המבוך של גלטון

תקציר| המבוך של גלטון|متاهة غالتون

בואו נשחק במשחק "המבוך של גלטון", או כפי שהוא מכונה גם מכונת גלטון. 
המשחק מורכב מלוח של מסמרים המסודרים כמשולש ב-7 שורות. זורקים כדור מראש הלוח, הכדור עושה דרכו מלמעלה עד למטה, כך שבכל פעם פוגע במסמר וממשיך את דרכו ימינה או שמאלה באופן אקראי וכך הלאה, עד שהוא מגיע לאחד התאים בתחתית הלוח.

1.א. באפשרותך להמר, ולבחור את התא הזוכה. הפעילו את הסימולציה והפילו כדור. (הנחיות) 
האם הכדור הגיע לתא שבחרת?

הפעילו את הסימולציה 10 פעמים, כמה כדורים פגעו בתא שבחרת?

הפעילו 100 פעמים, כמה כדורים פגעו בתא שבחרת? (ניתן להפיל את הכדורים באופן רציף ולעצור כש-n קרוב ל-100). לאיזה תא נכנסו רוב הכדורים?

שרטטו סקיצה של גרף העמודות ואפיינו את צורתו.

ב. נעם בחר בתא A₂ כמנצח. תארו מסלול אפשרי שבו הכדור נופל ל- A₂.

ג. השלימו לאיזה תא יגיע הכדור אם מסלולו יהיה:  

ד. הפעילו את הסימולציה 500 פעמים, והשלימו את טבלת השכיחויות על פי הניסוי: 

ה. שרטטו סקיצה לגרף העמודות ואפיינו את צורתו.

"זה החוק העליון של חוסר ההגיון. בכל פעם שיש כמות גדולה וכאוטית של נתונים, אתה מצעיד אותם לפי סדר הגודל שלהם ואז מופיעה, באופן מפתיע ויפהפה, צורה של סדר שהייתה סמויה לאורך כל הדרך"  Fransis Galton

2. כיצד נחשב את ההסתברויות השונות של הכדור הנופל בלוח גלטון?

א. נתבונן בלוח גלטון מוקטן , בעל שתי שורות בלבד. ברור שלכדור הנופל יש שתי אפשרויות בלבד בדרכו, שמאלה (L) או ימינה (R). מהי ההסתברות שיגיע לתא השמאלי?

ב. נוסיף שורה ללוח גלטון.

השלימו את תיאור המסלולים לכל תא.

בכמה מסלולים יכול הכדור להגיע לתא האמצעי?

מה מספר המסלולים האפשרי להגיע לכל אחד מהתאים בשורה השנייה?

מה ההסתברות שהכדור יפול לתא האמצעי?  

ג. מתואר עץ המתאים לכדור הנופל בלוח גלטון.

ד. רשמו על העץ, בכל תא את כל המסלולים של הכדור המגיע אליו. (L שמאל, R ימין)

ה. רשמו על העץ, בכל תא את מספר המסלולים האפשריים להגיע אליו.

ו. רשמו על העץ, בכל ענף את ההסתברות להגיע אליו.

3. המבוך של גלטון הוצב בשיפוע. כיצד ישתנה המשחק בו?

כיצד ישתנו ההסתברויות אם הסיכוי של הכדור ליפול ימינה גדול יותר מהסיכוי ליפול שמאלה....

התנסו במשחק בעזרת הסימולציה.

בחרו בלוח של 7 שורות ושנו את P.

א. כיצד ישתנה גרף העמודות? במה הוא שונה מגרף הפעמון שהכרנו קודם?

ב. מה ההסתברות שכדור יפול לתא A2, אם ההסתברות של כדור לפול שמאלה היא 0.6?

ג. מה ההסתברות שכדור יפול לתא A1, אם ההסתברות של כדור לפול שמאלה היא 0.6? ולתא A6? פרטו כיצד חישבתם.

