המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי

הצטרפות למברק מתמטי

תקציר| pdf נעלה בחזקה זוגית או אי זוגית

בפעילות זו ניתן להיעזר ביישומון (להורדה)

נחקור את הפונקציה $f(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{n}$ ונשאל כיצד משפיע n על תכונות הפונקציה.

נתבונן בפונקציה כפונקציה מורכבת: $f(x)=(1+k(x))^{n}$ כאשר $k(x)=\frac{1}{x}$ .

א. שרטטו את הגרף $k(x)=\frac{1}{x}$ .

ב. נתונה הפונקציה $f(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{1}$ .

1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

2) מהם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה?

3) מהן האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה?

4) שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה. (השוו עם היישומון- להורדה)

5) על פי הגרף, שערו האם לפונקציה יש נקודות פיתול ? אם כן, כמה?

ג. נתונה הפונקציה $k(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{2}$ .

כיצד תשתנה הפונקציה $f(x)$ אם נעלה אותה בריבוע?

1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

2) מהם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה?

3) מהן האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה?

4) שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה. (השוו עם היישומון- להורדה)

5) על פי הגרף, שערו האם לפונקציה יש נקודות פיתול ? אם כן, כמה?

ד. סכמו במה דומות ובמה שונות הפונקציות $f(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{1}$ , $k(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{2}$ .

כיצד הדבר בא לידי ביטוי בנגזרות של הפונקציות?

ה. נתונה הפונקציה $g(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{3}$ .

כיצד תשתנה הפונקציה $f(x)$ אם נעלה אותה בחזקת שלוש?

1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

2) מהם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה?

3) מהן האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה?

4) שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה. (השוו עם היישומון- להורדה)

5) על פי הגרף, שערו האם לפונקציה יש נקודות פיתול ? אם כן, כמה? נמקו.

ו. סכמו במה דומות ובמה שונות הפונקציות $f(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{1}$ , $g(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{3}$ .
.
כיצד הדבר בא לידי ביטוי בנגזרות של הפונקציות?

ז. עבור n אי זוגי:

1) מצאו כמה נקודות קיצון (אם יש כאלה) יש לפונקציה?

2) מצאו כמה נקודות פיתול (אם יש כאלה) יש לפונקציה?

3) שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

ח. עבור n זוגי:

1) מצאו כמה נקודות קיצון (אם יש כאלה) יש לפונקציה?

2) מצאו כמה נקודות פיתול (אם יש כאלה) יש לפונקציה?

3) שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה.

ט. בצעו את פעילות החקר גם עבור הרכבת פונקציות נוספות. כגון:

$g(x)=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{n}$

$h(x)=(1+\sqrt{x})^{n}$

$m(x)=\left (1+\frac{1}{\sqrt{x}} \right )^{n}$

$n(x)=\left (1+\frac{1}{x^{2}-1} \right )^{n}$

planning a garden capture תקציר| pdf 1 מתכננים גינה| מדריך למורה

בשטח מלבני שממדיו 8 מטרים ו- 6 מטרים מתכננים גינת נוי.

מתכנני הגינה בודקים אפשרויות שונות לשתול דשא בשני שטחים בצורת ריבועים זהים, ובשטח נוסף בצורת מלבן כמתואר בציור.

השטחים המיועדים לדשא מופיעים בציור בירוק מקווקו. שאר השטח מיועד לפרחים.

א. הציעו תכנית אפשרית של גינה התואמת את התיאור. מה שטח הדשא במקרה זה?

ב. הציעו תכנית נוספת שמתאימה לתיאור. מה שטח הדשא הפעם?

ג. פתחו את היישומון, וגררו את הנקודה האדומה כך שתתקבל חצר שונה מאלה שתכננתם בסעיפים הקודמים.

ד. כשגוררים את הנקודה האדומה מופיע על צג המחשב גרף שמתאים לאורך צלע הריבוע את שטח הדשא. מה אורך צלע הריבוע כאשר שטח הדשא מינימלי?

ה. סמנו ב- x את אורך צלע הריבוע במטרים. רשמו את הפונקציה המתאימה ל- x את שטח הדשא במ"ר. מהו תחום הפונקציה.

ו. הראו בדרך מתמטית שכאשר x=2.75 שטח הדשא מינימלי. מהו שטח הדשא במקרה זה?

