המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי

הצטרפות למברק מתמטי

תקציר|שלוש פרבולות ולהן שלוש פונקציות קדומות|חומר למורה

לפניכם שלוש פרבולות "מחייכות"

3 parabolas capture

1. שלוש הפרבולות הללו הן נגזרות של פונקציות אחרות כך ש:

$g_{1}^{'}(x)=f_1(x)$ , $g_{2}^{'}(x)=f_2(x)$ , $g_{3}^{'}(x)=f_3(x)$ .

- מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציות?

- סרטטו דוגמאות אפשריות לגרפים של פונקציות $g_{1}$ , $g_{2}$ ו- $g_{3}$ .

- במה דומות ובמה הן שונות?

2. לכל אחת מן הפונקציות חקרו את תחומי הקעירות וציינו את מספר נקודות הפיתול של הפונקציה. הסבירו במה דומות ובמה שונות הפונקציות?

3. לכל אחת מן הפונקציות העריכו את מספר נקודות הפיתול של הפונקציה ואת שיפוע המשיק שם. הסבירו לפיכך במה דומות ובמה שונות הפונקציות?

4. סרטטו 3 פרבולות בעלות מקסימום ואת הפונקציות הקדומות שלהן:

(1) לפרבולה שתי נקודות חיתוך עם ציר ה- x.

(2) לפרבולה נקודת חיתוך אחת עם ציר ה- x.

(3) פרבולה ללא נקודות חיתוך עם ציר ה- x.

5. האם הגרפים של הפונקציות הבאות יכולים לייצג פונקציות ממעלה שלישית? הסבירו.

אם כן, ציינו על הגרף היכן נקודות הפיתול ושרטטו את המשיק שם.

3 parabolas Q5 capture

הפעילות עובדה על פי:
"פונקציה ממעלה שלישית בתמונה משפחתית", ללמוד וללמד אנליזה, פרק 9, ע"מ 209

תקציר|במעלה הר תבור

פתחו את היישום במעלה הר תבור.

לפניכם תמונה של הר תבור הנמצא בלב הגליל התחתון, הידוע בכיפתו העגולה הנשקפת למרחקים. הוא מתנשא לגובה של 562 מטרים, כ-400 מטרים מעל פני סביבתו.

ביישומון, על קו המתאר שלו משורטטת באדום פונקציה המתאימה את קו הגובה בק"מ למרחק האופקי מנקודת המוצא בק"מ.

עזרו לטייל להכיר את המעלה, היכן הוא יוכל לנוח, היכן הוא הכי יתאמץ ?

ענו על השאלות הבאות:

1. הציגו את הטייל והזיזו אותו. עקבו אחר מסלול הטיפוס שלו לפסגה (מסומן באדום) ותארו במילים שלכם את מהלך הטיפוס. קבעו (אם אפשר):

■ היכן במעלה, העלייה היא התלולה ביותר?

■ היכן במעלה, העלייה היא הכי פחות תלולה?

■ היכן במעלה, העלייה הולכת ונהיית יותר ויותר תלולה?

■ היכן במעלה, העלייה הולכת ונהיית פחות ופחות תלולה?

2. הציגו את שיפוע המדרון.

עקבו אחר מיקום המשיק בנקודות שונות ביחס לגרף הפונקציה ומצאו:

■ הפונקציה קעורה כלפי מטה (∩):

תחומים בהם המשיק נמצא מעל הפונקציה. מה המשמעות לכך בסיפור?

■ הפונקציה קעורה כלפי מעלה (U):

תחומים בהם המשיק נמצא מתחת לפונקציה. מה המשמעות לכך בסיפור?

3. הציגו את שיפוע המדרון, עקבו אחר השינוי בשיפוע המשיק.

קבעו מהי המשמעות לכך בגרף הפונקציה, ומהי המשמעות לכך בסיפור עבור התנאים הבאים:

■ נקודות בהן שיפוע המשיק אפס.

■ נקודות בהן שיפוע המשיק שלילי.

■ נקודות בהן שיפוע המשיק חיובי.

■ תחומים בהם שיפועי המשיקים הולכים וגדלים .

■ תחומים בהם שיפועי המשיקים הולכים וקטנים.

4. עקבו אחר השיפוע. מוצגת נקודה B המתארת את גודל שיפוע המשיק בנקודה A.

■ מה מתאר גרף העקבות של הנקודה B? מה המשמעות לכך בסיפור ?

■ מה המשמעות בגרף הפונקציה לנקודות החיתוך של פונקצית השיפועים עם ציר ה-x? והמשמעות בסיפור?

■ מה המשמעות בגרף הפונקציה לתחומי החיוביות והשליליות של פונקצית השיפועים? והמשמעות בסיפור?

5. הצג פתרון- היכן המדרון הוא התלול ביותר?

■ מה מאפיין את המשיק בנקודת הפתרון?

■ הסבירו מה מייצג כל גרף בפתרון?

■ הסבירו מה מייצגת כל נקודה משלוש הנקודות המודגשות על הגרפים.

■ אילו תנאים בנגזרת הראשונה ובנגזרת השנייה מתקיימים בפתרון?

6. מלאו את הטבלה:

הנגזרת השנייה	הנגזרת הראשונה חיובי/שלילי עולה/יורדת	צורת הגרף
			הפונקציה עולה וקעורה כלפי מעלה (U)
			הפונקציה יורדת וקעורה כלפי מטה (∩
			נקודת פיתול
			הפונקציה יורדת וקעורה כלפי מעלה (U)
			הפונקציה עולה וקעורה כלפי מעלה (U)
			הפונקציה קעורה כלפי מעלה (U)
			הפונקציה קעורה כלפי מטה (∩)