כתב עת על"ה

תקציר|  חפש את המטמון| פתרונות|  ابحث عن الكنز| حلول

לקראת חגיגות שנות השישים החליטו ברשות העתיקות לחשוף את תעלומת כתבי הסתרים אשר התגלו זה מכבר בחפירות ארכיאולוגיות אי שם בארץ. בחפירות נמצאו שלושה קנקני חרס עתיקים בהם קלפים עם כתבי סתרים המתארים את מקומם של שלושה מטמונים עתיקים. כמו כן, צורפה מפה המתארת את אזור החפירות, שם ע"פ ההשערה, הוטמנו המטמונים.
בחידת הכדים תוכלו להעזר גם ביישומון האינטראקטיבי המצורף מטה.  

בסיור באתר העתיקות הצליחו לאתר את העצים, האבן הענקית, המערה ואת דרך היין כמתואר במפה המצורפת.


ע"פ כתבי החידה, היכן כדאי לדעתכם לחפור כדי לגלות את שלושת המטמונים: תרומת המקדש, מטבעות הזהב וכדי היין?

לפניכם יישום דינמי בו תוכלו להעזר בפתרון חידת הכדים.

עובד לפי "מתמטיקה בהנאה" מאת שמואל אביטל.

תקציר|  אי שוויונות עליזים| פתרונות| متباينات مفرحة | حلول

1. חשוב "ממוצע אחר"

נעמי נבחנה בשני שאלונים. בראשון היא ענתה נכונה על 6 שאלות מתוך 10 השאלות הנתונות. 
במבחן השני נעמי הצליחה יותר. היא ענתה נכונה על 12 שאלות מתוך 15 השאלות הנתונות.
נעמי חישבה את הציון ממוצע שלה כך:
   

המורה איילה חישבה את הציון הממוצע של שני המבחנים:

א. בדקו, האם הממוצע שחישבה נעמי אכן נמצא בין שני הציונים שלה.
חשבו לפי השיטה של נעמי את הממוצע בין המספרים , בין המספרים  .
האם לדעתכם השיטה של נעמי לחישוב "ממוצע אחר" מתאימה לחישובי ממוצעים?

ב. תארו במילים ובאלגברה את השיטה לחשוב "ממוצע אחר" והוכיחו אותו:
 (1) בדרך אלגברית.
 (2) בדרך גיאומטרית בעזרת האיור:

ג. האם הממוצע החשבוני (שחישבה המורה) תמיד גדול מה"ממוצע האחר" שאותו חישבה נעמי ?

מעובד לפי - NRICH, שבבים, מספר חזק מס 15.

2. אי שוויונות בתמונות 

א. אוקלידס באחד מספריו "היסודות" הדגים באיור את השוויון המוכר כנוסחת הכפל המקוצר: 

ניתן גם להדגים באיור זה את אי השוויון:

באיזה מקרה מתקיים השוויון?

ב. מצאו אי שוויונות שניתן להדגים אותם בעזרת האיורים הבאים. 
    חקרו באילו מקרים בכל אחד מתקיים שוויון.

מעובד לפי - NRICH.

3. מי גדול ממי?

לגבי כל אחד מזוגות המספרים קבעו מי גדול יותר. נמקו והסבירו כיצד קבעתם.

א-ד מתוך "משימות לפיתוח חשיבה מתמטית- פרויקט טל"מ - חוג פלוטו"

4. שני בני דודים

א. רשמו סימן אי שוויון בין זוגות המספרים הבאים:

ב. החל מאיזה n מספר טבעי, מתקיים האי-שוויון: ?
הוכיחו את נכונותו של האי-שוויון.

ג. אתגר לחטיבה העליונה-
התוכלו להעריך (ללא שימוש במחשבון) מה יותר גדול:?
הוכיחו את השערתכם בדרכים שונות.

הידעתם?

את הסימן שווה, = , הכניס לשימוש מתמטיקאי אנגלי בשם רוברט רקורד (1510-1558) באמרתו המפורסמת: "אין שום עצמים השווים זה לזה יותר מאשר שני קטעים שווים".

