תקציר| המלך מתיא חובב המתמטיקה| פתרונות|  الملك متيا مُحب للرياضيات

1. גינת השושנים 

בחצר המלך גינת ורדים נדירה ובה שבעה שיחי ורדים השתולים בשורה. המלך ביקש לגדר סביב כל שיח ורד במוטות עץ ייחודיים ויקרים, כמתואר באיור:

המלך אמר כי כרגע בגינה 7 שיחי ורדים, אך כבר בחודש הקרוב הוא יגדיל את הגן ל-25 שיחי ורדים, ובתכנון הסופי יהיו אף 100 שיחים!

א. כמה מוטות צריך בכדי לגדר 7 שיחי ורדים? 25 שיחים? 100 שיחים?
    הסבירו כיצד מצאתם?

ב. נפלה מחלוקת בין שלושת יועציו כמה מוטות עץ דרושים למשימה וכיצד לספור את מוטות העץ.

ראו כיצד היועץ תחכמוני ספר את המוטות: 

ראו כיצד היועץ חשבוני ספר את המוטות:

ראו כיצד היועץ אין-כמוני ספר את המוטות:

התאימו לכל יועץ את תרגיל החשבון  שלפיו ספר את מוטות העץ והסבירו במילים כיצד ספר.

1 +7.3                           4 +6.3                      7.2 + 8

מי מהיועצים צודק?

ג.  כיצד לדעתכם יספור כל יועץ מוטות עבור 25 שיחים?  100 שיחים? רשמו תרגילים מתאימים. 

ד. האם אתם ספרתם את מוטות העץ בדומה לאחד היועצים? הסבירו את שיטתכם.

ה. רועי טען שהוא ספר אחרת את מוטות הגדר של שבעת השיחים. הוא ספר כך: 7.4 - 6. הסבירו את שיטתו.

ו. כמה מוטות צריך בכדי לגדר מספר כלשהו של שיחי ורדים?  רשמו במילים ובתבנית אלגברית.

מקור: Nrich

2. שולחן הסעודה הגדולה

המלך מתיא אהב לארח לארוחות חגיגיות בחדר האוכל המלכותי. שם היו לו למכביר שולחנות ריבועיים לארבעה, והמון כסאות. כשערך סעודה גדולה בקש מיועציו המתמטיים לחבר את השולחנות זה לזה לשורה אחת ארוכה של שולחן ארוך.

נא ענו על השאלות הבאות:

א. כמה כיסאות ניתן לסדר סביב שולחן אחד? שני שולחנות מחוברים? שלושה שולחנות מחוברים?

ב. כמה כיסאות ניתן לסדר סביב 10 שולחנות? 20 שולחנות? כיצד מצאתם את מספר הכיסאות?

ג. כיצד תקבעו כמה כיסאות ניתן להושיב סביב מספר כלשהו (n) של שולחנות? הסבירו.

ד. כמה שולחנות יש להצמיד עבור 18 אנשים?

ה. האם ניתן להושיב בסידור שולחנות זה בדיוק 25 אנשים?

ו. כיצד תקבעו  כמה שולחנות יש להציב עבור מספר כלשהו של אנשים (p)?

להרחבה:

לקראת נשף פתיחת שנת הלימודים בממלכה, המלך מתיא מתכוון לערוך סעודה גדולה רבת משתתפים, ובקש שיארגנו לו לכבוד המאורע שולחן מלבני. (כמתואר באיור)

א. חקרו כמה כסאות ניתן לסדר סביב שולחן מלבני כזה?

ב. תכננו שולחן לארוחה בת 1000 מוזמנים.

מקור: illumination- Chairs Around The Table

3. שביל המלך

המלך בקש מיועציו לתכנן בגנו שביל ייחודי המרוצף מאבנים בצורת מצולעים משוכללים (משושה משוכלל, ריבוע, משולש שווה צלעות). אורך כל צלע של אבן מצולע משוכלל היא: 10 ס"מ. השביל יהיה מרוצף בסידור של תבניות החוזרות על עצמן.

יועצי המלך המתמטיים, זולו ומולו, הגישו למלך שתי תוכניות ריצוף.
השביל של זולו:

השביל של מולו:

ענו עבור כל אחד מהשבילים:

א. זהו את התבנית שחוזרת על עצמה וצבעו אותה.