ז. אורן חיבר בטעות את סכום השטחים המיועדים לפרחים במקום את סכום השטחים המיועדים לדשא. כשהמשיך בפתרון גילה שגם בפונקציה שלו הנגזרת מתאפסת כאשר x=2.75 . כיצד זה ייתכן?

ח. הציגו את שתי הפונקציות באמצעות תיבת הבחירה. מה הקשר ביניהן? הסבירו.

תקציר| pdf 1 האינטגרל כפונקציה| pdf 1 מדריך למורה

חקרתם את הפונקציה $f(x)=-3x^{2}e^{x^{3}}$ ואת הפונקציה $g(x)=\left | f(x) \right |$ וקיבלתם את הגרפים:

integral as a function

1. הסבירו מדוע $g(x)=-f(x)$ . כיצד תכונה זו מתבטאת בגרף?

2. השוו בין ערכי האינטגרל המסויים:

$I_{2}=\int_{- 1}^{0}g(x)dx , I_{1}=\int_{- 1}^{0}f(x)dx$ , אין צורך לחשב ערכים מספריים.

מה מייצג כל אינטגרל ? הסבירו.

3. נגדיר פונקציה $h(a)=\int_{- 1}^{0}f(x)dx$ .

תוכלו להיעזר ביישומון וגררו את הנקודה A, והתבוננו בחלון השמאלי.

א. על פי הגרף של $f(x)$ תארו כיצד משתנה $h(a)$ ככל ש- a גדל?

ב. באיזה תחומים, אם בכלל, הפונקציה $h(a)$ חיובית? שלילית?

ג. באיזה תחומים, אם בכלל, הפונקציה $h(a)$ עולה? יורדת?

ד. האם לפונקציה $h(a)$ יש נקודות קיצון? אם כן, מהן?

ה. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה $h(a)$ . מה מייצג הגרף?

ו. רשמו ביטוי אלגברי מתאים לפונקציה $h(a)$ .

סמנו עם העכבר את חלון הגרפי השני. רשמו ביטוי אלגברי עבור הפונקציה $h(x)$ בחלון הקלט (שימו לב יש לרשום את הביטוי כמשתנה של x ולא של a) ובדקו שהגרפים מתלכדים.

4. נגדיר פונקציה $t(a)=\int_{- 1}^{a}g(x)dx$ .

תוכלו להיעזר ביישומון וגררו את הנקודה A, והתבוננו בחלון השמאלי.

א. על פי הגרף של $g(x)$ תארו כיצד משתנה $t(a)$ ככל ש- a גדל?

ב. באיזה תחומים, אם בכלל, הפונקציה $t(a)$ חיובית? שלילית?

ג. באיזה תחומים, אם בכלל, הפונקציה $t(a)$ עולה? יורדת?

ד. האם לפונקציה $t(a)$ יש נקודות קיצון? אם כן, מהן?

ה. שרטטו סקיצה לגרף הפונקציה $t(a)$ . מה מייצג הגרף?

ו. רשמו ביטוי אלגברי מתאים לפונקציה $t(a)$ .

סמנו עם העכבר את חלון הגרפי השני. רשמו ביטוי אלגברי עבור הפונקציה $t(x)$ בחלון הקלט (שימו לב יש לרשום את הביטוי כמשתנה של x ולא של a) ובדקו שהגרפים מתלכדים.

5. השוו בין הפונקציות $h(a)$ ו- $t(a)$ . במה דומים ובמה שונים הגרפים שלהם?

מהי נקודת החיתוך בין הגרפים?

הרחבה:

6. אם נשנה את הגבול התחתון של האינטגרל $h(a)=\int_{- 0.5}^{a}f(x)dx$ ,

כיצד לדעתכם ישתנה גרף הפונקציה $h(a)$ ? כיצד ישתנה הביטוי האלגברי של הפונקציה?
הסבירו מסקנתכם.

הזיזו ביישומון את הנקודה B וקבעו אותה כך ש- $x=-0.5$ , גררו את הנקודה A ועקבו אחר בניית הגרף של $h(a)$ .

במקרה זה, היכן יפגשו הגרפים $h(a)$ ו- $t(a)$ ?

בדקו מסקנתכם עבורי ערכי גבול תחתון שונים.

7. חקרו כיצד ישתנו ממצאיכם עבור הפונקציות:

א. $f(x)=x^{3}-x$ ו- $g(x)=\left | f(x) \right |$

ב. $f(x)=x^{3}-x$ ו- $g(x)=-f(x)$

שערו ובדקו ביישומון היכן יפגשו הגרפים $h(a)$ ו- $t(a)$ ? נמקו.