תקציר| צפייה בסרטים בעין מתמטית

1. אבוט וקוסטלו בחיל הים

שני הקומיקאים האמריקאים אבוט וקוסטלו הם הדמויות המרכזיות בסרט 
(In the Navy 1941). בסרט קוסטלו מקבל על עצמו משימה: 
לאפות 13 סופגניות לכל אחד משבעה קצינים המשרתים באוניה. 
קוסטלו מכין 28 סופגניות בטענה כי:
                                   7x13 = 28
הוא גם "מוכיח" את טענתו בשלוש דרכים שונות.

דרך א:
כופלים 7 ב- 3 ומקבלים 21. 
כופלים 7 ב-1 ומקבלים 7.
מחברים שתי התוצאות ומקבלים 28. 

דרך ב:
מחלקים 28  ב- 7 מקבלים 13.
2 אינו מתחלק ב-7, 
לכן מחלקים 8 ב- 7. 
7 "נכנס" ב- 8 פעם אחת. רושמים 1 במנה.
מחסרים 7 מ-28, מקבלים 21.
7 "נכנס" ב-21 שלוש פעמים.  רושמים 3 מימין ל- 1.
קיבלנו 13.

דרך ג:
בודקים את פעולת הכפל בעזרת פעולת החיבור.
רושמים את 13 שבע פעמים ומחברים.
מחברים שבע פעמים את ה-"3", מקבלים 21 . מחברים את שבעה ה-"1" ומקבלים 7. 
מחברים את שתי התוצאות. קיבלנו 28.

משימה:
א. הסבירו (באופן מתמטי), למה כל שלוש השיטות של קוסטלו אינן מניבות תוצאות נכונות.
ב. נסו לחבר תרגילים נוספים המדגימים את השיטות הייחודיות של קוסטלו. 
ג. רשמו תהליך הכפל של מספר דו-ספרתי במספר חד-ספרתי לפי שיטת קוסטלו, בצורה של:

ד. ביצעו פעולת הכפל של מספר דו-ספרתי במספר חד-ספרתי בצורה אלגברית נכונה: 

ה. השוו בין שתי התוצאות. האם יתכן ששתי התוצאות תהינה שוות? אם כן, מהם התנאים שעבורם 
"המתמטיקה" של קוסטלו "עובדת"? 

תוכלו להשתעשע עוד בדיאלוגים מתמטיים בין אבוט וקוסטלו במאמרו של יוחנן אחיטוב: 
"מתמטיקה מהסרטים הדיאלוגים של אבוט וקוסטלו" (על"ה 32)

2. הסרט קונטקט ( 1997,Contact)  

סרט דרמה, מדע בדיוני ומתח לפי ספרו של קארל סייגון, איש של מדע הפופולרי.
ד"ר אלינור ארוואיי (שחקנית ג'ודי פוסטר) מאזינה ל"קולות" מחוץ לכדור הארץ.
האם השידורים מכילים צופן מתמטי? 
האיתות שמגיע ממערכת בשם VEGA מכיל מספרים ראשוניים! הרי זה סימן לחיים מחוץ לכדור הארץ!

___________________________
מהו מספר ראשוני?
מספר שלם הגדול מ-1 נקרא בשם מספר ראשוני,
אם ורק אם הוא מתחלק ב-1 ובעצמו.
___________________________

המשימות:

1. השלימו את הרשימה של עשרת המספרים הראשוניים הראשונים:
             __ ,  __, __ , __ , __ , __, 7 , 5 , 3 , 2 

2. כיצד נמצא מספרים ראשוניים?
המתמטיקאי היווני אֶרַטוֹסתֶנֶס המציא שיטה למציאת מספרים ראשוניים, לה קוראים עד היום הנפה של אֶרַטוֹסתֶנֶס. הנפה מסננת מתוכה את המספרים הפריקים ומותירה בתוכה את המספרים הראשוניים בלבד.

לפניכם נפת המספרים, בכדי לסנן את המספרים הראשוניים פעלו לפי ההוראות הבאות:

א. מחקו את המספר 1 (כי אינו ראשוני)

ב. הקיפו בעיגול את המספר 2 ומחקו את כל המספרים האחרים שנמצאים בעמודות מתחת
ל- 2, 4 ו- 6. כיצד תוכלו לאפיין את המספרים שמחקתם?

ג. הקיפו את המספר 3 ומחקו כל מספר שלישי.

