משושה פרחוני

תקציר| משושה פרחוני

בפיצוח זה נשרטט ונתבונן בעין מתמטית בפרחים המרהיבים הללו, בעלי שישה עלי כותרת.

את המשושה הפרחוני תוכלו לצבוע ולעטר ברכות "שנה טובה" או לקשט את הסוכה.

נשרטט את הפרחים בעזרת עפרון ומחוגה או כלי עגול אחר (כגון מכסה או צלחת). ניתן גם לשרטט בתוכנה גיאומטרית (כגון הגאוגברה). מצורפות הוראות שלב אחר שלב.
תוכלו לצפות בבנייה בסרטון הבא.

 א. המשושה הנסתר

1.  הסבירו מדוע חסום בפרח משושה משוכלל (שכל צלעותיו שוות).  רמז - התבוננו במרובע החסום בין שני מעגלים. 

2. חשבו מהי הזווית הפנימית של המשושה.

3. מהו שטח המשושה אם ידוע שרדיוס המעגל הפנימי שווה ל- R ס"מ.

ב. שני משושים בפרח

1. הקיפו את הפרח במעגל. מהו רדיוס המעגל? הסבירו.

2. חיברו את נקודות ההשקה של המעגל המקיף והמעגלים הקטנים. הסבירו מדוע נוצר משושה.

3. מהו יחס שטחי המשושים הללו?

ג. עלי הכותרת

1. שערו מהו היחס בין שטחי עלי הכותרת הסגולים לבין שטח העיגול הפנימי והיחס בין שטחי עלי הכותרת הורודים לשטח העגול הפנימי.

2. חשבו את השטח של עלה כותרת סגול אחד, אם ידוע שרדיוסו של המעגל הפנימי שווה ל- R ובדקו את השערתכם בסעיף א. 

(ניתן להיעזר בנוסחת השטח של גזרת מעגל ברדיוס R וזווית מרכזית  ברדיאנים: R=1/2R²)

3. חשבו את השטח של עלה הכותרת הורוד  ושוב בדקו השערתכם מסעיף א.

קישורים  נוספים:

משימה פרחונית – פיצוח העוסק בחישובי שטחים

יצירת מגן דוד – פעילות יצירה סביב המגן דוד, בנייה בעזרת סרגל ומחוגה ושאלות מתמטיות.

סרטון המציג יצירת עטיפה לדיסק פרחונית ומדליקה – היכן כאן חבוי המשושה הפרחוני?

תקציר|על כנפי הדמיון

1. אדריכל גן המשחקים

א. בשכונת "על כנפי הדמיון" הוקם גן משחקים חדש ובו מתקני ספורט ואתגרים. הגן בנוי מרצף של שלשה מתחמים ריבועיים. המרחק בין שתי הפינות המנוגדות של הגן הוא 100 מטר (ראו בשרטוט AD). אדריכל הגן תכנן לשתול ארבעה עצים שיפרשו צל בגן בנקודות: A, B, C ו-D (ראו איור).
חשבו מה המרחק בין העצים.
רמז - השתמשו ביחס הדמיון של משולשים דומים.

ב. בשלב ב של הקמת הגן, הורחב המגרש לשישה מתחמים ריבועיים. אדריכל הגן תכנן להוסיף ולשתול ארבעה עצים שיפרשו צל בגן בנקודות: E, F, G ו-H (ראו איור).
חשבו מה המרחק בין העצים הפעם.

ג. עץ נוסף נשתל בנקודה K (ראו איור).
חשבו מה המרחק בין העצים.

ד. הגנן פרש חבלים במתחם הגן על פי הוראות האדריכל. הוא היה מעוניין לחשב את הזווית שנוצרה בקודקוד B. מצאו את הזווית.
רמז- היעזרו בקווי העזר שבאיור.

מן הפנים אל החוץ

תקציר|טיול רציונלי ללונה פארק - חלק ב'

האתגר של "הרפתקת הלייזר"  

אחד המתקנים המאתגרים בלונה פארק הוא "הרפתקת הלייזר", קליעה למטרה באמצעות אקדח לייזר ייחודי לעבר מטרה נסתרת. קבוצת חובבי המתמטיקה החליטו לפצח את האתגר

באמצעות כישוריהם המתמטיים ולנסות לזכות בפרס הגדול.

