האוגדן הוא אוסף פעילויות לפי תוכנית הלימודים בחט"ב למורה ולמדריך.
מטרת האוגדן היא להרחיב את הידע, את האינטואיציה והחשיבה המתמטית בנושאים ומושגים מרכזיים.
היחידות מיועדות להדרכת מורים ולהעמקת ידע המורים בנושאים אותם הם מלמדים.
הן כוללות רקע תיאורטי על היבטים היסטוריים, מתמטיים ודידקטיים של נושאים מתוך תוכנית הלמודים.
כל יחידה כוללת גם סדנאות המותאמות לפעילות של מורים.
גאומטריה |
אלגברה ופונקציות |
תחום מספרי |
|
שטחים ועוד על מרובעים והגדרות שקולות הוכחות גאומטריות לזהויות אלגבריות מצולעים יחס, פרופורציה ודמיון המעגל ומקומות גאומטריים אחרים צורות במרחב הוכחות
|
אי שוויונות בשאלות מילוליות מבוא לפונקציות טרנספורמציות של פונקציות פונקציה ריבועית טכניקה אלגברית ייצוגים שונים לפתרון שאלות לבעיות מילוליות
|
להיות מודל למספר שלילי כפל מספרים שליליים הסתברות – החוקיות של האי-ודאות |
יחידה זו מציגה ארבע בעיות בהסתברות שעשויות לפתח חשיבה הסתברותית וחשיבה ביקורתית.
כיום, בעולם המודרני, השימוש במונחי הסתברות הולך וגובר, אם בהתנסחויות התקשורתיות בתחומי החיים השונים ואם בשפת היומיום. לכן חשוב לבסס אצל התלמידים עולם מושגים הסתברותיים, לפתח יכולת ניתוח בעיות הסתברותיות וכושר ביקורת להצהרות הסתברותיות.
לכל אחד מאיתנו יש אינטואיציה לגבי סיטואציות יומיומיות בלתי ודאיות בחיינו, אך לא תמיד הן מתיישבות עם תורת ההסתברות. קיום הסתירה לכאורה בין מדע ההסתברות לבין החשיבה ההגיונית שלנו, משאיר אותנו לעתים עם גורם ההפתעה בקשר לתשובה החישובית. בפעילות ביחידה זו נראה שחישובי ההסתברויות לא תמיד עולים בקנה אחד עם שיקול הדעת האינטואיטיבי שלנו לגבי סיטואציות הסתברותיות. יחד עם זאת נראה שניתן לפתח חשיבה איכותנית ולוגית לפתרון הבעיות, ללא חישובים, יחד עם ייצוגים מגוונים המסייעים להבנת הבעיות.
פעולת הכפל במספרים השליליים היא פעולה המוגדרת באופן מתמטי פורמלי ולאו דוקא אינטואיטבי. זו אחת הפעולות הראשונות שפוגש התלמיד בבית הספר שמקורן אינו בהתנסויות מוחשיות ואינטואיטיביות. השרירותיות של החוקים המתמטיים מהווה לעיתים אבן נגף ברצף הלמידה של הרחבת המספרים וראשית האלגברה.
ביחידה זו נבחן הסברים שונים המקובלים בהוראה, בכדי להצדיק את חוקי הכפל במספרים השליליים ובפרט מדוע כפל של שני מספרים שליליים הוא חיובי. הצגת המספרים השליליים
ופעולות החיבור והחיסור בהם נלמדות בדרך כלל בתווך של מודלים דידקטיים כגון חיצים על ציר המספרים, מודל האסימונים וכדומה (ראו סקירה נרחבת ביחידה "להיות מודל למספר
שלילי"). ביחידה זו נשאל האם וכיצד נמשיך להשתמש במודלים להוראת פעולת הכפל במספרים שליליים וכן אילו אסטרטגיות מתאימות להצגת פעולת הכפל במספרים השליליים.
יחידה זו עוקבת ליחידה "להיות מודל למספר שלילי", אך יכולה לעמוד גם בפני עצמה.
