תקציר|פונקציות פה ושם ובכל מקום- חלק א' | פתרונות|دوال هنا وهناك في كل مكان - الجزء الأول| حلول

א. בכוכב המתמטי מכונות משוכללות המייצרות מספרים סודיים. ניתן להכניס לתוכן מספרים ולקבל מספרים אחרים במקומם לפי חוקיות סודית. יצורי הכאוס פלשו לכוכב והחליטו לשבש את עבודת המכונות. 

הצילו את הכוכב! שחקו במשחק מכונת הפונקציות. עליכם לעצור את היצורים הנכנסים למכונה על ידי כך שתגלו את החוקיות של המכונה. התבוננו במספרים הנכנסים והיוצאים מהמכונה, הנרשמים בטבלה,  התוכלו למצוא את החוקיות?

התבוננו במכונה שבאיור:

1) מה יהיה פלט המכונה כאשר נכנס המספר 1?

2) מה יהיה פלט המכונה כאשר נכנס המספר 11?

3) איזה מספר נכנס למכונה אם יצא המספר 11?

4) כתבו ביטוי אלגברי המתאר מה יהיה פלט המכונה אם הקלט היה n.

היו זריזים, ומצאו את החוקיות של כל מכונה ועזרו להציל את הכוכב. (בחרו פעולה ולאחריה מספר)                                                                                                                                           

מקור המשחק - PBS                       

ב. בכוכב המתמטי יצאו בתוכנית הגנה והמציאו מכונות משוכללות אף יותר כך שבהן קשה יותר לגלות את החוקיות הסודית של המכונה. במכונות החדשות ניתןלהרכיב כמה רכיבים זה אחר זה. המכונה המורכבת עובדת כך שהמספר היוצא מהרכיב הראשון (הפלט מהשלב הראשון) עובר לרכיב הבא ונכנס אליו (הקלט של השלב הבא), וכך הלאה...

לפניך מכונה הבנויה משני רכיבים:

                                            
1) הכניסו למכונה את המספר 2 , איזה מספר לדעתכם תקבלו ביציאה? 

     חברו תרגיל חשבוני מתאים. 

2) הכניסו מספרים שונים למכונה ומלאו את הטבלה: 

3) התוכלו לדעת איזה מספר נכנס למכונה אם המספר הסודי שיצא ממנה הוא 100? 99?

4) יצורי הכאוס שיבשו את עבודת המכונה והפכו את סדר הרכיבים. 
    הכניסו כעת למכונה את המספר 2 , איזה מספר תקבלו ביציאה? חברו תרגיל חשבוני מתאים. 

בכוכב המתמטי החליטו להתחכם אף יותר ויצרו את מכונת "המספרים הסודית ביותר". 
המכונה החדשה מורכבת מחמשה רכיבים.

שחקו במכונה האינטראקטיבית ועקבו אחר פעולתה. 
בכל שלב בחרו מספרים בעזרת החיצים ופעולות מתוך ארבע פעולות החשבון.

השתמשו במכונה האינטראקטיבית כדי ליצור את המכונה המבצעת את התהליך הבא:

בחרו מספר (קלט)
      הכפילו אותו

      הוסיפו 2 לתשובה

      חלקו את התוצאה ב-2 

      חסרו ממה שקיבלתם 7 

      הכפילו את התוצאה ב-4

1) מהו המספר הסודי שתפלוט המכונה אם בחרתם כקלט את המספר 5? 
    חברו תרגיל חשבוני מתאים.

2) מהו המספר הסודי שתפלוט המכונה אם בחרתם כקלט את המספר 5- ? 
    חברו תרגיל חשבוני מתאים.

3) אם תבחרו כקלט את n מה יהיה הפלט ?

4) האם תוכלו להרכיב מכונת מספרים דומה אך פשוטה יותר? כלומר הרכיבו מכונה הפועלת לפי אותו תהליך המורכבת ממספר קטן יותר של רכיבים.

5) התוכלו לדעת איזה מספר נקלט במכונה אם המספר הסודי שנפלט ממנה הוא 120?
    ואם הוא 50?
    חברו תרגילים חשבוניים מתאימים המתארים כיצד מצאתם.

6) יצורי הכאוס הצליחו לפצח גם הפעם את הקוד הסודי... כיצד עשו זאת?
    אם ידוע כי המספר הסודי שנפלט מהמכונה הוא x, תנו ביטוי באמצעות x המתאר את הקלט.

אתגר לכיתה 

התוכלו להרכיב מכונה מחמישה רכיבים (עם ארבעת פעולות החשבון) שהקלטים שלה הם:

  2, -4, 0, 1, 5  כך שהמכונה תתן את הפלט הגדול ביותר?

בחרו אתם חמישה מספרים שונים ובנו מכונה אחרת בה הפלט יהיה המספר הגדול ביותר.

מקור הפעילות - Learning Math - פעילות מתוקשבת למורי חטיבת הביניים.

פיצוחים נוספים בנושא מבוא לפונקציה:

1. בונים בקוביות - תוך כדי התנסות מוחשית בבנייה בקוביות התלמידים יבחנו תהליכי השתנות באמצעות בניית טבלה וגרף.

