תקציר| המלך מתיא חובב המתמטיקה| פתרונות|  الملك متيا مُحب للرياضيات

1. גינת השושנים 

בחצר המלך גינת ורדים נדירה ובה שבעה שיחי ורדים השתולים בשורה. המלך ביקש לגדר סביב כל שיח ורד במוטות עץ ייחודיים ויקרים, כמתואר באיור:

המלך אמר כי כרגע בגינה 7 שיחי ורדים, אך כבר בחודש הקרוב הוא יגדיל את הגן ל-25 שיחי ורדים, ובתכנון הסופי יהיו אף 100 שיחים!

א. כמה מוטות צריך בכדי לגדר 7 שיחי ורדים? 25 שיחים? 100 שיחים?
    הסבירו כיצד מצאתם?

ב. נפלה מחלוקת בין שלושת יועציו כמה מוטות עץ דרושים למשימה וכיצד לספור את מוטות העץ.

ראו כיצד היועץ תחכמוני ספר את המוטות: 

ראו כיצד היועץ חשבוני ספר את המוטות:

ראו כיצד היועץ אין-כמוני ספר את המוטות:

התאימו לכל יועץ את תרגיל החשבון  שלפיו ספר את מוטות העץ והסבירו במילים כיצד ספר.

1 +7.3                           4 +6.3                      7.2 + 8

מי מהיועצים צודק?

ג.  כיצד לדעתכם יספור כל יועץ מוטות עבור 25 שיחים?  100 שיחים? רשמו תרגילים מתאימים. 

ד. האם אתם ספרתם את מוטות העץ בדומה לאחד היועצים? הסבירו את שיטתכם.

ה. רועי טען שהוא ספר אחרת את מוטות הגדר של שבעת השיחים. הוא ספר כך: 7.4 - 6. הסבירו את שיטתו.

ו. כמה מוטות צריך בכדי לגדר מספר כלשהו של שיחי ורדים?  רשמו במילים ובתבנית אלגברית.

מקור: Nrich

2. שולחן הסעודה הגדולה

המלך מתיא אהב לארח לארוחות חגיגיות בחדר האוכל המלכותי. שם היו לו למכביר שולחנות ריבועיים לארבעה, והמון כסאות. כשערך סעודה גדולה בקש מיועציו המתמטיים לחבר את השולחנות זה לזה לשורה אחת ארוכה של שולחן ארוך.

נא ענו על השאלות הבאות:

א. כמה כיסאות ניתן לסדר סביב שולחן אחד? שני שולחנות מחוברים? שלושה שולחנות מחוברים?

ב. כמה כיסאות ניתן לסדר סביב 10 שולחנות? 20 שולחנות? כיצד מצאתם את מספר הכיסאות?

ג. כיצד תקבעו כמה כיסאות ניתן להושיב סביב מספר כלשהו (n) של שולחנות? הסבירו.

ד. כמה שולחנות יש להצמיד עבור 18 אנשים?

ה. האם ניתן להושיב בסידור שולחנות זה בדיוק 25 אנשים?

ו. כיצד תקבעו  כמה שולחנות יש להציב עבור מספר כלשהו של אנשים (p)?

להרחבה:

לקראת נשף פתיחת שנת הלימודים בממלכה, המלך מתיא מתכוון לערוך סעודה גדולה רבת משתתפים, ובקש שיארגנו לו לכבוד המאורע שולחן מלבני. (כמתואר באיור)

א. חקרו כמה כסאות ניתן לסדר סביב שולחן מלבני כזה?

ב. תכננו שולחן לארוחה בת 1000 מוזמנים.

מקור: illumination- Chairs Around The Table

3. שביל המלך

המלך בקש מיועציו לתכנן בגנו שביל ייחודי המרוצף מאבנים בצורת מצולעים משוכללים (משושה משוכלל, ריבוע, משולש שווה צלעות). אורך כל צלע של אבן מצולע משוכלל היא: 10 ס"מ. השביל יהיה מרוצף בסידור של תבניות החוזרות על עצמן.

יועצי המלך המתמטיים, זולו ומולו, הגישו למלך שתי תוכניות ריצוף.
השביל של זולו:

השביל של מולו:

ענו עבור כל אחד מהשבילים:

א. זהו את התבנית שחוזרת על עצמה וצבעו אותה.