היחידה עוסקת בחשיפה למודלים שונים המשמשים להוראת המספרים השלמים, השוואה בין המודלים השכיחים ובחינת המשמעות של המספר השלילי ופעולות החיבור והחיסור בכל אחד מהמודלים.
הנושאים המרכזיים:
- הרחבת עולם המספרים.
- מספר שלילי – מהו?
- מושגים מרכזיים בהגדרת המספר השלילי – האפס, היחידה, נגדיות, סדר וצפיפות.
- ייצוגים שונים של המספרים השליליים במגוון מודלים דידקטיים.
- מה בין מושג ומודל?
- ארבע פעולות החשבון והמשמעות שלהן במודלים השונים.
- מקומם של המודלים בהוראה: נקודות חוזק ותורפה.
סדנה 1 - הצגת המספרים השליליים במודלים שונים
סדנה 2 - חיבור וחיסור מספרים שליליים
יחידה זו עוסקת בפתרון שאלות מילוליות על ידי שימוש בייצוגים שונים של פונקציה.
העיסוק בבעיות מילוליות הוא פעילות מתמטית חשובה שבאמצעותה ניתנת לתלמידים הזדמנות לבנות מודלים מתמטיים לתיאור תופעות "מהחיים" ולהעמיק את ההבנה של התופעות באמצעות מודלים אלה. בגישה המסורתית מצפים מהתלמיד לבחור אות המייצגת גודל לא ידוע בבעיה ולרשום ביטויים לגדלים לא ידועים אחרים בעזרת אות זו. לאחר מכן נדרש התלמיד לבטא קשר בין הגדלים ולהגיע למשוואה אותה הוא צריך לפתור. תהליך זה של תרגום הסיטואציה לביטוי סימבולי קשה לתלמידים. השינוי בתוכנית הלימודים בחטיבת-הביניים והצגת הפונקציה ככלי לתיאור תופעות של השתנות כבר בכיתה ז' מאפשרת את השימוש בגישה הפונקציונאלית לפתרון בעיות מילוליות. השימוש בפונקציה כמודל מתמטי לתיאור התהליכים בפתרון בעיות מאפשר להתמקד בתהליך עצמו המתואר בבעיה, ולא רק בשאלה הפרטית הנשאלת בבעיה.
יתרונה של הפונקציה כמודל לתיאור תהליכים הוא בשלל ייצוגיה: מספרי (טבלה), גרפי וסימבולי (ביטויים אלגבריים והשוואות). הייצוגים המגוונים מאפשרים לבחור את דרך הפתרון המתאימה לצרכיו של הפותר.
ביחידה זו נציג גישה פונקציונאלית לפתרון בעיות מילוליות, נעמוד על יתרונותיה ונבחן את ההבדלים בינה לבין הגישות השונות לפתרון בעיות.
יחידה זו עוסקת בפתרון שאלות מילוליות על ידי שימוש בייצוגים שונים של פונקציה.
סדנה 1 - מעבר מייצוג גרפי לייצוג סימבולי
סדנה 2 - יתרון הייצוג הגרפי הדו מימדי
היחידה מציגה את הפונקציה הריבועית בייצוגים סימבוליים שונים ובייצוג הגרפי (פרבולה).
היחידה מדגישה את היתרונות של כל הצגה סימבולית, תוך שימוש ביישומים דינאמים לפעילות חקר על הקשר והאיכויות של כל הצגה.
בשנות השמונים רווחה התיאוריה הקונסטרוקטיביסטית להוראת המתמטיקה עיקר תיאוריה זו היא שהלמידה היא תהליך פנימי, בו הלומד בונה ידע חדש על בסיס הבנייה אישית של הלומד מתוך ידע קיים. לכן, חשוב שלימוד המתמטיקה יביא ליצירת קשר בין הידע הנרכש לבין הידע הקיים.