המתמטיקאי האנגלי תומס הראיוט (1560-1621), בעת היותו בשליחות המלכה באמריקה הצפונית, הגה  לראשונה את סימני אי השוויונות <, >, ≤, ≥ כאשר קיבל השראה מקעקוע על פרק ידם ילידי המקום בצורת:
  . 
סימני האי-שוויון הומצאו 74 שנים אחרי סימן השוויון, אך הופיעו בטקסטים מודפסים לפני סימן השוויון. הסיבה לכך שלסימני האי-שוויון השתמשו באות לטינית V, שהייתה כבר קיימת כסימן דפוס. 

(מתוך "תבלינים מתמטיים")

תקציר|פרבולה, לי לו ולה|פתרונות|باربولا (قطع مكافئ ) لي ، له ولها | حلول 

1. שימוש "חכם" בפרבולה

נלמד שיטה להכפלת שני מספרים חיוביים כלשהם. בואו נכפיל 8 ב-5:

1. נשרטט את הגרף y=x2.

2. נסמן על הפרבולה נקודות בהן x=-5 ו- x=8 ונעביר ישר בין הנקודות הללו. 

3. שימו לב מהי נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-y.

4. ...אכן 5×8=40 !

    א. נסו להכפיל בשיטה זו 13×8.

    ב. התוכלו להסביר מדוע השיטה עובדת? 

    ג. האם ניתן להכליל את השיטה לכל שני מספרים? אם כן, הוכיחו.

2. היה או לא היה?

תום סרטט סקיצה לפרבולה: 
 
ומשיק לפרבולה:
 
תמר טענה שהאיור של תום לא יתכן.

מה דעתכם? האם ניתן ליצור פרבולה ומשיק אלו?

אם כן,  עבור אילו ערכים של b, a ו- c .

אם לא, הסבירו מדוע.

3. פתרון בכל מצב

נתונה המשוואה:  x - m)(x + 5m) = 3x)    

הראו בדרכים שונות כי למשוואה  יש פתרון לכל ערך ממשי של  m .

4. הפתעות וקשרים על הפרבולה

א. סמנו על הפרבולה y = x2 שתי נקודות כלשהן A ו- B על הפרבולה. 

העבירו דרך הראשית ישר OC המקביל לישר AB. 

שיעורי ה-x של הנקודות A,B,C הם a,b,c בהתאמה.

מצאו את הקשר בין a,b,c.

ב. סמנו על הפרבולה y = x2 שלש נקודות כלשהן B ,A ו- C על הפרבולה.

העבירו את הישר AB וישר CD העובר דרך נקודת החיתוך של AB עם ציר ה-y. 

שיעורי ה-x של הנקודות A,B,C,D הם a,b,c,d בהתאמה.

מצאו את הקשר בין  a,b,c,d.

מאמרים ופעילויות בנושא הפרבולה:

הפרבולה כצורה גיאומטרית - חמוטל דוד - על"ה 29

שאלות עם מספר רב של תשובות נכונות - אורית זסלבסקי - על"ה 14

בעיות הקשורות למיקום שורשי המשוואה הריבועית - אנטולי שטרקמן - על"ה 24

אליפסה, היפרבולה ופרבולה מנקודת ראות מישורית ומרחבית - חמוטל דוד - על"ה 35

לראות מתמטיקה - מטח - סביבה ללימוד וחקירה של פונקציה קווית ופונקציה ריבועית. הסביבה כוללת אוסף של מצגות והסברים, משימות ותרגילים וכלים אינטראקטיביים (Applets) המסייעים בהמחשת הנושא הנלמד. הסביבה מעודדת בניית מודלים מתמטיים לתופעות מהחיים, חקירת פונקציה קווית ופונקציה ריבועית על ידי פיתוח מיומנויות חשיבה מתמטיות.

תקציר |  לוליינות עם טרפז | פתרונות  | المنحرف 

1. הטרפז הצבעוני 
   אלכסוני הטרפז מחלקים אותו לארבעה חלקים. 
   האם תוכלו ליצור טרפז כך ששני חלקים בו יהיו שווים בשטחם?
   האם תוכלו ליצור טרפז ששלושה מחלקיו יהיו שווים בשטחם?
   האם תוכלו ליצור טרפז שארבעת חלקיו יהיו שווים בשטחם?
   אם ידוע לכם ששטח המשולש הצהוב הוא a ושטח המשולש הכחול הוא b, מהו שטח הטרפז?
   
