תקציר|פונקציות פה ושם ובכל מקום- חלק ד'|دوال هنا وهناك في كل مكان

האקר הרשע וחבורת הרשת (סייבר) מתחרים זה בזה להגיע לראשו של מגדל גבוה בכדי להציל את פסל "הצליל הטוב". האקר בוחר לטפס במדרגות הגדולות בכדי להשמיד את הפסל. חבורת הרשת נאלצים לטפס

במדרגות קטנות יותר. הם חוששים שלעולם לא ישיגו את האקר. 

צפו  בסרט המצויר, מה דעתכם האם חבורת הרשת תצליח במשימה?

מרוץ המדרגות חלק א'          
תרגום הסרטון                

האקר וחבורת הרשת החלו בטיפוס המאתגר. עד מהרה הם שמו לב, שהמדרגות הקטנות שלהם גדלות בקצב אחר מהמדרגות של האקר הרשע. 

צפו  בסרט המצויר, מה דעתכם האם חבורת הרשת תצליח במשימה?

מרוץ המדרגות חלק ב'          

תרגום הסרטון               

א. מלאו את הטבלה תוך כדי צפייה בסרט.

    המדרגות האדומות של האקר                                המדרגות הכחולות של חבורת הרשת
                        

ב.  סמנו על ציר ה-x את מספר הפעמים שהמדרגות גדלות (1-6).

     סמנו על ציר ה-y את מספר המדרגות.

     מתוך הטבלה שיצרתם, סמנו את הנקודות המתאימות את מספר הפעמים למספר המדרגות של האקר באדום. חברו נקודות אלו לגרף.

     מתוך הטבלה שערכתם, סמנו את הנקודות המתאימות את מספר הפעמים למספר המדרגות של חבורת הרשת בכחול. חברו נקודות אלו לגרף.

ג. 1) מה תוכלו ללמוד מהגרף על מרוץ המדרגות בין האקר לחבורת הרשת?

   2)  האם ניתן לראות בגרף שבתחילת המרוץ האקר השיג את חבורת הרשת?

   3) האם ניתן לראות בגרף מתי  חבורת הרשת השיגה את האקר?

   4) אם המדרגות של האקר וחבורת הרשת היו שוות בגודלן, מתי לדעתכם חבורת הרשת הייתה משיגה את האקר?

ד. ידוע כי גובה המדרגות של האקר היה 60 ס"מ ואילו גובה המדרגות של חבורת הרשת היה 15 ס"מ.

    בכדי למדוד מה היה הגובה שלהם מהקרקע נוסיף עמודה שלישית לכל טבלה. 

           המדרגות האדומות של האקר                           המדרגות הכחולות של חבורת הרשת
               

ה. העלו את ממצאכם על מערכת הצירים שלמטה וענו על השאלות הבאות:

   1). מה תוכלו ללמוד כעת מהגרף על מרוץ המדרגות בין האקר לחבורת הרשת?

   2).  האם ניתן לראות בגרף החדש מתי  חבורת הרשת השיגה את האקר?

   3).  מה מיוחד בנקודה בה שני הגרפים נפגשים?

   4).  מה היה גובהו של המגדל אשר בראשו היה פסל "הצליל הטוב" ?

   5). אם גובהו של המגדל היה 4 מטרים, מי היה משיג במרוץ?

ו. אם n  מייצג את מספר הפעמים שהמדרגות גדלו, מהו הביטוי המתאר את גובהן של המדרגות האדומות של האקר מעל הקרקע?  מהו הביטוי המתאר את גובהן של המדרגות הכחולות של חבורת הרשת מעל הקרקע?

מקור הסרטים והפעילות -

VITAL/Ready to Teach is a production of Thirteen/WNET. Major funding for this project was provided by the U.S. Department of Education.
© 2008 Thirteen/WNET

פיצוחים נוספים בנושא מבוא לפונקציות:

1. מכונות של פונקציה- תוך כדי משחק יכירו התלמידים את הפונקציה כמכונה ואף ירכיבו מספר פונקציות פשוטות.

