תקציר|לחתוך את הקובייה|قص المكعب
1. המתנה
על פני קופסת מתנה בצורת קוביה שאורך מקצועה 10 ס"מ,
הודבקו שני סרטים לקישוט כמתואר בציור.
א. מהו אורך הסרטים?
ב. התוכלו לדעת מהי הזווית בין הסרטים?
רמז - השלימו למשולש ואפיינו אותו.
מקור - Puzzle Playground
2. קוביית חימר
מהפינה של קוביית חימר (או פלסטלינה) שאורך מקצועה 10 ס"מ, נחתך חתך מישורי בצורת משולש שווה צלעות. (ראו איור)
א. ידוע שאחת מנקודות החיתוך היא אמצע המקצוע של הקובייה. הסבירו היכן יש למקם את שתי נקודות החיתוך הנוספות בכדי ליצור חתך מישורי של משולש שווה צלעות.
חשבו את אורך צלע המשולש ואת שטחו.
ב. קוביית חימר נוספת, שאורך מקצועה 10 ס"מ, נחתכה בפינתה בחתך מישורי של משולש שווה צלעות שאורך צלעו 1 ס"מ. הסבירו היכן יש למקם את נקודות החיתוך על מקצועות הקובייה. מה שטחו של
המשולש?
ג. היכן יש למקם את נקודות החיתוך על מקצועות הקובייה כך שיתקבל חתך מישורי של משולש שווה צלעות בעל השטח הכי גדול ? חשבו את אורך צלעו ואת שטחו.
צפו בסרטו או העזרו ביישום הדינאמי, גאוגברה.
ד. הפעם חתכו מכל אחת מפינות קוביית החימר, מאמצע כל מקצוע, חתך מישורי של משולש שווה צלעות. (חזרו על הפעולה מסעיף א' לכל קודקוד של הקובייה).
תארו את הגוף שנותר . (ניתן להיעזר ביישומון)
שאלת אתגר- תארו איזה גוף יתקבל אם נחתוך מכל אחת מפינות קוביית החימר , חתך מישורי של משולש שווה צלעות ולאו דווקא מאמצע כל מקצוע.
3. חתכי הקובייה
צרו קובייה מחימר או פלסטלינה. בעזרת חוט ניילון חתכו את הקובייה לשניים.
אלו צורות של חתכי מישור תוכלו לקבל?
קל מאוד לחתוך קובייה במישור ולקבל חתך של משולש שווה צלעות. צריך פשוט לחתוך פינה אחת של הקובייה ולהקפיד שמידות האורך של החתך יהיו שוות.
עוד יותר פשוט לחתוך קובייה במישור ולקבל חתך שצורתו ריבוע. כיצד?
צרו חתכים מישוריים של קובייה בעזרת חיתוך קוביית חימר או בעזרת היישום הדינאמי.
האם תוכלו ליצור את הצורות הבאות? אם כן, הסבירו כיצד. אם לא, מדוע?
א. ריבוע
ב. משולש שווה צלעות
ג. משולש שאינו שווה צלעות
ד. מלבן שאינו ריבוע
ה. מחומש משוכלל
ו. מחומש שאינו משוכלל
ז. משושה
ח. מתומן
ט. מקבילית שאינה מלבן
י. מעגל
טיפים נוספים: ניתן ליצור חתכים מישוריים של קוביה גם בעזרת יישום נוסף. (נדרש ג'אווה)
אפשרות נוספת להמחיש את חתכי הקובייה היא ע"י מילוי חלקי של קובייה שקופה בנוזל צבעוני, (מיץ פטל, למשל) והטייתה של הקוביה.
נערך על פי Learning Math - Solids, Cross Section
מקורות נוספים:
חתך קובייה- גליונות לחשבון 54, שמואל אביטל.
חתכי קובייה - גליונות לחשבון 14, שמואל אביטל.
הרחבה למתעניינים (אנגלית).
Wismaat- Gometry 3D - סביבה ממוחשבת לגופים במרחב כולל חתכים ופריסות של מכון המחקר ההולנדי Freudenthal. (מומלץ!)
תקציר| הנקודה שבפנים| نقطة في الداخل
1. חלוקת שטחים
במגרש כדורגל הציב השופט את הכדור בנקודה P בתוך הריבוע וחילק את שטח המגרש לשתי הקבוצות באופן הבא:
קבוצה א תקבל את השטח הכתום S1+S3.
קבוצה ב תקבל את השטח הסגול S2+S3.
תוכלו להיעזר ביישום הדינאמי לשם החישובים עבור נקודות P שונות.
א. היכן לדעתכם יש למקם את הנקודה P כך שהחלוקה תהיה הוגנת? מדוע?
ב. כיצד תשתנה החלוקה (אם בכלל) אם המגרש יהיה מלבני? נמקו.
שוב תוכלו להיעזר ביישום הדינאמי לשם שינוי מימדי המלבן.
ג. כיצד תשתנה החלוקה (אם בכלל) אם הנקודה תהיה מחוץ למגרש? נמקו.
2. חלוקת נפחים
נתונה תיבה מלבנית ובתוכה נלכד עכביש בנקודה P שהיא מרכז התיבה. העכביש מתח חוטים לפינות התיבה כך שיצר פירמידות אשר קודקוד הראש שלהן הנקודה P ובסיסן פאות
התיבה.
א. כמה פירמידות נוצרו באופן זה?
ב. מה תוכלו לומר על סכום הנפחים של שתי פירמידות נגדיות (שבסיסן מונח על פיאות נגדיות).
ג. כיצד ישתנו הנפחים אם הנקודה P תנוע למקום אחר במרחב התיבה? נמקו.הנחיה – ניתן להיעזר בפתרון השאלה הקודמת.