   
   
   
   
   

   ---

2. מה לטרפז ופיתגורס?
   הנשיא ה- 20 של ארה"ב, ג'ימס גרפילד, (James A. Garfield ,1876) אהב להשתעשע במתמטיקה ומצא הוכחה מקורית ואלגנטית למשפט פיתגורס באמצעות טרפז. 
   התוכלו להסביר בעזרת האיור את הוכחת גרפילד? תוכלו להיעזר בנוסחת השטח של טרפז. 
   
   
   
   
   
   
   
   
   

   ---

3. שטח טרפז 
   נתון טרפז בעל בסיסים באורך a ו- b וגובה h. 
   נוסחת שטח הטרפז: 
   
   הוכיחו את נוסחת שטח הטרפז בארבע דרכים שונות, ע"פ ארבעת האיורים מטה.
   מדוע לדעתכם מכפילים בכל אחת מהדרכים בחצי?
   האם תוכלו למצוא או להמציא דרך נוספת להוכחת שטח הטרפז? 
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

   ---

4. ועוד אתגר לסיום... קומדיה גיאומטרית: נראה כי שטח כל טרפז שווה לאפס!
   נתון טרפז ABCD בעל בסיסים באורך a ו- b.
   נאריך את הבסיס a ב- b יחידות. נאריך את הבסיס b מהצד השני ב- a יחידות. (ראו שרטוט). 
   
   הכיצד?

עוד כמה מילים על הטרפז...

המילה "טרפז" הינה מילה יוונית עתיקה שמשמעה שולחן אוכל ("טרפזיון" - שולחן אוכל, "טרפזה" - ארוחה). המילה עצמה מורכבת מ"טטרה" (ארבע) והשורש "פד" רגל), כלומר, הצורה טרפז היא כשולחן ארבע רגליים. 

בימי-הביניים השתמשו במונח "טרפז" לכל מרובע, פרט למקבילית, ורק במאה ה- 18 המילה "טרפז" קיבלה את המשמעות של היום. יש המגדירים את הטרפז כמרובע עם לפחות זוג אחד של צלעות מקבילות. לפי הגדרה זו קבוצת הטרפזים היא קבוצת המרובעים המכילה את כל המקביליות למיניהן. עד היום יש המעדיפים הגדרה זו כי הנוסחה לחשוב שטח טרפז מתאימה לחישוב שטח כל הצורות בקבוצה זו. אך ההגדרה המסורתית והשכיחה (גם בארץ), קובעת כי לטרפז בדיוק זוג צלעות מקבילות אחד, כך שהטרפז הוא צורה נפרדת מכל שאר המקביליות. 
המצרים הקדמונים הכירו את נוסחת שטח הטרפז והשתמשו בה לחישובים שונים עבור חתכים של פירמידה מרובעת. גם המשפט: "קטע האמצעים בטרפז שווה למחצית סכום הבסיסים" היה ידוע להם ונמצא כתוב על פפירוס רינד (2000 לפנה"ס) וחרוט על קירות בית המקדש אדפו במצריים העליונה.

מתוך "תבלינים מתמטיים", קלרה זיסקין ולאה לטנר

תקציר|להדפסה|פתרונות|هيئة محاور

קצת היסטוריה 

רֶנֶה דֶקַרְט, מדען, פילוסוף ומתמטיקאי צרפתי ( 1596-1650 ) הוא זה שהמציא את מערכת הצירים המוכרת לנו, וזו נקראת על שמו המערכת הקרטזית. הלא הוא אותו פילוסוף בעל האמרה המפורסמת:

'אני חושב, משמע -אני קיים'. רנה דקרט נחשב לאבי של גיאומטריה אנליטית, תחום המתמטיקה שמטפל בבעיות של גיאומטריה בעזרת אלגברה.

1. הריבוע המסובב

לפניכם שני ריבועים במערכת צירים, הימני צלעותיו מקבילות לצירים והשמאלי "ריבוע מסובב".