ד. רשמו נוסחה להסתברות שכדור יפול בתא k בלוח גלטון של 7 שורות.

ה. רשמו נוסחה להסתברות שכדור יפול בתא k בלוח גלטון של n שורות.  

סרטונים

שני סרטוני הוראה של התפלגות בינומיאלית בעזרת כדור הנופל בלוח גלטון.

קישורים

לוח גלטון – יחידה אינטראקטיבית המלווה צעד אחר צעד את חישובי הסתברויות של נפילת כדור בלוח גלטון, התרשמות מגרף השכיחויות שבמספרים גדולים מתאר התפגות בינומית, עיסוק במשפט המספרים הגדולים ומשפט הגבול המרכזי.

יחידה מתוקשבת בנושא הסתברות למורים, הכוללת סרטים ויישומים אינטראקטיביים, ובה רקע על מדע ההסתברות, סקירה היסטורית, בחינת המשפט של המספרים הגדולים ומשפט הגבול המרכזי, חקר של משחקי מזל ויישומיהם והרחבה על מודל הסתברותי להבנת פקקי תנועה כמו גם שוק המניות. ביחידה חקר המשחק המבוך של גלטון כהמחשה של הנושאים הללו. מומלץ לצפות בהרצאה המסכמת.

יחידה מס 8: משולש פסקל, מצויינות ויצמן כוללת שתי חידות בשימוש עם מכונת גלטון.

יופיה של המתמטיקה – הסתברות, מצגת מאת גיל קלעי והרצאה מצולמת.

מוצג לא נורמי (או בעצם כן נורמלי)- פוסט מאת "אבא יש רק אחד", תיאור חוויתי במוזיאון המדע בבוסטון בו מוצג לוח גלטון.

יישום דינאמי של לוח גלטון מאת PHET

יישום דינאמי ללוח גלטון מאת math is fun.  

משולש פסקל בויקיפדיה

תקציר| מעגלים מתגלגלים| دوائر متدحرجة

1. דו-אופן ותלת אופן

שני מעגלים מתגלגלים בתוך מעגל גדול, משיקים כל העת זה לזה ולמעגל החוסם אותם. שני המעגלים הקטנים יותר, מרכזיהם B ו-C משיקים זה לזה חסומים בתוך מעגל גדול יותר שמרכזו A.

סובבו ביישומון את הנקודה B וחקרו את המעגלים המתגלגלים. 

א. האם וכיצד משתנה היקף המשולש ABC ? נמקו.

ב. מה היחס בין היקף המשולש לקוטר המעגל הגדול?

ג. אם נשנה את גודל המעגלים, כיצד ישתנה היקף המשולש ABC ? הסבירו.

ד. הוסיפו לשני המעגלים המתגלגלים מעגל נוסף שמרכזו בנקודה D. אם נשנה את גודל המעגלים כיצד ישתנה היקף המרובע ABCD? התנסו ביישומון.

2. המשולש המתגלגל

המשולש ABC חסום בין הקירות המאונכים והכדור המשיק לקירות.

חקרו ביישום הדינאמי כיצד משתנה היקף המשולש? למה הוא שווה?

3. כובע ליצן

כובע הליצן בנוי ממשולש שווה צלעות, בתוכו חסום עיגול קטן שרדיוסו 10 סנטימטר וחצי עיגול המשיק לעיגול הקטן ולצלעות המשולש.

א. מצאו מהו רדיוס חצי העיגול הגדול.

ב. מהו אורך צלע המשולש?

4. פרחים

סביב מרכז הפרח העגול מסודרים עלי הכותרת העגולים השווים בגודלם.

א. לפניכם שלושה פרחים: הפרח המשולש, הפרח המרובע, הפרח המשושה.

חשבו בכל פרח את היחס בין הרדיוס של המעגל הפנימי לבין רדיוס המעגל החיצוני.

העזרו ביישומון 

ב. למתקדמים (דרוש ידע בטריגונומטריה).