במשחק זה יש לפגוע במטרה המוצבת על קיר בגובה 1 מטר מעל הרצפה. אך המטרה מוסתרת ולא ניתן לפגוע בה באופן ישיר.

על השחקן לבחור באיזה מרחק מהקיר להעמיד את אקדח הלייזר ולכוונו אל מראה ניידת הניצבת 10 סנטימטרים מעל הרצפה ומוצבת במצב התחילי 30 סנטימטרים מהקיר.

קרן הלייזר הפוגעת במראה, מוחזרת ממנה (באותה זווית) ופוגעת בקיר. 

לכל שחקן ושחקנית ניתנת הזדמנות אחת לפגוע במטרה. אם הצליחו, תינתן הזדמנות נוספת לפגוע במטרה נוספת, הפעם בגובה 1.5 מטרים. מי שמצליח לפגוע בשתי המטרות יזכה בפרס

הגדול! לאחר שכמה מחברי הקבוצה ניסו לפגוע במטרה ללא הצלחה ונפסלו, טכסו עיצה החברים וחיפשו משוואה מתמטית שתאפשר להם למצוא את המיקום הנכון להעמיד את אקדח

הלייזר.

תוכלו להיעזר ביישום הדינאמי  של "הרפתקאות הלייזר":

א. באיזה גובה תפגע קרן הלייזר אם נעמיד את האקדח במרחק 100 ס"מ מהקיר? 150 ס"מ? כיצד מצאתם?

ב. באיזה גובה תפגע קרן הלייזר אם נעמיד את האקדח במרחק 30 ס"מ מהקיר? כיצד תסבירו את התוצאה?

ג. השלימו את הטבלה. 

ד. מהי הפונקציה המתארת את גובה הפגיעה כתלות במרחק האקדח מהקיר? תארו את התנהגותה. (תוכלו לעקוב אחר הנקודות ביישום הדינאמי )

ה. באיזה מרחק יש להעמיד את אקדח הלייזר כך שיפגע במטרה בגובה 1 מטר? ובאיזה מרחק יש להעמיד את אקדח הלייזר כך שיפגע במטרה בגובה 1.5 מטר? הסבירו כיצד מצאתם. בדקו ביישום הדינאמי האם הצלחתם לפגוע במטרה?

ו. היכן יפגע הלייזר , אם נעמיד את אקדח הלייזר במרחק 30 סנטימטר מהקיר? התוכלו להסביר את התופעה?

ז. סמנו את הנקודות המתאימות במערכת הצירים ושרטטו את הגרף המתאר את עלות הטיול לתלמיד כתלות במספר המשתתפים. הרחיבו את הגרף של הפונקציה גם לתחום המספרים השליליים.

ח. בשלב המתקדם של המשחק ניתן לגרור את המראה ולקבוע את מרחקה מהקיר. חברי הקבוצה החליטו להציב את המראה במרחק של 50 ס"מ מהקיר. תוכלו להזיז את המראה גם ביישום הדינאמי.

1. מהי כעת הפונקציה המתארת את גובה הפגיעה כתלות במרחק האקדח מהקיר? שרטטו את הגרף באותה מערכת הצירים (מהסעיף הקודם) תארו את התנהגותה ובמה היא שונה מהפונקציה הקודמת. 
   (תוכלו לעקוב אחר הנקודות ביישום הדינאמי)
2. באיזה מרחק יש להעמיד הפעם את אקדח הלייזר כך שיפגע במטרה בגובה 1 מטר? ובאיזה מרחק יש להעמיד את אקדח הלייזר כך שיפגע במטרה בגובה 1.5 מטר? הסבירו כיצד מצאתם. בדקו ביישום הדינאמי האם הצלחתם לפגוע במטרה?

