תקציר| ממוצעי פיתגורס ועוד| פתרון| حلول

האגדה מספרת שפיתגורס, המתמטיקאי היווני הנודע מימי יוון הקדומה ( 500 לפנה"ס), עבר פעם ליד חרש ברזל והתאהב בצלילי דפיקות הפטיש שהיו נעימים לאוזנו. הוא בדק ומצא, כי משקלי הפטישים היו 6, 8, 9, ו-12 ק"ג. היחסים בין משקלי הפטישים הפיקו צלילים הרמוניים.

 מה מיוחד כל כך במספרים אלה? שאל.

הוא מצא כי הממוצע החשבוני בין 6 ל-12 הוא   

ואילו הממוצע ההרמוני בין 6 ל-12 הוא   

פיתגורס בדק גם כלי פריטה וגילה שקיים קשר מתמטי בין אורך המיתר, שעליו פורטים, ובין גובה הצליל: כשמתקיים יחס מסוים בין אורכי המיתרים, נוצרת הרמוניה בין הצלילים. כך הפך פיתגורס לראשון שהראה כי יש קשר הדוק בין מדע מדויק לבין מוסיקה.

1. מהירות ממוצעת

א. לטיול השנתי נסענו באוטובוס בכביש המהיר. בשל עומס כבד בתנועה נסע האוטובוס לאיטו במהירות של 40 קמ"ש חצי מהדרך. ובחצי השני של הדרך הצליח להגביר את מהירותו ל-80 קמ"ש. האם מהירותו הממוצעת בדרך כולה הייתה 60 קמ"ש? יותר, או פחות?

ב. באיזו מהירות היה צריך האוטובוס לנסוע בחצי הדרך השנייה בכדי שמהירותו הממוצעת תהיה 80 קמ"ש?

ג. מכונית עברה דרך של 40 ק"מ במהירות ממוצעת של 40 קמ"ש. מה צריכה להיות מהירותה הממוצעת ב-40 הק"מ הבאים כדי שמהירותה הממוצעת לאורך כל 80 הק"מ תהיה 80 קמ"ש?

2. ממוצעים בין מלבן וריבוע

נתון מלבן שמידותיו x ו-y. נשאל את עצמנו שאלות אחדות:

א. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע שהיקפו ישווה להיקף המלבן?

ב. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע ששטחו ישווה לשטח המלבן?

ג. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע שאלכסונו ישווה לאלכסון המלבן?

ד. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע שהיחס בין שטחו להיקפו ישווה ליחס בין שטח והיקף המלבן?

הידעתם?

כאשר חוקרים את תפקודם הביולוגי של גופים חיים יש חשיבות עיקרית לא לנפח הגוף בפני עצמו, או לשטח חיצוני של הגוף בפני עצמו, אלא ליחס שבין הנפח לשטח הגוף. באותה מידה בצורות שטוחות יש חשיבות ליחס שבין שטח הצורה להיקפה. למשל, מדינה שקו הגבול שלה ארוך מאוד ביחס לשטחה יש לה בעיות ביטחוניות מסובכות. באיזה ממוצע כדאי להשתמש?

3. מי גדול יותר?

נכיר ארבעה ממוצעים בין שני מספרים a ו- b הנפוצים ביותר. 
שלושת הראשונים נקראים ממוצעי פיתגורס.

א. חשבו את ארבעת הממוצעים השונים בין המספרים 4 ו-12 ובין 9 ו-16. 
סדרו את הממוצעים על פי גודלם. 
בדקו ביישום הדינאמי.

ב. הסבירו על פי האיור הבא מדוע הממוצע החשבוני גדול מן הממוצע הגיאומטרי.

ג. הסבירו על פי היישום הדינאמי מדוע האורכים A, G ו-H הם שלושת ממוצעי פיתגורס של האורכים a ו-b. 
מי גדול ממי?

ד. הוכיחו כי: 

ה. הוכיחו באיור כי: 

ו. סדרו את ארבעת הממוצעים על פי גודלם.

