סדרה הנדסית מתכנסת

תקציר| סדרה הנדסית מתכנסת| פתרונות| متوالية هندسية تنازلية متداخلة| حلول

1. ללא מילים

האומנם יתכן שסכום סדרה אינסופית הוא סופי ?

לפניכם שלש הוכחות ללא מילים לנוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית יורדת. אנא נמקו.

מתוך: "הוכחות ויזואליות ללא מילים" מאת  א. זסלבסקי, ג. ויניצקי,  קשר ח"ם

2. הזבוב הטורדן

שני רוכבי אופניים יצאו זה לקראת זה משני ישובים שהמרחק ביניהם 40 ק"מ במהירות של 20 קמ"ש כל אחד. לפני הזינוק ישב לו זבוב טורדן על אפו של אחד מהרוכבים. מיד עם צאתם יצא זבוב ועף במהירות של 50 קמ"ש לעבר הרוכב השני. ברגע שהוא מגיע אליו, הוא הופך את כיוון מעופו, ועף אל הרוכב שממנו יצא. כך ממשיך הזבוב הטורדן במעופו בין הרוכבים, עד לרגעהמפגש, אז הוא  נמחץ...

מה אורכו של המסלול שעבר הזבוב?

3. האיור המתכנס

באיור שלפניכם המעגלים והריבועים חוסמים זה את זה ונעשים קטנים יותר ויותר. בכל שלב, צבעו את ארבעת הגזרות שנוצרו מחסימת העיגול בריבוע. נתון כי אורך צלע הריבוע החיצוני 10 ס"מ.

א. מהו השטח הצבוע בשלב השביעי?

ב. מהו שטח הכולל של כל התחומים הצבועים בכחול באיור שלפנינו?

ג. אם נמשיך את התהליך אינסוף פעמים, מה יהיה השטח הצבוע?

4. לוח מטרה גיאומטרי

הוזמנת לשחק בלוח קליעה למטרה גיאומטרי ולו צורת משולש ובו חסומים מעגלים לפי האיור הבא.
מעגל, בעל  רדיוס של יחידת אורך אחת,  חסום במשולש שווה צלעות. מעגל קטן יותר חסום בכל אחת מזוויות המשולש, כך שהוא משיק למעגל הגדול. מעגלים קטנים יותר ויותר חסומים באופן דומה, עד אינסוף. 

מהי ההסתברות שהחץ יפגע בתחום האדום?

קישורים נוספים בנושא סדרה הנדסית יורדת:

פינג פונג מתמטי - רון אהרוני- על"ה 38. המחבר משתף אותנו בחוויית גילוי מתמטי שעבר כנער בחיפוש אחר נוסחא לסכום של סדרה גיאומטרית.

משולשים, מעגלים, חוצי זוויות, זהויות טריגונומטריות,סדרה הנדסית ושאיפה לגבול -מה הקשר? אבי סיגלר - על"ה 36. המאמר מציג תהליך גיאומטרי של יצירת סדרה אינסופית של משולשים חסומים במעגל, אשר שטחיהם, היקפיהם ואורכי המחוגים של המעגלים החסומים בהם שואפים באופן מונוטוני לגבול.

פרוייקט לתלמידים - שגעון נקודת האמצע - מחר 98. הפעילות עוסקת בגילוי של תכונות מצולעים, הנוצרים מחיבור נקודות האמצע של צלעות של מרובעים ושל משולשים. תוך כדי הפעילות עוסקים בתהליך אינסופי של יצירת משולשים המוביל למושג הגבול.

פרוייקט לתלמידים - עקומה פתולוגית - מחר 98. בנייה בעזרת המחשב עקומות פתולוגיות, שהן למעשה הפרקטלים של קוך. בכל העקומות קיים פרדוקס שהיקפן שואף לאינסוף ושטחן חסום.

פרוייקט לתלמידים - האינסוף המסתורי - מחר 98. אוסף של פעילויות שונות המתארות פרדוקסים הקשורים למושג האינסוף ודרכי יישומם

"נוסחת הסכום של סדרה הנדסית" - דורית פטקין, קשר חם. בחומר מובא ייצוג גרפי של סכום איברי סדרה הנדסית סופית שאיברה הראשון הוא  1ומנתה מספר טבעי, ושל סכום איברי סדרה הנדסית אינסופית שאיברה הראשון הוא 1 ומנתה מספר הופכי למספר טבעי.

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

האם 1=0.9999999 ? - מאמר על סדרה הנדסית אינסופית יורדת, באנגלית.