לפניכם פרח עם 12 עלי כותרת. חשבו את היחס בין הרדיוס של המעגל הפנימי לבין רדיוס המעגל החיצוני.

ג. חשבו את היחס בין הרדיוס של המעגל הפנימי לבין רדיוס המעגל החיצוני בפרח בו n עלי כותרת.

הידעתם מה זה סנגקו (sangaku)?

במאה ה-17-19 שלטו השוגונים ביפן. היפנים חיו בניתוק מהמערב ולא נחשפו להתפתחויות המדעיות המערביות, אך התפתחה ופרחה מתמטיקה מקומית. מנהג עתיק היה לתלות תחת גגות של מקדשים וקברים, לוחות עץ צבעוניים עליהם צוירו בעיות גיאומטריות יפהפיות. לוחות אלו נקראו סנגקו, נתלו כאות הערכה ותודה לקדושים והזמינו את באי המקדש להתפלל וגם לפתור את החידות! לרוב בעיות ה sangaku יש סגנון מיוחד. הן מרבות לעסוק במעגלים, ריבועים, אליפסות, וכדורים במרחב, הנוגעים זה בזה. קראו עוד.

קישורים נוספים

פיצויחם בנושא מעגלים:

יישומים דינאמיים - משפטים ובעיות בנושא פאי, המעגל, בעיות עם מעגל

אוצרות פיתגורס – פיצוח ובו בעיות עם מעגלים משיקים ופתרונן בעזרת משפט פיתגורס.

חידת סנגקו בגאוגברה, וידאו המסביר כיצד לבנות בגאוגברה בתוך מעגל שלושה מעגלים משיקים זה לזה ומשיקים למעגל הגדול החוסם אותם.

בעיה הלקוחה מגיאומטריית המקדשים היפנית - אליהו לוי, הטכניון.

Japanese tample geometry -
,Tony Rothman , Scientific American May 1998 - מאמר המתאר את מסורת הסנגוקו, חידות גיאומטריות יפניות עם מעגלים וכדורים ואת פתרונן.

פלקסגון – קיפול ניר צבעוני עם חידות סנגוקו

התנהגות מתמטית בעלת גוון של שימור - שלמה חריר, משה סטופל, על"ה 35.

שרשרת שטיינר

 תקציר| מה לעז ולגיאומטריה?| ما للعنزة والهندسة؟

1. במרכז שדה ריבועי 5x5 מ"ר, קשורה בחבל עז רעבתנית, האוכלת כל עשב הנקרה בדרכה.

א. מה צריך להיות אורך החבל כך שתאכל רק חצי מהשדה? מהי צורת השטח שתאכל העז? 
התנסו ביישומון 

ב. מהו אורך החבל הגדול ביותר שניתן לקשור בשדה זה? איזה חלק של השדה תאכל אז העז?

2. בתוך שדה רחב נמצא שטח מרוצף ריבועי שאורך צלעו 2 מטר. אל קצות השטח קשורה עז בלולאה בחבל באורך 1 מטר. 
העז מסתובבת סביב השטח המגודר ואוכלת את כל העשב אליו היא מגיעה.

התנסו ביישומון,

הזיזו את הלולאה של החבל סביב, וענו:

א. מהי צורת השטח שתאכל העז? חשבו את השטח של העשב הנאכל. הסבירו.
ב. בשדה אחר העז הרעבתנית נקשרה לשטח בצורת מחומש משוכלל שאורך צלעו 2 מטרים. מהי צורת השטח שתאכל העז הפעם? חשבו את השטח של העשב הנאכל. הסבירו. 
ג. כיצד ישתנה השטח שתאכל העז אם השטח יהיה בצורת משושה משוכלל שאורך צלעו 2 מטרים? משולש שווה צלעות? 
ד. הכלילו מהי צורת השטח שתאכל העז סביב שטח בצורת מצולע משוכלל בעל n צלעות? הביעו את שטחו בעזרת n.

3. במרכז שדה נמצא שטח מגודר מלבני ומרוצף בגודל 4x6 מ"ר. עז רעבתנית קשורה האחת הנקודות על הצלע CD. 
נסו לשער בכל אחד מהמקרים הבאים את צורת השטח שתאכל העז ואת שטחה. 
בדקו ביישומון.

א. העז קשורה אל הקודקוד C בחבל שאורכו 3 מטרים, 4 מטרים, 5 מטרים, 10 מטרים. 
ב. העז קשורה אל אמצע הצלע CD בחבל שאורכו 3 מטרים, 4 מטרים, 5 מטרים, 10 מטרים. 
ג. היכן לדעתכם נקשרה העז, אם צורת השדה שהתקבלה כבאיור הבא. 
ד. אורך החבל 10 מטרים, היכן יש לקשור את העז על הצלע CD, כך שיתקבל שטח מקסימלי?

תקציר| דמיון ברחבי העולם| פתרונות| בערבית 

1. הפירמידה במצריים

הפירמידה הגדולה בגיזה שבמצריים, הידועה גם בשם הפירמידה של ח'ופו , הפרעה שבנה אותה, היא אחת משבעת פלאי תבל. רבים ניסו בעת העתיקה לאמוד את גובהה ללא הצלחה, אך תאלס (600 לפנה"ס)  חישב את גובהה של הפירמידה באמצעים פשוטים ובעזרת הידע המתמטי שלו.

 נשכב על החול ביום שמש ליד הפירמידה ובקש שיסמנו בחול את גובהו. לאחר שסמנו את גובהו בחול הוא נעמד בתחילת הסימון כך שגופו יצר צל לאורך הסימון על החול ומעבר לסימון.  באותו זמן יצרה הפירמידה אותה ביקש למדוד צל משלה.

תאלס אמר לנלווים אליו:
"כאשר צילי יגיע לגובהי המסומן, מדדו את צל הפירמידה."

הם מדדו ומצאו שאורך צל הפירמידה 145 מ'. מה גובה הפירמידה? 
הסבירו את שיטת מדידתו של תאלס. 

2. בעית המיתרים של בסקרה – הודו

בין שני עמודים בגובה 15 מטר ו-10 מטר,נמתחו מיתרים באלכסון. בנקודת המפגש בין המיתרים הוצב עמוד תומך. 
לא ידוע המרחק בין העמודים.

ג. אם ידוע שגובה שני העמודים a ו-b. הביעו באמצעות a ו-b את גובה העמוד התומך.  

3. התעלה בסאמוס (יוון)

הבעיה שהתמודד איתה אופלינוס היה לקבוע את הכוון של כל צוות חפירה. לשם כך ערך סיור רגלי מסביב לאי בין המעין שבהר עד לעיר הנמל בקצה השני, כשהוא הולך בקווים ישרים ואנכים זה לזה. הוא מדד את אורכי קטעי המסלול שלו, וכך הצליח לדמיין משולש ישר זווית עם הזווית המבוקשת.

א.   מה מתאר סכום הניצבים האנכיים?

ב.   כיצד ניתן למדוד את הניצב האופקי של המשולש?

ג. התבוננו בסרטון "כמו מים בסאמוס" והסבירו את שיטת יאופלינוס. 

ד. כיצד קבעו היוונים זווית ישרה?
      יש הסוברים שהשתמשו בשני מקלות באורכים שווים וסימון האמצע של כל אחד מהם.
      הסבירו כיצד עובדת השיטה?

הרחבה:
השיטה המצרית למשולש ישר זווית: משולש מצרי (בעיה 4 בפיצוח קיפולי נייר גיאומטריים)

4. דמיון בסין

ראשית נכיר את עקרון "משני הצדדים". 

א. הנקודה E היא נקודה כלשהי על אלכסון המלבן ABCD. מעבירים מהנקודה E קטעים המקבילים לצלעות המלבן.
מה הקשר בין שטחי שני המלבנים שנוצרו (DHEG  ו- FEIB )? 
הזיזו את הנקודה E ביישומון, בדקו והוכיחו השערתכם.

ב. הראו כי המשולשים  ΔAFE~ΔEIC

ג. השתמשו בעקרון "משני הצדדים" (שוויון השטחים) בכדי לחשב את היחס a/b באמצעות h₁ ו-h₂.

ד. פתחו את עקרון "משני הצדדים" גם עבור מקבילית. 
    הראו כי המשולשים ΔAFE~ΔEIC דומים, וחשבו את היחס a/b באמצעות h₁ ו-h₂.
    נסחו משפט לגבי יחס הגבהים במשולשים דומים.

תוכלו להיעזר ביישומון. 

5. להשקיף על אי בים – סין

כיצד נמדוד את גובהו של צוק הררי בלב ים ?
ליו הואי פיתח שיטה הנקראת "הפרש כפול" למדידת עצם רחוק מבלי להגיע אליו, בעזרת עקרון "הפנים חוץ".

"העמדתי שני מוטות באורך 3 מטרים במרחק של 1000 צעדים זה מזה, כך שיהיו בקו ישר עם האי. הלכתי אחורה 123 צעדים מהמוט הראשון עד שראיתי את קצה המוט וקצה הסלע בקו אחד. כך גם צעדתי 127 צעדים מהמוט השני. כך הצלחתי למדוד את הגובה של הסלע באי ומרחקו מהמוט. "

התוכלו גם אתם למדוד את גובה הסלע?

א.  השלימו את משולש AHI למקבילית. העבירו מהנקודה G שעל אלכסון המקבילית, מקבילים לצלעות. סמנו את המשולשים הדומים שהתקבלו.

ב.  חשבו את אורכי צלעות המשולשים בעזרת הפרשי האורכים הנתונים. היעזרו ביישומון

ג.  חשבו בעזרת עקרון "משני הצדדים" את גובה הסלע AB.

ד.  הכלילו את השיטה.

מקורות נוספים:

• "תעלת יאופאלינוס, כמו מים לסאמוס", סרט באורך 2:30 דקות מתוך הסדרה  "מה ידעו הקדמונים", סרטים קצרים העוסקים בהנדסה המופלאה של העת העתיקה.
• ההנדסה של האימפריה, סרט של ערוץ ההיסטוריה על בניית תעלת סאמוס. (בערך 7 דקות)
• Proportionality in Similar Triangles: A Cross-Cultural Comparison - The Ancient Chinese Contribution, Jerry Lodder, MMA

פיצוחים בנושא דמיון: 

• פרויקט עולמי למדידת היקף כדור הארץ
• ממוצעי פיתגורס ועוד
• על כנפי הדמיון
• אני דומה לעצמי

 תקציר| הפסיכולוגיה של המבצעים |الحملة المربحة 

מן העיתונות : הפסיכולוגיה של מבצעי הנחות

בכדי לעודד מכירות, ולפתות לקוחות לקנות מוצר מסוים, סוחרים יוצאים במבצע ומציעים אותו במחיר מוזל. אך למעשה הם מפסידים מכך. כך עולה ממחקר חדש שפורסם בכתב עת של שיווק (Journal of Marketing).

חוקרים , מאוניברסיטת מינסוטה בדקו את עמדות הצרכנים כלפי מדיניות הנחות. הם מצאו, שקונים מעדיפים לקבל תוספת חינם מאשר לקבל משהו זול יותר. הסיבה העיקרית לכך שרוב האנשים מתקשים בהבנת שברים ואחוזים. צרכנים מתקשים לעתים קרובות להבין , למשל, כי הגדלת הכמות ב- 50% שווה בערכה להנחה של 33% במחיר. הנחקרים העדיפו באופן גורף הגדלת הכמות על הוזלה במחיר. בניסוי, החוקרים מכרו 73% יותר קרם ידיים כשזה הוצע בחבילת בונוס מאשר כאשר הוצע במבצע הוזלה שווה ערך (גם לאחר שניטרלו השפעות אחרות, כגון הרצון לאגור) . תפיסה שגויה זו נשארה בעינה גם כשהמוצר היה בהנחה משמעותית. בניסוי אחר, הציעו שתי עסקות על מכירת פולי קפה : 33% כמות נוספת חינם או 33% הנחה על המחיר. הצעת ההנחה כדאית הרבה יותר, אך הקונים ראו את שתי ההצעות כשוות ערך.