   ---

מקורות נוספים

התנהגות פונקצית מנה סביב נקודת אי הגדרה – משולחנו של מורה, שושנה הלוי, רחל סילבצקי ואנה ספרד, על"ה 2

חקירת פונקציה רציונלית – קשר ח"ם , חקירה בעזרת מחשב – אוסף דפי עבודה לתלמיד , מאת דפנה אשרת ואלה שמוקלר, בהנחיית אורית זסלבסקי. func3.pdf , func4.pdf , func5.pdf , func6.pdf .

מנה של פונקציות לינאריות – יישום דינאמי המלווה בדף עבודה מאת מרכז המורים.

טיול רציונאלי ללונה פארק – חלק א'

תקציר| טיול רציונלי ללונה פארק - חלק א'

1. תכנון הטיול 

בבית ספרנו מתארגנת קבוצת "מועדון המתמטיקה" לצאת לטיול ללונה פארק. עלות הטיול, הכוללת הסעות ודמי כניסה קבוצתיים, היא 1200 שקלים. הוחלט כי עלות הטיול תתחלק באופן שווה בין כל התלמידים שיוצאים לטיול.

א. כמה ישלם כל תלמיד אם יצאו לטיול 10 תלמידים? 30 תלמידים?

ב. השלימו את הטבלה. 

ג. מהי הפונקציה המתארת את עלות הטיול לתלמיד?

ד. סמנו את הנקודות המתאימות במערכת הצירים ושרטטו את הגרף המתאר את עלות הטיול לתלמיד כתלות במספר המשתתפים. הרחיבו את הגרף של הפונקציה גם לתחום המספרים השליליים.

ה. כיצד תשתנה הפונקציה וישתנה הגרף בכל אחד מהמקרים:

תוכלו להיעזר ביישום הדינאמי .

      1. אם תתקבל תרומה של 900 שקלים לסיוע בהוצאות הטיול?

      2. אם כל תלמיד צריך לשלם בנוסף 10 שקלים עבור פיצה.

      3. אם הוחלט לממן 3 תלמידים בוגרים מהמועדון שילוו את הטיול.

ו. התקבלה תרומה מקרן חובבי המתמטיקה לעידוד פעילות מתמטיות מאתגרות והוחלט כי הקרן תשתתף בהוצאות הנסיעה לטיול. התרומה תתכן בשלוש אפשרויות שונות:

      1. מימון כל ההוצאות עבור 10 תלמידים.

      2. השתתפות בהוצאות בסה"כ של 500 שקלים.

      3. השתתפות בהוצאה של כל תלמיד ב-10 שקלים.

התאימו לכל גרף את הסיפור והפונקציה המתאימה לו. הסבירו באיזו תוכנית הייתם בוחרים ובאיזה מקרה. 

 מקורות נוספים

התנהגות פונקצית מנה סביב נקודת אי הגדרה – משולחנו של מורה, שושנה הלוי, רחל סילבצקי ואנה ספרד, על"ה 2

חקירת פונקציה רציונלית – קשר ח"ם , חקירה בעזרת מחשב – אוסף דפי עבודה לתלמיד , מאת דפנה אשרת ואלה שמוקלר, בהנחיית אורית זסלבסקי. func3.pdf , func4.pdf , func5.pdf , func6.pdf .

מנה של פונקציות לינאריות – יישום דינאמי המלווה בדף עבודה מאת מרכז המורים.

טיול רציונאלי ללונה פארק – חלק ב'

תקציר|אשליות מעגליות

באיזה פרח העיגול האדום גדול יותר?

 צפו ברמז לפתרון:

מהו מרכז המעגל ?

האם הנקודה הימנית או אולי הנקודה השמאלית היא מרכז המעגל?

 צפו ברמז לפתרון:

מישהו אכל לי מהעוגה...

אבל למעשה היא עדיין שם.

התוכלו למצוא את חתיכת העוגה הנעלמת?

צפו ברמז לפתרון:

אשליות אופטיות – אוסף אשליות מאת מתי"א חולון

מה שרואים מכאן לא רואים משם – מצגת על אשליות אופטיות מלווה בהסברים פשוטים.