ד. הקיפו את המספר 5 ומחקו את כל הכפולות של 5.

ה. הקיפו את המספר 7 ומחקו את כל הכפולות של 7.

ו. הקיפו את המספר הלא מחוק הבא (אחרי 7) ומחקו את כל הכפולות של מספר זה.

המשיכו בתהליך ההקפה והמחיקה.

כל המספרים המוקפים בנפה הם מספרים ראשוניים. התוכלו להסביר מדוע?

3. כמה מספרים ראשוניים נמצאים בין 1 ל-100?

4. המשפט היסודי של האריתמטיקה קובע שכל מספר טבעי (לא ראשוני) ניתן לתאר כמכפלה של גורמים ראשוניים באופן אחד ויחיד.
לדוגמה: 
רשמו את המספרים 48 ו- 91 כמכפלה של גורמים ראשוניים.

5. ראשוניים-תאומים הם זוג מספרים ראשוניים הנבדלים ב-2. לדוגמה: 3 ו-5.
מצאו שלושה זוגות נוספים של ראשוניים-תאומים.

6. המתמטיקאית הצרפתיה סופיה ג'רמיין (1776-1831) גילתה את קשר בין מספרים ראשוניים אחדים.
מספר ראשוני p נקרא "ראשוני של ג'רמיין" אם גם המספר 2p+1 גם ראשוני. מצאו חמישה מספרים ראשונים כאלה.

אֶרַטוֹסתֶנֶס                    המתמטיקאי היווני אֶרַטוֹסתֶנֶס שחי במאה השלישית לפנה"ס, היה ספרן ה'מוזיאון'- בית המדרש הגדול באלכסנדריה שבמצריים.  ארטוסתנס נחשב כאחד המשכילים בעולם העתיק - הוא התעניין רבות במדעי היקום: גיאוגרפיה,אסטרונומיה,  פילוסופיה, היסטוריה, ספרות ומתמטיקה. הוא גילה שיטה למציאת מספרים ראשוניים. אֶרַטוֹסתֶנֶס רשם שורה של מספרים טבעיים ומחק ממנה כל מספר שני הגדול מ-2,  כל מספר שלישי הגדול מ-3, כל מספר חמישי הגדול מ-5 וכך הלאה. המספרים הלא מחוקים  הם המספרים הראשוניים. בזמנו של אֶרַטוֹסתֶנֶס כתבו על הלוחות מחמר או משעווה, ובמקום מחיקת המספר היו נוהגים לְנַקּב  בעזרת מכשיר חד את המקום שבו היה כתוב המספר. אחרי פעולה זו הלוח היה מחורר ונראה כנפה (מסננת). מכאן השם "הנפה של אֶרַטוֹסתֶנֶס".

קישורים למאמרים בנושא:
שתי דרכים לניפוי המספרים הראשוניים -"שבבים",  תיק מס' 15, 1981 
נפת ארתוסטנס בשישה טורים- קשר ח"ם
נפות ארתוסטנס- גלים- מציאת תכונות שונות של המספרים הראשוניים מתוך מפות ארתוסטנס.
כיצד ננפה את המספרים הראשוניים?- אביטל, גליונות לחשבון מס 34 שיטות נוספות לניפוי המספרים הראשוניים.

אוסף אתרים בנושא מוטיבים מתמטיים בסרטים

תקציר |  עגור השלום | פתרונות 

אוריגאמי היא אמנות קיפולי הנייר שהומצאה ביפן. לאמנות האוריגמי משמעות תרבותית עמוקה בתרבות היפנית והיא משמשת בטקסים שונים בדת השינטו, הנפוצה ביפן. לאחר פתיחת גבולותיה של יפן למערב בסוף המאה ה-19 התפשטה אמנות האוריגמי לעולם כולו והפכה לחלק מתרבות הפנאי ולשדה מחקר מתמטי מדעי. המחקר בנושא חשף את המורכבות הרבה האפשרית בקיפולי נייר, ויצר פתח לניצול מורכבות זו בחידושים טכנולוגיים וננוטכנולוגיים שונים. (מתוך ויקיפדיה)
העגור, the crane, היא הצורה השכיחה והמוכרת ביותר ומסמלת עבור היפנים בריאות, מזל אושר ושלום. האגדה היפנית מספרת שאם מקפלים 1000 עגורי נייר, הם יגנו עליך מפני כל צרה ומחלה ויגשימו משאלותיך. קיפול העגור התפרסם כסמל לשלום עולמי בעקבות סיפורה המרגש של סודאקו, הילדה שחלתה לאחר ההפצצה בהירושימה. בזמן שקיפלה את עגורי הנייר אמרה סדאקו: "אכתוב על כנפיכם מסר שלום, ואתם תעופו ותפיצו את המסר מסביב לעולם".
לזכרה, ולזכר קורבנות הפצצה, בכל יום ה- 6 באוגוסט נוהגים להפריח את "עגורי השלום".