ב. כמה אבנים מכל סוג צריך עבור תבנית אחת? מהו אורכה?

ג. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל משתי תבניות? שלש תבניות?

ד. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל מעשר תבניות? מה יהיה אורך השביל?

ה. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל באורך 50 מטר ?

ו. כמה אבנים מכל סוג צריך בכדי לבנות שביל מ-n תבניות?

תכננו גם אתם עיצובים נוספים לשביל המלך וענו על השאלות א-ו.

תוכלו להיעזר בתכנון השביל בכלי האינטראקטיבי:  "שמיכת טלאים", ולהוסיף גם צורות אחרות.

מקור: Teacher to Teacher Press - The king's Pathway

למתעניינים, מקורות נוספים:

אוסף מאמרים מתורגמים- על ראשית האלגברה של המרכז היסודי. 

דפוסים גיאומטריים- התייחסות וניתוח פריאל, מרקוורט .

תקציר|משלוש (בעיות) יוצא אחד|من ثلاث (مسائل) ينتج واحدة |

1. טקס לחיצות ידיים

א. שבעה מתמטיקאים נפגשו במסיבה. ובטקס מסורתי לחצו זה לזה ידיים. הראשון לחץ ידיים עם כל השאר. השני לחץ ידיים לכל השאר, פרט לראשון איתו כבר לחץ.

    השלישי לחץ ידיים לכל השאר פרט לראשון ולשני. וכך הלאה. כמה לחיצות ידיים היו בסה"כ?

ב. שבוע לאחר מכן נפגשו שמונה מתמטיקאים במסיבה. כמה לחיצות ידיים היו אז? ואם היו מגיעים למסיבה תשעה?

ג. שגיא ניסה לחשב כמה לחיצות ידיים תהיינה אם יהיו 20 מתמטיקאים במסיבה. 
   הוא טען שכל אחד מהם לוחץ ידיים 19 פעמים, לכן יהיו לחיצות ידיים בסה"כ.
   הילה לא הסכימה עמו. היא חישבה כך: .  
   הסבירו כיצד לדעתכם כל אחד מהם ספר? מי לדעתכם צודק?

ד. יום אחד, 161 מתמטיקאים נפגשו במסיבה. כמה לחיצות ידיים היו בסה"כ בטקס לחיצות הידיים.
    התוכלו לתאר דרך קצרה לחישוב?

ה. האם יתכנו 4851 לחיצות ידיים בטקס? כמה מתמטיקאים נפגשו אז?
    האם יתכנו 6214? 3655? 7626? 8656?

מקור: Nrich,Handshakes

2. השושן המסתורי 

התבוננו באנימציה כיצד בנוי פרח השושן המסתורי Mystic Rose :

תקציר| פתרונות|

חידה 1

נדמיין  לעצמינו שאנו מקיפים את כדור- הארץ, בסרט, לאורך קו המשווה (כמו חגורה סביב כדה"א). נוסיף לסרט זה מטר אחד, כך ייווצר רווח בין הסרט לבין קו המשווה. 
א. האם ברווח זה יכול לעבור חתול (בעמידה זקופה או בזחילה)? 
הסבירו את טענתכם.
ב. על קו המשווה מוצבת אנטנה בגובה 7 מטרים, כמה מטרים יש להוסיף לסרט בכדי שהאנטנה תהיה מתחתיו?

חידה 2

נדמיין  לעצמינו ספורטאי המקיף  את כדור- הארץ, לאורך קו המשווה.
האם נכון להגיד שראשו עובר מרחק גדול יותר מרגליו? אם כן, אז בכמה?
מה יקרה אם הספורטאי "יקיף"  לאורך קו המשווה של .... כדור טניס?

תקציר|בארץ יצורי הפרא המתמטיים |פתרונות|في بلاد الكائنات العجيبة الرياضية | حلول

בארץ יצורי הפרא המתמטיים חיים יחדיו שני סוגי יצורים  . 
אך כאשר שניהם פוגשים זה את זה הם בולעים זה את זה, לכן כשהם ביחד הם נקראים "זוג האפס".

