדריך למורה

בעקבות בחינת הבגרות ברמת 4 יח"ל – שאלון ראשון – חרף תשע"ח – שאלה 7

חלק א

1. הגרף של פונקציה זוגית $f(x)$ נתון בסרטוט משמאל.

הפונקציה $g(x)$ מוגדרת: $g(x)=\sqrt{f(x)}$ .

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ ?

ב. השלימו: $g(5)=$ , $g(-5)=$ , $g(0)=$ , $g(4)=$ , $g(-3)=$ .

ג. רשמו שני ערכים נוספים של הפונקציה $g(x)$ שניתן להסיק מהגרף הנתון.

ד. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $g(x)$ ?

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ .

א. באיזה תחום פונקציה הנגזרת $g'(x)$ חיובית, ובאיזה תחום היא שלילית?

ב. כמה נקודות אפס יש לנגזרת $g'(x)$ ? נא לפרט.

ג. נתון שלפונקציה הנגזרת יש אסימפטוטות מאונכות לציר ה- x:
$x=-5$ ו- $x=5$ . כמו כן ידוע שלנגזרת $g'(x)$ אין נקודות קיצון.

סרטטו סקיצה לגרף הנגזרת.

א. בחרו את הטענה הנכונה מבין הטענות (1) – (3) והסבירו אותה

נתון גרף הנגזרת של $g(x)$ .

this is the root 1. השטח הצבוע הוא: $\int_{-4}^{0}g(x)dx$

2. השטח הצבוע הוא: $\int_{-4}^{0}g'(x)dx$

3. השטח הצבוע הוא: $\int_{-4}^{0}f'(x)dx$

ב. חשבו את שטח המוגבל בין גרף הפונקציה $g'(x)$ , ציר ה- x והישרים x=-4 ו- x=-3. (היעזרו במידת האפשר בסעיפים הקודמים).

ג. חשבו את שטח המוגבל בין גרף הפונקציה $g'(x)$ , ציר ה- x והישרים x=3 ו- x=4.

ד. חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה $g'(x)$ , ציר ה- x והישר x=4.

ה. הסבירו מדוע $\int_{-4}^{4}g'(x)dx$

חלק ב

1. נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{49-x^2}$

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ ?

ב. מהי נקודת הקיצון של הפונקציה הפנימית: $y=49-x^2$ ?

ג. הסבירו כיצד ניתן להסיק מהסעיף הקודם מהי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)=\sqrt{49-x^2}$ .

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{49-x^2}$ .

א. מהם תחומי החיוביות של הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ ?

הסבירו בשתי דרכים: באמצעות גרף הפונקציה $f(x)$ ובאמצעות הביטוי האלגברי של הנגזרת.

ב. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ המאונכות לציר ה- x.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ . תוכלו להיעזר בסעיפים הקודמים.

א. חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ , על ידי החלק השלילי של ציר ה- x ועל ידי הישר x=-6.

(בתשובתכם השאירו שתי נקודות אחרי הנקודה העשרונית.)

ב. חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה הנגזרת, $f'(x)$ , על ידי החלק החיובי של ציר ה- x ועל ידי הישר x=6.

מה הקשר בין תשובותיכם לשני הסעיפים האחרונים?

ג. הסבירו מדוע $\int_{-6}^{6}g(x)dx=0$

תקציר| pdf האסימפטוטות בתנועה| pdf מדריך למורה

בעקבות בחינת הבגרות ברמת 4 יח"ל – שאלון ראשון – חרף תשע"ח – שאלה 7

ניתן להיעזר ביישומון

1. לפניכם גרף פונקציה ממשפחת הפונקציות $f(x)=\frac{4x}{(x-b)^2}+a$ .

לפונקציה אסימפטוטה אופקית y=0 ואסימפטוטה אנכית x=1.

asimptuta on the move

א. על פי הגרף, קבעו עבור הפונקציה ערכי a ו-b מתאימים. נמקו.

ב. על פי ערכי a ו-b שקבעתם, ענו:

1. מהו תחום ההגדרה של $f(x)$ ?

2. מהן משוואות האסימפטוטות של $f(x)$ המאונכות לצירים?

3. מהן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים?

4. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

5. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

א. נתון לפונקציה יש אסימפטוטות שמשוואתן x=3, y=0.