2. בונים בקוביות - תוך כדי התנסות מוחשית בבנייה בקוביות התלמידים יבחנו תהליכי השתנות באמצעות בניית טבלה וגרף.

3. אגדה של פונקציה - התלמידים יכירו את האגדה המפורסמת "גרגר האורז" (אגדת השחמט) העוסקת בהפתעה של השתנות של גידול פי שניים. התלמידים יבחנו את קצב הגידול וישוו זאת לגידול לינארי ואחר.

תקציר|הפרש ריבועים | פתרונות| فرق مربعين | حلول

1. ללא מילים

לפניכם שלוש הוכחות דינאמיות ללא מילים להפרש שטח ריבועים.

הסבירו את האיורים הדינאמיים והראו בדרך אלגברית את נכונות הנוסחה:

(a²-b²)=(a-b)(a+b)

2. מטבעות הזהב

סוחר עשיר אסף מטבעות זהב. יום אחד נשאל "כמה מטבעות זהב יש לך?".

הסוחר הסס לרגע וענה ברמיזה: 

"אהההם...  אם אחלק את מטבעותיי לשני חלקים אז ההפרש ביניהם יהיה קטן פי 77 מהפרש הריבועים שלהם".

התוכלו לדעת כמה מטבעות זהב לסוחר?

3. מיהו המספר

העלו מספר דו ספרתי בריבוע, הפכו את סדר ספרותיו והעלו גם בריבוע. 

הפרש הריבועים יצא גם הוא ריבוע.

התדעו מהו המספר?

4. קסמי חשבון

א. בחרו שני מספרים עוקבים, חשבו את הפרש הריבועים שלהם.

    האם קיבלתם את סכום שני המספרים שבחרתם? הכיצד?

ב. בחרו שני מספרים הנבדלים זה מזה ב-2.

    חשבו את הפרש הריבועים שלהם ואת סכומם. התדעו מה הקשר? הסבירו.

ג. בחרו שני מספרים הנבדלים זה מזה ב-3.

    חשבו את הפרש הריבועים שלהם ואת סכומם. התדעו מה הקשר? הסבירו.

ד. התוכלו לדעת במה נבדלים שני מספרים זה מזה כאשר הפרש ריבועים שלהם גדול פי 77 מסכומם?

   (ע"פ המאמר - Revisiting a Difference of Squares, David Slavit, Mathematics Teacher, February 2001)

5. משחקים במחשבון

זיו שיחק במחשבון וקיבל כמה תוצאות מפתיעות:

65²-35²=3000

55²-45²=1000

85²-65²=3000

א. התוכלו למצוא עוד זוגות מספרים שהפרש הריבועים שלהם יתן כפולה של 1000?

ב. התוכלו למצוא שני מספרים שהפרש הריבועים שלהם 5000? 

ג. רון הצטרף לשעשועי החישובים ומצא גם הוא תופעה מפתיעה:

                       56²-45²=1111

                      89²-12²=7777

                      78²-23²=5555

ד. האם ניתן לקבל גם את המספרים הבאים 3333, 9999, 8888? הסבירו כיצד.

6. משפטון פרמה

פרמה, מתמטיקאי צרפתי נודע מהמאה ה-17,  עסק בתורת המספרים .

פרמה גילה כי כל מספר ראשוני הגדול מ-2 , ניתן להציג באופן אחד ויחיד כהפרש של שני ריבועים.התוכלו להוכיח?

רמז באיור המצורף ללא מילים:

 מקור: אתרו של דוד שי, המשפט האחרון של פרמה

למתעניינים, מקורות נוספים:

בעיה ופתרונה - גליונות לחשבון, שמואל אביטל

הוכחות ויזואליות: השקפותיהם ואמונותיהם של תלמידים- רז הראל וטומי דרייפוס, על"ה 41

תקציר|בארץ יצורי הפרא המתמטיים |פתרונות|في بلاد الكائنات العجيبة الرياضية | حلول

בארץ יצורי הפרא המתמטיים חיים יחדיו שני סוגי יצורים  . 
אך כאשר שניהם פוגשים זה את זה הם בולעים זה את זה, לכן כשהם ביחד הם נקראים "זוג האפס".

