אלגברה וחדו"א

תקציר| לקפל פרבולה 

הגדרה גיאומטרית:
פרבולה היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה (המוקד) וישר קבוע (המדריך) שווה.

1. בעזרת קיפולים של דף נייר ונקודה אחת עליו נוכל ליצור באורח פלא פרבולה.
ללא סרגל, מחוגה או כל כלי מדידה...

על דף נייר: 

-  סמנו נקודה C בקרבת אחת משפות הדף.
-  סמנו נקודה D על שפת הדף אליה התייחסתם קודם.
-  קפלו את הדף כך שהנקודה C תתלכד עם הנקודה D.
-  פתחו את הקפל וסמנו נקודה D אחרת על שפת הדף.
-  שוב קפלו את הדף כך שהנקודה C תתלכד עם הנקודה שסימנתם על שפת הדף.
-  חיזרו על התהליך עוד מספר פעמים.כדי לראות את התמונה שיוצרים הקפלים באופן ברור מומלץ לעבור עליהם בעזרת עפרון וסרגל.

מה קיבלתם?

- השוו את הנייר המקופל שלכם עם זה של חברכם. תארו את הדומה ואת השונה.

- קחו נייר נוסף, סמנו נקודה בתוכו במקום שונה וחזרו על התהליך. מה קיבלתם הפעם?

שאלות למחשבה:

א. ראינו כי הקיפולים יוצרים את המתאר של הפרבולה. מהם לדעתכם המוקד והמדריך?
ב. מה ניתן לומר על היחס הגיאומטרי בין הנקודות C,D וישר הקיפול ?
ג. מה ניתן לומר על ישר הקיפול ביחס לפרבולה ?
ד. אם נזיז את הנקודה C קרוב יותר לשפת הדף כיצד תשתנה הפרבולה? כיצד תשתנה הפרבולה אם נרחיק את הנקודה משפת הדף? 

 Thinking out loud 

2. לשחק בקיפולים:
בכדי להבין את הפלא ובכדי שנוכל לחקור מצבים שונים היעזרו ביישומון (קובץ גאוגברה להורדה).
א. גררו את הנקודה D והפעילו עקבות אחר הקיפולים. מה קיבלתם? מה ניתן לומר על כל קיפול ביחס לפרבולה? 
ב. בודאי שמתם לב כי הקיפול משיק לפרבולה, התוכלו לשער היכן נקודת ההשקה? כיצד נקודת ההשקה קשורה לנקודה D?
ג. צרו ביישומון פרבולות שונות על ידי שינוי מיקום הנקודה C.

1. כיצד תשתנה הפרבולה אם נמקם את C קרוב יותר לשפת הדף?
2. כיצד תשתנה הפרבולה אם נמקם את C רחוק יותר משפת הדף?
3. כיצד תשתנה הפרבולה אם נמקם את C על שפת הדף?
4. כיצד תשתנה הפרבולה אם נמקם את  C מתחת לשפת הדף?

3. כיצד נוכיח כי קיפולי הנייר יוצרים פרבולה?

נתבונן באיור הבא המייצג את קיפולי הנייר של הפרבולה: 

א. הסבירו מדוע CM=MD.
ב. הקו המקווקו מייצג את קו הקיפול. מה תוכלו לומר עליו ביחס ל- CD?
ג. נבנה אנך לישר המייצג את שפת הדף דרך הנקודה D. הסבירו מדוע CP=DP .
ד. הראו על פי ההגדרה הגיאומטרית של הפרבולה כי הנקודה P על הפרבולה.
ה. ציינו מיהו המדריך ומיהי נקודת המוקד.

4. עוד משחקי פרבולה

לפניכם יישומון לבניית הפרבולה כמקום הגיאומטרי.

א. הסבירו איזו תכונה מקיימת הנקודה P ביחס לישר המדריך ולנקודת המוקד.
ב. קרבו והרחיקו את נקודת המוקד מהמדריך. כיצד תשתנה הפרבולה?
ג. שנו את מיקום המדריך באופנים שונים. כיצד תשתנה הפרבולה?
ד. צרו, אם ניתן, בעזרת היישומון את הפרבולות הבאות: y²=-x, y=x² , y²=x+1
מצאו את המוקד והמדריך של כל פרבולה

נקודה למחשבה:
כיצד יראה המקום הגיאומטרי אם המדריך לא יהיה ישר אלא מעגל?

