תקציר| מעגלי ארכימדס| פתרונות| دوائر أرخميدس| حلول

ארכימדס (287- 212 לפנה"ס) היה מדען יווני שהגיע לתוצאות מרשימות במתמטיקה, הנדסה ופיסיקה.

ארכימדס חישב את ערך Π בדיוק רב (ראו יישומון ממוחשב), ופיתח נוסחאות לחישוב שטח פנים ונפח של גופים שונים.

אגדות רבות מסופרות על ארכימדס ותגליותיו. הוא חקר את פעולתם של מנופים ומספרים שאמר "תנו לי נקודת אחיזה ואוכל להזיז את כדור הארץ..." מיוחסת לו האמירה "אאוריקה", כאשר גילה באמבטיה את חוק הציפה, חוק ארכימדס.
האגדה גם מספרת שחייל שבא לגייסו לצבא לשם פיתוח נשק, הטיל צל על המעגלים שארכימדס צייר על החול. ארכימדס העיר לו "הסתלק, אל תקלקל לי את המעגל"... והחייל התרגז והרגו.

חלק מעבודותיו תורגמו לערבית,  והם הגיעו לאירופה במאה ה-12, אבל רק במאה ה-16 הישגיו של ארכימדס זכו להכרה  עולמית.

על ארכימדס בהרחבה בויקיפדיה

אל תקלקל לי את המעגל - מאמר באלף אפס.

1.  שרשרת הזהב של המלך

סיפור נודע על ארכימדס הוא על כתר הזהב המזוייף. בעקבותיו, המלך היירון השני הכיר בארכימדס גם כבלש המפענח תעלומות באמצעות חכמתו והידע הרב שלו.

אגדה אחרת מספרת על מלך שהזמין מצורף הממלכה שרשרת זהב ונתן בידו חוט זהב בצורה של חצי עיגול. הצורף הציע למלך ארבעה עיצובים שונים לשרשרת. המלך שוב חשד שצורף הממלכה מנסה לרמותו וזימן את יועצווביקשו לבדוק האםאורכי השרשראות שווה לחוט הזהב שהפקיד בידו.

היועץ מיד זהה כי הצורף מנסה לרמות את המלך.

האם תוכלו לאמוד את אורכי השרשראות?

מהי השרשרת הקצרה ביותר?

2. סכין הסנדלרים

השטח המוצל שבאיור הדינאמי מתאר סכין סנדלרים הנקרא ביוונית ארבלוס. (Arbelus) יש המכנים אותו סכין תורכי. ארכימדס היה הראשון שחקר את תכונותיו המתמטיות .

א. הזיזו את הנקודה C שעל קוטר חצי העיגול הגדול בכדי לשנות את צורת הארבלוס. תארו את מבנה הארבלוס.

ב. מהו היחס בין אורך הקשת של חצי המעגל הגדול לבין סכום אורכי הקשתות של המעגלים הפנימיים?  

ג. משיק לשני חצאי המעגלים חותך את חצי המעגל הגדול בנקודה D. 
בונים מעגל שקוטרו הוא CD. 
מצאו את יחס שטח עיגול זה ושטח הארבלוס כאשר :

(1).  הנקודה C היא במרכז חצי המעגל הגדול.

(2).  הנקודה C מחלקת את הקטע AB ביחס 1:2.

(3).  ידוע כי רדיוס חצי המעגל הגדול הוא R, ורדיוס אחד מחצי המעגלים הקטנים הוא r.

למתעניינים - התנסו בפרויקט "הפריזבי של ארכימדס".

בתחרות למתמטיקה לתיכונים בפלורידה, הוענק לכל משתתף פריזבי ועליו היה לחקור את התכונות הגיאומטריות של העיצוב המיוחד, באמצעות תוכנות דינאמיות.

בפרוייקט הנחיות לחקירת הארבלוס, המעגלים התאומים של ארכימדס ושרשרת מעגלי פאפוס.

3. המלחייה של ארכימדס

ארכימדס חקר את צורתה של המלחייה האופיינית לימי יוון, הסלינון, שמתוארת באיור הדינאמי הבא:

הסלינון הופיע לראשונה בספרו של ארכימדס, שנכתב לפני 2200 שנה, בשם "ספר הלֶּמות"
(לֶמָּה- משפט עזר להוכחת משפט אחר).

א. הסבירו כיצד נבנה הסלינון.

ב.  לפי הלמה ה-14 של ארכימדס שטחו של הסלינון שווה לשטח המעגל שקוטרו  GF. נא הוכיחו.

