תקציר| 
בתנועה מתמדת| פתרונות| حركتنا مستم ّرة
1. שני חברים יצאו לדרך, בים בם בום....
תמי וניר שכנים בבית משותף ולומדים באותה כיתה. כל בוקר הם יוצאים יחדיו ברגל מביתם בשביל המוביל לבית הספר. יום אחד הם התחילו ללכת ביחד באותו קצב (v1).
ניר המשיך ללכת באותה המהירות מחצית מהזמן ולאחר מכן הלך במהירות איטית יותר (v2) עד הגיעו לבית הספר. לעומתו תמי המשיכה באותה מהירות חצי מהדרך (v1), ובמחצית השנייה של הדרך, האטה והלכה במהירות האיטית של ניר (v2).
א. התוכלו לקבוע מי הגיע ראשון לבית הספר?
ב. אם היו תמי וניר מתחילים במהירות איטית יותר, ולאחר מכן מגבירים את הקצב.
מי אז היה מגיע ראשון לבית הספר ?
הנחיה – תארו את הבעיה במערכת צירים והיעזרו ביישום הדינאמי.
2. ארבעה כלי רכב יצאו לדרך
אופניים, טרקטור, אופנוע ומכונית נסעו בכביש דו סטרי, כל אחד מהם במהירות קבועה משלו.
המכונית עקפה את הטרקטור בשעה 12:30 , חלפה על פני האופניים בשעה 13:00 ופגשה את האופנוע בשעה 13:30. האופנוע פגש את הטרקטור ב- 13:45 וחלף על פני האופניים בשעה 14:15.
באיזו שעה נפגשו האופניים והטרקטור?
הנחיה – תארו את הבעיה במערכת צירים והיעזרו ביישום הדינאמי.
הוכיחו את טענתכם גם באופן אלגברי.
3. חידת הנזיר
נזיר הינדי יצא מכפרו עם שחר והחל לטפס לאיטו בשביל התלול, המוליך אל המנזר שעל פסגת ההר. הנזיר הספיק להגיע למנזר, לתפילה בשעת השקיעה.
למחרת עם שחר, בדיוק באותה שעה, שהחל לטפס ביום קודם, יצא הנזיר מהמנזר והחל יורד במהירות אל הכפר לאורך אותו שביל. הוא עצר למנוחת צהריים במעיין והמשיך והגיע אל ביתו בכפר בשעת השקיעה.
האם יתכן כי בשני הימים היה מקום שאליו הגיע הנזיר בדיוק באותה שעה גם בעלייה וגם בירידה?
מקורות:
• "שאלות מילוליות במשתנה אחד בגישה הגרפית" ,שוש גלעד, הוצאת מטח, 2000
• nrich
פיצוחים נוספים בנושא בעיות תנועה:
מרוץ מכוניות דינאמי - בפיצוח הפנייה לסימולציה של בעיית תנועה, למאמר העוסק בסגנונות למידה שונים, ובעיות תנועה רבות בספר האלקטרוני "לראות מתמטיקה- פונקציות" של מטח.
בעיות בתנועה בדרך אחרת - הפיצוח עוסק בפתרון בדרכים לא שגרתיות של בעיות תנועה ברמה של 4-5 יח"ל. התנועה מתוארת בגרפים של פונקציות, וסיפור הבעיה ופתרונו נקרא מתוך הגרף.
בעיית תנועה - כוונים מנוגדים - עיבוד של שאלת בגרות ברמת 3 יח"ל, מתוך מאגר היישומים הדינאמיים.
מהר יותר, גבוה יותר וחזק יותר – בעיות תנועה מתוך מציאות האולימפיאדה. שימו לב כי הבעיות מנוסחות קצת אחרת מספרי הלימוד, ובחלקן יש להניח הנחות שאינן נתונות בשאלה, או לחפש נתונים שלא מופיעים בה.
תקציר |
מרובע שכזה| פתרון| شكل شكل رباعي كهذا
במלבן ABCD חסום מרובע APCQ.
1. הזיזו את נקודות Q ו-P ביישום הדינאמי ומצאו את מיקומן כך שהמרובע APCQ יהיה:
א. מקבילית. כמה מקביליות יתכנו?
ב. מעוין. כמה מעוינים יתכנו?
ג. רשמו מהו התנאי לכך שהמרובע יהיה מקבילית? שיהיה מעוין?
המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי, Created with GeoGebra
2. ברשותכם מלבן שמידותיו 3x6 סמ"ר.
א. חשבו את אורך צלע המעוין החסום במלבן. (רמז – זוכרים את משפט פיתגורס?)
ב. חשבו מהו היחס בין שטח המעוין לשטח המלבן.
ג. שנו ביישום הדינאמי את גובה המלבן (גררו את הנקודה C). האם עדיין המרובע החסום הוא מעוין? האם השתנה יחס השטחים? הסבירו.
3. ברשותכם נייר מדפסת A4 (אשר יחס צלעות המלבן שלו הן 
)
א. חשבו את אורך צלע המעוין החסום במלבן.