מקורות נוספים:

• הפרבולה כצורה גיאומטרית – חמוטל דוד, על"ה 29.
• Famous Curves Index– מדור באתר The MT History of Mathematics archive ובו רשימת עקומים מפורסמים במתמטיקה עם הסבר היסטורי ומתמטי וכן יישומים דינאמיים מדגימים.
• אוגדן למורה: גיאומטריה אנליטית - פעילויות ממוחשבות – מחשבמטיקה, מכון וייצמן

פרטים

קטגוריה: הפיצוחים

תקציר| לרבע את הירח

אחת הבעיות שהעסיקו את המתמטיקאים מאות בשנים, היתה כיצד ניתן "לרבע" את המעגל, כלומר כיצד ניתן לבנות בעזרת סרגל ומחוגה ריבוע ששטחו כשטח מעגל נתון. בניסיונתיהם הרבים, ניסו גם לרבע צורות מעגליות כגון סהרונים.

"סהרון" היא צורה החסומה על ידי שתי קשתות מעגליות, בדומה לירח.    

1. לרבע את הסהרון של היפוקרטס

א. עקבו ביישומון אחר שלבי הבנייה ותארו במילים כיצד בנה היפוקרטס את הסהרון. רשמו את הנתונים באופן מתמטי.

ב. הראו כי שטח המעגל הקטן שווה לחצי משטח המעגל הגדול.              

ג. מה היחס בין שטח של הסהרון ושטח המשולש ?
חשבו את שטח הסהרון בעזרת חיבור וחיסור שטחים.

ד. בנו ריבוע ששטחו כשטח הסהרון.

2. לרבע את המעגל- האמנם?

היפוקרטוס טען כי "הוכיח" שניתן לרבע את המעגל, (לבנות ריבוע ששטחו שווה לשטח המעגל)

למרות שכיום ידוע שלא ניתן לעשות זאת. במה טעה היפוקרטס?


 

א. הראו כי :  שטח ששת הסהרונים - שטח המשושה = שטח המעגל הקטן היעזרו בחיבור וחיסור שטחים.

ב. משושה, בהיותו מצולע, ניתן לרבע, כלומר לבנות ריבוע בעל שטח שווה. היפורקטס הראה שניתן לרבע סהרונים.
מכאן ניתן להסיק שניתן לרבע את המעגל... האמנם? במה טעה היפורקטס?

3. לרבע את הסהרונים של אלחאסן

אלחאסן סרטט את שני סהרונים באיור הבא בעזרת שלושה חצאי מעגלים.

א. עקבו ביישומון אחר שלבי הבנייה ותארו במילים כיצד בנה את הסהרונים. רשמו את הנתונים באופן מתמטי.

ב. מה היחס בין שטח של שני הסהרונים ושטח המשולש ?

ג. בנו ריבוע ששטחו כשטח שני הסהרונים.

מקורות נוספים:

מי הפך את הירח לריבוע? – עטרה שריקי, קשר ח"ם

מצגת "לרבע את המעגל", רקע היסטורי ומתמטי. (באנגלית)

פרטים

קטגוריה: הפיצוחים

תקציר|  דלתוני ריצוף| לדפי גזירה| פתרונות והנחיות

1. פירוק והרכבה של משולש שווה-צלעות

לפניכם משולש שווה צלעות. כידוע גובה במשולש שווה-צלעות מחלק אותו לשני משולשים חופפים. (מדוע?)  

גזרו משולש שווה צלעות והרכיבו מחדש את שני המשולשים על ידי הצמדת שני קדקודים של משולש אחד לשני קדקודים של המשולש השני.

כמה מצולעים שונים תוכלו להרכיב בדרך זו?

2. דלתון הריצוף

אחת הצורות שניתן ליצור באמצעות הצמדת המשולשים היא דלתון. 

דלתונים מיוחדים אלה נקראים דלתוני-ריצוף בגלל האפשרות ליצור

בעזרתם ריצופים של צורות גאומטריות רבות ואף של המישור כולו.

א. מהן התכונות המיוחדות של דלתונים אלה?

1. מהן מידות הזויות של דתלוני-ריצוף?
2. מצאו קשרים בין אורכי האלכסונים של הדלתון לבין אורכי הצלעות.

