תקציר |  ארבע בעיות על משוואה ריבועית | פתרונות | أربع مسائل حول المعادلة التربيعية | حلول 

1. המספרים המסתתרים
   חשבו מהם המספרים המסתתרים מאחורי הביטויים האינסופיים הבאים:
   
   
   מקור: Nrich.maths.org

   ---

2. תכסיס לפתרון משוואה ריבועית

   שי למד לפתור בקלות בע"פ, באמצעות פירוק לגורמים, משוואות ריבועיות מנורמלות (שמקדם ה-x2 שלהן הוא 1) מהצורה: x² + px + q = 0
   אך הוא נטה להתקשות למצוא במהירות את שורשי המשוואות הריבועיות מהצורה הכללית: ax² + bx + c = 0
   לכן הוא המציא תכסיס חדש לפתרון:
   בכדי לפתור את המשוואה: 6x² - 7x - 3 = 0 הוא פתר בע"פ את המשוואה x² - 7x - 6^.3 = 0.
   פתרונותיה הם: 9, 2-.
   כעת הוא חילק כל פתרון ב- 6 וטען כי פתרונות המשוואה הנתונה הם:
   
   א. האם שי צודק?
   ב. האם ניתן להכליל את השיטה של שי?
       כלומר האם ניתן על בסיס פתרונות משוואה ריבועית מנורמלת למצוא את הפתרונות של משוואה ריבועית כלשהי.
       אם כן, תארו את השיטה והוכיחו.

   ---

3. "בית גידול" למשוואות ריבועיות
   ניקח את המשוואה: x² - 13x + 36 = 0 ונצמיח ממנה 17 משוואות חדשות שהן 'קרובות משפחה' של המשוואה המקורית:
   
   א. תארו כיצד מייצר "בית הגידול" משוואות ריבועיות חדשות.
   ב. מהם הפתרונות של כל אחת מהמשוואות? האם קיים קשר ביניהם?
   ג. נסו לחזור על 'ההצמחה' מסוג זה לגבי משוואה ריבועית אחרת.
   ד. מצאו את ערכו המתאים ל- c, כך שניתן יהיה להצמיח 23 (!) משוואות חדשות מתוך המשוואה: x² - 17x + c = 0.
   
   מקור: שאלות 3-2 אוסף פעילויות באלגברה, קלרה זיסקין, קשר ח"ם.

   ---

4. משוואה ריבועית פרדוקסלית
   נתונה המשוואה:
   
   הראו כי: 5, 3-, 2 מקיימים את המשוואה.
   
   א. האם ייתכן שלמשוואה ריבועית יהיו שלושה פתרונות? הסבירו.
   ב. התוכלו לבנות עוד 'משוואות' ריבועיות כאלה?

   
   מקור: תבלינים, קשר ח"ם.

תקציר| משחקי מזל בחנוכה| פתרונות

1. משחק הסופגניות
על מגש עגול מונחות 7 סופגניות בטעמים שונים:
4 ממולאות בשוקולד, 2 עם ריבה ואחת ריקה. 
הסופגניות משיקות זו לזו ומסודרות במבנה של פרח.
במשחק הסופגניות בחנוכה, מחליפים את המקום של הסופגניות באופן אקראי בכל משחקון, בדומה לכיסאות מוסיקליים.  

אם שתי הסופגניות עם הריבה משיקות זו לזו - ניצחתם במשחקון!
שחקו במשחק בעזרת הדפים הבאים ובדקו:

א. שחקו משחק אחד, האם ניצחתם?

ב. שחקו 10 משחקונים. בכמה משחקונים ניצחתם? נסו גם 20 ו-50 משחקים.

ג. מה הסיכוי לנצח ב-100 משחקונים? הסבירו.

מעובד לפי Nrich.math.org 

2. משחק הסביבונים

במשחק הסביבונים מסובבים שני סביבונים: האחד סביבון חנוכה שעל ארבע פאותיו רשומות האותיות: נ, ג, ה, פ (נס גדול היה פה).
הסביבון השני הוא משושה שעל שש פאותיו המספרים מ-1 עד 6.

במשחק מוסכם כי  נ=1, ג=2, ה=3, פ=4.

יש באפשרותך לבחור באחד מהמשחקים הבאים:

א.  זכייה כאשר סכום המספרים בשני הסביבונים שווה ל-7.