ג. בנו ריבוע בו הנקודות (5,3) ו- (5,7) הם קודקודים נגדיים של הריבוע. תארו כיצד לבנות ריבוע כאשר נתונים שני קודקודים נגדיים.

ד. האם רביעיות הנקודות הבאות הם קודקודים של ריבוע? האם תוכלו לקבוע מיהו הריבוע ללא ציורו במערכת הצירים?

   1. (8,3) (7,8) (2,7) (3,2)

   2. (3,3) (7,4) (8,8) (4,7)

   3. (16,19) (18,22) (21,20) (19,17)

   4. (4,20) (21,19) (20,2) (3,3) 

ה. (a,b) ו- (c,d) הם קודקודים נגדיים בריבוע. מהם שיעורי שני הקודקודים האחרים?

  1. (8,3) (7,8) (2,7) (3,2)

  2. (3,3) (7,4) (8,8) (4,7)

  3. (16,19) (18,22) (21,20) (19,17)

  4. (4,20) (21,19) (20,2) (3,3) 

2. שבעה ריבועים חבויים

במערכת הצירים הבאה מסומנות 25 נקודות שהו קודקודים של שבעה ריבועים.

שלש הנקודות המובלטות הן קודקודים המשותפים לשני ריבועים.

התוכלו למצוא את כל שבעת הריבועים החבויים?

 3. ריבוע בתוך ריבוע בתוך ריבוע

הריבוע המסובב ABCD, חסום בתוך ריבוע גדול שצלעותיו מקבילות לצירים. 

בתוכו בנוי ריבוע קטן נוסף כמתואר באיור הדינאמי.

א. מהם שיעורי הריבוע הגדול ? מהו שיעורי הריבוע הקטן ?

ב. מהו שטח כל אחד מהריבועים ?

ג. בנו איור דומה במערכת הצירים או בעזרת האיור הדינמי וציינו את שיעורי הקודקודים של הריבועים וחשבו את שטחיהם.

ד. (A(a,b ו- (C(c,d הם קודקודים נגדיים בריבוע. מהם שיעורי שני הקודקודים האחרים? מהו שטח הריבוע ABCD? 

עוד על מערכת הצירים

משחקים אינטראקטיביים להכרות ותרגול מערכת הצירים:

מכרה היהלומים - משחק  אינטראקטיבי - הקש את הקורדינטות ואסוף את היהלומים שבדרך.

Billy the Bug -  עזרו לבילי הג'וק למצוא חטיפים לזלילה המפוזרים במערכת הצירים ברביע הראשון.

Billy the Bug -  עזרו לבילי הג'וק למצוא חטיפים לזלילה המפוזרים במערכת הצירים בארבעת הרביעים.

מאובני דינוזאורים- עזרו לחוקרים למצוא במערכת הצירים מאובני דינוזאורים. (בדומה לצוללות)

Transmographer -  הזזות, שיקופים וסיבובים של מצולעים במערכת הצירים.

פעילויות ומשחקים:

פעילויות במערכת צירים- פעילויות מגוונות במערכות צירים שונות שהוכנו ע"י המרכז למורים למתמטיקה ביסודי: סימון נקודות ברביע הראשון ויצירת תמונות, הגדלה עפ"י יחס, יצירת תמונות של "מראה עקומה", סימון נתיבי מסעותיו של קולומבוס.

משחק "ארבע בריבוע"- חובר ע"י נצה מובשוביץ-הדר , ארבע בריבוע הוא משחק שמטרתו תרגול בזיהוי ובסימון נקודות במערכת צירים.

חלת הדבש - משחק במערכת הצירים שהוכן ע"י המרכז למורים למתמטיקה ביסוד.  משחק בו צריך למקם נקודות על מערכת צירים על פי תוצאות המתקבלות מזריקות שתי קוביות. המנצח הוא זה השם ארבע תוויות בשורה, או באלכסון או יוצר ריבוע.

בדוק את דמיונך- ציירו ציורים במערכת צירים על פי של שיעורי נקודות נתונות, וחיבורם בקווים ישרים. יש ראשית לנסות לנחש מהי הצורה המתקבלת ולאחר מכן לבדוק ניחוש זה. כמו כן, יש התייחסות להשפעה של שינוי של אחד משיעורי הנקודה על הציור המתקבל. מתוך גליונות לחשבון. 