3. המרחק הנעלם
במגרש כדורגל ריבועי נמצא השחקן בנקודה P.
ידוע לו כי מרחקו מפינת המגרש בקודקוד A הוא 10מטרים, מהקודקוד B הוא 5 מטרים ומהקודקוד C הוא 11 מטרים. בשאלות הבאות תוכלו להיעזר ביישום הדינאמי .
א. התוכלו לעזור לו ולקבוע מהו מרחקו מפינת המגרש בקודקוד D?
ב. כיצד ישתנה המרחק PD כאשר המגרש יהיה מלבני?
ג. מה יהיה המרחק PD אם השחקן יהיה מחוץ למגרש?
ד. מה יהיה המרחק PD אם נתון כי: PB=a ,PA=c ,PC=b?
4. תיבה
חישובים במרחב
תקציר|חישובים במרחב| פתרונות|حسابات في المساحة
1. המתנה אריזת מתנה בצורת תיבה נעטפה בנייר אריזה, כך ששטח הפאות של התיבה הוא: 3 סמ"ר, 12 סמ"ר ו-25 ס"מר.
התוכלו לחשב את מימדי התיבה? (אורך,רוחב וגובה)
אם נתון ששטח הפאות הוא a,b,c סמ"ר.
הביעו את מימדי התיבה באמצעות a,b,c.
2. הכדור המתגלגל
כדור טניס בקוטר 10 ס"מ נארז בקובייה התגלגל לפינה.
התוכלו לדעת מה המרחק של מרכז הכדור מפינת הקוביה?
3. הנמלה העמלה
נמלה עמלנית יצאה לטייל על פני חרוט, שמידותיו מתוארות בציור, במטרה להגיע מנקודה A לנקודה B.
התוכלו לומר לנמלה מהו המסלול הקצר ביותר?
4. הקובייה שבפנים
בתוך קובייה שנפחה 10 ס"מק , חסום כדור שבתוכו חסומה קובייה קטנה יותר.
התוכלו לחשב את נפח הקובייה החסומה בפנים?
2. מן הפנים אל החוץ
א. נתונות שלוש נקודות A, B, C שהן אמצעי הצלעות של משולש כלשהו, אך המשולש המקורי עצמו
(DEFD) נעלם. בדקו ביישום הדינאמי האם וכיצד ניתן ליצור את משולש DEFD:
- האם תמיד ניתן לבנות את המשולש על פי אמצעי צלעותיו?
- כיצד ניתן לבנות את המשולש המקורי? תארו את הבנייה ונמקו.
- האם קיים רק משולש אחד כזה?
- בהינתן שיעורי נקודות האמצע, התוכלו למצוא את שיעורי קודקודי המשולש המקורי.
ב. נתונות ארבע נקודות A, B, C, D שהן אמצעי הצלעות של מרובע כלשהו, אך המרובע המקורי עצמו
(EFGH) נעלם. בדקו ביישום הדינאמי האם וכיצד ניתן ליצור את המרובע EFGH:
- האם תמיד ניתן לבנות את המרובע על פי אמצעי צלעותיו? אם כן, באיזה תנאי?
- כיצד ניתן לבנות את המרובע המקורי? תארו את הבנייה ונמקו.
- האם קיים רק מרובע אחד כזה?
ג. האם וכיצד ניתן לבנות מחומש מחמש הנקודות של אמצעי הצלעות?
האם וכיצד ניתן לבנות משושה משש הנקודות של אמצעי הצלעות?
שטחים בריבוע
1. ריבוע סוב סוב
הריבוע האדום מסתובב סביב מרכז הריבוע הכחול, כך שאחד מקודקודי הריבוע האדום מונח במרכזו של הריבוע הכחול. ראו את היישום הדינאמי
.
א. אם שני הריבועים שווים בגודלם, הראו כי בכל כוון שהוא הריבוע האדום מכסה רבע משטחו של הריבוע הכחול.
ב. אם נגדיל את הריבוע האדום, האם עדיין השטח שהוא יכסה יהיה רבע משטח הריבוע הכחול? נמקו.
ג. אם נקטין הריבוע האדום, האם עדיין השטח שהוא יכסה יהיה רבע משטח הריבוע הכחול?
אם כן, באיזה מקרה? אם לא, מדוע?
2. טנגרם
במשחק טנגרם המפורסם מחולק הריבוע,
שאורך צלעו 12 ס"מ, לשבעה חלקים.חשבו את השטחים הצבועים של:
א. הריבוע
ב. המשולש הקטן
ג. המקבילית
שחקו במשחק הטנגרם האינטראקטיבי.
ועוד ברקנים מאלף אפס - איזה שטח גדול יותר, האדום או הכחול?
3. ריבוע בריבוע
א. על כל אחת מצלעות ריבוע שאורך צלעו יחידה, הקצו נקודת אמצע, ויצרו ריבוע פנימי. (ראו איור)
הסבירו מדוע המרובע הפנימי הוא ריבוע.
מצאו את שטחו.
(רמז- נסו לבנות פאזל)
ב. שנו את האיור ביישום הדינאמי כך שהקצו על כל
צלע הריבוע נקודה ביחס 1:3.
האם המרובע הפנימי הוא ריבוע?
מצאו את שטחו.
ג. שנו את האיור ביישום הדינאמי
כך שהקצו על כל צלע
נקודה ביחס
האם המרובע הפנימי הוא ריבוע?
מצאו את שטחו.
4. שטחים בריבוע
בריבוע, שאורך צלעו יחידה, הקצו אמצע קטע על אחת הצלעות ויצרו שטחים כמתואר באיור.
מצאו מהו יחס השטחים שנוצרו באיור א?
כיצד ניתן להיעזר באיור ב לחישוב השטחים? הסבירו את הבנייה.