היצורים הללו מתאספים יחד כדי להציג מספרים שלמים.

1. הנה שלושה מפגשים המייצגים את אותו מספר:

ציירו יצורים נוספים המייצגים את אותו מספר:

2. ושוב שלושה מפגשים המייצגים את אותו מספר. מהו?

ציירו יצורים נוספים המייצגים את אותו מספר.

3. איזה מפגש מייצג מספר גדול יותר?

4. יצורי הפרא המתמטיים יודעים גם להציג תרגילי חשבון, לדוגמה תרגיל חיבור:

 צפו בסרטון "חיבור בארץ יצורי הפרא המתמטיים" 

השלימו:

תוכלו לשחק ולפתור בעיות במשחק האינטראקטיבי של חיבור יצורי הפרא. (נדרש תוסף ג'אווה בדפדפן שאינו כרום)

5. יצורי הפרא המתמטיים יודעים גם להציג תרגילי  חיסור :

צפו בסרטון "חיסור בארץ יצורי הפרא המתמטיים".

השלימו:

6.  אך מה יעשו היצורים בתרגילי חיסור, כאשר לא ניתן "לקחת" מתוכם?  

     איך ניתן לקחת  ( -2) מתוך 5 ?

יצורי הפרא הנבונים הציעו להוסיף שני "זוגות האפס" כדי שאפשר יהיה לבצע את החיסור. 

השלימו:

קצת היסטוריה

הסינים היו הראשונים שהתייחסו למספרים השליליים כבר במאה השנייה לפני הספירה לשם חישובים מסחריים. הם ייצגו את המספרים החיוביים (זכות) עם מקלות שחורים והשליליים (חוב) עם מקלות אדומים.

במאה השמינית לספירה, ההודים שהכניסו את שיטת הספירה הערבית ואת האפס, התייחסו גם הם למספרים השליליים. המתמטיקאי ההודי ברַהמַגוּפְטַה כתב:"הסכום של שתי זכויות הוא זכות, של שני חובות הוא חוב, הסכום של זכות וחוב הוא ההפרש שלהם".

אך במשך מאות בשנים גרמו המספרים השליליים למתמטיקאיים מבוכה ואלו התקשו לקבלם וקראו להם "דמיוניים ושקריים ...".  רק במאה ה-19 התקבלו המספרים השליליים כחלק ממערכת המספרים כאשר המילטון, מתמטיקאי אירי ואחרים, ייסדו בסיס מתמטי מלא למערכת המספרים השליליים.

משחקים ועוד עם מספרים שליליים:

"שלושה ברצף" - משחק מדליק לתרגול חיבור וחיסור מספרים שליליים. ניתן לשחק עם חבר או נגד המחשב, וכן לקבוע את רמת המשחק. 

מעבדת הבטריות - משחק המלווה גם במערך שיעור. מודל נוסף להצגת המספרים השליליים המלווה במערך שיעור מאת ה- NCTM. 

"מאזניים לפתרון משוואות הכוללות מספרים שליליים" - משחק אינטראקטיבי לפתרון משוואות אלגבריות.

מקורות

• Nrich - Adding and Subtracting Positive and Negative Numbers
• Colored-Chip Model for Integers יחידת לימוד למורים מאת Annenberg Media להכרות עם המודל "אסימונים צבעוניים" לפעולות החשבון עם מספרים שליליים. ביחידה וידאו קצר ומומלץ של השתלמות מורים המציג את המודל ונשאלת שם השאלה האם המודל מתאים להצגת כל פעולה?
• הקניית המושג "מספרים מכוונים"- שילוב נימוקים חוץ ופנים מתמטיים - מיכאל קורן- על"ה 32.
• מתולדות המתמטיקה - על המספרים השליליים - שמואל אביטל, גליונות לחשבון 21.

תקציר|קיפולי נייר גיאומטריים |פתרונות|طي الورق هندسيًا | حلول

1. שטח משולש ועוד תכונות

1) גזרו לכם משולש וקפלו גובה h ופיתחו בחזרה את הקפל.

2) קפלו את הקודקוד של המשולש אל הצלע שממול.
    צבעו את קו הקיפול באדום.
    מה תוכלו לומר על קו הקיפול שקיבלתם?      
    מהו המרובע שקיבלתם?