ב. חשבו את היחס בין שטח המעוין לשטח המלבן.
ג. לפניך נייר בגודל A4.
הסתמכו על תכונות המעוין והראו כיצד ניתן לקפלו כך שיהיה חסום בתוכו מעוין.
4. ברשותכם מלבן שמידותיו axb סמ"ר.
א. הביעו בעזרת a ו-b את אורך צלע המעוין החסום במלבן.
ב. הביעו בעזרת a ו-b את היחס בין שטח המעוין לשטח המלבן.
ג. הראו בדרך אלגברית ובדרך גיאומטרית כי קיים מעוין אחד בלבד החסום במלבן.
הקודם: מרובע שכזה - שאלכסוניו מאונכים
תקציר| ממוצעי פיתגורס ועוד| פתרון| حلول
האגדה מספרת שפיתגורס, המתמטיקאי היווני הנודע מימי יוון הקדומה ( 500 לפנה"ס), עבר פעם ליד חרש ברזל והתאהב בצלילי דפיקות הפטיש שהיו נעימים לאוזנו. הוא בדק ומצא, כי משקלי הפטישים היו 6, 8, 9, ו-12 ק"ג. היחסים בין משקלי הפטישים הפיקו צלילים הרמוניים.
מה מיוחד כל כך במספרים אלה? שאל.
הוא מצא כי הממוצע החשבוני בין 6 ל-12 הוא 
ואילו הממוצע ההרמוני בין 6 ל-12 הוא 
פיתגורס בדק גם כלי פריטה וגילה שקיים קשר מתמטי בין אורך המיתר, שעליו פורטים, ובין גובה הצליל: כשמתקיים יחס מסוים בין אורכי המיתרים, נוצרת הרמוניה בין הצלילים. כך הפך פיתגורס לראשון שהראה כי יש קשר הדוק בין מדע מדויק לבין מוסיקה.
1. מהירות ממוצעת
א. לטיול השנתי נסענו באוטובוס בכביש המהיר. בשל עומס כבד בתנועה נסע האוטובוס לאיטו במהירות של 40 קמ"ש חצי מהדרך. ובחצי השני של הדרך הצליח להגביר את מהירותו ל-80 קמ"ש. האם מהירותו הממוצעת בדרך כולה הייתה 60 קמ"ש? יותר, או פחות?
ב. באיזו מהירות היה צריך האוטובוס לנסוע בחצי הדרך השנייה בכדי שמהירותו הממוצעת תהיה 80 קמ"ש?
ג. מכונית עברה דרך של 40 ק"מ במהירות ממוצעת של 40 קמ"ש. מה צריכה להיות מהירותה הממוצעת ב-40 הק"מ הבאים כדי שמהירותה הממוצעת לאורך כל 80 הק"מ תהיה 80 קמ"ש?
2. ממוצעים בין מלבן וריבוע
נתון מלבן שמידותיו x ו-y. נשאל את עצמנו שאלות אחדות:
א. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע שהיקפו ישווה להיקף המלבן?
ב. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע ששטחו ישווה לשטח המלבן?
ג. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע שאלכסונו ישווה לאלכסון המלבן?
ד. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע שהיחס בין שטחו להיקפו ישווה ליחס בין שטח והיקף המלבן?
הידעתם?
כאשר חוקרים את תפקודם הביולוגי של גופים חיים יש חשיבות עיקרית לא לנפח הגוף בפני עצמו, או לשטח חיצוני של הגוף בפני עצמו, אלא ליחס שבין הנפח לשטח הגוף. באותה מידה בצורות שטוחות יש חשיבות ליחס שבין שטח הצורה להיקפה. למשל, מדינה שקו הגבול שלה ארוך מאוד ביחס לשטחה יש לה בעיות ביטחוניות מסובכות. באיזה ממוצע כדאי להשתמש?
3. מי גדול יותר?
נכיר ארבעה ממוצעים בין שני מספרים a ו- b הנפוצים ביותר.
שלושת הראשונים נקראים ממוצעי פיתגורס.
א. חשבו את ארבעת הממוצעים השונים בין המספרים 4 ו-12 ובין 9 ו-16.
סדרו את הממוצעים על פי גודלם.
בדקו ביישום הדינאמי.
ב. הסבירו על פי האיור הבא מדוע הממוצע החשבוני גדול מן הממוצע הגיאומטרי.
ג. הסבירו על פי היישום הדינאמי מדוע האורכים A, G ו-H הם שלושת ממוצעי פיתגורס של האורכים a ו-b.
מי גדול ממי?
ד. הוכיחו כי: 
ה. הוכיחו באיור כי: 
ו. סדרו את ארבעת הממוצעים על פי גודלם.
4. ארבעה ממוצעים בטרפז
הוכיחו כי:
1. קטע אמצעים בטרפז שווה לממוצע החשבוני של בסיסי הטרפז.
2. קטע מקביל לבסיסי הטרפז המחלק לשני טרפזים דומים שווה לממוצע הגיאומטרי של בסיסי הטרפז.