4. ארבעה ממוצעים בטרפז

הוכיחו כי:

1. קטע אמצעים בטרפז שווה לממוצע החשבוני של בסיסי הטרפז.

2. קטע מקביל לבסיסי הטרפז המחלק לשני טרפזים דומים שווה לממוצע הגיאומטרי של בסיסי הטרפז.

3. קטע מקביל בטרפז העובר דרך מפגש אלכסוניו שווה לממוצע ההרמוני של בסיסי הטרפז.

4. קטע מקביל לבסיסי הטרפז המחלק לשני טרפזים שווי שטח, שווה לממוצע הריבועי של בסיסי הטרפז.

מקורות והרחבה: 

שלושת הממוצעים – פרופ' אביטל - גליונות לחשבון מס 7

על ממוצעים שונים – פרופ' אביטל – גליונות לחשבון מס 62

ממוצעים ומוסיקה – מייקל נ. פריד – על"ה 30, 2003

שבעה ממוצעים שונים בטרפז – נתן ויזדום - אוניברסיטת ג'ורג'יה

הוכחות ויזואליות ללא מילים (כמעט) - אורית זסלבסקי, גרייסי ויניצקי.  

תקציר| מרובע שכזה| פתרון|  شكل شكل رباعي كهذا

קפלו דף מלבני לאורכו ולרוחבו כך שיתקבלו בפתיחת הדף ארבעה מלבנים חופפים (ראו איור) כעת סמנו על כל קטע מארבעת הקטעים שהתקבלו (הקיפולים) נקודה כלשהי, וחברו את הנקודות כך שיתקבל מרובע.

המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי, Created with GeoGebra

1. חשבו ובדקו. תוכלו לנסות מצבים שונים ביישום הדינאמי.

א. אילו מרובעים ניתן לקבל? 

ב. אילו מרובעים לא ניתן לקבל? 

ג. האם ניתן ליצור מרובע קעור?

ד. האם אלכסוני המרובע שהתקבל תמיד יהוו קווי סימטריה?

ה. מה נקבל אם כל הנקודות יהיו באותו מרחק מהנקודה המרכזית (M)?

ו. מה נקבל אם רק זוג אחד של נקודות ימצא במרחק שווה מהנקודה המרכזית? האם יש יותר מאפשרות אחת? 

2. נמצא את שטח המרובע שאלכסוניו מאונכים בעזרת קיפולי נייר.  

גזרו את אחד המרובעים שיצרתם אשר אלכסוניו מאונכים.

א. קפלו שני קודקודים נגדיים אל נקודת המפגש של האלכסונים.

ב. קפלו את שני הקודקודים האחרים אל נקודת מפגש האלכסונים כך שתתקבל מעין מעטפה.

ג. איזה מרובע התקבל? נמקו.
כיצד ניתן לקבל ריבוע?

ד. מה הקשר בין צלעותיו לאלכסוני המרובע המקורי? הסבירו.

ה. איזה חלק מהווה המרובע שהתקבל משטח המרובע המקורי? כיצד מצאתם?

ו. אם ידוע כי אורכי האלכסונים של המרובע הם 6 ו-8 ס"מ. מה שטח המרובעים?
   בדקו ביישום הדינאמי.
   אם נסמן את אורכי האלכסונים של המרובע ב-x ו-y ס"מ. הביעו את שטח המרובעים.

מקורות 

1. המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך היסודי, מעובד מתוך הרצאה של ג'וני אוברמן. 
2. "אקפלה" – ספר מאת גיא פז, קיפולי נייר ומתמטיקה.

המשך: איזהו המעוין החסום במלבן

תקציר |מרובע שכזה| פתרון|  شكل شكل رباعي كهذا

במלבן ABCD חסום מרובע APCQ.

1. הזיזו את נקודות Q ו-P ביישום הדינאמי ומצאו את מיקומן כך שהמרובע APCQ יהיה:

א. מקבילית. כמה מקביליות יתכנו?

ב. מעוין. כמה מעוינים יתכנו?

ג. רשמו מהו התנאי לכך שהמרובע יהיה מקבילית? שיהיה מעוין?

המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי, Created with GeoGebra

2. ברשותכם מלבן שמידותיו 3x6 סמ"ר.

א. חשבו את אורך צלע המעוין החסום במלבן. (רמז – זוכרים את משפט פיתגורס?)

ב. חשבו מהו היחס בין שטח המעוין לשטח המלבן.

ג. שנו ביישום הדינאמי את גובה המלבן (גררו את הנקודה C). האם עדיין המרובע החסום הוא מעוין? האם השתנה יחס השטחים? הסבירו.

3. ברשותכם נייר מדפסת A4 (אשר יחס צלעות המלבן שלו הן )

א. חשבו את אורך צלע המעוין החסום במלבן.

ב. חשבו את היחס בין שטח המעוין לשטח המלבן.

ג. לפניך נייר בגודל A4.

הסתמכו על תכונות המעוין והראו כיצד ניתן לקפלו כך שיהיה חסום בתוכו מעוין.

4. ברשותכם מלבן שמידותיו axb סמ"ר.

א. הביעו בעזרת a ו-b את אורך צלע המעוין החסום במלבן.

ב. הביעו בעזרת a ו-b את היחס בין שטח המעוין לשטח המלבן.

ג. הראו בדרך אלגברית ובדרך גיאומטרית כי קיים מעוין אחד בלבד החסום במלבן.

הקודם: מרובע שכזה - שאלכסוניו מאונכים

תקציר| פרבולות בתנועה| פתרונות

א. צפו בפרבולה המתנועעת בכל אחד מהסרטונים. 
מצאו מהי התבנית האלגברית, עם פרמטר אחד בלבד, שיוצרת את תנועת הפרבולה. שימו לב באיזה ייצוג של הפונקציה הריבועית כדאי להשתמש.

1. הפרבולה מטפסת על מגדל

2. הפרבולה בים

3. לטפס על קשת בענן (ישר)

1.

4. שתי פרבולות בתנועה זו אל זו

5. הפרבולה מתגלגלת על הקשת (פרבולה)

ב. צפו בריקוד הפרבולות בסרטון הבא:

מצאו מהי התבנית האלגברית של כל אחת מארבע הפרבולות, עם פרמטר אחד בלבד, שיוצרות את תנועתן. 
שימו לב באיזה ייצוג של הפונקציה הריבועית כדאי להשתמש.

ג. צפו במסלול קודקוד הפרבולה .

תארו מהו מסלול קודקוד הפרבולה כאשר משנים את הפרמטר b בתבנית. 
נמקו והוכיחו את השערתכם. 

ועוד פונקציות בתנועה:

כיתה רוקדת את ריקוד הפרבולות – צעדי הריקוד הם פונקציות! מאת איתן לירון.

ריקוד הפונקציות – מצגת מלווה במוסיקה בה צעדי ריקוד של פונקציות, מקור TES , רשת מורים אנגלית.

Angry birds - יישום המבוסס על המשחק הפופולרי. על התלמיד להתאים את הפונקציה הריבועית המתאימה למסלול.

המזרקה – יש להתאים פונקציה ריבועית לתמונה נתונה של פרבולות (כמזרקה), על ידי שינוי הפרמטרים בהצגה הקודקודית.  

לדמיין את המספרים המדומים

תקציר | לדמיין את המספרים המדומים |פתרון  | لنتخيّل الأعداد الخياليّة

בפעילות זו נחפש את הקשר בין השורשים המרוכבים של משוואה ריבועית לגרף הפרבולה שלה. היעזרו ביישום הדינאמי.

א. נתונה הפונקציה: 

1. מהם הפתרונות של המשוואה: ?
2. מהו קדקוד הפרבולה? מהו ציר הסימטריה?
3. תארו את מיקום השורשים הממשיים ביחס לציר הסימטריה והקדקוד.

ב.נתונה הפונקציה: .

1. מהם הפתרונות של המשוואה: ? כמה פתרונות ממשיים שונים? 
2. תארו את מיקום השורשים הממשיים ביחס לציר הסימטריה והקדקוד.