ייצור מערכת צירים- אתר ליצירה של דפי עבודה לכיתה, בו ניתן ליצור מערכת צירים לפי דרישתך.

תקציר |  עגור השלום | פתרונות 

אוריגאמי היא אמנות קיפולי הנייר שהומצאה ביפן. לאמנות האוריגמי משמעות תרבותית עמוקה בתרבות היפנית והיא משמשת בטקסים שונים בדת השינטו, הנפוצה ביפן. לאחר פתיחת גבולותיה של יפן למערב בסוף המאה ה-19 התפשטה אמנות האוריגמי לעולם כולו והפכה לחלק מתרבות הפנאי ולשדה מחקר מתמטי מדעי. המחקר בנושא חשף את המורכבות הרבה האפשרית בקיפולי נייר, ויצר פתח לניצול מורכבות זו בחידושים טכנולוגיים וננוטכנולוגיים שונים. (מתוך ויקיפדיה)
העגור, the crane, היא הצורה השכיחה והמוכרת ביותר ומסמלת עבור היפנים בריאות, מזל אושר ושלום. האגדה היפנית מספרת שאם מקפלים 1000 עגורי נייר, הם יגנו עליך מפני כל צרה ומחלה ויגשימו משאלותיך. קיפול העגור התפרסם כסמל לשלום עולמי בעקבות סיפורה המרגש של סודאקו, הילדה שחלתה לאחר ההפצצה בהירושימה. בזמן שקיפלה את עגורי הנייר אמרה סדאקו: "אכתוב על כנפיכם מסר שלום, ואתם תעופו ותפיצו את המסר מסביב לעולם".
לזכרה, ולזכר קורבנות הפצצה, בכל יום ה- 6 באוגוסט נוהגים להפריח את "עגורי השלום".

איך לקפל את עגור השלום?
הוראות באנימציה תלת מימדית, שלב אחר שלב.
סרט וידאו בעברית: בגלרית הסרטונים באתר המרכז הישראלי לאמנות האוריגאמי.
הוראות קיפול עגור השלום.

משימה 1

שימו לב לצורות הגיאומטריות המתקבלות במהלך הקיפול.
התוכלו למצוא דלתונים? מעויינים? משולשים שווי צלעות? ועוד. הוכיחו את טענותיכם.

המרכז הישראלי לאמנות האוריגאמי מפעיל זה מספר שנים את "פרויקט השלום". תלמידיו הרבים קיפלו "1000 עגורים" שנמסרו, כברכת החלמה, לחוסיין מלך ירדן. בביקורו בישראל קיבל האפיפיור יוחנן פאולס השני "1000 עגורים" שנמסרו לו על-ידי שלושה ילדים, יהודי, נוצרי ומוסלמי, כמחווה של שלום בין הדתות. בביקורו בישראל קבל גם הדלהי למה, המנהיג הרוחני של טיבט, עגורי שלום. כיום עוסק המרכז בפרויקט החלפת 1000 עגורי שלום בין בתי הספר כמחווה של הבנה בין בתי-ספר חילוניים, דתיים, ישראלים ופלשתינאים.

משימה 2
אם נפתח בזהירות את קיפול הנייר של העגור נקבל את הפרישה הבאה:

פרט לצורות הגיאומטריות הרבות שניתן להבחין בפרישה ולחקור אותן נשאל את עצמנו כמה שאלות הנוגעות לתחום "האוריגאמי השטוח":

א. נצבע את "עגור השלום"

1. צבעו כל מצולע בפריסה בצבע שונה מהמצולע השכן לו, כך שאף שני איזורים סמוכים יהיו באותו צבע (בדומה לצביעת מפות). מהו מספר הצבעים הקטן ביותר שניתן לצבוע את העגור?
2. אם נקפל את העגור הצבוע שוב כיצד תראה הצביעה?
   האם מסקנותיך יהיו נכונות לכל קיפולי הנייר של האוריגאמי?