מחקרים אף הראו דרכים אחרות שבהן סוחרים עלולים לנצל את חרדת המספרים של הצרכנים. אחת הוא לבלבל עם מבצעי הנחה כפולים. אנשים נוטים להעדיף מוצר שהופחת ב -20% , ולאחר מכן על ידי הנחה נוספת של 25% , יותר מאחד שהיה נתונה לשווה ערך, חד פעמי , הנחה של 40%.

1. קופסת דגנים של 500 גרם עולה 25 ש"ח.

המבצע הענק: קופסת הדגנים הוגדלה ב- 50% והמחיר נשאר 25 ש"ח.

המבצע החם: מחיר קופסת הדגנים הוזל ב- 50%.

 איזה מבצע כדאי יותר לדעתך?

       א. חשבו מה מחיר הדגנים ל-100 גרם.

       ב. מה מחיר הדגנים ל-100 גרם במבצע הענק. (לאחר הגדלת הכמות) ?

       ג. מהו אחוז ההנחה במבצע הענק של הגדלת הכמות ב- 50% ?

       ד. מה מחיר קופסת הדגנים לאחר ההוזלה במבצע החם ?
       מה מחיר הדגנים ל-100 גרם במבצע החם לאחר ההנחה?

       ה. לאחר חישוביך – קבעו מהו המבצע המשתלם ונמקו.

        ו. הציעו דרכים נוספות לפתרון.

2. קופסת מיץ תפוזים של  250 מ"ל עולה 5 ₪.

המבצע הענק: קופסת המיץ הוגדלה ב- 40% והמחיר נשאר 5 ש"ח.

המבצע החם: מחיר מיץ התפוזים הוזל ב- 25%.

איזה מבצע כדאי יותר לדעתך?

      א. חשבו מה מחיר מיץ התפוזים לכל יחידת מ"ל בכל אחד מהמבצעים.

      ב. מהו אחוז ההנחה במבצע הענק של הגדלת הכמות ב- 40% ?

      ג. לאחר חישוביך – קבעו מהו המבצע המשתלם ונמקו.

3. חפיסת שוקולד של 100 גרם עולה 10 ש"ח.

המבצע הענק: חפיסת השוקולד הוגדלה ב- 50% והמחיר נשאר 10 ש"ח.

התבקשת ממנהל החנות לתכנן את המבצע כך שמחיר ההנחה במבצע הענק של הגדלת הכמות ב- 50% יהיה שווה ערך למחיר השוקולד במבצע החם. 
באיזה אחוז יש להוזיל את חפיסת השוקולד?

4. חבילת עודיות של 200 גרם עולה 10 ש"ח.

מבצע פיצוץ: חבילת העוגיות הוזלה ב- 10%, ויום לאחר מכן הוזלה שוב ב- 30%.

מבצע חגיגה: חבילת העוגיות הוזלה ב- 40%.

איזה מבצע כדאי יותר לדעתך?

 חשבו את מחיר חבילת העוגיות בכל אחד מהמבצעים.
לאחר חישוביך – קבעו מהו המבצע המשתלם ונמקו.

עובד ע"פ MatheMatics teacher | Vol. 107, No. 4 • November 2013

מקורות נוספים:

משימות אוריינות בנושא אחוזים

מבצעים חמים – אחוזים- יחידת לימוד בעריכת יעקב לדור, סמינר אורנים