סדנה אחת עוסקת בבניית פונקציה ריבועית כמכפלה של שתי פונקציות לינאריות. הפונקציות הלינאריות מוכרות לתלמידים, וממכפלתם, ניתן ללמוד על רב התכונות של הפונקציה הריבועית.
ויתר הסדנאות עוסקות בדגשים של הייצוגים הסימבוליים השונים ובמשפחות של פונקציות.
סדנה 1 - פונקציה ריבועית כמכפלה של 2 פונקציות קוויות
סדנה 2 - ייצוגים אלגברים שונים לפונקציה ריבועית
סדנה 3 - קשרים מעניינים במשפחות של פונקציות ריבועיות
טרנספורמציות הן כלי מתמטי ליצירת משפחה של פונקציות. הן מעודדות להסתכל על הפונקציה כדוגמה או כפרט במשפחה. "חוש לפונקציות" כולל גם את היכולת לשייך פונקציה למשפחה שלה ולזהות את התכונות המשותפות למשפחה (Confrey, 1994) והטרנספורמציות הן כלי לנוע בין הפונקציות בתוך המשפחה.
תלמיד שפיתח יכולות להבין ולדמיין טרנספורמציות על פונקציות בייצוגן הגרפי והאלגברי ומזהה פונקציה כשייכת למשפחה, יוכל להשתמש בטרנספורמציות ככלי שימושי כמעט בכל נושא הנוגע לפונקציות, כגון הכרות עם משפחות שונות של פונקציות, נגזרות, מניפולציות אלגבריות ועוד.
נעסוק כאן בארבעה סוגים יסודיים של טרנספורמציות לינאריות:
- הזזה אנכית
- הזזה אופקית
- מתיחה אנכית
- מתיחה אופקית
- שיקופים.
"מושג הפונקציה מאפשר ארגון ומיזוג של רעיונות מתמטיים חשובים ובעלי משמעות עבור התלמידים" (מתוך תוכנית הלימודים של חטיבת הביניים).
יחידה זו מציגה מבוא כללי למושג הפונקציה שהוא מושג בסיסי בלימודי המתמטיקה השזור לאורך כל תוכנית הלימודים בחטיבת הביניים ובחטיבה העליונה. יחידה זו כוללת רקע מתמטי, היסטורי ודידקטי גם עבור היחידות:
- פונקציה ריבועית
- טרנספורמציות ליניאריות
יחידה זו עוסקת במיומנויות נדרשות בטכניקה אלגברית בשילוב של דרכי חשיבה שונות.
ביחידה זו נעסוק במיומנויות הבאות:
1. כינוס איברים דומים
2. פתיחת סוגריים (חוק הפילוג וחוק הפילוג המורחב)
3. נוסחאות לכפל מקוצר
4. פירוק לגורמים בשיטות שונות: הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים, קיבוץ איברי הפולינום, פירוק של טרינום ריבועי
5. הרחבה וצמצום של שברים אלגבריים
6. מציאת מכנה משותף של שברים אלגבריים הנדרש לביצוע חיבור וחיסור שלהם
7. כפל וחילוק של שברים אלגבריים
8. שימוש בחוקי חזקות וחוקי השורש הריבועי
סדנה 1 - שילוב בין התחום המספרי לתחום האלגברי
סדנה - שילוב פיתוח מיומנויות פרוצדוראליות עם פיתוח סוגים שונים של חשיבה מתמטית2
סדנה 3 - חשיבה הפוכה
השוואה בין גורמים שונים היא חלק מחיי היומיום שלנו. במתמטיקה השוואות מתורגמות למשוואות ולאי-שוויונות המקבלים ייצוגים שונים: מילולי, גרפי, מספרי, ואלגברי.
בפתרון שאלה מילולית המתארת השוואה, נדרשת אוריינות מתמטית. הפותר צריך להבין את הנקרא, ולדעת לתרגם את התיאור המילולי לייצוג מתמטי אחר (גרפי, מספרי או אלגברי) אשר יוביל לתשובה.