איך לקפל את עגור השלום?
הוראות באנימציה תלת מימדית, שלב אחר שלב.
סרט וידאו בעברית: בגלרית הסרטונים באתר המרכז הישראלי לאמנות האוריגאמי.
הוראות קיפול עגור השלום.

משימה 1

שימו לב לצורות הגיאומטריות המתקבלות במהלך הקיפול.
התוכלו למצוא דלתונים? מעויינים? משולשים שווי צלעות? ועוד. הוכיחו את טענותיכם.

המרכז הישראלי לאמנות האוריגאמי מפעיל זה מספר שנים את "פרויקט השלום". תלמידיו הרבים קיפלו "1000 עגורים" שנמסרו, כברכת החלמה, לחוסיין מלך ירדן. בביקורו בישראל קיבל האפיפיור יוחנן פאולס השני "1000 עגורים" שנמסרו לו על-ידי שלושה ילדים, יהודי, נוצרי ומוסלמי, כמחווה של שלום בין הדתות. בביקורו בישראל קבל גם הדלהי למה, המנהיג הרוחני של טיבט, עגורי שלום. כיום עוסק המרכז בפרויקט החלפת 1000 עגורי שלום בין בתי הספר כמחווה של הבנה בין בתי-ספר חילוניים, דתיים, ישראלים ופלשתינאים.

משימה 2
אם נפתח בזהירות את קיפול הנייר של העגור נקבל את הפרישה הבאה:

פרט לצורות הגיאומטריות הרבות שניתן להבחין בפרישה ולחקור אותן נשאל את עצמנו כמה שאלות הנוגעות לתחום "האוריגאמי השטוח":

א. נצבע את "עגור השלום"

1. צבעו כל מצולע בפריסה בצבע שונה מהמצולע השכן לו, כך שאף שני איזורים סמוכים יהיו באותו צבע (בדומה לצביעת מפות). מהו מספר הצבעים הקטן ביותר שניתן לצבוע את העגור?
2. אם נקפל את העגור הצבוע שוב כיצד תראה הצביעה?
   האם מסקנותיך יהיו נכונות לכל קיפולי הנייר של האוריגאמי?

ב. נתבונן בקודקודים

1. כמה קפלים נפגשים בקודקוד אחד? הייתכן מספר אי זוגי של קפלים?
2. הבחינו בין קפלי "הר" לקפלי "בקעה": התוכלו למצוא מה הקשר בין מספרי קפלי ההר וקפלי הבקעה בכל קודקוד?
3. סכום הזוויות סביב קודקוד מסויים הוא כמובן 360°. אם נמספר את הזוויות סביב קודקוד מסויים, התוכלו למצוא מהו סכום הזוויות האי זוגיות? מהו סכום הזוויות הזוגיות?

מקור: Project Origami: Activities for Exploring Mathematics By Thomas Hull

תקציר|להדפסה|פתרונות|هيئة محاور

קצת היסטוריה 

רֶנֶה דֶקַרְט, מדען, פילוסוף ומתמטיקאי צרפתי ( 1596-1650 ) הוא זה שהמציא את מערכת הצירים המוכרת לנו, וזו נקראת על שמו המערכת הקרטזית. הלא הוא אותו פילוסוף בעל האמרה המפורסמת:

'אני חושב, משמע -אני קיים'. רנה דקרט נחשב לאבי של גיאומטריה אנליטית, תחום המתמטיקה שמטפל בבעיות של גיאומטריה בעזרת אלגברה.

1. הריבוע המסובב

לפניכם שני ריבועים במערכת צירים, הימני צלעותיו מקבילות לצירים והשמאלי "ריבוע מסובב".

ג. בנו ריבוע בו הנקודות (5,3) ו- (5,7) הם קודקודים נגדיים של הריבוע. תארו כיצד לבנות ריבוע כאשר נתונים שני קודקודים נגדיים.