ב. גזרו מדפי הגזירה מספר דלתונים ונסו להרכיב באמצעותם מצולעים שונים, כך שדלתוני הריצוף נצמדים לאורך צלע שלמה.

1. אילו מהצורות הבאות ניתן להרכיב משולש, מרובע, מחומש, משושה?
2. אילו מצולעים משוכללים הצלחתם לבנות? הסבירו כיצד.

נסו להרכיב את המצולעים ביותר מאשר דרך אחת.

ג. הציעו דרכים שונות לרצף משטח בעזרת דלתוני הריצוף.

3. משושים

בבית הספר “חופים” יש חצרות פנימיות בצורת משושה. במסגרת פרוייקט לשיפור פני בית הספר עלתה הצעה
ליצור משטחים משושים באמצעות אריחי קרמיקה בצורת דלתוני ריצוף .

בקטלוג הגלריה לאריחים מצאו את הדגם שבתמונה וניסו לברר:

א. פי כמה גדול היקף המשושה החיצוני מהיקף המשושה הפנימי?
פי כמה גדול השטח?

ב. האם ניתן לבנות את ריצוף הקרמיקה באמצעות אריחים בשני צבעים בלבד, מבלי שלאריחים באותו צבע תהיה צלע משותפת?

ג. האם ניתן לבנות את ריצוף הקרמיקה באמצעות אריחים בשלושה צבעים בלבד מבלי שלאריחים באותו צבע תהיה צלע משותפת?

ד. האם ניתן להמשיך את הריצוף ולקבל משושה עוד יותר גדול הבנוי מאותם האריחים?
לכמה אריחים נוספים תזדקקו?

 4. ריצוף באריחים בשני גדלים

לפניכם שני אריחים לריצוף. שני דלתוני ריצוף כך שהצלע הקצרה בדלתון הגדול שווה באורכה לצלע הארוכה בדלתון הקטן.

א. מה יחס ההיקפים בין שני הדלתונים? מהו יחס השטחים?

ב. הצמידו את שני אריחי הדלתונים זה לזה. איזה מרובע התקבל? תארו תכונותיו.

ג. נסו להרכיב מצולעים שונים מדלתוני ריצוף אלו.

ד. האם ניתן לבנות דלתון ריצוף דומה גדול יותר המורכב משני אריחים אלו?

5. ריצוף באריחים בגדלים משתנים

תלמידי מגמת האמנות רוצים ליצור עיטור מיוחד לקיר מבנה המגמה בעזרת דלתוני ריצוף.
בהצעה ניתן להשתמש בגדלים שונים של דלתוני ריצוף.

התקבלו שתי הצעות:
הקבוצה של חן הציעה לבנות עיטור של פרח, והקבוצה של נוי הציעה לבנות עיטור משושה.

א. תארו את בניית הריצוף בכל אחת מההצעות.

ב. תכננו (בשרטוט או במילים) כיצד ניתן להוסיף שכבה נוספת לכל אחד מהעיטורים. לכמה דלתונים תזדקקו להוספת שכבה?

בעת שקילת ההצעה יש לבדוק בכל אחד מהעיטורים:

א. האם קיים יחס קבוע בין היקפי השכבות ?

ב. פי כמה גדול שטח האריחים הסגולים משטח האריחים בתכלת ?

ג. האם נוכל להגדיל את העיטור על ידי הוספת שכבות של דלתוני ריצוף?

ד. האם נוכל להוסיף שכבות נוספות של דלתוני ריצוף גם כלפי פנים?

ה. האם נוכל באופן זה למלא את כל השטח הלא מרוצף?

ו.  האם ניתן למלא את כל השטח הפנימי בדלתוני ריצוף בדרך אחרת?

קישורים 

דלתוני ריצוף בויקיפדיה

עוד ריצופי דלתונים בבלוג math humbre

היצירה Fractal Tessellation of Spirals שלהאמן Robert Fathauer מבוססת על דלתוני ריצוף

פרטים

קטגוריה: הפיצוחים

• טרנסיטיביות
• תורת המשחקים

תקציר | על מתמטיקה ודמוקרטיה| פתרונות

1. החלטה גורלית

בית ספר "עלומים" נקלע לקשיים כלכליים, וההנהלה נאלצה להודיע על קיצוצים בתקציב.