ב. זכייה כאשר סכום המספרים בשני הסביבונים הוא לפחות 7.

ג.  זכייה כאשר מכפלת המספרים בשני הסביבונים היא לפחות 16.

באיזה משחק כדאי לך לבחור?

מעובד לפי אלכס קופרמן, סטטיסטיקה והסתברות, הוצאת BAK

3. דמי חנוכה

אביטל קיבלה דמי חנוכה עשרה מטבעות שוקולד עליהן מודפסים הספרות 0 עד 9.

מהי ההסתברות שאביטל תוציא מהקופסה, בצורה אקראית, שלושה מטבעות  שניתן להרכיב מהם מספר תלת-ספרתי המתחלק ב-9?

עוד על חנוכה:

פיצוח נוסף חנוכה במספרים - אוסף חידות וחידודים העוסקים בקשרים בין מספרים.

ראו גם אוסף עשיר לחידות לחנוכה - אלף אפס

תקציר| זלילה גיאומטרית| פתרונות| شراهة هندسية 

1. פיצה "חצי חצי"

אורי ודנה הזמינו פיצה מלבנית וביקשו שחלקה תהיה עם זיתים וחלקה עם פטריות. 
בפיצריה הציעו להם את החלוקות הבאות:

אורי ודנה התלבטו איזו חלוקה הוגנת יותר?

או בניסוח מתמטי, מהו יחס השטחים בכל אחד מהמלבנים, בין השטח הכחול והשטח הסגול?

2. עוגת יום ההולדת

אורי ודנה הכינו לאמם עוגת יום הולדת בתבנית ריבועית, וקישטו אותה בסוכריות צבעוניות (עם צבעי מאכל טבעיים בלבד) בצורה גיאומטרית מיוחדת.

הם חילקו את צלע העוגה הריבועית לשלשה חלקים שווים ויצרו ריבוע ושלושה טרפזים כמתואר באיור.

אמא, שהייתה בדיאטה, ביקשה את הריבוע הצהוב.
דנה ביקשה לעצמה את החלק הסגול עם הלבבות.
אורי ביקש את שני החלקים הכחולים עם הכוכבים.

איזה חלק מהעוגה קיבל כל אחד מהם?

כיצד ישתנה יחס השטחים כאשר אורך צלע הריבוע הצהוב הוא  באורך כלשהו, לאו דווקא שליש צלע הריבוע החיצוני ?

3. לקינוח- שוקולד גיאומטרי

בשוקולד הגיאומטרי, בריבוע הפנימי מודפסת כבשה קטנה וחמודה.

חילקו את השוקולד הריבועי באופן הבא: 
סימנו קטעים מאמצע של כל צלע הריבוע עד לאחד מהקודקודים של הריבוע שממול.

א. הוכיחו שהמרובע הפנימי הוא אכן ריבוע.

ב. מצאו מה היחס בין שטח הריבוע הפנימי לשטח הריבוע החיצוני.

ג. שאלה למחשבה-

כיצד ישתנה המרובע הפנימי כאשר נבחר נקודה כלשהי על צלע הריבוע (ולאו דווקא בחציה) וכיצד ישתנה אז יחס השטחים ?

תקציר| סדרה הנדסית מתכנסת| פתרונות| متوالية هندسية تنازلية متداخلة| حلول

1. ללא מילים

האומנם יתכן שסכום סדרה אינסופית הוא סופי ?

לפניכם שלש הוכחות ללא מילים לנוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית יורדת. אנא נמקו.

מתוך: "הוכחות ויזואליות ללא מילים" מאת  א. זסלבסקי, ג. ויניצקי,  קשר ח"ם

2. הזבוב הטורדן

שני רוכבי אופניים יצאו זה לקראת זה משני ישובים שהמרחק ביניהם 40 ק"מ במהירות של 20 קמ"ש כל אחד. לפני הזינוק ישב לו זבוב טורדן על אפו של אחד מהרוכבים. מיד עם צאתם יצא זבוב ועף במהירות של 50 קמ"ש לעבר הרוכב השני. ברגע שהוא מגיע אליו, הוא הופך את כיוון מעופו, ועף אל הרוכב שממנו יצא. כך ממשיך הזבוב הטורדן במעופו בין הרוכבים, עד לרגעהמפגש, אז הוא  נמחץ...