מדוע כשמסתכלים על ספיראלה נראה שהיא זזה ולמעשה היא לא? - דוידסון אונליין - שאל את המומחה.

אל תאמין למראה עיניך שתי דוגמאות בהן קטעים שווים נראים שונים, וקו והמשכו נראים כבלתי רצופים. שמואל אביטל, גליונות לחשבון 51.

תעתועי ראיה אוסף אשליות אופטיות גיאומטריות, המרכז הארצי למורים יסודי.

תקציר|עיגולים ומעגלים|פתרונות

1. סידור המטבעות

חמישה מטבעות זהים נוגעים זה בזה, ומסודרים כך שמרכזיהם יוצרים שני משולשים שווה צלעות. (ראו איור)

הזיזו שני מטבעות בלבד, כך שבסידור החדש, עדיין המטבעות יהיו צמודים זה לזה ויצרו שני משולשים שווה צלעות שונים.

2. עיגולים על עיגולים

באיור עיגולים צבעוניים המסודרים בריבוע, באופן שהם מכסים חלקית זה את זה.

איזהו הצבע שתופס את השטח הגדול ביותר?

איזהו הצבע שתופס את השטח הקטן ביותר?

3. סבך הנחשים הצבעוניים

באיור ארבעה נחשים צבעוניים מתפתלים בין המעגלים: אדום, כחול, ירוק וסגול.

מבין הנחשים הצבעוניים מיהו הקצר ביותר?

מקור: http://www.puzzles.com

תקציר| תרגיל חשיבה גיאומטרי

כתב: פרופ' עמוס ארליך

החללית שלנו נחתה על כוכב-לכת מרוחק ולהפתעתנו נוכחנו שנחתנו במגרש משחקים של בית ספר. נכנסנו לכתה ונוכחנו שהם מדברים עברית ונמצאים בתחילת לימוד הגיאומטריה, אך נראה שהנחות היסוד שלהם (האכסיומות) שונות מן המקובל אצלנו.

על הלוח שלהם כתוב:

"הנחת יסוד ב: סכום הזויות בכל מרובע הוא 360⁰"

 המורה מבקש מן התלמידים להוכיח שסכום הזויות במשולש הוא 180⁰.  

תלמיד א: נצרף למשולש שלנו משולש נוסף, צירוף הזויות של שני המשולשים נותן זויות של מרובע לכן סכומן 360⁰, לכן לכל משולש 180⁰.

תלמיד ב: ההוכחה אינה טובה. מה מבטיח לנו ש- 360 המעלות מתחלקות בשווה בין שני המשולשים? 
אך נוכל להיעזר בהנחת יסוד א שלנו, האומרת שניתן להעתיק משולש ממקום למקום, לסובב אותו ולהפוך אותו, בלי שהדבר ישנה את צלעותיו וזויותיו. אם לתפקיד המשולש הנוסף ניקח עותק של המשולש הנתון נהפוך אותו ונשים אותו כבציור שמימין, אז ההוכחה תהיה בסדר.

תלמיד א: לא צריך את זה. כמו שהִנחנו שלכל המרובעים אותו סכום זויות כך נוכל להניח גם שלכל המשולשים אותו סכום זויות. 

תלמיד ג: יש לי משהו יותר פשוט. נהפוך את המשולש למרובע על-ידי הוספת קדקוד על אחת הצלעות. בקדקוד זה 180^o לכן בשאר הקדקודים יחד יש 180^o .

המורה: הנה באו אורחים מכדור הארץ. שלום אורחים יקרים. 
התוכלו לומר לנו מי צודק ומי לא?

תקציר| פירמידות המספרים

פירמידת המספרים הסודית

א. לפניכם פירמידה בה הוכנסו בשורה הראשונה המספרים: 2, 1, 4, 6
מהו הסוד של הפירמידה?
מצאו כיצד נקבעו המספרים בשאר השורות של הפירמידה.

ב. חזרו על פעולת המילוי של הפירמידה מספר פעמים כאשר אותם המספרים: 2, 1, 4 ו- 6 בתחתיתה אבל בסדר שונה. 
כמה פירמידות שונות ניתן לקבל? 