מועצת התלמידים המודאגת התגייסה כדי לסייע להחלץ מהמשבר, וכינסה את כל תלמידי השכבה הבוגרת לישיבת חירום

והציעה שלוש הצעות:

    א. לוותר על תקציב מסיבת סוף השנה ולגייס כספים באירוע התרמה לשכבה הצעירה.

    ב. קיצור הטיול השנתי  ביום ובמקומו לצאת ליום עבודה בחקלאות כתרומה לבית הספר.

    ג.  צמצום שירותי הנקיון בבית הספר ויצירת תורנות ניקיון של התלמידים.

לקראת ההצבעה, לאחר דיון סוער, יודעים כל המשתתפים בדיון את סדרי העדיפות של חבריהם.

יושב ראש מועצת התלמידים מתאר את התמונה הבאה:

- מרבית החברים מעדיפים את הצעה א על הצעה ב

- מרבית החברים מעדיפים את הצעה ב על הצעה ג

- מרבית החברים מעדיפים את הצעה ג על הצעה א.

האם מצב זה ייתכן? הסבירו.

2. בחירות למועצת תלמידים

בבית הספר "עלומים" מקיימים כל שנה בחירות למועצת התלמידים.

על פי חוקי בית הספר כל תלמיד יכול להציע את מועמדותו למועצת התלמידים. כל תלמיד שם בקלפי פתק עם שם אחד.

אם יש תלמיד שזכה ב- 40% מהקולות הכשרים או יותר , אז התלמיד שזכה במספר הקולות הגדול ביותר נבחר לראשות מועצת התלמידים.

אם אף אחד מהתלמידים לא זכה ב- 40% מהקולות הכשרים או יותר נערך סיבוב שני בו מתמודדים שני המועמדים שזכו במירב הקולות.

אלה מתן וגל מציגים את מועמדותם לראשות מועצת התלמידים.

    א. כמה אפשרויות לסדר עדיפות בין המועמדים קיימות?
 

    ב. לאחר חודש של תעמולת בחירות יודע כל אחד מתלמידי בית הספר את סדרי העדיפויות של כל אחד מחבריו:

96 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות:  אלה  >  מתן  >  גל

110 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: מתן   >  גל    >  אלה

95 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: גל   >  אלה >  מתן

20 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: אלה  >  גל    >  מתן

20 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: מתן  >  אלה  >  גל

20 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: גל    > מתן    >  אלה

אם כל אחד יצביע על פי העדפותיו:  

  1. האם יהיה סיבוב בחירות שני?

  2. מי יהיה ראש מועצת התלמידים?


  3. המועמד מתן צופה את תוצאות הבחירות מראש. הוא וחברתו נועה מחליטים להצביע בעד גל (במקום בעד מתן).
 

האם החלטתם יכולה להשפיע על תוצאות הבחירות? הסבירו.

קישורים נוספים:

• דמוקרטיה מנקודת המבט של מתמטיקה– חומר לעבודות מחקר – ד"ר פיטר סמובול על שיטות בחירה שונות ופרדוקסים של בחירות.
• דמוקרטיה במספרים – שיעור באזרחות מאת מטח. עיבוד ניתוח של סקר המוצג בתמונות, אינפוגרפיקה. שימוש בתוכנת  Thinglink המאפשרת הוספת "נקודות חמות" על גבי תמונות.
• מקימים קואליציה (סימולציה) - הצעה לפעילות בכיתה בנושא הקמת הקואליציה בישראל בעקבות תוצאות הבחירות לכנסת ה-19. הפעילות מתבססת על סימולציה המבוססת על קובץ אקסל.
• בחירות רבותיי, בחירות – מכון דוידסון - בסדרת הכתבות נדבר על סקרי הבחירות, על ההסכמים שיוצר אחוז החסימה, על הקשר של הבחירות לתורת המשחקים ועוד.
• המתמטיקה של הדמוקרטיה – מאמר דיעה מתוך הבלוג – למה ללמוד מתמטיקה

פרטים

קטגוריה: הפיצוחים

כל היישומים פותחו במרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי, בעזרת התוכנה גאוגברה, בהתאמה לשאלות מבגרויות.