התמודדות עם שאלות מילוליות המתארות אי-שוויון, דורשת הבנה של דקויות מילוליות. אוצר המונחים הלשוניים המתארים מצבי אי-שוויון רבים ומגוונים. ההבדלים הדקים בין מושגי האי-שוויון דורשים הבנה מעמיקה של הטקסט. למשל, המשפט "לדני יש 8 גולות לכל היותר" מתורגם ל-
והמשפט "לדני יש יותר מ-8 גולות" מתורגם ל-
. ה"כיוון" של סימן האי-שוויון שונה וגם האי-שוויון הראשון הוא אי-שוויון חלש(מאפשר גם את השוויון עצמו) בעוד השני הוא אי-שוויון חזק (אינו מאפשר את השוויון עצמו).
ביחידה זו נתמקד במשמעות הלוגית של אי-שוויון ובפתרון שאלות מילוליות המתארות אי-שוויון:
- נעסוק בדקויות ההבחנה בין המונחים המתארים אי-שוויונות.
- נבדיל בין מונחים המאפשרים שימוש באי-שוויון חלש או חזק.
- בפתרון השאלות נשתמש, במידת האפשר, בדרכים שונות ובייצוגים מגוונים.
סדנה 1 - בעיות מילוליות ואי שוויונות
סדנה 2 - פתרון בעיות מילוליות עם איש וויונות בעזרת גרפים
גופים תלת מימדיים בתכנית לימודים
ישנה הסכמה שחשיבה מרחבית חשובה ללימוד נושאים מתמטיים מגוונים. אחת המטרות של לימוד גאומטריה הוא פיתוח חשיבה מרחבית.
כבר תכנית הלימודים בבית הספר היסודי במתמטיקה שמה לה למטרה להדגיש את לימוד הגיאומטריה בכלל ואת הכרת הגופים התלת מימדיים בפרט.
בין ההדגשים העיקריים של התכנית יש דגש על פיתוח התפיסה החזותית במישור ובמרחב תוך התמקדות במטרות הבאות:
- פיתוח כשרים גיאומטריים.
- פיתוח יכולת חקירת צורות וגופים גיאומטריים ותכונותיהם.
- עידוד יצירת דימויים חזותיים עשירים של מושגים גיאומטריים.
- פיתוח יכולת הזיהוי של קשרים לוגיים בין העובדות הגיאומטריות.
- טיפוח חקירת הקשר בין הצורות והגופים הנלמדים לבין העצמים והתופעות בסביבת התלמידים.
מטרת היחידה:
יחידה זו עוסקת ביכולות המאפיינות תובנה מרחבית.
דיין ופטקין (על"ה 44, 2011) מחלקים את מכלול הראייה המרחבית לשלושה סוגים:
- יכולת רוטציה שכלית – יכולת למצוא במהירות ובדיוק דגם זהה של צורה הנתונה במרחב;
- יכולת לקבוע יחסים מרחביים ביחס לכיוון של הגוף העצמי, תוך התעלמות ממידע מסיח;
- יכולת לבצע מניפולציות מורכבות ורב שלביות לגבי מידע מורחב.
סדנה 1- יכולת רוטציה שכלית
סדנה 2- יכולת לקבוע יחסים מרחביים ביחס לכיוון של הגוף העצמי, תוך התעלמות ממידע מסיח
סדנה 3 - יכולת לבצע מניפולציות מורכבות ורב שלביות לגבי מידע מורחב
סדנה 4 - הגופים האפלטונים
יחידה זו עוסקת במקומות גאומטריים ובפרט במעגל. בעיסוק במעגל נתמקד בשני דיונים:
- שקילות ההגדרות של מעגל.
- שינוי מושג המעגל בהתאם להגדרות שונות של מרחק בין נקודות.
סדנה 1 - בניית מקום גאומטרי – מרחקים שווים מנקודות
סדנה 2 - בניית מקום גאומטרי – מרחק שווה מישרים
סדנה 3 - נקודות מיוחדות במשולש ומקומות גאומטריים
סדנה 4 - הגדרות שונות למעגל כמקום גאומטרי
סדנה 6 - תלות המעגל כמקום הגאומטרי בהגדרת המרחק
סדנה 7 - הפיצוח "חפש את המטמון"
הקניית החשיבה הפרופורציונאלית נחשבת כציון דרך בהתפתחות הקוגניטיבית של התלמיד.
