גאומטריה
גאומטריה
בתוכנית הלימודים נכתב כי "על הגיאומטריה להִלמד כחלק מהתרבות האנושית". ברוח זו אנו נתייחס אל ההתפתחות ההסטורית של הגיאומטריה ולמבנה האקסיומטי דדוקטיבי שלה.
מושג השטח הוא מושג בסיסי בלימודי הגיאומטריה השזור לאורך כל תוכנית הלימודים ומקושר לנושאים רבים במתמטיקה כגון הוכחות (למשל, במשפט פתגורס), הנדסה אנליטית, אינטגרלים, הצגה גיאומטרית של בעיות באלגברה (למשל, נוסחאות לכפל מקוצר) ועוד.
מושג השטח מזמן פעילויות רבות בהיבטים חשובים בגיאומטריה כמו מערכת אקסיומטית, יחס שקילות,
הוכחה ויזואלית, הוכחה דדוקטיבית, סימטריה, חפיפה וכו'. בהתאם לזאת, נגזר שמו של אוסף היחידות "שטחים ועוד…" והמבנה שלו כולל מבוא וארבע יחידות:
נושא המרובעים הינו אחד הנושאים המרכזיים בתוכנית הלימודים בגיאומטריה לכיתה ט'. בהתאם לתוכנית הלימודים לכיתה ט' נלמד נושא זה בגישה דדוקטיבית תוך שימת דגש על הגדרות מושגים, משפטים מתמטיים והוכחתם.
הגישה הננקטת להוראת נושא זה כפי שהיא באה לידי ביטוי בתוכנית הלימודים החדשה מתחילה בהוראת המקבילית דרך המלבן (מרובע אותו למדו התלמידים בכיתה ז' והוגדר כמרובע בעל ארבע זויות ישרות), המעוין, הריבוע, הדלתון והטרפז כלומר ההוראה מתבצעת בדרך של "הורדה" של חלק מהתנאים המספיקים שנכללים בהגדרת המרובע, והוספת תנאים הכרחיים למושג.
היחידה מתייחסת להיבטים מתמטיים ודידקטיים הקשורים למבנה המשפט המתמטי והגדרת המושג. היחידה מעודדת:
- הכרות עם גישות שונות (מתמטיות ודידקטיות) להוראת משפחת המרובעים.
- הכרות עם ריבוי ההגדרות ושקילות טענות מתמטיות היכולות לשמש כהגדרות לאותו מושג.
- דיון בהיבטים מתה-מתמטיים הממוקדים בבחירת "ההגדרה הטובה".
- דיון על האופן בו משפיעה בחירת ההגדרה על סדר הוראת המושגים.
- הכרות עם נושא הסימטריה (סימטריה שקופית ומרכזית מהוות חלק מהנושאים הנדרשים במבחן הטימס) והשימוש בסימטריה בהגדרת בנושא המרובעים
שקילות הגדרות ומרובעים מיושגחדים
סדנה 1 - שקילות הגדרות ומרובעים מיוחדים
סדנה 2 - שילוב מושג הסימטריה בתכנית הלימודים
סדנה 3 - פעילות חקר: מאלכסונים למרובעים
סדנה 4 - עצים של מרובעים
כיום, בעידן המחשבים, הולכת וגוברת ההכרה בכך שלייצוגים ויזואליים יש פוטנציאל העשוי לתרום לתהליך הלמידה, להעשיר אותו, ולהביא להבנה מעמיקה של מושגים מתמטיים.
עיסוק במצולעים בעלי יותר מ- 4 צלעות, פותח אפשרויות להצגת משולשים ומרובעים כמקרים פרטיים של מצולעים (כלליים) ויכול להוביל להעמקה והרחבה של מושגים ותכונות רבות כמו אלכסונים, זוויות
פנימיות וחיצוניות במצולע, מצולע משוכלל, סכום זוויות במצולע וכדומה. עיסוק במושג "המצולע" מאפשר שילוב של פעולות חקר בשיעורי מתמטיקה, פותח אפשרויות לשאלת שאלות, להעלאת השערות, מוביל
להכללות והוכחות.
רוב המשימות ביחידה יכולות לשמש דוגמה להוראה קדם דדוקטיבית בגיאומטריה.
מטרות היחידה: העמקה במושגי יסוד הקשורים במצולעים בדרך חווייתית, הצגת דוגמה ללמידת מושג מתוך דוגמאות מתאימות, הצגת דוגמה ללימוד בדרכי חקר.
יחידה זאת מעשירה מורים בנושא הנחשב מוכר. הפעילויות בנויות בצורת בעיות חקר דבר המעודד הוראה הדרגתית ומאפשר הוראה לא-פרונטאלית. היחידה ניתנת ברובה ליישום בכתות, היא מתאימה לכל קבוצת גיל ואפשר
לשלב חלקים ממנה ברמות שונות.
סדנה 1- מספר אלכסונים במצולע
סדנה 2 - גזירות וחיתוכים
סדנה 3- מצולעים קעורים
הקניית החשיבה הפרופורציונאלית נחשבת כציון דרך בהתפתחות הקוגניטיבית של התלמיד.