1. מהם ערכי הפרמטרים a ו-b ?

2. מהן נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים?

3. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

4. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

ב. נתון לפונקציה יש אסימפטוטות שמשוואתן x=-1, y=0:

1. מהם ערכי הפרמטרים a ו-b ?

2. מהי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים?

3. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

ג. תארו כיצד משפיע הפרמטר b על גרף הפונקציה? נמקו.
התייחסו לאסימפטוטות ולנקודות מיוחדות.

3. נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4x}{(x-1)^2}$ .

ונתונה הפונקציה $g(x)$ המקיימת $g(x)=f(x)+2$ .

1. מהן משוואות האסימפטוטות של הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ ?

2. מהם שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ ?

3. מהן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- y של $f(x)$ ו- $g(x)$ ?

4. שרטטו באותה מערכת צירים סקיצה לגרף הפונקציות.

4. א. נתון לפונקציה יש אסימפטוטות שמשוואתן x=1, y=-3.

1. מהם ערכי הפרמטרים a ו-b?

2. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

3. מהי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- y ?

4. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

ב. תארו כיצד משפיע הפרמטר a על גרף הפונקציה? נמקו.
התייחסו לאסימפטוטות ולנקודות מיוחדות.

5. נתון לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת יחידה עם ציר ה-x.

1. האם ניתן לקבוע מהם ערכי הפרמטרים a ו-b ? אם כן, מהם. נמקו.

2. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

6. נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4x}{(x-1)^2}$ . קבעו מהן האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציות הבאות, ושרטטו את הגרף:

1. $g(x)=-f(x)$

2. $h(x)=f(-x)$

3. $k(x)=\left |f(x) \right |$

(3). מהי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- y ?

תקציר| pdf אינטגרל של פונקציה מוזזת אנכית | pdf מדריך למורה

בפעילות ניתן להיעזר ביישומון הגאוגברה אינטגרל של פונקציה מוזזת אנכית

א. נתון גרף הפונקציה (f(x שהיא חיובית בתחום $1\leq x\leq 3$

ידוע כי השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה (f(x, הישרים x=1 ו-x=3 וציר ה-x הוא S. ונתון גרף הפונקציה $g(x)=f(x)+5$ . (ראו איור)

move the integral up and down 1

1. מה הקשר בין הגרפים (g(x ו- (f(x?

2. רשמו אינטגרל לחישוב השטח S.

3. היעזרו באיורים מעלה והביעו בעזרת S, את השטח הכלוא מתחת לפונקציה (g(x.

4. רשמו אינטגרל לחישוב כל אחד מהשטחים ואת הקשר ביניהם. נמקו בדרכים שונות.

5. הביעו בעזרת S את האינטגרל $\int_{1}^{3}(g(x)-f(x))dx$ . נמקו באופן אלגברי וגאומטרי.

6. האם הקשר שמצאתם נכון יהיה גם עבור פונקציה שהוזזה 5 יחידות מטה?

ב. נתון $\int_{2}^{5}f(x)dx=S$ ,כאשר $f(x)$ חיובית ומוגדרת לכל x.

אם ניתן, רשמו ביטוי לערך האינטגרלים הבאים:
היעזרו בשרטוט סקיצה לגרפים וביישומון אינטגרלים להזזות אנכיות.

1. $\int_{2}^{5}(f(x)+3)dx$

2. $\int_{2}^{5}(f(x)-3)dx$

3. $\int_{3}^{6}(f(x-1)+3)dx$

4. $\int_{2}^{5}(-f(x)+3)dx$

ג. נתון $\int_{0}^{3}f(x)dx=S$ רשמו אם אפשר ביטוי לאינטגרלים הבאים:

1. $\int_{-3}^{3}(f(x)+1)dx$ , כאשר ידוע (f(x זוגית.

2. $\int_{-3}^{3}(f(x)+1)dx$ , כאשר ידוע (f(x אי זוגית.

ד. נתון גרף הפונקציה והפונקציה המקיימת

move the integral up and down 4

ניתן להיעזר ביישומון בגאוגברה

1. הוסיפו את הסקיצה של גרף הפונקציה (g(x לאותה מערכת צירים.