מה אורכו של המסלול שעבר הזבוב?

3. האיור המתכנס

באיור שלפניכם המעגלים והריבועים חוסמים זה את זה ונעשים קטנים יותר ויותר. בכל שלב, צבעו את ארבעת הגזרות שנוצרו מחסימת העיגול בריבוע. נתון כי אורך צלע הריבוע החיצוני 10 ס"מ.

א. מהו השטח הצבוע בשלב השביעי?

ב. מהו שטח הכולל של כל התחומים הצבועים בכחול באיור שלפנינו?

ג. אם נמשיך את התהליך אינסוף פעמים, מה יהיה השטח הצבוע?

4. לוח מטרה גיאומטרי

הוזמנת לשחק בלוח קליעה למטרה גיאומטרי ולו צורת משולש ובו חסומים מעגלים לפי האיור הבא.
מעגל, בעל  רדיוס של יחידת אורך אחת,  חסום במשולש שווה צלעות. מעגל קטן יותר חסום בכל אחת מזוויות המשולש, כך שהוא משיק למעגל הגדול. מעגלים קטנים יותר ויותר חסומים באופן דומה, עד אינסוף. 

מהי ההסתברות שהחץ יפגע בתחום האדום?

קישורים נוספים בנושא סדרה הנדסית יורדת:

פינג פונג מתמטי - רון אהרוני- על"ה 38. המחבר משתף אותנו בחוויית גילוי מתמטי שעבר כנער בחיפוש אחר נוסחא לסכום של סדרה גיאומטרית.

משולשים, מעגלים, חוצי זוויות, זהויות טריגונומטריות,סדרה הנדסית ושאיפה לגבול -מה הקשר? אבי סיגלר - על"ה 36. המאמר מציג תהליך גיאומטרי של יצירת סדרה אינסופית של משולשים חסומים במעגל, אשר שטחיהם, היקפיהם ואורכי המחוגים של המעגלים החסומים בהם שואפים באופן מונוטוני לגבול.

פרוייקט לתלמידים - שגעון נקודת האמצע - מחר 98. הפעילות עוסקת בגילוי של תכונות מצולעים, הנוצרים מחיבור נקודות האמצע של צלעות של מרובעים ושל משולשים. תוך כדי הפעילות עוסקים בתהליך אינסופי של יצירת משולשים המוביל למושג הגבול.

פרוייקט לתלמידים - עקומה פתולוגית - מחר 98. בנייה בעזרת המחשב עקומות פתולוגיות, שהן למעשה הפרקטלים של קוך. בכל העקומות קיים פרדוקס שהיקפן שואף לאינסוף ושטחן חסום.

פרוייקט לתלמידים - האינסוף המסתורי - מחר 98. אוסף של פעילויות שונות המתארות פרדוקסים הקשורים למושג האינסוף ודרכי יישומם

"נוסחת הסכום של סדרה הנדסית" - דורית פטקין, קשר חם. בחומר מובא ייצוג גרפי של סכום איברי סדרה הנדסית סופית שאיברה הראשון הוא  1ומנתה מספר טבעי, ושל סכום איברי סדרה הנדסית אינסופית שאיברה הראשון הוא 1 ומנתה מספר הופכי למספר טבעי.

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

האם 1=0.9999999 ? - מאמר על סדרה הנדסית אינסופית יורדת, באנגלית.

תקציר| חנוכה במספרים| פתרונות

1. סביבון מתמטי - סוב סוב סוב !

הסביבון המתמטי שלי מעושר, והוא נופל על אחד מהמספרים 1-10.

קיבלתי במתנה שלושה סביבונים מתמטיים שעל כל אחד מהם 10 מספרים, אך לא תוכלו לראותם.

סקרנים לדעת מהם המספרים?

סובבתי את כל אחד מהסביבונים המתמטיים 15 פעמים ורשמתי את כל המספרים שהתקבלו בעצירתם. הם כאן, לפניכם, בטבלאות מתאימות.

אחר-כך חזרתי על פעולה זאת פעמיים, אך הפעם שכחתי איזו טבלה מתאימה לאיזה סביבון. 
לפניכם תוצאות הסיבובים ב- 6 טבלאות:

2. סופגניות חמות ומתוקות