על חשיבותה של החשיבה הפרופורציונאלית בתוכנית הלימודים ניתן ללמוד גם מתוך תוכנית הלימודים עצמה וגם בעקרונות ובסטנדרטים של Commom Core State Standards Initiative (CCSSI), הרואים חשיבות רבה בפיתוח ההבנה והיישום של חשיבה
פרופורציונאלית ויחס בפתרון בעיות מחיי היום יום. ראשית הוראת הנושא כבר בבית הספר היסודי, דרך חטיבת הביניים וזאת כבסיס ללימוד נושאים מתקדמים במתמטיקה הנלמדים בתיכון. חשיבות הנושא באה לידי ביטוי בהקשר לנושאי לימוד נוספים בבית-הספר,
כגון: שברים (על המשמעויות השונות, והשוואתם), מעבר בין יחידות מידה, קנה מידה, בעיות יחס, יחס ישר ויחס הפוך, הסתברות, דמיון משולשים, טריגונומטריה וכו'.
סדנה 1 - מתחילים לחשוב פרופורציה
סדנה 2- סוגי שאלות ואסטרטגיות פתרון
סדנה 3 - על תנאים לדמיון משולשים ומרובעים
יחידה זו עוסקת במקומות גאומטריים ובפרט במעגל. בעיסוק במעגל נתמקד בשני דיונים:
- שקילות ההגדרות של מעגל.
- שינוי מושג המעגל בהתאם להגדרות שונות של מרחק בין נקודות.
סדנה 1 - בניית מקום גאומטרי – מרחקים שווים מנקודות
סדנה 2 - בניית מקום גאומטרי – מרחק שווה מישרים
סדנה 3 - נקודות מיוחדות במשולש ומקומות גאומטריים
סדנה 4 - הגדרות שונות למעגל כמקום גאומטרי
סדנה 6 - תלות המעגל כמקום הגאומטרי בהגדרת המרחק
סדנה 7 - הפיצוח "חפש את המטמון"
גופים תלת מימדיים בתכנית לימודים
ישנה הסכמה שחשיבה מרחבית חשובה ללימוד נושאים מתמטיים מגוונים. אחת המטרות של לימוד גאומטריה הוא פיתוח חשיבה מרחבית.
כבר תכנית הלימודים בבית הספר היסודי במתמטיקה שמה לה למטרה להדגיש את לימוד הגיאומטריה בכלל ואת הכרת הגופים התלת מימדיים בפרט.
בין ההדגשים העיקריים של התכנית יש דגש על פיתוח התפיסה החזותית במישור ובמרחב תוך התמקדות במטרות הבאות:
- פיתוח כשרים גיאומטריים.
- פיתוח יכולת חקירת צורות וגופים גיאומטריים ותכונותיהם.
- עידוד יצירת דימויים חזותיים עשירים של מושגים גיאומטריים.
- פיתוח יכולת הזיהוי של קשרים לוגיים בין העובדות הגיאומטריות.
- טיפוח חקירת הקשר בין הצורות והגופים הנלמדים לבין העצמים והתופעות בסביבת התלמידים.
מטרת היחידה:
יחידה זו עוסקת ביכולות המאפיינות תובנה מרחבית.
דיין ופטקין (על"ה 44, 2011) מחלקים את מכלול הראייה המרחבית לשלושה סוגים:
- יכולת רוטציה שכלית – יכולת למצוא במהירות ובדיוק דגם זהה של צורה הנתונה במרחב;
- יכולת לקבוע יחסים מרחביים ביחס לכיוון של הגוף העצמי, תוך התעלמות ממידע מסיח;
- יכולת לבצע מניפולציות מורכבות ורב שלביות לגבי מידע מורחב.
סדנה 1- יכולת רוטציה שכלית
סדנה 2- יכולת לקבוע יחסים מרחביים ביחס לכיוון של הגוף העצמי, תוך התעלמות ממידע מסיח
סדנה 3 - יכולת לבצע מניפולציות מורכבות ורב שלביות לגבי מידע מורחב
סדנה 4 - הגופים האפלטונים
מהי הוכחה מתמטית?
במצריים העתיקה, כמו גם ביוון, אנשים עסקו בשאלות מעשיות, למשל בחלוקת חלקות אדמה.
לכן הגאומטריה העתיקה עסקה בעיקר במדידות ובאובייקטים כמו משולשים, מרובעים ומעגלים (למשל, לצורך עיצוב של אמפיתאטרונים). אנשים
ציירו את האובייקטים, תיארו אותם במילים והסבירו כיצד האובייקטים יתמקדו במרחב. ציורים, ג'סטות, אנלוגיות, אוטוריטות ולפעמים אף אלימות
עזרו "לשכנע" אחרים שההצעות עונות על הדרישות. לאנשים לא היה צורך בהוכחה פורמלית מעבר לסתם שכנוע.
הוכחה מתמטית היא אמצעי לשכנע חבורת אנשים שטענה מסוימת נכונה במערכת שבה ישנה הסכמה על כללים לוגיים מסוימים. דרך טבעית להוכיח
לחבורת אנשים שטענה כלשהי נכונה היא לייחס אותה לטענות A, B, C… שכבר ידועות כנכונות. מתקבלת שרשרת: A->B->C->…->X.
ללימוד הוכחות לוגיות מתמטיות יש שימוש רב בחיי יום יום.
סדנה 3 - על נקודות ומצולעים חסומים, ועל מרחקים קבועים
סדנה 4 - מצולעים
סדנה 5 - הוכחות ולא רק בגאומטריה