ג. מה צריך להיות סדר המספרים בשורה התחתונה כך שבפסגה יתקבל מספר הגדול ביותר? הקטן ביותר? נסו להסביר למה בסדר זה או אחר מתקבל בפסגה מספר גדול ביותר או קטן ביותר.

ד. קחו רביעיה אחרת של מספרים שלמים (חיוביים ושליליים) וחזרו על מילוי הפירמידה. נסו לקבוע בצורה כללית מה צריך להיות הסדר בין ארבעת המספרים שבתחתית הפירמידה על מנת שבפסגתה יתקבל מספר הגדול ביותר.

ה. לפירמידה הבאה הוכנסו לשורה הראשונה המספרים: -5, 2, 3, 4. באיזה סדר הוכנסו המספרים כך שבפיסגה יתקבל המספר אפס?

ו. לפירמידה הבאה הוכנסו בשורה הראשונה המספרים: 2 ו-15 ועוד שני מספרים כלשהם. בראש הפירמידה התקבל המספר 48. מצאו את הקשר בין x ו-y . כמה פירמידות ניתן לקבל?

מקור: http://nrich.maths.org

פירמידת המספרים העוקבים

רשמו מספר שלם כלשהו בפינה השמאלית של השורה התחתונה של הפירמידה.

המשיכו לרשום מספרים עוקבים בשלושת המקומות הנותרים בשורה הראשונה.

כל מספר בפירמידה הוא סכום של שני המספרים שמתחתיו.

א. עבור אילו מספרים יתקבל בפסגה של הפירמידה מספר 84? מספר 44?

ב. הסבירו אילו מספרים ניתן לקבל בפסגה? האם ניתן לקבל כל מספר בראש הפירמידה?

ג. באחד המשחקונים התקבל בראש הפירמידה 140. מהו המספר שממנו הותחלה הפירמידה?

ד. אם נשנה את סדר המספרים בשורה הראשונה, האם ישתנה המספר בראש הפירמידה? בדקו את השערתכם והסבירו מדוע.

ה. ערכו מחקר דומה לגבי פירמידות גדולות יותר, בעלות 5 ו- 6 שורות.

מקור: http://nrich.maths.org 

קישורים  נוספים:

מתכונותיו של משולש פסקל - שמואל אביטל

תקציר|  פריסות אחרות | نشورات اخرى

1. היכן מסתתרת הקוביה?

א. כל אחת מהצורות A-H הבאות מורכבות מחמישה ריבועים ושני מלבנים. רק מחלקן ניתן לקפל לפי הקווים המקווקווים, ולבנות קובייה 1x1x1, ואילו מחלק מהצורות לא ניתן לבנות קובייה. התוכלו לזהות את הקוביות?

ב. כל אחת מהצורות A-H הבאות מורכבות מחמישה ריבועים ושני משולשים. רק מחלק ן ניתן לקפל לפי הקווים המקווקווים, ולבנות קובייה 1x1x1, ואילו מחלק מהצורות לא ניתן לבנות קובייה. התוכלו לזהות את הקוביות?

2. זוג מנסרות משולשות?

כל אחת מהצורות A-H הבאות מורכבות משלושה ריבועים ושני משולשים שווה צלעות אשר ניתן לקפלן לפי הקווים המקווקווים, ולבנות מנסרה משולשת.
מצאו את זוג המנסרות המשולשות אשר יתנו מנסרה באותן צבעים בדיוק, כפי שמתוארת במרכז. 
התוכלו לזהות את השתיים?

מקור: http://www.puzzles.com/

מקורות נוספים:

משימות אוריינות- פיאונים: בין המשימות: פריסה של קובייה ותיבה, בניית מבנים מקוביות ועוד.

פעילות אינטראקטיבית לגילוי 11 הפריסות של הקובייה, מאת illuminations, NCTM

שחקו בפריסה של קובייה הונגרית – NRICH

פיצוחים בנושא גיאומטרית המרחב

תקציר| מהר יותר, גבוה יותר וחזק יותר

שימו לב כי בחלק מהבעיות עליכם להניח הנחות שאינן נתונות בשאלה, או לחפש נתונים שלא מופיעים בה.