ב. נתבונן בקודקודים

1. כמה קפלים נפגשים בקודקוד אחד? הייתכן מספר אי זוגי של קפלים?
2. הבחינו בין קפלי "הר" לקפלי "בקעה": התוכלו למצוא מה הקשר בין מספרי קפלי ההר וקפלי הבקעה בכל קודקוד?
3. סכום הזוויות סביב קודקוד מסויים הוא כמובן 360°. אם נמספר את הזוויות סביב קודקוד מסויים, התוכלו למצוא מהו סכום הזוויות האי זוגיות? מהו סכום הזוויות הזוגיות?

מקור: Project Origami: Activities for Exploring Mathematics By Thomas Hull

תקציר| צפייה בסרטים בעין מתמטית

1. אבוט וקוסטלו בחיל הים

שני הקומיקאים האמריקאים אבוט וקוסטלו הם הדמויות המרכזיות בסרט 
(In the Navy 1941). בסרט קוסטלו מקבל על עצמו משימה: 
לאפות 13 סופגניות לכל אחד משבעה קצינים המשרתים באוניה. 
קוסטלו מכין 28 סופגניות בטענה כי:
                                   7x13 = 28
הוא גם "מוכיח" את טענתו בשלוש דרכים שונות.

דרך א:
כופלים 7 ב- 3 ומקבלים 21. 
כופלים 7 ב-1 ומקבלים 7.
מחברים שתי התוצאות ומקבלים 28. 

דרך ב:
מחלקים 28  ב- 7 מקבלים 13.
2 אינו מתחלק ב-7, 
לכן מחלקים 8 ב- 7. 
7 "נכנס" ב- 8 פעם אחת. רושמים 1 במנה.
מחסרים 7 מ-28, מקבלים 21.
7 "נכנס" ב-21 שלוש פעמים.  רושמים 3 מימין ל- 1.
קיבלנו 13.

דרך ג:
בודקים את פעולת הכפל בעזרת פעולת החיבור.
רושמים את 13 שבע פעמים ומחברים.
מחברים שבע פעמים את ה-"3", מקבלים 21 . מחברים את שבעה ה-"1" ומקבלים 7. 
מחברים את שתי התוצאות. קיבלנו 28.

משימה:
א. הסבירו (באופן מתמטי), למה כל שלוש השיטות של קוסטלו אינן מניבות תוצאות נכונות.
ב. נסו לחבר תרגילים נוספים המדגימים את השיטות הייחודיות של קוסטלו. 
ג. רשמו תהליך הכפל של מספר דו-ספרתי במספר חד-ספרתי לפי שיטת קוסטלו, בצורה של:

ד. ביצעו פעולת הכפל של מספר דו-ספרתי במספר חד-ספרתי בצורה אלגברית נכונה: 

ה. השוו בין שתי התוצאות. האם יתכן ששתי התוצאות תהינה שוות? אם כן, מהם התנאים שעבורם 
"המתמטיקה" של קוסטלו "עובדת"? 

תוכלו להשתעשע עוד בדיאלוגים מתמטיים בין אבוט וקוסטלו במאמרו של יוחנן אחיטוב: 
"מתמטיקה מהסרטים הדיאלוגים של אבוט וקוסטלו" (על"ה 32)

2. הסרט קונטקט ( 1997,Contact)  

סרט דרמה, מדע בדיוני ומתח לפי ספרו של קארל סייגון, איש של מדע הפופולרי.
ד"ר אלינור ארוואיי (שחקנית ג'ודי פוסטר) מאזינה ל"קולות" מחוץ לכדור הארץ.
האם השידורים מכילים צופן מתמטי? 
האיתות שמגיע ממערכת בשם VEGA מכיל מספרים ראשוניים! הרי זה סימן לחיים מחוץ לכדור הארץ!

___________________________
מהו מספר ראשוני?
מספר שלם הגדול מ-1 נקרא בשם מספר ראשוני,
אם ורק אם הוא מתחלק ב-1 ובעצמו.
___________________________

המשימות:

1. השלימו את הרשימה של עשרת המספרים הראשוניים הראשונים:
             __ ,  __, __ , __ , __ , __, 7 , 5 , 3 , 2 

2. כיצד נמצא מספרים ראשוניים?
המתמטיקאי היווני אֶרַטוֹסתֶנֶס המציא שיטה למציאת מספרים ראשוניים, לה קוראים עד היום הנפה של אֶרַטוֹסתֶנֶס. הנפה מסננת מתוכה את המספרים הפריקים ומותירה בתוכה את המספרים הראשוניים בלבד.