ג. נתונה הפונקציה: .

1. מהם הפתרונות הממשיים של המשוואה ? 
2. מהו ציר הסימטריה של הפרבולה? 
3. מצאו את השורשים המרוכבים של המשוואה.
4. תארו את מיקומם של השורשים המורכבים ביחס לציר הסימטריה והקדקוד.

ידוע לנו כי למשוואה ריבועית זו, אשר הפרבולה שלה "מרחפת", שני שורשים מרוכבים. אך השאלה היכן הם? ומדוע לא נוכל לראות אותם על הגרף? באופן מפתיע, אנו נמצא דרך פשוטה לאתר את השורשים בעזרת גרף הפרבולה וגרף נוסף שנקרא לו "האחות של הפרבולה". נזכור כי במישור המרוכב, ציר ה-x מייצג את החלק הממשי של המספר וציר ה-y מייצג את החלק המדומה.

ד. נתונה משפחת הפונקציות: .

1. הציגו ביישומון את שורשי המשוואה . מה ניתן לומר על שני השורשים המרוכבים ועל מיקומם ביחס לציר הסימטריה? 
2. שנו את הערך k ובדקו כיצד משתנים שורשי המשוואה. הביעו בעזרת k את שורשי המשוואה .
3.  שנו את הערך p ובדקו כיצד משתנים שורשי המשוואה. הביעו בעזרת p את שורשי המשוואה . 
4. הביעו בעזרת k ו-p את שורשי המשוואה . הוכיחו אלגברית.
5. הביעו בעזרת k ו-p את שורשי המשוואה . הוכיחו אלגברית.

ה. ניצור את גרף "האחות של הפרבולה" בעזרתו נאתר את מיקום השורשים המרוכבים.

שקפו את הפרבולה ביחס לישר y=4 וקבלו את גרף "האחות של הפרבולה". תארו את הגרף שלה ותנו ביטוי אלגברי למשוואתה.

ו. ניתן לומר על ארבעת השורשים של שתי הפרבולות האחיות?

ז. הסבירו את התהליך של מציאת השורשים המרוכבים ביחס לגרף הפרבולה, וחזרו על התהליך עבור המשוואה : .

ח. הביעו את שורשי המשוואה ואת שורשי משוואת הפרבולה האחות, בעזרת a,k,p. הוכיחו באופן אלגברי את הקשר בין השורשים.

מימדים – פרק 5 – מספרים מרוכבים

סרטון מרהיב, החמישי בסידרה "מימדים", בו מציג בפנינו המתמטיקאי הצרפתי אדריאן דואדי את הצד הגיאומטרי של המספרים המרוכבים, וכיצד ניתן לראות את המישור הממשי כישר מרוכב.

קישורים נוספים בנושא מספרים מרוכבים

• הצעת פתיחה לנושא מספרים מרוכבים – גילה רון. הצגה יצירתית וקצת אחרת של המספרים המרוכבים.
• בסיס אינטואיטיבי למשפט היסודי של האלגברה - מובשוביץ-הדר, זסלבסקי ושמוקלר, על"ה 16.
• בשביל מה אנחנו לומדים על מספרים מרוכבים ומה עושים עם זה? שלמה יונה
• מספרים מרוכבים - חוברת עזר בנושא מספרים מרוכבים שנכתבה על ידי שלמה מלמן
• כיצד נולדו המספרים? מצגת הסוקרת את ההתפתחות ההיסטורית המספרים עד להופעת המרוכבים.

יישומונים

• השורשים מסדר n
• פעולות שונות במספרים מכוונים בייצוג הגרפי –cut the knot
• Location of Complex Roots of a Real Quadratic – יישום של wolfram המציג את שורשי המשוואה הריבועית בתלת מימד.

סרטונים

• מורה פרטי 5 יח': מספרים מרוכבים א' – שיעור VOD מאת הטלוויזיה החינוכית
• מימדים – פרק 5 – מספרים מרוכבים
• המשוואה של בטמן - Batman Equation - Numberphile