על חשיבותה של החשיבה הפרופורציונאלית בתוכנית הלימודים ניתן ללמוד גם מתוך תוכנית הלימודים עצמה וגם בעקרונות ובסטנדרטים של Commom Core State Standards Initiative (CCSSI), הרואים חשיבות רבה בפיתוח ההבנה והיישום של חשיבה
פרופורציונאלית ויחס בפתרון בעיות מחיי היום יום. ראשית הוראת הנושא כבר בבית הספר היסודי, דרך חטיבת הביניים וזאת כבסיס ללימוד נושאים מתקדמים במתמטיקה הנלמדים בתיכון. חשיבות הנושא באה לידי ביטוי בהקשר לנושאי לימוד נוספים בבית-הספר,
כגון: שברים (על המשמעויות השונות, והשוואתם), מעבר בין יחידות מידה, קנה מידה, בעיות יחס, יחס ישר ויחס הפוך, הסתברות, דמיון משולשים, טריגונומטריה וכו'.
סדנה 1 - מתחילים לחשוב פרופורציה
סדנה 2- סוגי שאלות ואסטרטגיות פתרון
סדנה 3 - על תנאים לדמיון משולשים ומרובעים
מהי הוכחה מתמטית?
במצריים העתיקה, כמו גם ביוון, אנשים עסקו בשאלות מעשיות, למשל בחלוקת חלקות אדמה.
לכן הגאומטריה העתיקה עסקה בעיקר במדידות ובאובייקטים כמו משולשים, מרובעים ומעגלים (למשל, לצורך עיצוב של אמפיתאטרונים). אנשים
ציירו את האובייקטים, תיארו אותם במילים והסבירו כיצד האובייקטים יתמקדו במרחב. ציורים, ג'סטות, אנלוגיות, אוטוריטות ולפעמים אף אלימות
עזרו "לשכנע" אחרים שההצעות עונות על הדרישות. לאנשים לא היה צורך בהוכחה פורמלית מעבר לסתם שכנוע.
הוכחה מתמטית היא אמצעי לשכנע חבורת אנשים שטענה מסוימת נכונה במערכת שבה ישנה הסכמה על כללים לוגיים מסוימים. דרך טבעית להוכיח
לחבורת אנשים שטענה כלשהי נכונה היא לייחס אותה לטענות A, B, C… שכבר ידועות כנכונות. מתקבלת שרשרת: A->B->C->…->X.
ללימוד הוכחות לוגיות מתמטיות יש שימוש רב בחיי יום יום.
סדנה 3 - על נקודות ומצולעים חסומים, ועל מרחקים קבועים
סדנה 4 - מצולעים
סדנה 5 - הוכחות ולא רק בגאומטריה
עיסוק במצולעים בעלי יותר מ- 4 צלעות, פותח אפשרויות להצגת משולשים ומרובעים כמקרים פרטיים של מצולעים (כלליים) ויכול להוביל להעמקה והרחבה של מושגים ותכונות רבות כמו אלכסונים, זוויות
פנימיות וחיצוניות במצולע, מצולע משוכלל, סכום זוויות במצולע וכדומה. עיסוק במושג "המצולע" מאפשר שילוב של פעולות חקר בשיעורי מתמטיקה, פותח אפשרויות לשאלת שאלות, להעלאת השערות, מוביל
להכללות והוכחות.
רוב המשימות ביחידה יכולות לשמש דוגמה להוראה קדם דדוקטיבית בגיאומטריה.
מטרות היחידה: העמקה במושגי יסוד הקשורים במצולעים בדרך חווייתית, הצגת דוגמה ללמידת מושג מתוך דוגמאות מתאימות, הצגת דוגמה ללימוד בדרכי חקר.
