המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי

כתב: פרופ' עמוס ארליך

החללית שלנו נחתה על כוכב-לכת מרוחק ולהפתעתנו נוכחנו שנחתנו במגרש משחקים של בית ספר. נכנסנו לכתה ונוכחנו שהם מדברים עברית ונמצאים בתחילת לימוד הגיאומטריה, אך נראה שהנחות היסוד שלהם (האכסיומות) שונות מן המקובל אצלנו.

על הלוח שלהם כתוב:

"הנחת יסוד ב: סכום הזויות בכל מרובע הוא 360⁰"

המורה מבקש מן התלמידים להוכיח שסכום הזויות במשולש הוא 180⁰.

תלמיד א: נצרף למשולש שלנו משולש נוסף, צירוף הזויות של שני המשולשים נותן זויות של מרובע לכן סכומן 360⁰, לכן לכל משולש 180⁰.

תלמיד ב: ההוכחה אינה טובה. מה מבטיח לנו ש- 360 המעלות מתחלקות בשווה בין שני המשולשים?
אך נוכל להיעזר בהנחת יסוד א שלנו, האומרת שניתן להעתיק משולש ממקום למקום, לסובב אותו ולהפוך אותו, בלי שהדבר ישנה את צלעותיו וזויותיו. אם לתפקיד המשולש הנוסף ניקח עותק של המשולש הנתון נהפוך אותו ונשים אותו כבציור שמימין, אז ההוכחה תהיה בסדר.

תלמיד א: לא צריך את זה. כמו שהִנחנו שלכל המרובעים אותו סכום זויות כך נוכל להניח גם שלכל המשולשים אותו סכום זויות.

תלמיד ג: יש לי משהו יותר פשוט. נהפוך את המשולש למרובע על-ידי הוספת קדקוד על אחת הצלעות. בקדקוד זה 180^o לכן בשאר הקדקודים יחד יש 180^o .

המורה: הנה באו אורחים מכדור הארץ. שלום אורחים יקרים.
התוכלו לומר לנו מי צודק ומי לא?

25 סטודנטים קיבלו את השאלה, התבקשו להשיב בכתב (להזדהות במספר בלבד), ואחר כך חולקו דפיהם מחדש לצורך תגובות. הסיכום שלהלן אינו מבחין בין מה שנכתב כתשובה ראשונית ובין מה שנכתב כתגובה, ובשני השלבים יכלו הסטודנטים גם לשוחח ביניהם על הענין.

כולם הסכימו שתלמיד א אינו צודק.

10 מתוך 25^.2 טענו שתלמיד ב הוכיח מקרה פרטי בלבד (וחלקם זכו להתנגדות הבודקים). עוד שניים (כנראה אותו סטודנט) פסלו את תלמיד ב בטענה שהוכיח A->Bבמקום B->A .

17 ( מתוך אותם 25^.2) טענו שתוקף הוכחתו של תלמיד ג תלוי בהגדרת מרובע.

6 מתוך אלה הזכירו במפורש שמדובר באופן שבו הוגדר מרובע באותה כתה או במקובל באותו כוכב.

18 פסלו את ההוכחה בטענה שמה שהתקבל אינו מרובע (בכמה מקרים טענו שלא יתכן שלאותה צורה גם סכום זויות 360^o וגם 180^o).

11 קיבלו את ההוכחה של ג (חלקם ציינו שהיא יפה במיוחד).

4 לא הגיבו על דברי תלמיד ג או לא אמרו משהו ברור.

ומה דעתכם?