יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות

תקציר| יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות | פתרונות | مخلوقات عجيبة تتعلم حل معادلات

בארץ יצורי הפרא המתמטיים חיים יחדיו שני סוגי יצורים:
אך כאשר שניהם פוגשים זה את זה הם בולעים זה את זה, לכן כשהם יחד 
הם נקראים "זוג האפס".

בפיצוח קודם, בארץ יצורי הפרא המתמטיים, חיברנו וחיסרנו מספרים חיוביים ושליליים, בעזרת היצורים הללו, יצורי היחידה.

יצורי הפרא הזמינו לארצם שני יצורים נוספים, יצורי x, אשר יסייעו להם לפתור משוואות. 
גם שני יצורי ה- x הללו ביחד הם "זוג האפס".

כל יצורי הפרא יחדיו מצליחים להציג משוואות ואפילו לפתור אותן. 
בכדי להציג את המשוואה, הם מסתדרים בשני אגפים. 
בכדי לשמור על השוויון, כל פעולה שהם מבצעים נעשית על שני האגפים.

1. יצורי הפרא המתמטיים התבקשו לפתור את המשוואה:

הנה יצורי הפרא בפעולה של פתרון משוואה.

צפו גם בסרטון ותארו את פעולתם במילים ובאופן אלגברי.  

 פתרו גם אתם משוואות בדומה ליצורי הפרא, בדף העבודה משוואות 1.

 תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי.

2. לאור הצלחתם של יצורי הפרא, הם התבקשו לפתור משוואות נוספות, שקל לפתור אותם, אם הם יתחלקו לקבוצות שוות בשני אגפי המשוואה:

 פתרו גם אתם משוואות בדומה ליצורי הפרא, בדף העבודה משוואות 2.

 תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי.  

3. הנה יצורי הפרא בפעולה של פתרון משוואה קצת יותר מורכבת.

צפו גם בסרטון ותארו את פעולתם במילים ובאופן אלגברי.

 פתרו גם אתם משוואות מורכבות דומות כמו יצורי הפרא, בדף העבודה משוואות 3.

 תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי.

 4. יצורי הפרא נתקלו במשוואות בהן קיים ביטוי של x משני צידי המשוואה. 
     לשם כך הם גייסו את היצור -x, בכדי לכנס את כל הביטויים עם x בצד אחד של המשוואה, 
     ולהגיע למשוואה שהם כבר יודעים לפתור. 
     הנה שוב יצורי הפרא בפעולה של פתרון משוואה.

צפו גם בסרטון ותארו את פעולתם במילים ובאופן אלגברי.

 פתרו גם אתם משוואות בהן יש ביטוי של x משני צידי המשוואה, בדף העבודה משוואות 4.

 תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי.

5. הציעו ליצורי הפרא דרכים שונות לפתור את המשוואה הבאה:    6-= 3(x+2)

מקורות: 

• Let's Do Algebra Tiles  - מצגת
• יישום אינטראקטיבי לפתרון משוואות במודל המלבנים. 
• יישום אינטראקטיבי  נוסף לפתרון משוואות במודל המאזניים והמלבנים מאת (National Library of Virtual Manipulatives Utah State University).
• Using Homemade Algebra Tiles to Develop Algebra and Prealgebra Concepts, Kitts, N, MATHEMATICS TEACHER, 2000.

האורים והתומים של הלוגריתמים

תקציר |  לוגריתמים |  בערבית

נאפייר (1552-1632) היה מתמטיקאי חובב מסקוטלנד אשר חיפש דרכים לבצע חישובים מורכבים ועם מספרים גדולים בצורה פשוטה. 

אחד התחומים שעניינו במיוחד את נאפייר היתה האסטרונומיה, אך המחשבה על החישובים האינסופיים הנדרשים מאסטרונומים גרמה לו לאנחות. לאחר 20 שנות לימוד וניסויים, הציג נאפייר את השימוש בלוגריתמים - פריצת דרך שלא תאמן בפישוט החישוב. תגלית זו התקבלה בכל רחבי העולם בתרועה ובהסכמה, לא רק על ידי אסטרונומים, אלא גם על ידי אנשים שחישובים מגושמים הכבידו עליהם. לוגריתמים, העיקרון שעליו מבוסס סרגל החישוב, ביטלו למעשה את הצורך בכפל וחילוק ואפשרו להסתפק בחיבור וחיסור.

מקור- גלים

נאפייר גילה כי קיים קשר בין שתי סדרות מוכרות היטב: הסדרה ההנדסית והסדרה החשבונית.
הוא גילה שניתן לכתוב סדרה אחת באמצעות השנייה דבר שסייע לו לבצע במהירות חישוב של תרגילי כפל של מספרים גדולים.

 1. נתבונן בשתי הסדרות הבאות:

א. בחרו שני מספרים מהסדרה ההנדסית והכפילו אותם. לדוגמה: 8x32 = 256
    סכמו את המספרים המתאימים בסדרה החשבונית. 3+5 = 8
    מה תוכלו לומר על הקשר בין התוצאות?
ב. נסו שוב להכפיל זוג מספרים אחר מהסדרה ההנדסית. האם גם הפעם זה עבד?
ג. המשיכו את שתי הסדרות וכפלו בדרך המהירה של נאפייר. חשבו 256*1024.
ד. חשבו באמצעות הטבלה, מהו הממוצע הגיאומטרי של 8 ו- 32?
ה. חשבו במהירות, מהו הממוצע הגיאומטרי של 8, 32, 128, 512?
ו. כיצד נוכל לחשב תרגילי חילוק במהירות? 1024:128=?