יחידה זאת מעשירה מורים בנושא הנחשב מוכר. הפעילויות בנויות בצורת בעיות חקר דבר המעודד הוראה הדרגתית ומאפשר הוראה לא-פרונטאלית. היחידה ניתנת ברובה ליישום בכתות, היא מתאימה לכל קבוצת גיל ואפשר
לשלב חלקים ממנה ברמות שונות.
סדנה 1- מספר אלכסונים במצולע
סדנה 2 - גזירות וחיתוכים
סדנה 3- מצולעים קעורים
כיום, בעידן המחשבים, הולכת וגוברת ההכרה בכך שלייצוגים ויזואליים יש פוטנציאל העשוי לתרום לתהליך הלמידה, להעשיר אותו, ולהביא להבנה מעמיקה של מושגים מתמטיים.
נושא המרובעים הינו אחד הנושאים המרכזיים בתוכנית הלימודים בגיאומטריה לכיתה ט'. בהתאם לתוכנית הלימודים לכיתה ט' נלמד נושא זה בגישה דדוקטיבית תוך שימת דגש על הגדרות מושגים, משפטים מתמטיים והוכחתם.
הגישה הננקטת להוראת נושא זה כפי שהיא באה לידי ביטוי בתוכנית הלימודים החדשה מתחילה בהוראת המקבילית דרך המלבן (מרובע אותו למדו התלמידים בכיתה ז' והוגדר כמרובע בעל ארבע זויות ישרות), המעוין, הריבוע, הדלתון והטרפז כלומר ההוראה מתבצעת בדרך של "הורדה" של חלק מהתנאים המספיקים שנכללים בהגדרת המרובע, והוספת תנאים הכרחיים למושג.
היחידה מתייחסת להיבטים מתמטיים ודידקטיים הקשורים למבנה המשפט המתמטי והגדרת המושג. היחידה מעודדת:
- הכרות עם גישות שונות (מתמטיות ודידקטיות) להוראת משפחת המרובעים.
- הכרות עם ריבוי ההגדרות ושקילות טענות מתמטיות היכולות לשמש כהגדרות לאותו מושג.
- דיון בהיבטים מתה-מתמטיים הממוקדים בבחירת "ההגדרה הטובה".
- דיון על האופן בו משפיעה בחירת ההגדרה על סדר הוראת המושגים.
- הכרות עם נושא הסימטריה (סימטריה שקופית ומרכזית מהוות חלק מהנושאים הנדרשים במבחן הטימס) והשימוש בסימטריה בהגדרת בנושא המרובעים
שקילות הגדרות ומרובעים מיושגחדים
סדנה 1 - שקילות הגדרות ומרובעים מיוחדים
סדנה 2 - שילוב מושג הסימטריה בתכנית הלימודים
סדנה 3 - פעילות חקר: מאלכסונים למרובעים
סדנה 4 - עצים של מרובעים
בתוכנית הלימודים נכתב כי "על הגיאומטריה להִלמד כחלק מהתרבות האנושית". ברוח זו אנו נתייחס אל ההתפתחות ההסטורית של הגיאומטריה ולמבנה האקסיומטי דדוקטיבי שלה.
מושג השטח הוא מושג בסיסי בלימודי הגיאומטריה השזור לאורך כל תוכנית הלימודים ומקושר לנושאים רבים במתמטיקה כגון הוכחות (למשל, במשפט פתגורס), הנדסה אנליטית, אינטגרלים, הצגה גיאומטרית של בעיות באלגברה (למשל, נוסחאות לכפל מקוצר) ועוד.
מושג השטח מזמן פעילויות רבות בהיבטים חשובים בגיאומטריה כמו מערכת אקסיומטית, יחס שקילות,
הוכחה ויזואלית, הוכחה דדוקטיבית, סימטריה, חפיפה וכו'. בהתאם לזאת, נגזר שמו של אוסף היחידות "שטחים ועוד…" והמבנה שלו כולל מבוא וארבע יחידות:
