כתב עת על"ה

תקציר| היקף כדור הארץ| פתרונות לשאלות הרחבה| مشروع عالمي لقياس محيط الكرة الارضية

רקע על הפרוייקט

כיצד חישב אֶרַטוֹסתֶנֶס את היקף כדור הארץ?

סרטים המסבירים ומדגימים את השיטה

כיצד נשחזר את המדידה של אֶרַטוֹסתֶנֶס?

שתפו את תוצאותיכם עם אחרים ברחבי העולם

שאלות הרחבה

קישורים

הוא ידע שצורתו של העולם היא צורת כדור. (קראו עוד על איך ידעו שהארץ היא כדור?)

רוב חייו של אֶרַטוֹסתֶנֶס עברו באלכסנדריה שם היה ספרן ראשי במוזיאון המדע והאומנות ושמש מורה לבנו של תלמי המלך. הוא הופתע לקרוא בספרייה הגדולה של אלכסנדריה, כי בעיר המצרית סיינה (היום אסוואן) ישנה באר עמוקה, בה פעמיים בשנה, בשעת צהרי ימי השוויון (הימים בהם היום והלילה  שווים באורכם), ניתן לראות את השתקפות השמש במלואה ללא כל  צל.

הוא הסיק שבשעה זו השמש מכה ישירות אנכית, כלומר השמש נמצאת מעל בדיוק במרכז השמיים, בזניט. הוא ידע שבאותה שעה ממש השמש באלכסנדריה כן יוצרת צל. השמש מספיק רחוקה לכן הניח שקרני השמש מקבילות והעולם עגול הוא החליט לערוך מדידות. 
הוא חיכה לאותו יום מיוחד, יום השוויון בו הקיץ הופך לחורף בכדי לבדוק את מקום השמש בעיר 
מגוריו, אלכסנדריה ומכאן להסיק על היקף כדור הארץ.

הוא העמיד באלכסנדריה עמוד אנכי ומדד את הזווית של הצל שהטיל העמוד בדיוק באותו זמן שבו עמוד בסיינה לא הטיל כל צל.
הוא מצא כי הזווית של הצל שנוצר היא  ממעגל שלם (כ-7 מעלות). 
אֶרַטוֹסתֶנֶס ידע מגיאומטריה שגודל זווית הצל שמדד שווה לזווית המרכזית של כדה"א בין סיינה לאלכסנדריה. (מדוע?)
אם מניחים שאלכסנדריה ניצבת במדויק מצפון לאסואן, נובע מן המדידות האלה כי המרחק מסיינה לאלכסנדריה הוא  מהיקפו של כדור הארץ (במעגל העובר דרך מרכז הכדור, ודרך אסואן ואלכסנדריה).

אֶרַטוֹסתֶנֶס שלח שליחים כדי למדוד את המרחק בין סיינה לאלכסנדריה ומצא שהוא 5000 סטאדיות (סטאדיה היא מידה עתיקה בה השתמשו היוונים). הוא הכפיל מרחק זה ב-50 בכדי למצוא את היקף כדור הארץ. הערכתו הייתה 250,000 סטאדיות (שהן כ- 46,250 ק"מ). הערכתו די קרובה להערכות המודרניות למרות שלא השתמש בכלים מורכבים ומודרניים ושנים רבות נעזרו בה ככלי חשוב.

 

 

אֶרַטוֹסתֶנֶס השתמש למעשה בנוסחה:

d=   המרחק בין סיינה לאלכסנדריה
A= ע 360 מעלות בהנחה שכדור הארץ עגול
a=   זווית הצל שיוצר מקל אנכי
D=   היקף כדור הארץ

 

הידעתם ? יחידת המטר נקבעה באופן שרירותי בתקופת המהפכה הצרפתית.  היא נקבעה כחלק העשרה מיליון של המרחק בין קו המשווה לקוטבי כדור הארץ. כלומר נקבע ש-10,000 ק"מ הם רבע מהיקף כדור הארץ  (הקשת המתאימה לזווית מרכזית של ˚90). מאחר והמרחק המדויק לא היה ידוע אז , וגם אינו ידוע כיום , אלא עם שיפור המדידות הוא הולך ונעשה מדויק יותר , הרי שהיה צורך לשמר את המטר התקני המקורי - מרחק בין שני פסים המסומנים על מוט העשוי מפלטינום ואירידיום, והוא מצוי במוזיאון המדידות בסבר ליד פאריס. מ-1983 הוגדר המטר כמרחק אותו עוברת קרן אור בווקוום בפרק זמן של  1/299792458 שניה.

 

---

סרטים המסבירים ומדגימים את השיטה:

Eratosthene Sagan

צפו בסרט יפהפה של ה- BBC המסביר ומדגים את התגלית המפליאה של אֶרַטוֹסתֶנֶס.
אל תחמיצו את ההסבר מאיר העיניים  "כיצד יתכן שבאותה שעה בדיוק יש בשני מקומות שונים בעולם אורך צל שונה?"

The World is Round

סרט קצרצר המסביר בבהירות את המסקנה המתבקשת של אֶרַטוֹסתֶנֶס כי העולם עגול. בסרט הדגמה יפה על חישובי הזוויות הכלולות בשיטה.

Circumference & More Geometry

סרטון של ערוץ NASA החינוכי, על מדידת היקף כדור הארץ על זוויות בין החותך של ישרים מקבילים ועוד גיאומטריה.

כיצד רעיונות פשוטים מובילים לתגליות מדעיות? (TED)

---

כיצד נשחזר את המדידה של אֶרַטוֹסתֶנֶס?

בכדי שנמדוד היום את הקף כדור הארץ אנחנו נשתמש באותם שיטות ועקרונות בהם השתמש אֶרַטוֹסתֶנֶס לפני יותר מ-2000 שנה. (ראשית נבצע את המדידה ביום השוויון equinox), בו היום והלילה שווים באורכם, החל ב-22 בספטמבר, אז מסתיים הקיץ ומתחיל הסתיו. בכדי לוודא שקרני השמש אנכיות מעל קוו המשווה, בדומה לבאר של סיינה, בצעו את הניסוי בחצות היום הזה.
מצאו את המרחק בין מקום המדידה שלכם לבין קו המשווה בעזרת האטלס או מקורות אחרים.
כעת תוכלו לחשב את היקף כדור הארץ.

כל מה שאתם צריכים זה מוט, מקל התקוע אנכית באדמה ומד זווית.
ב-22 בספטמבר, בחצות היום, כאשר השמש  גבוהה בשמיים מדדו את הזווית של הצל שיוצר המוט.

 

תוכלו למדוד את הזווית בעזרת מד זווית, אך נוח לחשבה בעזרת טריגונומטריה:

טיפים:

1. השתמשו בפלס בכדי לוודא שהקרקע ישרה.

2. השתמשו בחוט הקשור למוט ובקצהו חברו אבן.

3. בכדי לדייק מצאו את זמן "חצות היום", הזמן בו השמש נמצאת בזניט.

4. בצעו כמה שיותר מדידות בכדי למצוא קירוב טוב יותר.

---

שתפו את תוצאותיכם עם אחרים ברחבי העולם:

1. הרשמו בין 1-22 לספטמבר באתר הפרוייקט "מדידת היקף כדה"א".

2. בצעו את הניסוי בין ה-19 ל-24 בספטמבר. (שימו לב שמומלץ לבצע ביום השוויון)

3. שתפו את תוצאותיכם בטופס של דוח הניסוי.

4. צפו גם בתוצאות הניסוי של האחרים.

---

שאלות הרחבה:

1. מהו רדיוס כדור הארץ?

2. מהם גורמי השגיאה המשמעותיים במדידה?

3. אם כדור הארץ היה שטוח כיצד הניסוי היה מושפע מכך?

4. למזלו של אֶרַטוֹסתֶנֶס הוא הכיר מקום בו השמש נמצאת בזניט, בדיוק ב- 90˚ מעל קו המשווה בחצות היום. האם תוכלו לבצע את הניסוי ללא מידע זה? האם ניתן לבצע את המדידות משני מקומות כלשהם?
רמז- תוכלו להעזר באיור הבא:

5. קצרצרים... 2 חידות על חתול, ספורטאי וכדור הארץ.

