המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי

הצטרפות למברק מתמטי

תקציר|משולשים חסומים בפרבולה|מדריך למורה

triangle in parabola pic

פתחו את היישומון - משולשים החסומים בפרבולה, וענו על השאלות:

א. נתון גרף פונקציה ריבועית: $f(x)=-x^2+2x+8$

- מהן נקודות האפס של הפונקציה?

- מהו התחום בו הפונקציה אי שלילית?

- מהו ציר הסימטריה של הפרבולה?

ב. חוסמים משולש בפרבולה בתחום בו היא אי שלילית.

עקבו ביישומון אחר בניית המשולש החסום בפרבולה באמצעות סרגל הנווט, (צעדים 1-7).

הסבירו במילים שלכם את הבניה.

ג. הזיזו את הנקודה K ועקבו אחר משולשים שונים החסומים בפרבולה.

האם לדעתכם קיים משולש בעל שטח מינימלי? בעל שטח מקסימלי?

ד. נסמן את שיעור ה-x של הנקודה K ב-x.

בטאו באמצעות x את שיעורי הנקודות M, L ,K ובדקו ביישומון בסרגל הנווט, (צעדים 7-11).

ה. דן הציג את שטחי המשולשים באמצעות פונקציית המטרה $s(x)=\frac{1}{2}(x-1)(-x^2+2x+8)$

גרף הפונקציה של דן מוצג ביישומון בחלון השמאלי (צעד 12).

הסבירו את הביטויים האלגבריים בפונקציה של דן.

ו. הזיזו שוב את הנקודה K שעל הפרבולה.

בחלון הימני מופיעה נקודה כתומה P, המתאימה ל-x את שטח המשולש החסום בפרבולה. כאשר תזיזו את הנקודה K, תוכלו לעקוב אחר השתנות שטח המשולש. במה דומה הגרף שיצרו העקבות לגרף הפונקציה שבנה דן ובמה הוא שונה ממנה?

ז. יצד תגדירו את פונקצית המטרה למציאת השטח המקסימלי של המשולש MLK? חקרו את הפונקציה ומצאו לה שתי נקודות מקסימום. מהם המשולשים המתאימים?

ח. הסבירו באופן גאומטרי מדוע קיימים שני משולשים בעלי שטח מקסימלי.

תקציר| pdf מלבן ופרבולה| pdf מדריך למורה

בעקבות מבחן מפמ"ר תשע"ז

rectangle and parabula Q

במערכת הצירים מסורטטים שני גרפים של פונקציות ריבועיות.
גרף אחד הוא של הפונקציה f(x) = x2 (מסומן ב-i ).

1. מי מבין הפונקציות הבאות לא יכולה להיות הפונקציה שהגרף שלה מסומן ב- ii? הסבירו. (יש יותר מאשר תשובה נכונה אחת)

rectangle and parabula capture (1) $g(x)=2x^2$

(2) $g(x)=x^2+4$

(3) $g(x)=3x^2$

(4) $g(x)=x^2-2$

(5) $g(x)=x^2+6$

(6) $g(x)=(x+2)^2$

2. נתון גם שהגרף המסומן ב- (ii) מתקבל מהגרף המסומן ב- (i) על ידי הזזה 4 יחידות למעלה.

א. מהם שיעורי נקודת הקדקוד של הפרבולה המסומנת ב- ii?

ב. כתבו את הביטוי האלגברי של הפרבולה המסומנת ((ii.

3. סרטטו מלבן שאחד מקדקודיו הוא ראשית הצירים וקדקוד נגדי לו הוא M(2,4). צלע אחת של המלבן על ציר ה- y (ראו סרטוט).

א. הסבירו מדוע נובע מהנתונים שלמלבן יש גם צלע המונחת על ציר ה- x.

ב. חשבו את שטח המלבן. הציגו דרך פתרון.

ג. איזו מבין המשוואות מתאימה לייצג את הישר
עליו מונח אחד מאלכסוני המלבן.

(1)y = 2x + 4 (2) y = –2x + 4
(3) y = x + 4 (4) y = –x + 4.

4. עדן בנתה (אפשר בעזרת היישומון) מלבנים נוספים ABMP, שאחד מקדקודיהם, M, נמצא על הפרבולה $y=x^2$ , ושני קדקודים שלהם על הצירים (ראו סרטוט).

bike and bicycle Q4

השלימו בטבלה מה שטח המלבן של כל אחד מהמלבנים שיצרה עדן.

		(3,__)	(2,4)	(1,1)	הנקודה M
			8 סמ"ר	1 סמ"ר	שטח המלבן

5. עדן שמה לב ששטח כל אחד מהם הוא $AB^3$ , כאשר $AB$ אורך הצלע המונחת על ציר ה- x. למשל: אם הקדקוד M הוא בנקודה (3,9), אורך הצלע $AB$ הוא 3 יחידות ושטח המלבן 27 יחידות. האם זה מקרי? הסבירו תוכלו להיעזר ביישומון.

6. עופר ואלון בנו מלבן שקדקוד אחד שלו על הפרבולה $y=x^2+4$ ,שתי צלעות שלו על הצירים ושתי צלעות מקבילות לצירים. הם סימנו ב- $x$ את הצלע המונחת על ציר ה- $x$ , וחיפשו ביטוי אלגברי לשטח המלבן כפונקציה של $x$ . עופר קיבל את הביטוי $x(x^2+4)$ , אלון קיבל את הביטוי $x^3+4x$ .

א. מי צודק? האם ייתכן ששניהם צודקים?

ב. כיצד חישב כל אחד מהם את שטח המלבן?

7. גם יעל בנתה מלבן עבור הפרבולה המוזזת $y=x^2+4$ , כאשר קדקוד אחד שלו על הפרבולה $y=x^2+4$ , שתי צלעות שלו על הצירים ושתי צלעות נוספות מקבילות לצירים. יעל חילקה אותו לשני מלבנים באופן שונה מאשר אלון.

סמנו ב- $x$ את הצלע המונחת על ציר ה- $x$ .

ניתן להיעזר ביישומון מלבן ופרבולה מוזזת.

א. הביעו בעזרת $x$ , את אורכי הצלעות של המלבן ABCD ואת שטחו.

ב. הביעו בעזרת $x$ , את אורכי הצלעות של המלבן PMCD ואת שטחו.

ג. הסבירו כיצד ניתן להביע את שטח המלבן של הפונקציה המוזזת ((ABCD כסכום שני מלבנים.

ד. האם קיים שוויון בין הביטויים שקיבלתם בסעיף א' לסעיף ג'? הסבירו שיקולכם.

תקציר| pdf אופניים ואופנוע| pdf מדריך למורה

בעקבות מבחן מפמ"ר תשע"ז

bike and bicycle capture Q

א. באיזו מהירות רכב רוכב האופנוע?

ב. איזה מרחק עברו רוכב האופניים ורוכב האופנוע עד שנפגשו?

מה היחס בין המרחקים שעברו? האם אפשר היה לדעת זאת מראש?

ג. אופיר טוען שאפשר לחשב את המרחק שעבר רוכב האופניים בלי לדעת את המהירות, בלי להתייחס לכך שהרוכבים נפגשו כעבור 3 שעות, ובלי לפתור שום משוואה. כיצד לדעתכם עשה זאת?

ד. יובל אמר: הבנתי.

אם המרחק ביניהם היה 5 ק"מ. רוכב האופנוע היה רוכב 4 ק"מ ורוכב האופניים בדיוק קילומטר אחד עד לפגישה. האם יובל צודק? הסבירו.

ה. היישומון אופניים ואופנוע מציג את התנועה של רוכב האופניים ורוכב האופנוע כתלות בזמן. היישומון מאפשר לקבוע את מהירות הרכיבה של רוכב האופניים (מהירות הרכיבה של רוכב האופנוע נקבעת בהתאם), ומאפשר לקבוע את הזמן שחלף מתחילת הרכיבה.

הסבירו את דבריהם של אופיר ויובל באמצעות היישומון.

Q5 bike and bycicle

ו. הציעו שאלה נוספת הקשורה לנתונים שאפשר לענות עליה בלי לפתור משוואה.