תקציר|אוצרות פיתגורס|פתרונות|كنوز فيثاغورس|حلول

במצולות הים ליד האי סאמוס, מקום הולדתו של פיתגורס, נמצאו אוצרות בהם מטבעות עתיקים יקרי ערך. 

עזרו לחוקרים בחישוביהם למצוא את גודל המטבעות.

1. תיבת האוצר

בתיבה מלבנית שלושה מטבעות זהב הנוגעים זה בזה, בדומה לאיור (המטבע הגדול נוגע בשלוש צלעותיו של המלבן, הבינוני בשתי צלעותיו והקטן בצלע אחת).

רדיוס המטבע הקטן 4 ס"מ, רדיוס המטבע הבינוני 9 ס"מ. מה גודלו של המטבע הגדול?

2. מטבע הזהב

בגליל שקוטרו 2 ס"מ מונחים שלושה מטבעות בדומה לאיור. שני מטבעות ארד בקוטר 1 ס"מ המשיקים זה לזה ומטבע נוסף, מטבע זהב.

א. מהו גודל מטבע הזהב?

ב. מצאו מה המרחק בין מרכז מטבע הזהב למרכז הגליל.

ג. התוכלו למצוא באיור משולש 3:4:5?

3. ארד, כסף וזהב

שלושה מטבעות, הגדול מארד הבינוני מכסף והקטן מזהב, מונחים בקופסא מלבנית כך שהם משיקים לצלע המלבן ונוגעים זה בזה. רדיוס המטבע הגדול הוא 2 ס"מ ורדיוס המטבע הבינוני הוא 1 ס"מ.

א. מצאו מהו גודל מטבע הזהב.

ב. מצאו את מימדי הקופסא.

עובד על פי פעילויות מתוך: http://nrich.maths.org/

קישורים לבעיות נוספות ליישום משפט פיתגורס:

• מתוך "אלף אפס":
  - נתיב הזהב
  - אוסף בעיות על פיתגורס

• מתוך אתרו של דוד שי:  וריאציות פיתגוריות
• הפיצוח: משימה פרחונית
• Animated Pythagorean Theorem

תקציר|  קסמים מתמטיים עם נייר ומספריים | פתרונות|  سحر في الرياضيات بواسطة الورقة والمقص | حلول

בפעילות זאת כל מה שצריך זה כמה מילות קסם (הוקוס פוקוס, אברה-כדברא), נייר ומספריים והרבה אהבה וסקרנות לקסמים שמאחורי המתמטיקה.
הסודות מאחורי הטריקים והחידות הבאים מגיעים מענף במתמטיקה שנקרא טופולוגיה. הטופולוגיה חוקרת עצמים שאינם משתנים כאשר הם מעוותים ללא חיתוך או קריעה. (מומלץ בחום לצפות בסרט "איך להפוך כדור מהפנים אל החוץ?").

1. התוכלו לבנות בנייה "בלתי אפשרית" ?

האם תוכלו להכין מנייר אחד מבנה תלת מימדי כמתואר באיור למטה?
האם תוכלו לעשות זאת באמצעות חיתוכים וקיפולים בלבד, מבלי להשתמש בדבק?

את החידה הציג מרטין גרדנר, גדול המשעשעים והמשתעשעים במתמטיקה, באחד ממאמריו ב- Scientific American. הוא חקר את הצורה המיוחדת הזו וקרא לה hypersquare ("ריבוע מעל"). 
למרות פשטותה, זוהי חידה לא קלה לפתרון.
קחו נייר ומספריים , נסו והתנסו- בהצלחה! 

2. חור ענק בנייר קטן

בידי נייר הודעות קטן בגודל 10X10. האם לדעתכם אוכל ליצור חור בנייר כך שאוכל להשחיל את הנייר על ראשי 
בואו נתבונן בטריק טופולוגי פשוט:

שלב 1:
קפלו את הניר לשניים.

שלב 2:
חתכו לרוחב הנייר המקופל, 9 חתכים מקו הקיפול עד כחצי ס"מ.

שלב 3:
הפכו את הדף.
חתכו  בין החתכים לכוון הקיפול כחצי ס"מ.

שלב 4:
בזהירות רבה חתכו לאורך הקפל. אל תחתכו את שני הקצוות.