לפניכם נפת המספרים, בכדי לסנן את המספרים הראשוניים פעלו לפי ההוראות הבאות:

א. מחקו את המספר 1 (כי אינו ראשוני)

ב. הקיפו בעיגול את המספר 2 ומחקו את כל המספרים האחרים שנמצאים בעמודות מתחת
ל- 2, 4 ו- 6. כיצד תוכלו לאפיין את המספרים שמחקתם?

ג. הקיפו את המספר 3 ומחקו כל מספר שלישי.

ד. הקיפו את המספר 5 ומחקו את כל הכפולות של 5.

ה. הקיפו את המספר 7 ומחקו את כל הכפולות של 7.

ו. הקיפו את המספר הלא מחוק הבא (אחרי 7) ומחקו את כל הכפולות של מספר זה.

המשיכו בתהליך ההקפה והמחיקה.

כל המספרים המוקפים בנפה הם מספרים ראשוניים. התוכלו להסביר מדוע?

3. כמה מספרים ראשוניים נמצאים בין 1 ל-100?

4. המשפט היסודי של האריתמטיקה קובע שכל מספר טבעי (לא ראשוני) ניתן לתאר כמכפלה של גורמים ראשוניים באופן אחד ויחיד.
לדוגמה: 
רשמו את המספרים 48 ו- 91 כמכפלה של גורמים ראשוניים.

5. ראשוניים-תאומים הם זוג מספרים ראשוניים הנבדלים ב-2. לדוגמה: 3 ו-5.
מצאו שלושה זוגות נוספים של ראשוניים-תאומים.

6. המתמטיקאית הצרפתיה סופיה ג'רמיין (1776-1831) גילתה את קשר בין מספרים ראשוניים אחדים.
מספר ראשוני p נקרא "ראשוני של ג'רמיין" אם גם המספר 2p+1 גם ראשוני. מצאו חמישה מספרים ראשונים כאלה.

אֶרַטוֹסתֶנֶס                    המתמטיקאי היווני אֶרַטוֹסתֶנֶס שחי במאה השלישית לפנה"ס, היה ספרן ה'מוזיאון'- בית המדרש הגדול באלכסנדריה שבמצריים.  ארטוסתנס נחשב כאחד המשכילים בעולם העתיק - הוא התעניין רבות במדעי היקום: גיאוגרפיה,אסטרונומיה,  פילוסופיה, היסטוריה, ספרות ומתמטיקה. הוא גילה שיטה למציאת מספרים ראשוניים. אֶרַטוֹסתֶנֶס רשם שורה של מספרים טבעיים ומחק ממנה כל מספר שני הגדול מ-2,  כל מספר שלישי הגדול מ-3, כל מספר חמישי הגדול מ-5 וכך הלאה. המספרים הלא מחוקים  הם המספרים הראשוניים. בזמנו של אֶרַטוֹסתֶנֶס כתבו על הלוחות מחמר או משעווה, ובמקום מחיקת המספר היו נוהגים לְנַקּב  בעזרת מכשיר חד את המקום שבו היה כתוב המספר. אחרי פעולה זו הלוח היה מחורר ונראה כנפה (מסננת). מכאן השם "הנפה של אֶרַטוֹסתֶנֶס".

קישורים למאמרים בנושא:
שתי דרכים לניפוי המספרים הראשוניים -"שבבים",  תיק מס' 15, 1981 
נפת ארתוסטנס בשישה טורים- קשר ח"ם
נפות ארתוסטנס- גלים- מציאת תכונות שונות של המספרים הראשוניים מתוך מפות ארתוסטנס.
כיצד ננפה את המספרים הראשוניים?- אביטל, גליונות לחשבון מס 34 שיטות נוספות לניפוי המספרים הראשוניים.

אוסף אתרים בנושא מוטיבים מתמטיים בסרטים