פרטים

קטגוריה: יישומים דינאמיים

מאגר יישומים דינאמיים לפי נושא

אוסף יישומים דינאמיים ודפי עבודה אינטראקטיביים לשילוב בכיתת המתמטיקה.
כל היישומים פותחו במרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי, בעזרת התוכנה גאוגברה, ניתן לצפות בהם ובנוספים בעמוד מרכז המורים בגאוגברה טיוב.
 

אלגברה	גאומטריה	טריגונומטריה
מספרים שליליים  משוואות ואי-שוויונות  נוסחאות  בעיות מילוליות  סדרות  מספרים מרוכבים	רשימת משפטים והוכחותם (אורט)  זוויות  משולשים  המלבן  מרובעים  מצולעים  שטחים  קטע אמצעים  דמיון  משפט פיתגורס  פאי  המעגל  בעיות עם המעגל  גאומטריית המרחב וקטורים  בעיות חקר	מעגל היחידה   פונקציה טריגונומטרית  טריגונומטריה במישור
פונקציות וחדו"א
קריאת גרפים הפונקציה (קדם אנליזה)   הישר   פונקציה ריבועית   פונקציה פולינומיאלית פונקציה רציונאלית  פונקציה מעריכית ולוגריתמית  פונקציית השורש  פעולות על פונקציות הגדרת הנגזרת    תכונות הפונקציה (אנליזה)  הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת בעיות קיצון    אינטגרלים   מספרים מרוכבים
		גאומטריה אנליטית
		גאומטריה אנליטית  מקומות גיאומטריים
		ספרי גאוגברה אוסף יישומונים מקובצים
		ספר גיאומטרית המרחב  ספר המספרים המרוכבים  ספר הוקטורים  ספר הנגזרת - בפיתוח גלית נגרי חדיף ספר בגאומטריה - בפיתוח מורי גאוגברה ספר בנושא פונקציות - בפיתוח מורי גאוגברה
מאגר שאלות בגרות בשילוב יישומים דינאמיים
מדריכים לעבודה בגאוגברה
אתרים נוספים עם יישומונים

פרטים

קטגוריה: יישומים דינאמיים

• המחשה
• מספרים שליליים
• מספרים מכוונים
• מודל
• חיבור וחיסור

נושא: מספרים שליליים

כיתה: ז

תיאור: פעילות אינטראקטיבית לדיון במודל מד חום בבעיות מילוליות של מספרים שליליים. ביישומון סימולציה למד חום, ניתן להעלות ולהוריד את הטמפרטורה.

פרטים

קטגוריה: מספרים שליליים

• מספרים שליליים
• מספרים מכוונים
• וקטור

נושא: מספרים שליליים

כיתה: ז

תיאור: ניתן להדגים ולחקור סכום של מספרים שליליים. ביישום דינאמי זה כל רישום מספרי מתואר על-ידי חץ (וקטור) שלו גודל וכיוון, כאשר אורך החץ מבטא את ערכו המוחלט של המספר וכיוונו מבטא את סימנו: חץ ימינה מספר חיובי, חץ שמאלה מספר שלילי. מכאן גם השם מספרים מכוונים.

פרטים

קטגוריה: מספרים שליליים

• מספרים שליליים
• מספרים מכוונים

נושא: מודל ויזואלי לחיבור מספרים מכוונים בעזרת קשתות

כיתה: ז

תיאור: ניתן להדגים ולחקור סכום של מספרים שליליים. ביישום דינאמי זה, המחובר הראשון מוצג כנקודה על ציר המספרים והמחובר השני מייצג תנועה בצעדים ימינה או שמאלה- תלוי בסימן המחובר השני. תנועה ימינה- המחובר השני חיובי ותנועה שמאלה- המחובר השני שלילי. תוצאת החיבור היא הנקודה אליה הגענו.

פרטים

קטגוריה: מספרים שליליים

• ערך מוחלט
• פתרון גרפי
• משוואות עם ערך מוחלט

נושא: משוואות ואי שוויונות.

כיתה: ז'- יב'

תיאור: יישום דינאמי שעוסק בהרחבה ובהעמקה במושג הערך המוחלט. הערך המוחלט של מספר מבטא בציר המספרים את מרחקו של המספר מהאפס.

מתוך הפעילות לכיתה המדעית - פונקצית הערך המוחלט.

פרטים

קטגוריה: משוואות ואי שוויונות