 

---

קישורים:

אֶרַטוֹסתֶנֶס מקירנה- מאמר בגלילאו על האיש ותגליותיו.
 " אֵרָטוֹסְתֶנֶּס תמיד ייזכר כאדם הראשון שהצליח לְחַשֵּׁב אֶת הֶיקֵּפוֹ של כדור הארץ."

מדע כדור הארץ : מהו היקף כדור הארץ? -  מאמר מאת צביה לוטן.
שם מצטטים את אֶרַטוֹסתֶנֶס באומרו "מצפייה בכוכבים אנו למדים גם שהארץ לא די שהיא כדורית אלא שאין מידתה גדולה..."

מהו היקף כדור הארץ? פעילות חמד"ע

Real World Learning Objects -  פעילות מתוקשבת (באנגלית) בה הסברים מעמיקים על שיטתו של אֶרַטוֹסתֶנֶס וביצוע הניסוי במצבים שונים. כולל אפלטים ואיורים גרפיים.

The Noon Day Project-  פרוייקט עולמי נוסף למדידת הקף כדור הארץ, מלווה בהסברים ובסרטי וידאו וכמו גם תמונות רבות של משתתפים בניסוי.

The library of Eratosthenes- עוד פרוייקט עולמי נוסף בו משתתפים תלמידים מרחבי העולם. האתר מנוהל בשפות רבות (לא בעברית..). שם תוכלו למצוא סיפורי ניסוי בווידאו ובתמונות.

Eratosthenes Experiment_HighSchool  - פעילות אינטראקטיבית לתלמידים המשולבת שימוש בGoogle Earth, סרטונים והסברים.

   

תקציר| שעשועים אלגבריים| פתרונות| تسالي جبرية| حلول

1. מצאתי, מצאתי!

א. לילי השתעשעה בחישובים שונים במחשבון ושמה לב לסדרת התרגילים המפתיעה:

"גיליתי כלל חדש!" - צעקה לילי בהתלהבות.

מהו הכלל שאותו גילתה לילי ? נסחו את הכלל בצורה כללית והוכיחו נכונותו.

ב. גילי גם הוא חיפש וחיפש תרגילים מעניינים:

"מצאתי, מצאתי!"

מהו הכלל שאותו גילה גילי ? נסחו את הכלל בצורה כללית והוכיחו נכונותו.

2. מתחלק ב-8

המורה גלית נתנה לתלמידיה משימה:

בחרו שני  מספרים אי-זוגיים עוקבים, העלו אותם בריבוע וחשבו את ההפרש ביניהם.
 "האם כולכם קיבלתם מספר המתחלק ב-8 ? "

        

א. האם זה תמיד נכון? הוכיחו טענתכם.

ב. עופר טען שאפשר לבחור כל שני מספרים אי זוגיים והקסם יעבוד. למשל:

                    176 = 49- 225 =72 - 152 

הוכיחו כי הפרש ריבועים של שני מספרים אי-זוגיים כלשהם מתחלק ב-8.

3. זוגות - זוגות

א. בחרו ארבעה מספרים עוקבים. 
כפלו את הזוג שבקצוות וכפלו את הזוג שבתווך.

בצעו זאת גם על רביעיות נוספות של מספרים עוקבים.
האם שמתם לב לקשר בין מכפלת הזוגות? נסחו את הכלל והוכיחו נכונותו.

ב. בחרו חמישה מספרים עוקבים. 

כפלו את הזוג שבקצוות וכפלו את הזוג שלפניו (המספר השני והמספר שלפני אחרון).

בצעו זאת גם על רביעיות נוספות של מספרים עוקבים.
האם שמתם לב לקשר בין מכפלת הזוגות? נסחו את הכלל והוכיחו נכונותו.

ג. התוכלו לשער מה יקרה אם נבחר n  מספרים עוקבים ונכפיל את הזוג שבקצוות ואת הזוג שלפניו (המספר השני והמספר שלפני אחרון). 

תקציר |  ארבע בעיות על משוואה ריבועית | פתרונות | أربع مسائل حول المعادلة التربيعية | حلول 

1. המספרים המסתתרים
   חשבו מהם המספרים המסתתרים מאחורי הביטויים האינסופיים הבאים:
   
   
   מקור: Nrich.maths.org

   ---

2. תכסיס לפתרון משוואה ריבועית

   שי למד לפתור בקלות בע"פ, באמצעות פירוק לגורמים, משוואות ריבועיות מנורמלות (שמקדם ה-x2 שלהן הוא 1) מהצורה: x² + px + q = 0
   אך הוא נטה להתקשות למצוא במהירות את שורשי המשוואות הריבועיות מהצורה הכללית: ax² + bx + c = 0
   לכן הוא המציא תכסיס חדש לפתרון:
   בכדי לפתור את המשוואה: 6x² - 7x - 3 = 0 הוא פתר בע"פ את המשוואה x² - 7x - 6^.3 = 0.
   פתרונותיה הם: 9, 2-.
   כעת הוא חילק כל פתרון ב- 6 וטען כי פתרונות המשוואה הנתונה הם:
   
   א. האם שי צודק?
   ב. האם ניתן להכליל את השיטה של שי?
       כלומר האם ניתן על בסיס פתרונות משוואה ריבועית מנורמלת למצוא את הפתרונות של משוואה ריבועית כלשהי.
       אם כן, תארו את השיטה והוכיחו.

   ---

3. "בית גידול" למשוואות ריבועיות
   ניקח את המשוואה: x² - 13x + 36 = 0 ונצמיח ממנה 17 משוואות חדשות שהן 'קרובות משפחה' של המשוואה המקורית:
   
   א. תארו כיצד מייצר "בית הגידול" משוואות ריבועיות חדשות.
   ב. מהם הפתרונות של כל אחת מהמשוואות? האם קיים קשר ביניהם?
   ג. נסו לחזור על 'ההצמחה' מסוג זה לגבי משוואה ריבועית אחרת.
   ד. מצאו את ערכו המתאים ל- c, כך שניתן יהיה להצמיח 23 (!) משוואות חדשות מתוך המשוואה: x² - 17x + c = 0.
   
   מקור: שאלות 3-2 אוסף פעילויות באלגברה, קלרה זיסקין, קשר ח"ם.

   ---

4. משוואה ריבועית פרדוקסלית
   נתונה המשוואה:
   
   הראו כי: 5, 3-, 2 מקיימים את המשוואה.
   
   א. האם ייתכן שלמשוואה ריבועית יהיו שלושה פתרונות? הסבירו.
   ב. התוכלו לבנות עוד 'משוואות' ריבועיות כאלה?

   
   מקור: תבלינים, קשר ח"ם.

תקציר| זלילה גיאומטרית| פתרונות| شراهة هندسية 

1. פיצה "חצי חצי"

אורי ודנה הזמינו פיצה מלבנית וביקשו שחלקה תהיה עם זיתים וחלקה עם פטריות. 
בפיצריה הציעו להם את החלוקות הבאות:

אורי ודנה התלבטו איזו חלוקה הוגנת יותר?

או בניסוח מתמטי, מהו יחס השטחים בכל אחד מהמלבנים, בין השטח הכחול והשטח הסגול?

2. עוגת יום ההולדת

אורי ודנה הכינו לאמם עוגת יום הולדת בתבנית ריבועית, וקישטו אותה בסוכריות צבעוניות (עם צבעי מאכל טבעיים בלבד) בצורה גיאומטרית מיוחדת.

הם חילקו את צלע העוגה הריבועית לשלשה חלקים שווים ויצרו ריבוע ושלושה טרפזים כמתואר באיור.

אמא, שהייתה בדיאטה, ביקשה את הריבוע הצהוב.
דנה ביקשה לעצמה את החלק הסגול עם הלבבות.
אורי ביקש את שני החלקים הכחולים עם הכוכבים.

איזה חלק מהעוגה קיבל כל אחד מהם?

כיצד ישתנה יחס השטחים כאשר אורך צלע הריבוע הצהוב הוא  באורך כלשהו, לאו דווקא שליש צלע הריבוע החיצוני ?

3. לקינוח- שוקולד גיאומטרי

בשוקולד הגיאומטרי, בריבוע הפנימי מודפסת כבשה קטנה וחמודה.

חילקו את השוקולד הריבועי באופן הבא: 
סימנו קטעים מאמצע של כל צלע הריבוע עד לאחד מהקודקודים של הריבוע שממול.

א. הוכיחו שהמרובע הפנימי הוא אכן ריבוע.

ב. מצאו מה היחס בין שטח הריבוע הפנימי לשטח הריבוע החיצוני.

ג. שאלה למחשבה-

כיצד ישתנה המרובע הפנימי כאשר נבחר נקודה כלשהי על צלע הריבוע (ולאו דווקא בחציה) וכיצד ישתנה אז יחס השטחים ?

תקציר| חנוכה במספרים| פתרונות

1. סביבון מתמטי - סוב סוב סוב !

הסביבון המתמטי שלי מעושר, והוא נופל על אחד מהמספרים 1-10.

קיבלתי במתנה שלושה סביבונים מתמטיים שעל כל אחד מהם 10 מספרים, אך לא תוכלו לראותם.

סקרנים לדעת מהם המספרים?

סובבתי את כל אחד מהסביבונים המתמטיים 15 פעמים ורשמתי את כל המספרים שהתקבלו בעצירתם. הם כאן, לפניכם, בטבלאות מתאימות.

אחר-כך חזרתי על פעולה זאת פעמיים, אך הפעם שכחתי איזו טבלה מתאימה לאיזה סביבון. 
לפניכם תוצאות הסיבובים ב- 6 טבלאות:

2. סופגניות חמות ומתוקות

תקציר| משחקי מזל בחנוכה| פתרונות

1. משחק הסופגניות
על מגש עגול מונחות 7 סופגניות בטעמים שונים:
4 ממולאות בשוקולד, 2 עם ריבה ואחת ריקה. 
הסופגניות משיקות זו לזו ומסודרות במבנה של פרח.
במשחק הסופגניות בחנוכה, מחליפים את המקום של הסופגניות באופן אקראי בכל משחקון, בדומה לכיסאות מוסיקליים.  

אם שתי הסופגניות עם הריבה משיקות זו לזו - ניצחתם במשחקון!
שחקו במשחק בעזרת הדפים הבאים ובדקו:

א. שחקו משחק אחד, האם ניצחתם?

ב. שחקו 10 משחקונים. בכמה משחקונים ניצחתם? נסו גם 20 ו-50 משחקים.

ג. מה הסיכוי לנצח ב-100 משחקונים? הסבירו.

מעובד לפי Nrich.math.org 

2. משחק הסביבונים

במשחק הסביבונים מסובבים שני סביבונים: האחד סביבון חנוכה שעל ארבע פאותיו רשומות האותיות: נ, ג, ה, פ (נס גדול היה פה).
הסביבון השני הוא משושה שעל שש פאותיו המספרים מ-1 עד 6.

במשחק מוסכם כי  נ=1, ג=2, ה=3, פ=4.

יש באפשרותך לבחור באחד מהמשחקים הבאים:

א.  זכייה כאשר סכום המספרים בשני הסביבונים שווה ל-7.

ב. זכייה כאשר סכום המספרים בשני הסביבונים הוא לפחות 7.

ג.  זכייה כאשר מכפלת המספרים בשני הסביבונים היא לפחות 16.

באיזה משחק כדאי לך לבחור?

מעובד לפי אלכס קופרמן, סטטיסטיקה והסתברות, הוצאת BAK

3. דמי חנוכה

אביטל קיבלה דמי חנוכה עשרה מטבעות שוקולד עליהן מודפסים הספרות 0 עד 9.

מהי ההסתברות שאביטל תוציא מהקופסה, בצורה אקראית, שלושה מטבעות  שניתן להרכיב מהם מספר תלת-ספרתי המתחלק ב-9?

עוד על חנוכה:

פיצוח נוסף חנוכה במספרים - אוסף חידות וחידודים העוסקים בקשרים בין מספרים.

ראו גם אוסף עשיר לחידות לחנוכה - אלף אפס

תקציר| סדרה הנדסית מתכנסת| פתרונות| متوالية هندسية تنازلية متداخلة| حلول

1. ללא מילים

האומנם יתכן שסכום סדרה אינסופית הוא סופי ?

לפניכם שלש הוכחות ללא מילים לנוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית יורדת. אנא נמקו.