א. מהו הקף המסגרת שקיבלתם? מהו שטחה? התוכלו להסביר כיצד זה יתכן?
ב. לאיזה גודל נייר אנו זקוקים כדי ליצור מסגרת שתקיף כיתה בגודל  5X5 מטר?  
ג. האם אתם מכירים שימוש לתכונה זו בתופעות מן החיים?  

3. טבעת מביוס- אחת ושתיים

טבעת מביוס- עבודת תחריט עץ של האמן אשר 

תקציר|  אלגברה קצת אחרת| פתרונות| الجبر بمنظار آخر| حلول

פתרו את הבעיות הבאות בדרכים שונות:

1. אם נתון ש p,q ו r מספרים שלמים וחיוביים ו      

מצאו את q.

[מקור-  Mathematics teacher vol. 100 no. 7, March  2007]

2. חשבו את N אם נתון ש:

[מקור- Mathematics teacher vol. 100 no. 8, April 2007]

3. נתון שx ו-y מספרים רציונאליים וחיוביים וסכומם שווה ל5.

מהו הערך המינימאלי של הביטוי   

[מקור- Mathematics teacher vol. 100 no. 8, April 2007]

תקציר|תמונות מספרות על סכומים|פתרונות|صور تحكي عن مجاميع|حلول

1. 

א. מצאו בעזרת האיור את הסכום 1+2+3+4+5+6

ב. מצאו את הסכום של n המספרים הטבעיים הראשונים והסבירו אותו בעזרת האיור.

2. נתון משולש שווה צלעות ששטחו 1 סמ"ר, נחצה כל צלע כך שיווצרו משולשים חדשים.

א. מהו היחס בין השטח של המשולש הכתום הגדול והמשולש כולו?

ב. מהו סכום השטחים של שלושה משולשים כתומים? ארבעה? חמישה משולשים?

ג. אם נמשיך לחלק את המשולש באופן דומה, מהו סכום שטחי n המשולשים? הכלילו את הסכום?

מקור: Mathematics Teacher, Vol. 101, 2007

3. במגדל של קוביות שש קוביות בגדלים שונים, בעלות מקצועות של 1 עד 6.

א. כמה קוביות של 1X1X1 יש במגדל?

ב. הסבירו כיצד האיור מדגים את השוויון:        

1³ + 2³ + 3³ + ... + 6³ =  ²(1+ 2 + 3 + ... + 6)      

רמז- חשבו על קובייה הפרוסה לשכבות.  

ג. מהי נוסחת סכום n  המספרים הטבעיים הראשונים המעוקבים (בחזקת 3)? הוכיחו טענתכם.

ד. הציעו דרכים נוספות להוכחת הטענה.

המקור: NRICH - enriching Marhematics. 

הוכחה ללא מילים - פרוייקט לתלמידים- צוות מחר "98". 
הוכחות ויזואליות ללא מילים (כמעט) - אורית זסלבסקי וגרייסי ויניצקי.

תקציר|ללכת על פני הקוביה והתיבה|פתרונות|نسير على سطوح المكعب والصندوق| حلول

1. קוביית הקסמים

במשחק מחשב תלת מימדי עלינו לאסוף יהלומים הנמצאים על פני קוביית הקסמים. 

היהלומים משובצים בכל קודקודי הקובייה ובמרכז כל אחת מפיאותיה.

אורך המקצוע של הקובייה 10 ס"מ.

כמה יהלומים על הקוביה?

מהו המסלול הקצר ביותר לאיסוף היהלומים (העובר דרך כל קודקודי הקובייה וכל מרכזי הפאות שלה)?

2. הזבוב והעכביש

בשיעור ביולוגיה מצאנו עכביש רעב אורב לזבוב... הכיתה אורכה 5 מ', רוחבה 4 מ' וגובהה 2.5 מ'.

העכביש נמצא במרכז הקיר בחדר ואילו הזבוב יושב על אדן החלון שבקיר שממול, 

1.5 מ' מעל הרצפה ו- 0.5 מ' מהקיר הסמוך. (כמתואר באיור)

מהו המרחק הקצר ביותר שעל העכביש לזחול בכדי לתפוס את הזבוב?

3. עטיפת מתנה

ברצוני לעטוף מתנה בעזרת סרט הדוק למתנה בצורת תיבה, כך שישלים סיבוב שלם סביב התיבה. הסרט יעבור על כל פאה פעם אחת, פרט לפאות שלמעלה ולמטה  שם יהיו שני חלקי הסרט מקבילים.

איזה אורך סרט עלי להכין אם גודל המתנה 20X10X 5 סמ"ר?