	במשחקים האולימפיים ב-2008, דרישות הסף לריצת 200 מטר לנשים הייתה 11.32 שניות. כיצד תוכלו להשוות מהירות זו למהירות של מכונית ?
	באולימפיאדת בייג'ינג ב-2008, זכתה האצנית שלי-אן פרייזר מג'מייקה, בריצת 100 מטר לנשים, בזמן של 10.78 שניות.  אם היא הייתה ממשיכה לרוץ עוד 100 מטרים, בכמה היא הייתה משיגה אצנית שעמדה בתנאי הסף (11.32 שניות) ?
	דמיינו כי אתם מתחרים בריצת 200 מטר עם יוסיין בולט. בכמה מטרים הוא ישיג אתכם? (אם בכלל...)
	באליפות העולם לאתלטיקה 2009, שבר האלוף האולימפי יוסיין בולט, את שיא העולם בריצת 100 מטר וקבע זמן של 9.58 שניות. בולט שיפר את השיא שקבע הוא בעצמו באולימפיאדת ביג'ין 9.69 שניות. בכמה מטרים השיג בולט את עצמו?
	באימון שחיה לקראת אולימפיאדת לונדון ב-2012, שני שחיינים שוחים משני קצוות מנוגדים של הבריכה, במהירות קבועה אך שונה זה מזה. בפעם הראשונה נפגשו 30 מטר מקצה האחד של הבריכה. בפעם הבאה נפגשו 20 מטר מהקצה השני של הבריכה. מה אורכה של הבריכה ומתי יפגשו שוב?
	במרוץ אופניים בזירה סגורה במסלול הוולדרום (מלבן ושני חצאי עיגול), רוכב A מסיים סיבוב שלם כשהוא על הקו הכחול.  באותו זמן סיימו סיבוב גם רוכב B אשר רכב 1 מטר פנימה מהקו הכחול ורוכב C שרכב 2 מטר מחוץ לקו הכחול. איזה מרחקים שונים רכבו רוכבי האופניים? מיהו הרוכב המהיר ביניהם  ומהי מהירותו?

מקור הפעילות: "מתמטיקה וספורט – הספירה לאחור לאולימפיאדה 2012":
Maths and Sport: Countdown to  the Games, 
מאמרים ופעילויות בנשוא ספורט ומתמטיקה מאת אוניברסיטת קיימבריג', אנגליה.

   מקורות נוספים לפעילויות של ספורט ומתמטיקה: 

מתוך הפיצוח יום פאי שמח: "מרוץ הפאי", פעילות על תכנון מסלול המירוצים באולימפיאדה.

"מתמטיקה וספורט – הספירה לאחור לאולימפיאדה 2012":
Maths and Sport: Countdown to the Games, מאמרים ופעילויות בנושא ספורט ומתמטיקה מאת אוניברסיטת קיימבריג', אנגליה. 

מתמטיקה וספורט – Math and sport, פרק מתוך הספר The Mathematical Collage, אשר בא להמחיש את הקשר של מתמטיקה לחיי היום יום.

מתמטיקה וספורט – אוסף פעילויות, פוסטרים ומאמרים מתוך חודש המודעות המתמטית 2010 Mathematics Awareness Month, . 

על הדגל האולימפי – פעילות בהסתברות וקומבינטוריקה ועוד, מאת מחוז תל אביב 

על הלפיד האולימפי – אוסף פעילויות על מסלול הלפיד וענפי הספורט השונים באולימפיאדה, מאת מחוז תל אביב 

?Can Mathematics Help Usain Bolt Run Faster – כתבה ב- Science Daily, הצעות מתמטיות לאצן האולימפי כיצד לשפר את שיאי העולם שקבע. 

Math in Basketball – פעילות אינטראקטיבית מלווה בסרט וידאו המסביר כיצד ניתן לתכנן את הקליעה המושלמת לסל בעזרת המתמטיקה.