ד. האם רביעיות הנקודות הבאות הם קודקודים של ריבוע? האם תוכלו לקבוע מיהו הריבוע ללא ציורו במערכת הצירים?

   1. (8,3) (7,8) (2,7) (3,2)

   2. (3,3) (7,4) (8,8) (4,7)

   3. (16,19) (18,22) (21,20) (19,17)

   4. (4,20) (21,19) (20,2) (3,3) 

ה. (a,b) ו- (c,d) הם קודקודים נגדיים בריבוע. מהם שיעורי שני הקודקודים האחרים?

  1. (8,3) (7,8) (2,7) (3,2)

  2. (3,3) (7,4) (8,8) (4,7)

  3. (16,19) (18,22) (21,20) (19,17)

  4. (4,20) (21,19) (20,2) (3,3) 

2. שבעה ריבועים חבויים

במערכת הצירים הבאה מסומנות 25 נקודות שהו קודקודים של שבעה ריבועים.

שלש הנקודות המובלטות הן קודקודים המשותפים לשני ריבועים.

התוכלו למצוא את כל שבעת הריבועים החבויים?

 3. ריבוע בתוך ריבוע בתוך ריבוע

הריבוע המסובב ABCD, חסום בתוך ריבוע גדול שצלעותיו מקבילות לצירים. 

בתוכו בנוי ריבוע קטן נוסף כמתואר באיור הדינאמי.

א. מהם שיעורי הריבוע הגדול ? מהו שיעורי הריבוע הקטן ?

ב. מהו שטח כל אחד מהריבועים ?

ג. בנו איור דומה במערכת הצירים או בעזרת האיור הדינמי וציינו את שיעורי הקודקודים של הריבועים וחשבו את שטחיהם.

ד. (A(a,b ו- (C(c,d הם קודקודים נגדיים בריבוע. מהם שיעורי שני הקודקודים האחרים? מהו שטח הריבוע ABCD? 

עוד על מערכת הצירים

משחקים אינטראקטיביים להכרות ותרגול מערכת הצירים:

מכרה היהלומים - משחק  אינטראקטיבי - הקש את הקורדינטות ואסוף את היהלומים שבדרך.

Billy the Bug -  עזרו לבילי הג'וק למצוא חטיפים לזלילה המפוזרים במערכת הצירים ברביע הראשון.

Billy the Bug -  עזרו לבילי הג'וק למצוא חטיפים לזלילה המפוזרים במערכת הצירים בארבעת הרביעים.

מאובני דינוזאורים- עזרו לחוקרים למצוא במערכת הצירים מאובני דינוזאורים. (בדומה לצוללות)

Transmographer -  הזזות, שיקופים וסיבובים של מצולעים במערכת הצירים.

פעילויות ומשחקים:

פעילויות במערכת צירים- פעילויות מגוונות במערכות צירים שונות שהוכנו ע"י המרכז למורים למתמטיקה ביסודי: סימון נקודות ברביע הראשון ויצירת תמונות, הגדלה עפ"י יחס, יצירת תמונות של "מראה עקומה", סימון נתיבי מסעותיו של קולומבוס.

משחק "ארבע בריבוע"- חובר ע"י נצה מובשוביץ-הדר , ארבע בריבוע הוא משחק שמטרתו תרגול בזיהוי ובסימון נקודות במערכת צירים.

חלת הדבש - משחק במערכת הצירים שהוכן ע"י המרכז למורים למתמטיקה ביסוד.  משחק בו צריך למקם נקודות על מערכת צירים על פי תוצאות המתקבלות מזריקות שתי קוביות. המנצח הוא זה השם ארבע תוויות בשורה, או באלכסון או יוצר ריבוע.

בדוק את דמיונך- ציירו ציורים במערכת צירים על פי של שיעורי נקודות נתונות, וחיבורם בקווים ישרים. יש ראשית לנסות לנחש מהי הצורה המתקבלת ולאחר מכן לבדוק ניחוש זה. כמו כן, יש התייחסות להשפעה של שינוי של אחד משיעורי הנקודה על הציור המתקבל. מתוך גליונות לחשבון. 

ייצור מערכת צירים- אתר ליצירה של דפי עבודה לכיתה, בו ניתן ליצור מערכת צירים לפי דרישתך.