מתוך: "הוכחות ויזואליות ללא מילים" מאת  א. זסלבסקי, ג. ויניצקי,  קשר ח"ם

2. הזבוב הטורדן

שני רוכבי אופניים יצאו זה לקראת זה משני ישובים שהמרחק ביניהם 40 ק"מ במהירות של 20 קמ"ש כל אחד. לפני הזינוק ישב לו זבוב טורדן על אפו של אחד מהרוכבים. מיד עם צאתם יצא זבוב ועף במהירות של 50 קמ"ש לעבר הרוכב השני. ברגע שהוא מגיע אליו, הוא הופך את כיוון מעופו, ועף אל הרוכב שממנו יצא. כך ממשיך הזבוב הטורדן במעופו בין הרוכבים, עד לרגעהמפגש, אז הוא  נמחץ...

מה אורכו של המסלול שעבר הזבוב?

3. האיור המתכנס

באיור שלפניכם המעגלים והריבועים חוסמים זה את זה ונעשים קטנים יותר ויותר. בכל שלב, צבעו את ארבעת הגזרות שנוצרו מחסימת העיגול בריבוע. נתון כי אורך צלע הריבוע החיצוני 10 ס"מ.

א. מהו השטח הצבוע בשלב השביעי?

ב. מהו שטח הכולל של כל התחומים הצבועים בכחול באיור שלפנינו?

ג. אם נמשיך את התהליך אינסוף פעמים, מה יהיה השטח הצבוע?

4. לוח מטרה גיאומטרי

הוזמנת לשחק בלוח קליעה למטרה גיאומטרי ולו צורת משולש ובו חסומים מעגלים לפי האיור הבא.
מעגל, בעל  רדיוס של יחידת אורך אחת,  חסום במשולש שווה צלעות. מעגל קטן יותר חסום בכל אחת מזוויות המשולש, כך שהוא משיק למעגל הגדול. מעגלים קטנים יותר ויותר חסומים באופן דומה, עד אינסוף. 

מהי ההסתברות שהחץ יפגע בתחום האדום?

קישורים נוספים בנושא סדרה הנדסית יורדת:

פינג פונג מתמטי - רון אהרוני- על"ה 38. המחבר משתף אותנו בחוויית גילוי מתמטי שעבר כנער בחיפוש אחר נוסחא לסכום של סדרה גיאומטרית.

משולשים, מעגלים, חוצי זוויות, זהויות טריגונומטריות,סדרה הנדסית ושאיפה לגבול -מה הקשר? אבי סיגלר - על"ה 36. המאמר מציג תהליך גיאומטרי של יצירת סדרה אינסופית של משולשים חסומים במעגל, אשר שטחיהם, היקפיהם ואורכי המחוגים של המעגלים החסומים בהם שואפים באופן מונוטוני לגבול.

פרוייקט לתלמידים - שגעון נקודת האמצע - מחר 98. הפעילות עוסקת בגילוי של תכונות מצולעים, הנוצרים מחיבור נקודות האמצע של צלעות של מרובעים ושל משולשים. תוך כדי הפעילות עוסקים בתהליך אינסופי של יצירת משולשים המוביל למושג הגבול.

פרוייקט לתלמידים - עקומה פתולוגית - מחר 98. בנייה בעזרת המחשב עקומות פתולוגיות, שהן למעשה הפרקטלים של קוך. בכל העקומות קיים פרדוקס שהיקפן שואף לאינסוף ושטחן חסום.

פרוייקט לתלמידים - האינסוף המסתורי - מחר 98. אוסף של פעילויות שונות המתארות פרדוקסים הקשורים למושג האינסוף ודרכי יישומם

"נוסחת הסכום של סדרה הנדסית" - דורית פטקין, קשר חם. בחומר מובא ייצוג גרפי של סכום איברי סדרה הנדסית סופית שאיברה הראשון הוא  1ומנתה מספר טבעי, ושל סכום איברי סדרה הנדסית אינסופית שאיברה הראשון הוא 1 ומנתה מספר הופכי למספר טבעי.

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

האם 1=0.9999999 ? - מאמר על סדרה הנדסית אינסופית יורדת, באנגלית.