תקציר|שטיח סירפינסקי| פתרונות 

פְרַקטָל הוא צורה גאומטרית שמורכבת מעותקים מוקטנים של עצמה בכל רמת פירוט שנסתכל בה.

לא חשוב כמה נתבונן אל תוך חלקיו של הפרקטל, תמיד נמצא בו חלקים הדומים לצורתו המקורית, כך שפרט קטן בצורה, דומה לצורת המקור כולה. (ויקיפדיה)

אחד הפרקטלים המפורסמים והמעניינים נקרא על שם מתמטיקאי פולני וולך סירפינסקי (1917), "שטיח סירפינסקי". הנה הוא לפניכם: התוכלו להסביר את מבנהו?

  שישה שלבים בשטיח סירפנסקי מתוך: ויקיפדיה

לפניכם תיאור כיצד בונים את השטיח. מתחילים משטיח ריבועי שאורך צלעו 1 מטר. בסדרה של צעדים חותכים ממנו ריבועים קטנים יותר ויותר.

1. התבוננו באיורים, וביישומון. תארו במילים כיצד עוברים משלב לשלב. 
2. השלימו את התמונה של השטיח בשלב השלישי. צבעו את הריבועים שחותכים מהשטיח.

3. כמה שטח ישאר מהשטיח בשלב ה-4? בשלב ה-5 ? 
4. השלימו את טבלת הנתונים:

5. רשמו ביטוי אלגברי המתאר את הקשר בין מספר השלב בחיתוך השטיח לבין השטח שנותר.
6. כמה שטח ישאר בשלב החיתוך ה-10?
7. באיזה שלב של החיתוך יהיו יותר "חורים" מאשר שטח השטיח? 
8. באיזה שלב של חיתוך ישאר מהשטיח רק 1% מהשטח המקורי?
9. מה תוכלו לומר על שטחו של שטיח סירפינסקי כאשר מספר החיתוכים שואף להיות אינסופי. 10. כיצד תשתנה הנוסחה של שטח השטיח החתוך אם נתחיל משטיח שאורך צלעו 4 מטרים.

למחשבה נוספת:
1. מהו ההיקף של השטיח לאחר חיתוך אחד? שימו לב להיקף גם סביב הריבוע הקטן שנחתך. 
2. מהו ההיקף של השטיח בשלב השני, השלישי, הרביעי? 
3. מה תוכלו לומר על ההיקף של שטיח סירפינסקי כאשר מספר החיתוכים שואף להיות אינסופי. 4. קראו על המימד של פרקטלים.

סרטונים מהרשת על פרקטלים:

מהו פרקטל – סרטון קצר המסביר את מבנה הפרקטל והופעותיו בטבע.

פרקטלים בעיצובים אפריקאים - הרצאה מרתקת מ-TED של רון אגלס. 

מקורות נוספים:

מוזאון הכאוס הוירטואלי – מהו פרקטל? מהו המימד של הפרקטל?, סנונית.

משולש סירפינסקי –הוראות הכנה וחקירה – טומי דרייפוס, אוניברסיטת תל אביב.

משולש סירפינסקי – הוראות הכנה, כיתה בפיתה.

מה זה פרקטל? – אאוריקה.

משחקים כסביבה להצגת מושגים ומשפטים מתמטיים ולפתרון בעיות – נצה מובשוביץ הדר, על"ה 40

הפיצוח – אני דומה לעצמי 

• אוריינות
• ערך מוחלט
• פונקציות

תקציר| ערך מוחלט | ﻗﻴﻤﺔ ﻤطﻠﻘﺔ ﻓﻲ ﻤﻤر اﻟﺼﻔوف اﻟﺘﺎﺴﻌﺔ 

בפעילות זו מומלץ להיעזר ביישומון "המסדרון", המדמה את ההליכה במסדרון והכיתות. 

א. תארו במילים את השתנות המרחק של נעה מכיתה ט2 מהרגע שנכנסה למסדרון עד להגעתה.

ב. איך יראה לדעתכם גרף המתאר את השתנות המרחק של נעה מכיתה ט2 ביחס לזמן ההליכה שלה במסדרון? סרטטו איור המציג את הגרף הזה.

ג. צפו ביישומון אחר הליכתה של נעה במסדרון , ועצרו את הזמן עם הגעתה לט'2. הפעילו עקבות. 
האם הגרף המתקבל תואם את השערכתם? הסבירו מה רואים בגרף?

ד. נעה הולכת מתחילת המסדרון עד ט'2. בנו פונקציה המתארת את המרחק של נעה ביחס לזמן הליכתה. מלאו את טבלת הערכים ובנו גרף מתאים. רשמו את התבנית האלגברית לפונקציה.

ה. בפעם אחרת נעה הולכת מתחילת המסדרון עד ט'2 , אבל אינה נעצרת וממשיכה מיד בדרכה עד ליציאה. תארו במילים את המרחק של נעה מהכיתה ט'2 מהרגע שנכנסה למסדרון עד ליציאתה מהמסדרון.

ו. איך יראה לדעתכם הפעם הגרף, המתאר את המרחק של נעה מכיתה ט'2 ביחס לזמן ההליכה שלה במסדרון? שרטטו גרף זה.

ז. צפו ביישומון ועקבו אחר הליכתה של נעה במסדרון , מכניסתה למסדרון עד ליציאתה. הפעילו עקבות. האם הגרף המתקבל תואם את השערכתם? הסבירו מה רואים בגרף?

ח. נעה הולכת מתחילת המסדרון עדסופו. בנו פונקציה המתארת את המרחק של נעה מכיתה ט2 ביחס לזמן. מלאו את טבלת הערכים ובנו גרף מתאים. רשמו את התבנית האלגברית לפונקציה.
(היעזרו בערך מוחלט)

ט. תלמידה אחרת, נטע מכיתה ט'4, גם צעדה מתחילת המסדרון עד לסופו. כיצד לדעתכם תשתנה הפונקציה והגרף, אם הפונקציה תתאר את המרחק שלה מ-ט'4.

י. שנו ביישומון את מספר הכיתה ל-4, וצפו אחר הליכתה של נטע במסדרון , מכניסתה למסדרון עד ליציאתה. הפעילו עקבות. האם הגרף המתקבל תואם את השערכתם? הסבירו מה רואים בגרף?
מה דומה ומה שונה בין שני הגרפים?

יא. ביום אחר נעה וגיל נכנסו למסדרון באותו זמן והלכו מתחילתו ועד סופו. גיל מיהרה מאד והלכה במהירות הכפולה מזו של נעה.במה יהיה שונה הגרף המתאר את מרחקה של גיל מט'2 לעומת הגרף המתאר את מרחקה של נעה מט'2?

יב. שוב במסדרון כיתה ט. נעה היתה בתחילת המסדרון וגיל היתה בקצהו השני. בדיוק באותו זמן, נעה וגיל הלכו זו לקראת זו באותה מהירות. 
כיצד יראו הגרפים המתארים את מרחקה של נעה ושל גיל מט'2 ביחס לזמן? 

מעובד על פי: MATHEMATICS TEACHER, 2012| Vol. 106, No. 3
הפעילות מתוך החוברת פונקציית ערך מוחלט לעתודה מדעית טכנולוגית.

תקציר| בדרך לפיתגורס| פתרונות| الطريق الى فيتاغوروس| حلول

1. עניין של דמיון

רשותך משולש ישר זווית אשר אורכי ניצביו 3 ס"מ ו-4 ס"מ.

יצרו שני משולשים חדשים באופן הבא:

הגדילו פעם אחת את המשולש פי 3.

הגדילו פעם נוספת את המשולש פי 4. 

היעזרו ביישום הדינאמי , 
תוכלו להזיז ולסובב את המשולשים ולשנות את גודלם.

2. העפיפון

.יואב וחבורת הפיתגוראים בנו עפיפון המורכב משני משולשים ישרי זווית חופפים

א. הסבירו מדוע המקלות התומכים של העפיפון מאונכים זה לזה.

ב. יואב מצא שהמקל התומך הקצר מחלק את המקל התומך הארוך לשני חלקים באורך: 36 ס"מ ו- 64 ס"מ. 
אך הוא וחבורתו התקשו לחשב את מידות העפיפון.

התוכלו לדעת מהן מידות העפיפון, כלומר לחשב את אורכי הניצבים של המשולשים?