ג. הסבירו את "ההוכחה ללא מילים" של הלֶמָּה של ארכימדס:  

תקציר| סדרה הנדסית מתכנסת| פתרונות| متوالية هندسية تنازلية متداخلة| حلول

1. ללא מילים

האומנם יתכן שסכום סדרה אינסופית הוא סופי ?

לפניכם שלש הוכחות ללא מילים לנוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית יורדת. אנא נמקו.

מתוך: "הוכחות ויזואליות ללא מילים" מאת  א. זסלבסקי, ג. ויניצקי,  קשר ח"ם

2. הזבוב הטורדן

שני רוכבי אופניים יצאו זה לקראת זה משני ישובים שהמרחק ביניהם 40 ק"מ במהירות של 20 קמ"ש כל אחד. לפני הזינוק ישב לו זבוב טורדן על אפו של אחד מהרוכבים. מיד עם צאתם יצא זבוב ועף במהירות של 50 קמ"ש לעבר הרוכב השני. ברגע שהוא מגיע אליו, הוא הופך את כיוון מעופו, ועף אל הרוכב שממנו יצא. כך ממשיך הזבוב הטורדן במעופו בין הרוכבים, עד לרגעהמפגש, אז הוא  נמחץ...

מה אורכו של המסלול שעבר הזבוב?

3. האיור המתכנס

באיור שלפניכם המעגלים והריבועים חוסמים זה את זה ונעשים קטנים יותר ויותר. בכל שלב, צבעו את ארבעת הגזרות שנוצרו מחסימת העיגול בריבוע. נתון כי אורך צלע הריבוע החיצוני 10 ס"מ.

א. מהו השטח הצבוע בשלב השביעי?

ב. מהו שטח הכולל של כל התחומים הצבועים בכחול באיור שלפנינו?

ג. אם נמשיך את התהליך אינסוף פעמים, מה יהיה השטח הצבוע?

4. לוח מטרה גיאומטרי

הוזמנת לשחק בלוח קליעה למטרה גיאומטרי ולו צורת משולש ובו חסומים מעגלים לפי האיור הבא.
מעגל, בעל  רדיוס של יחידת אורך אחת,  חסום במשולש שווה צלעות. מעגל קטן יותר חסום בכל אחת מזוויות המשולש, כך שהוא משיק למעגל הגדול. מעגלים קטנים יותר ויותר חסומים באופן דומה, עד אינסוף. 

מהי ההסתברות שהחץ יפגע בתחום האדום?

קישורים נוספים בנושא סדרה הנדסית יורדת:

פינג פונג מתמטי - רון אהרוני- על"ה 38. המחבר משתף אותנו בחוויית גילוי מתמטי שעבר כנער בחיפוש אחר נוסחא לסכום של סדרה גיאומטרית.

משולשים, מעגלים, חוצי זוויות, זהויות טריגונומטריות,סדרה הנדסית ושאיפה לגבול -מה הקשר? אבי סיגלר - על"ה 36. המאמר מציג תהליך גיאומטרי של יצירת סדרה אינסופית של משולשים חסומים במעגל, אשר שטחיהם, היקפיהם ואורכי המחוגים של המעגלים החסומים בהם שואפים באופן מונוטוני לגבול.

פרוייקט לתלמידים - שגעון נקודת האמצע - מחר 98. הפעילות עוסקת בגילוי של תכונות מצולעים, הנוצרים מחיבור נקודות האמצע של צלעות של מרובעים ושל משולשים. תוך כדי הפעילות עוסקים בתהליך אינסופי של יצירת משולשים המוביל למושג הגבול.

פרוייקט לתלמידים - עקומה פתולוגית - מחר 98. בנייה בעזרת המחשב עקומות פתולוגיות, שהן למעשה הפרקטלים של קוך. בכל העקומות קיים פרדוקס שהיקפן שואף לאינסוף ושטחן חסום.

פרוייקט לתלמידים - האינסוף המסתורי - מחר 98. אוסף של פעילויות שונות המתארות פרדוקסים הקשורים למושג האינסוף ודרכי יישומם

"נוסחת הסכום של סדרה הנדסית" - דורית פטקין, קשר חם. בחומר מובא ייצוג גרפי של סכום איברי סדרה הנדסית סופית שאיברה הראשון הוא  1ומנתה מספר טבעי, ושל סכום איברי סדרה הנדסית אינסופית שאיברה הראשון הוא 1 ומנתה מספר הופכי למספר טבעי.

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

האם 1=0.9999999 ? - מאמר על סדרה הנדסית אינסופית יורדת, באנגלית.