ב. כמה אבנים מכל סוג צריך עבור תבנית אחת? מהו אורכה?

ג. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל משתי תבניות? שלש תבניות?

ד. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל מעשר תבניות? מה יהיה אורך השביל?

ה. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל באורך 50 מטר ?

ו. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל מ-n תבניות?

תכננו גם אתם עיצובים נוספים לשביל המלך וענו על השאלות א-ו.

תוכלו להיעזר בתכנון השביל בכלי האינטראקטיבי:  "שמיכת טלאים", ולהוסיף גם צורות אחרות.

מקור: Teacher to Teacher Press - The king's Pathway

למתעניינים, מקורות נוספים:

אוסף מאמרים מתורגמים- על ראשית האלגברה של המרכז היסודי. 

דפוסים גיאומטריים- התייחסות וניתוח פריאל, מרקוורט .

תקציר| פחות או יותר

1.  בבוסתן 

לפניך מפת בוסתן פירות ישראלי.

כל חלקת עצים מגודרת. עליך להגדיר עבור מערכת ההשקיה את התחום בו כל חלקה נמצאת.

א. רשמו מערכת אי שוויונות המתארת את שטח עצי התפוח. 
ב. איזה שטח מתואר ע"י אי השוויונות הבאים: 

ג. רשמו מערכת אי שוויונות המתארת את שטח עצי הזית.

ד. הוכיחו כי שטח עצי הזית שווה לשטח כל עצי הפירות האחרים.

2.  עבודה בחופשת הקיץ 

הקיץ החליטה הילה לעבוד בחופשת הקיץ בכדי לחסוך לטיול "מחוף אל חוף".  
הילה מתכוונת לעבוד לא יותר מ-20 שעות בשבוע (בכדי שתספיק גם לנוח ולבלות) ובכל זאת להרוויח לפחות 360 שקל לשבוע העבודה. 
להילה שתי הצעות עבודה: שמרטפית ושוטפת כלים במסעדה. 
עבור שעת העבודה בשמרטפות משלמים 20 שקל ועבור שטיפת כלים 24 שקל לשעה.

א. אם הילה תעבוד רק בשמרטפות או רק בתור שוטפת כלים, כמה היא תרוויח?

ב. אם הילה תחלק את שעות העבודה בין שמרטפות לבין שטיפת כלים שווה בשווה, 
כמה היא תרוויח?

ג. הציעו להילה חלוקה כזאת של שעות עבודה, כך שהיא תחסוך סכום כסף הגדול ביותר האפשרי.

3.  משחק כדורסל

ארז חזר ממשחק כדורסל וסיפר בגאווה למשפחתו על המשחק:
"היו לי 10 כדורים חוזרים, 2 חסימות ו-3 התקפות מתפרצות והכי חשוב.. הצלחתי לקבל מספר נקודות שלא קטן ממספר הנקודות הגבוה ביותר שהיה לי בעונה הקודמת".
ארז, חובב החידות, סרב לחשוף כמה נקודות קלע אך רמז:

(1) לא זרקתי אף קליעת עונשים. (עבור קליעת עונשין מקבלים נקודה אחת). 
(2) מספר הסלים של 2 נקודות קטן או שווה ל-8. 
(3) מספר הסלים של 2 נקודות היה גדול מפעמיים ממספר הסלים של השלשות (עבור שלשה מקבלים 3 נקודות).
(4) מספר הנקודות הגבוה ביותר בעונה שעברה היה 18.

ננסה לעזור למשפחתו של ארז לגלות מהו מספר הנקודות שקלע:

א. סמנו: ב-x את מספר הסלים של 2 נקודות וב-y את מספר הסלים של 3 נקודות.
הביעו באמצעות x ו- y את הרמזים של ארז.

ב. שרטטו במערכת צירים בה  ו-  (מדוע?), את הישרים המתאימים לרמזים (2) ו-(3). סמנו את כל הנקודות ששיעוריהן מקיימים את הרמזים הללו.

ג. הוסיפו למערכת הצירים גם את הישר המתאים לרמז האחרון.
סמנו את כל הנקודות ששיעוריהן מקיימים את כל הרמזים של ארז.

ד. מהו המספר הגדול ביותר של הנקודות שיכול היה לקבל ארז?

 4. אימון כושר ושריפת קלוריות

באימון שחייה ניתן לשרוף 12 קלוריות בדקה ואילו ברכיבה על אופניים ניתן
לשרוף 8 קלוריות בדקה.
דנה החליטה לשלב באימון את שתי הפעילויות הספורטיביות.

א. סמנו את מספר דקות השחייה ב-x, ואת מספר דקות רכיבה באופניים ב-y.
    רשמו ביטוי למספר הקלוריות שנשרפות באימון המשלב שחייה ורכיבת אופניים.

ב. כמה קלוריות תשרוף דנה באימון של 30 דקות בשחייה בלבד ?
    ברכיבה באופניים בלבד? 
    אם תחלק את זמן האימון שווה בשווה בין שחייה ואופניים?

ג. דנה החליטה להתאמן לכל היותר 30 דקות כך שתשרוף לפחות 300 קלוריות.
   הציעו לדנה תוכנית אימונים מתאימה. 

ד. דנה חייבת לרכב על האופניים לפחות 10 דקות באימון ובשאר האימון לשחות. מהו המספר המרבי (מקסימלי) של קלוריות אותו תוכל לשרוף?

יישומים אינטראקטיביים לשרטוט גרף לאי שוויון לינארי:

פתרון אי שוויון או מערכת אי שוויונות לינארית - ישום בעזרת Geogebra.

פתרון מערכת אי שוויונות לינאריים באמצעות גרפים - יישום מבית 

פעילויות ומאמרים בנושא אי שוויונות לינאריים:

משוואות של אי-שוויונים ממעלה ראשונה במישור - מחר 98- התרת מערכות "או" ומערכות "וגם" של אי-שוויונים ממעלה ראשונה בשני משתנים, תוך התייחסות לצורת תחום הפתרון. זוהי הקדמה לחוברת "תכנון לינארי - מושגים, שיטות, יישומים - לימוד בשילוב מחשב.

לביצוע המטלות ניתן להעזר בכל תוכנת מחשב המאפשרת חקירת פונקציות ו/או במחשבון גרפי.

התרת אי-שוויון ומערכת אי-שוויונים ממעלה ראשונה- מחר 98-  דפי עבודה לתלמיד בנושא: הפונקציה הקווית,  המשלבים את המחשב בלימוד הנושא. דפים אלה הם חלק מחוברת הנקראת "שילוב המחשב בלימוד המתמטיקה - הפונקציה הקווית. הדפים בנויים בצורה של גילוי של תכונות הפונקציה, ע"י העלאת השערות ובדיקתן של דוגמאות רבות במחשב. בנוסף לכל דף עבודה לתלמיד, יש דף למורה המכיל המלצות למורה וכן הפניה לנספח.

תקציר |מתמטיקה מכל הלב | פתרונות | رياضيات من القلب | حلول | ערבית| פתרונות בערבית

למסיבת סוף השנה אפו התלמידים חמש עוגות בצורת לב.

א. הסבירו כיצד נבנתה התבנית של כל עוגה.

ב. חשבו את השטח של כל עוגה, כאשר ידוע שהקטע המסומן אורכו 10 ס"מ. מהי העוגה הגדולה ביותר ?

ג. פי כמה יגדל שטח כל "לב", אם נכפיל את בסיס התבנית (הקטע המסומן) פי 2?

ד. אם נסמן את בסיס התבנית ב-a, הביעו את שטח כל לב באמצעות a.

עוד לבבות מתמטיים תוכלו למצוא - http://www.mathematische-basteleien.de/heart.htm

משימת אתגר- האם תוכלו לשרטט לכם לב מגרפים של פונקציות?

קחו לכם פתק ריבועי וקפלו לב לבבי.

עקבו אחר ההוראות באיור ובסרטון הבא :

התבוננו בלב שקיבלתם:

א. מצאו חלוקות שונות של הלב למצולעים שונים.
ב. איזה חלק של הריבוע מהווה הלב.