תקציר|משלוש (בעיות) יוצא אחד|من ثلاث (مسائل) ينتج واحدة |

1. טקס לחיצות ידיים

א. שבעה מתמטיקאים נפגשו במסיבה. ובטקס מסורתי לחצו זה לזה ידיים. הראשון לחץ ידיים עם כל השאר. השני לחץ ידיים לכל השאר, פרט לראשון איתו כבר לחץ.

    השלישי לחץ ידיים לכל השאר פרט לראשון ולשני. וכך הלאה. כמה לחיצות ידיים היו בסה"כ?

ב. שבוע לאחר מכן נפגשו שמונה מתמטיקאים במסיבה. כמה לחיצות ידיים היו אז? ואם היו מגיעים למסיבה תשעה?

ג. שגיא ניסה לחשב כמה לחיצות ידיים תהיינה אם יהיו 20 מתמטיקאים במסיבה. 
   הוא טען שכל אחד מהם לוחץ ידיים 19 פעמים, לכן יהיו לחיצות ידיים בסה"כ.
   הילה לא הסכימה עמו. היא חישבה כך: .  
   הסבירו כיצד לדעתכם כל אחד מהם ספר? מי לדעתכם צודק?

ד. יום אחד, 161 מתמטיקאים נפגשו במסיבה. כמה לחיצות ידיים היו בסה"כ בטקס לחיצות הידיים.
    התוכלו לתאר דרך קצרה לחישוב?

ה. האם יתכנו 4851 לחיצות ידיים בטקס? כמה מתמטיקאים נפגשו אז?
    האם יתכנו 6214? 3655? 7626? 8656?

מקור: Nrich,Handshakes

2. השושן המסתורי 

התבוננו באנימציה כיצד בנוי פרח השושן המסתורי Mystic Rose :

תקציר|קיפולי נייר גיאומטריים |פתרונות|طي الورق هندسيًا | حلول

1. שטח משולש ועוד תכונות

1) גזרו לכם משולש וקפלו גובה h ופיתחו בחזרה את הקפל.

2) קפלו את הקודקוד של המשולש אל הצלע שממול.
    צבעו את קו הקיפול באדום.
    מה תוכלו לומר על קו הקיפול שקיבלתם?      
    מהו המרובע שקיבלתם?

3) קפלו גבהים למרובע לאורך קווי הקיפול כמתואר בתרשים. 
    צבעו את בסיס המשולש בכחול.

התבוננו במרובע שקיבלתם, ממנו נוכל ללמוד על תכונות חשובות של המשולש.

א. מה תוכלו לומר על סכום שלושת הזוויות המסומנות? 
    איזו מסקנה ניתן להסיק לגבי זוויות המשולש?

ב. איזה מרובע קיבלתם לאחר הקיפול? 
    מהן מידותיו?  
    מה תוכלו לומר על שטחו של המרובע ושטחו של המשולש?

ג. מה תוכלו לומר על אורך קו הקיפול m ביחס לאורך בסיס המשולש? הסבירו.נסחו מסקנותיכם במילים ובאופן מתמטי.

2. שטח טרפז

1) גזרו לכם טרפז מנייר וצבעו את שני בסיסיו בצבעים שונים.

2) קפלו גובה h כלשהו בטרפז ופיתחו בחזרה את הקפל.

3) קפלו את הבסיס הקטן של הטרפז על הבסיס הגדול. 
    מהו קו הקיפול שקיבלתם?

4) התבוננו בשני המשולשים שנוצרו לאחר הקיפול. 
    מה תוכלו לומר על שני המשולשים הללו?

5) קפלו לאורך קווי הקיפול כמתואר בתרשים. התבוננו במרובע שקיבלתם.   

    א. איזה מרובע קיבלתם? נמקו.

    ב. מה תוכלו להסיק לגבי אורך קטע האמצעים? (הביעו באמצעות בסיסי הטרפז a,b וגובהו h)

    ג. מהו שטחו של המרובע? (הביעו באמצעות בסיסי הטרפז a,b וגובהו h) 

        מה היחס בין שטחו של המרובע המקופל לשטח הטרפז הנתון? הסבירו! 

מקור: הפעילות מבוססת על עבודתה של יפית אביטל.

3. שטח מקבילית

1) גזרו לכם טרפז ישר זווית מנייר. 

    (לשם הנוחות הקפידו ש DG יהיה גדול מEC , מצורף דגם)

2) קפלו כך שקודקוד A יתלכד עם קודקוד B. 

    מה תוכלו לומר על הקטע FG ?

3) קפלו לאורך הגובה h בטרפז לפי האיור וסמנו את הנקודה C' המתלכדת עם C.

4) קפלו באלכסון לפי הקו 'BC.

5) פתחו את כל הקיפולים, והתבוננו בנייר המקופל:

    א. אילו מצולעים תוכלו לזהות ? 

    ב. מה תוכלו לומר על שני המשולשים המסומנים?

6) קפלו לאורך הקו h, איזה מרובע קיבלתם? מה תוכלו לומר על שטחו?

    קפלו לאורך הקו k, איזה מרובע קיבלתם? מה תוכלו לומר על שטחו?

    מה ניתן להסיק מהשוואת שטחי המרובעים הללו?

מקור: Mathematics through Paper Folding by ALTON T. OLSON

4. משולש מצרי

במצרים העתיקה ידעו ליצור משולש ישר זווית בעל צלעות 3:4:5 באמצעים פשוטים: 

במשטח ריבועי הם מתחו חבלים מכל קודקוד של הריבוע אל אמצע שתי הצלעות שממול.

כך נוצר כוכב מתומן ובו כלוא משולש מצרי, משולש ישר שווית 3:4:5.

בואו ניצור משולש מצרי- קחו נייר ריבועי וסמנו את נקודות האמצע של כל צלע ע"י חצייתם.

קפלו מנקודת האמצע אל הקודקודים שממול.

א.  מצאו משולשים מצריים (ישרי זווית 3:4:5) בנייר המקופל.

ב.  הראו כי הזווית המשולש AFB הוא משולש מצרי.

    תוכלו להיעזר באיור הבא כהוכחה ללא מילים. נמקו!

ג. האם מצאתם משולשים מצריים נוספים? מכמה סוגים?

ד. כמה משולשים מצריים ישנם בסה"כ בקיפול הנייר של הכוכב המתומן?

מקור: http://www.cut-the-knot.org/

תקציר| פתרונות|

חידה 1

נדמיין  לעצמינו שאנו מקיפים את כדור- הארץ, בסרט, לאורך קו המשווה (כמו חגורה סביב כדה"א). נוסיף לסרט זה מטר אחד, כך ייווצר רווח בין הסרט לבין קו המשווה. 
א. האם ברווח זה יכול לעבור חתול (בעמידה זקופה או בזחילה)? 
הסבירו את טענתכם.
ב. על קו המשווה מוצבת אנטנה בגובה 7 מטרים, כמה מטרים יש להוסיף לסרט בכדי שהאנטנה תהיה מתחתיו?

חידה 2

נדמיין  לעצמינו ספורטאי המקיף  את כדור- הארץ, לאורך קו המשווה.
האם נכון להגיד שראשו עובר מרחק גדול יותר מרגליו? אם כן, אז בכמה?
מה יקרה אם הספורטאי "יקיף"  לאורך קו המשווה של .... כדור טניס?