2. הראו כי (g(x אי זוגית, והסבירו מדוע היא סימטרית ביחס לראשית.

האם גם (f(x אי זוגית? האם גרף הפונקציה סימטרי? כיצד?

3. חשבו את ערך האינטגרל $\int_{-1}^{1}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך האינטגרל $\int_{-1}^{1}f(x)dx$ .

4. נתון $\int_{b}^{c}g(x)dx=S$ אם ניתן, רשמו ביטוי לערך האינטגרל $\int_{b}^{c}f(x)dx$ .

5. חשבו את ערך הביטוי $\int_{1}^{2}g(x)dx+\int_{-2}^{-1}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך הביטוי $\int_{1}^{2}f(x)dx+\int_{-2}^{-1}f(x)dx$ .

6. הסבירו מדוע לכל שני מספרים b ו-c המקיימים $0<b<c$ מתקיים:

$\int_{-c}^{-b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx=c-b$

7. נתונה הפונקציה $f(x)=g(x)+k$ עבור איזה ערך של k יתקיים:

$\int_{-c}^{-b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx=2\left (c-b \right )$

תקציר| pdf אינטגרל של פונקציה מוזזת אופקית| pdf מדריך למורה

א. נתון גרף הפונקציה (f(x
ידוע כי השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה (f(x, הישרים x=1 ו-x=3 וציר ה-x הוא S.

גרף הפונקציה והשטח הוזזו 2 יחידות ימינה. (ראו איור)

1. רשמו ביטוי לפונקציה (g(x בעזרת (f(x.

2. אם ניתן, הביעו בעזרת S, את השטח הכלוא מתחת לפונקציה (g(x.(ראו איור)

3. רשמו אינטגרל לחישוב כל אחד מהשטחים.

ב. נתון $\int_{1}^{3}f(x)dx=S$

אם ניתן, רשמו ביטוי לערך האינטגרלים הבאים:

היעזרו בשרטוט סקיצה לגרפים וביישומון אינטגרל של הזזה אופקית.

1. $\int_{3}^{5}f(x-3)dx$

2. $\int_{-1}^{1}f(x+3)dx$

3. $\int_{1}^{3}f(x-3)dx$

4. $\int_{2}^{4}f(x-1)dx$

ג. קבעו עבור אילו ערכי a , b ו-k יתקיים:

1. $\int_{a}^{b}f(x-5)dx=\int_{1}^{3}f(x)dx$

2. $\int_{a}^{b}f(x+7)dx=\int_{1}^{3}f(x)dx$

3. $\int_{a}^{b}f(x-k)dx=\int_{1}^{3}f(x)dx$

ד. נתון $\int_{0}^{3}f(x)dx=S$ רשמו אם אפשר ביטוי לאינטגרלים הבאים:

1. $\int_{0}^{6}f(x-3)dx$ , כאשר ידוע (f(x זוגית.

2. $\int_{0}^{6}f(x-3)dx$ , כאשר ידוע (f(x אי זוגית.

ה. נתונה הפונקציה $f(x)=(x-5)^3-4x+20$ והפונקציה (g(x המקיימת $g(x)=f(x+5)$

1. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה (f(x ו- (g(x באותה מערכת צירים.

2. הראו כי (g(x אי זוגית.

3. חשבו את ערך האינטגרל $\int_{-1}^{1}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך האינטגרל $\int_{4}^{6}f(x)dx$

ו. נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x-5}{\sqrt{x^2-10X+24}}$ והפונקציה $g(x)=f(x+5)$ .

1. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה (f(x ו- (g(x באותה מערכת צירים.

2. הראו כי (g(x אי זוגית. האם גם (f(x אי זוגית? נמקו.

3. הסבירו מדוע לכל $1<a<b$ מתקיים השוויון: $\int_{a}^{b}g(x)dx=\int_{a+5}^{b+5}f(x)dx$

4. חשבו את ערך האינטגרל $\int_{6}^{7}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך האינטגרל $\int_{4.5}^{5.5}f(x)dx$

5. חשבו את ערך הביטוי $\int_{1}^{2}g(x)dx + int_{-2}^{-1}g(x)dx$ ובעזרתו חשבו את ערך הביטוי . $\int_{6}^{7}g(x)dx + \int_{-7}^{-6}g(x)dx$ .