3) קפלו גבהים למרובע לאורך קווי הקיפול כמתואר בתרשים. 
    צבעו את בסיס המשולש בכחול.

התבוננו במרובע שקיבלתם, ממנו נוכל ללמוד על תכונות חשובות של המשולש.

א. מה תוכלו לומר על סכום שלושת הזוויות המסומנות? 
    איזו מסקנה ניתן להסיק לגבי זוויות המשולש?

ב. איזה מרובע קיבלתם לאחר הקיפול? 
    מהן מידותיו?  
    מה תוכלו לומר על שטחו של המרובע ושטחו של המשולש?

ג. מה תוכלו לומר על אורך קו הקיפול m ביחס לאורך בסיס המשולש? הסבירו.נסחו מסקנותיכם במילים ובאופן מתמטי.

2. שטח טרפז

1) גזרו לכם טרפז מנייר וצבעו את שני בסיסיו בצבעים שונים.

2) קפלו גובה h כלשהו בטרפז ופיתחו בחזרה את הקפל.

3) קפלו את הבסיס הקטן של הטרפז על הבסיס הגדול. 
    מהו קו הקיפול שקיבלתם?

4) התבוננו בשני המשולשים שנוצרו לאחר הקיפול. 
    מה תוכלו לומר על שני המשולשים הללו?

5) קפלו לאורך קווי הקיפול כמתואר בתרשים. התבוננו במרובע שקיבלתם.   

    א. איזה מרובע קיבלתם? נמקו.

    ב. מה תוכלו להסיק לגבי אורך קטע האמצעים? (הביעו באמצעות בסיסי הטרפז a,b וגובהו h)

    ג. מהו שטחו של המרובע? (הביעו באמצעות בסיסי הטרפז a,b וגובהו h) 

        מה היחס בין שטחו של המרובע המקופל לשטח הטרפז הנתון? הסבירו! 

מקור: הפעילות מבוססת על עבודתה של יפית אביטל.

3. שטח מקבילית

1) גזרו לכם טרפז ישר זווית מנייר. 

    (לשם הנוחות הקפידו ש DG יהיה גדול מEC , מצורף דגם)

2) קפלו כך שקודקוד A יתלכד עם קודקוד B. 

    מה תוכלו לומר על הקטע FG ?

3) קפלו לאורך הגובה h בטרפז לפי האיור וסמנו את הנקודה C' המתלכדת עם C.

4) קפלו באלכסון לפי הקו 'BC.

5) פתחו את כל הקיפולים, והתבוננו בנייר המקופל:

    א. אילו מצולעים תוכלו לזהות ? 

    ב. מה תוכלו לומר על שני המשולשים המסומנים?

6) קפלו לאורך הקו h, איזה מרובע קיבלתם? מה תוכלו לומר על שטחו?

    קפלו לאורך הקו k, איזה מרובע קיבלתם? מה תוכלו לומר על שטחו?

    מה ניתן להסיק מהשוואת שטחי המרובעים הללו?

מקור: Mathematics through Paper Folding by ALTON T. OLSON

4. משולש מצרי

במצרים העתיקה ידעו ליצור משולש ישר זווית בעל צלעות 3:4:5 באמצעים פשוטים: 

במשטח ריבועי הם מתחו חבלים מכל קודקוד של הריבוע אל אמצע שתי הצלעות שממול.

כך נוצר כוכב מתומן ובו כלוא משולש מצרי, משולש ישר שווית 3:4:5.

בואו ניצור משולש מצרי- קחו נייר ריבועי וסמנו את נקודות האמצע של כל צלע ע"י חצייתם.

קפלו מנקודת האמצע אל הקודקודים שממול.

א.  מצאו משולשים מצריים (ישרי זווית 3:4:5) בנייר המקופל.

ב.  הראו כי הזווית המשולש AFB הוא משולש מצרי.

    תוכלו להיעזר באיור הבא כהוכחה ללא מילים. נמקו!

ג. האם מצאתם משולשים מצריים נוספים? מכמה סוגים?

ד. כמה משולשים מצריים ישנם בסה"כ בקיפול הנייר של הכוכב המתומן?

מקור: http://www.cut-the-knot.org/