3. קטע מקביל בטרפז העובר דרך מפגש אלכסוניו שווה לממוצע ההרמוני של בסיסי הטרפז.
4. קטע מקביל לבסיסי הטרפז המחלק לשני טרפזים שווי שטח, שווה לממוצע הריבועי של בסיסי הטרפז.
מקורות והרחבה:
שלושת הממוצעים – פרופ' אביטל - גליונות לחשבון מס 7
על ממוצעים שונים – פרופ' אביטל – גליונות לחשבון מס 62
ממוצעים ומוסיקה – מייקל נ. פריד – על"ה 30, 2003
שבעה ממוצעים שונים בטרפז – נתן ויזדום - אוניברסיטת ג'ורג'יה
הוכחות ויזואליות ללא מילים (כמעט) - אורית זסלבסקי, גרייסי ויניצקי.
תקציר| פרבולות בתנועה| פתרונות
א. צפו בפרבולה המתנועעת בכל אחד מהסרטונים.
מצאו מהי התבנית האלגברית, עם פרמטר אחד בלבד, שיוצרת את תנועת הפרבולה. שימו לב באיזה ייצוג של הפונקציה הריבועית כדאי להשתמש.
1. הפרבולה מטפסת על מגדל
2. הפרבולה בים
3. לטפס על קשת בענן (ישר)
1.
4. שתי פרבולות בתנועה זו אל זו
5. הפרבולה מתגלגלת על הקשת (פרבולה)
ב. צפו בריקוד הפרבולות בסרטון הבא:
מצאו מהי התבנית האלגברית של כל אחת מארבע הפרבולות, עם פרמטר אחד בלבד, שיוצרות את תנועתן.
שימו לב באיזה ייצוג של הפונקציה הריבועית כדאי להשתמש.
ג. צפו במסלול קודקוד הפרבולה 
.
תארו מהו מסלול קודקוד הפרבולה כאשר משנים את הפרמטר b בתבנית.
נמקו והוכיחו את השערתכם.
ועוד פונקציות בתנועה:
כיתה רוקדת את ריקוד הפרבולות – צעדי הריקוד הם פונקציות! מאת איתן לירון.
ריקוד הפונקציות – מצגת מלווה במוסיקה בה צעדי ריקוד של פונקציות, מקור TES , רשת מורים אנגלית.
Angry birds - יישום המבוסס על המשחק הפופולרי. על התלמיד להתאים את הפונקציה הריבועית המתאימה למסלול.
המזרקה – יש להתאים פונקציה ריבועית לתמונה נתונה של פרבולות (כמזרקה), על ידי שינוי הפרמטרים בהצגה הקודקודית.
תקציר| מרובע שכזה| פתרון| شكل شكل رباعي كهذا
קפלו דף מלבני לאורכו ולרוחבו כך שיתקבלו בפתיחת הדף ארבעה מלבנים חופפים (ראו איור) כעת סמנו על כל קטע מארבעת הקטעים שהתקבלו (הקיפולים) נקודה כלשהי, וחברו את הנקודות כך שיתקבל מרובע.
המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי, Created with GeoGebra
1. חשבו ובדקו. תוכלו לנסות מצבים שונים ביישום הדינאמי.
א. אילו מרובעים ניתן לקבל?
ב. אילו מרובעים לא ניתן לקבל?
ג. האם ניתן ליצור מרובע קעור?
ד. האם אלכסוני המרובע שהתקבל תמיד יהוו קווי סימטריה?
ה. מה נקבל אם כל הנקודות יהיו באותו מרחק מהנקודה המרכזית (M)?
ו. מה נקבל אם רק זוג אחד של נקודות ימצא במרחק שווה מהנקודה המרכזית? האם יש יותר מאפשרות אחת?
2. נמצא את שטח המרובע שאלכסוניו מאונכים בעזרת קיפולי נייר.
גזרו את אחד המרובעים שיצרתם אשר אלכסוניו מאונכים.
א. קפלו שני קודקודים נגדיים אל נקודת המפגש של האלכסונים.
ב. קפלו את שני הקודקודים האחרים אל נקודת מפגש האלכסונים כך שתתקבל מעין מעטפה.
ג. איזה מרובע התקבל? נמקו.
כיצד ניתן לקבל ריבוע?
ד. מה הקשר בין צלעותיו לאלכסוני המרובע המקורי? הסבירו.
ה. איזה חלק מהווה המרובע שהתקבל משטח המרובע המקורי? כיצד מצאתם?
ו. אם ידוע כי אורכי האלכסונים של המרובע הם 6 ו-8 ס"מ. מה שטח המרובעים?
בדקו ביישום הדינאמי.
אם נסמן את אורכי האלכסונים של המרובע ב-x ו-y ס"מ. הביעו את שטח המרובעים.
מקורות
1. המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך היסודי, מעובד מתוך הרצאה של ג'וני אוברמן.
2. "אקפלה" – ספר מאת גיא פז, קיפולי נייר ומתמטיקה.