ז. רשמו את הקשרים שמצאתם בטבלה בעזרת לוגריתמים.
    למשל:

ח. נסחו כלל לסכום של שני לוגריתמים בבסיס 2. באופן דומה נסחו כלל לחיסור.

2. נתבונן בטבלה הבאה של לוגריתמים בבסיס עשר. שימו לב כי הסדרה החשבונית הורחבה.

א. בדקו האם התכונות שמצאתם בסעיף הקודם מתקיימות גם עבור הסדרות הללו.
ב. מקובל להשמיט את הבסיס 10 בכתיבת לוגריתמים בבסיס 10.
חשבו לפי הטבלה:

ג. בטבלה הבאה שונתה הסדרה החשבונית. השלימו את הטבלה עבור הסדרה ההנדסית.

 ד. חשבו לפי הטבלה ולפי החוקים שמצאתם:

ה. נאפייר ועמיתיו מצאו דרך לקשר ביו סדרות חשבוניות וגאומטריות, ובנו טבלאות לוגריתמיים לשם הקלה בחישובים.
נסחו את הקשר בין הסדרה ההנדסית לסדרה החשבונית.
האם מתקיים קשר זה בכל שתי סדרות חשבוניות והנדסיות?

מקורות נוספים:
סרגל לוגריתמי - פעילות של NCTM
The Oughtred Society - אגודה של אספני סרגלי חישוב, הסבר על פעולתם ועל ההיסטוריה שלהם.
Slide Rules and Logarithm Tables - Mathematical intention 

פי כמה רעידת האדמה בהאיטי הייתה חזקה מרעידת האדמה באילת?

סולם ריכטר - פותח ב 1935 ע"י מדען אמריקאי ששמו צ'ארלס ריכטר. ריכטר פיתח מודל מתמטי להשוואה בין עוצמות של רעידות אדמה. סולם זה מציג ערך כמותי ומודד את העוצמה של רעידת האדמה לפי כמות האנרגיה שהשתחררה לפי גודל התנודות שנרשמו ושנקלטו ע"י הסיסמוגרף. מדובר על סולם מדידה לוגריתמי וכל דרגה בו מעידה על עוצמה חזקה פי 10 מקודמתה. 
דרגות 4 - 1 - רעשים קלים כמעט לא מורגשים;
דרגות 8 - 5 - רעשים מסוכנים עד הרסניים;
דרגות 12 - 9 - הרסניים ביותר.

לסולם ריכטר אין ערך עליון. בצ'ילה בשנת 1960 היתה רעידת אדמה החזקה ביותר שידועה עד כה בעוצמה 9.5 בסולם ריכטר. סדר הגודל של רעידת האדמה (R) הוא פונקציה של עוצמתה (I) והעוצמה המינימלית

1. נחשב את העוצמה של רעידת האדמה באילת אשר נמדדה 4.5 בסולם ריכטר.
    
   חשבו באופן דומה את עוצמת רעידת האדמה בהאיטי אשר נמדדה 7 בסולם ריכטר.
   פי כמה רעידת האדמה בהאיטי הייתה חזקה מרעידת האדמה באילת?
2. בשנת 1837 אירעה בארץ רעידת אדמה, שנמדדה 6 בסולם ריכטר, אשר הרסה את צפת וטבריה וגרמה להרוגים רבים והרס רב.
   חשבו פי כמה רעידת האדמה בהאיטי הייתה חזקה מרעידת האדמה בצפת ובטבריה?
3. ידוע שרעידת אדמה מלווה ברעידות אדמה עוקבות. לאחר הרעש בהאיטי התרחשה רעידה נוספת שהייתה קטנה בעוצמתה פי 100 מהרעידה המקורית. באיזו רמה של סולם ריכטר נמדדה רעידה זו? ולאחריה רעידה נוספת שהייתה קטנה פי 3160 לערך? באיזו רמה של סולם ריכטר נמדדה רעידה זו?
   
   

1. האם יתכן ש- 2>3?
   
   
   
2. טעות בספר?
   פתרתי את המשוואה באופן הבא:

הסתכלתי בפתרונות הספר, אך להפתעתי מצאתי שם ארבעה פתרונות:

תוכלו לעזור לי לדעת מי צודק?

מקור - תבלינים מתמטיים, לעשות מתמטיקה - הטכניון.

פעילויות נוספות בנושא הלוגריתמים:

• החיפוש אחר המספר המופלא e
• הפוך על הפוך
• logaⁿ=n loga לא נכון (לא תמיד נכון) - אריה רוקח, על"ה 14.

יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות - 1

יצורי הפרא לומדים לפתור משוואות| יצורי הפרא משוואות 1

השלימו את הטבלה ופתרו את המשוואות.

תוכלו להיעזר ביישום האינטראקטיבי. (Algebra Tiles)

                                                                                                           
    -  ניתן לבנות משוואות ולפתור אותן
       (MODEL/SOLVE AN EQUATION)
                                                                                                          
   -  לתרגל פתרון משוואות בשלב אחד
      (SOLVE A GIVEN EQUATION, 1 step)