2. אגדה של פונקציה - התלמידים יכירו את האגדה המפורסמת "גרגר האורז" (אגדת השחמט) העוסקת בהפתעה של השתנות של גידול פי שניים. התלמידים יבחנו את קצב הגידול וישוו זאת לגידול לינארי ואחר.

3. הפונקציה בסרטים מצוירים- מרוץ המדרגות- התלמידים יעקבו אחר תהליך של השתנות בסיפור המוצג בסרט מצוייר, טבלה ובגרף.

משחקים נוספים

מכונת פונקציות עם שלב אחד ועם שני שלבים.

משחקים מבית  Interactivate- Shodor

מכונה של פונקציות

מבחן הקו האנכי לפונקציה- האם אוסף הנקודות במערכת הצירים מתארת פונקציה?

חוק המלך- משחק ישן וחביב להורדה מבית מטח, עליכם לגלות את חוק המלך לעבור חדרים ולפתור חידות עד שתגיעו אל המלך.

Math Function Mania 2.6 - משחק להורדה, משחק להכרות עם פונקציות בו 20 רמות קושי. 
ניתן לשחק גם בזוגות.

צפו בסרט - Math Magic - קסם מתמטי- תן לי ואנחש את מספרך.

תקציר|פונקציות פה ושם ובכל מקום- חלק ב' |פתרונות|دوال هنا وهناك وفي كل مكان – الجزء الثاني

1. הפעם נשחק בקוביות ונבנה מבנים שונים של מדרגות. לפניכם "המדרגות התלויות":

א. השלימו את הטבלה הדינאמית (גליון אקסל) וסמנו נקודות מתאימות במערכת הצירים.

ב. האם תוכלו לדעת מתוך הגרף כמה קוביות נדרשות לבניית מדרגות בגובה 6?

ג. כמה קוביות לדעתכם צריך לבניית מדרגות בגובה 10? בגובה 100? בגובה n?

ד. מה אפשר לומר על השתנות מספר הקוביות עם עליית גובה המדרגות?

2. נבנה מדרגות בצורה שונה, "המדרגות הסימטריות".

א. השלימו את הטבלה הדינאמית (גליון אקסל) וסמנו נקודות מתאימות במערכת הצירים באמצעות.

ב. האם תוכלו לדעת מתוך הגרף כמה קוביות נדרשות לבניית מדרגות בגובה 6?

ג. מה אפשר לומר על השתנות מספר הקוביות עם עליית גובה המדרגות?

   במה שונה השתנות מספר הקוביות ב"מדרגות התלויות" מאשר ב"מדרגות הסימטריות" ? 

   כיצד ניתן לראות שוני זה בגרפים?    במה שונים ובמה דומים הגרפים?

ד. כמה קוביות לדעתכם צריך לבניית מדרגות בגובה 10? בגובה n ?

ה. הסבר נוסף לחוקיות הוא שניתן לבנות מהמדרגות מבנה ריבועי. הכיצד?  

    היעזרו באנימציה הבאה:

ו. עצבו בעצמכם מבנים נוספים של מדרגות ותארו את החוקיות, נסו להתאים לה גרף.

ז. אתגר-  במוזיאון הלאומי בוושינגטון מוצב פסל הפירמידה המרובעת של האמן היהודי אמריקאי סול לה-ויט.

 בנו גם אתם דגם של הפירמידה המרובעת. התוכלו לחשב כמה קוביות נדרשות לדגם?

  Sol LeWitt
Four-Sided Pyramid, 1999, first installation 1997
National Gallery of Art, Washington
לחצו על התמונה להגדלה

מעובד לפי מקור מתוך רשת המורים TES  -  Valley Maths 2004, D Cavill

פיצוחים נוספים בנושא מבוא לפונקציות:

1. מכונות של פונקציה- תוך כדי משחק יכירו התלמידים את הפונקציה כמכונה ואף ירכיבו מספר פונקציות פשוטות.

2. אגדה של פונקציה - התלמידים יכירו את האגדה המפורסמת "גרגר האורז" (אגדת השחמט) העוסקת בהפתעה של השתנות של גידול פי שניים. התלמידים יבחנו את קצב הגידול וישוו זאת לגידול לינארי ואחר.

3. הפונקציה בסרטים מצוירים- מרוץ המדרגות- התלמידים יעקבו אחר תהליך של השתנות בסיפור המוצג בסרט מצוייר, טבלה ובגרף.

תקציר|פונקציות פה ושם ובכל מקום- חלק ג' |פתרונות|دوال هنا وهناك وفي كل مكان

זהו סיפור עם מהודו הרחוקה על שליט עריץ ונערה חכמה שידעה קצת מסודות המתמטיקה.  

א. השלימו את הטבלה הדינאמית (גליון אקסל) וסמנו נקודות מתאימות במערכת הצירים באמצעות. 

ב. כמה גרגרי אורז יהיו לרני לאחר 5 ימים? כיצד ניתן לראות זאת בגרף? 

ג. כמה גרגרי אורז יהיו לרני לאחר שבוע? לאחר n ימים?