היצורים הללו מתאספים יחד כדי להציג מספרים שלמים.

1. הנה שלושה מפגשים המייצגים את אותו מספר:

ציירו יצורים נוספים המייצגים את אותו מספר:

2. ושוב שלושה מפגשים המייצגים את אותו מספר. מהו?

ציירו יצורים נוספים המייצגים את אותו מספר.

3. איזה מפגש מייצג מספר גדול יותר?

4. יצורי הפרא המתמטיים יודעים גם להציג תרגילי חשבון, לדוגמה תרגיל חיבור:

 צפו בסרטון "חיבור בארץ יצורי הפרא המתמטיים" 

השלימו:

תוכלו לשחק ולפתור בעיות במשחק האינטראקטיבי של חיבור יצורי הפרא. (נדרש תוסף ג'אווה בדפדפן שאינו כרום)

5. יצורי הפרא המתמטיים יודעים גם להציג תרגילי  חיסור :

צפו בסרטון "חיסור בארץ יצורי הפרא המתמטיים".

השלימו:

6.  אך מה יעשו היצורים בתרגילי חיסור, כאשר לא ניתן "לקחת" מתוכם?  

     איך ניתן לקחת  ( -2) מתוך 5 ?

יצורי הפרא הנבונים הציעו להוסיף שני "זוגות האפס" כדי שאפשר יהיה לבצע את החיסור. 

השלימו:

קצת היסטוריה

הסינים היו הראשונים שהתייחסו למספרים השליליים כבר במאה השנייה לפני הספירה לשם חישובים מסחריים. הם ייצגו את המספרים החיוביים (זכות) עם מקלות שחורים והשליליים (חוב) עם מקלות אדומים.

במאה השמינית לספירה, ההודים שהכניסו את שיטת הספירה הערבית ואת האפס, התייחסו גם הם למספרים השליליים. המתמטיקאי ההודי ברַהמַגוּפְטַה כתב:"הסכום של שתי זכויות הוא זכות, של שני חובות הוא חוב, הסכום של זכות וחוב הוא ההפרש שלהם".

אך במשך מאות בשנים גרמו המספרים השליליים למתמטיקאיים מבוכה ואלו התקשו לקבלם וקראו להם "דמיוניים ושקריים ...".  רק במאה ה-19 התקבלו המספרים השליליים כחלק ממערכת המספרים כאשר המילטון, מתמטיקאי אירי ואחרים, ייסדו בסיס מתמטי מלא למערכת המספרים השליליים.

משחקים ועוד עם מספרים שליליים:

"שלושה ברצף" - משחק מדליק לתרגול חיבור וחיסור מספרים שליליים. ניתן לשחק עם חבר או נגד המחשב, וכן לקבוע את רמת המשחק. 

מעבדת הבטריות - משחק המלווה גם במערך שיעור. מודל נוסף להצגת המספרים השליליים המלווה במערך שיעור מאת ה- NCTM. 

"מאזניים לפתרון משוואות הכוללות מספרים שליליים" - משחק אינטראקטיבי לפתרון משוואות אלגבריות.

מקורות

• Nrich - Adding and Subtracting Positive and Negative Numbers
• Colored-Chip Model for Integers יחידת לימוד למורים מאת Annenberg Media להכרות עם המודל "אסימונים צבעוניים" לפעולות החשבון עם מספרים שליליים. ביחידה וידאו קצר ומומלץ של השתלמות מורים המציג את המודל ונשאלת שם השאלה האם המודל מתאים להצגת כל פעולה?
• הקניית המושג "מספרים מכוונים"- שילוב נימוקים חוץ ופנים מתמטיים - מיכאל קורן- על"ה 32.
• מתולדות המתמטיקה - על המספרים השליליים - שמואל אביטל, גליונות לחשבון 21.