תקציר| תרגיל חשיבה גיאומטרי

כתב: פרופ' עמוס ארליך

החללית שלנו נחתה על כוכב-לכת מרוחק ולהפתעתנו נוכחנו שנחתנו במגרש משחקים של בית ספר. נכנסנו לכתה ונוכחנו שהם מדברים עברית ונמצאים בתחילת לימוד הגיאומטריה, אך נראה שהנחות היסוד שלהם (האכסיומות) שונות מן המקובל אצלנו.

על הלוח שלהם כתוב:

"הנחת יסוד ב: סכום הזויות בכל מרובע הוא 360⁰"

 המורה מבקש מן התלמידים להוכיח שסכום הזויות במשולש הוא 180⁰.  

תלמיד א: נצרף למשולש שלנו משולש נוסף, צירוף הזויות של שני המשולשים נותן זויות של מרובע לכן סכומן 360⁰, לכן לכל משולש 180⁰.

תלמיד ב: ההוכחה אינה טובה. מה מבטיח לנו ש- 360 המעלות מתחלקות בשווה בין שני המשולשים? 
אך נוכל להיעזר בהנחת יסוד א שלנו, האומרת שניתן להעתיק משולש ממקום למקום, לסובב אותו ולהפוך אותו, בלי שהדבר ישנה את צלעותיו וזויותיו. אם לתפקיד המשולש הנוסף ניקח עותק של המשולש הנתון נהפוך אותו ונשים אותו כבציור שמימין, אז ההוכחה תהיה בסדר.

תלמיד א: לא צריך את זה. כמו שהִנחנו שלכל המרובעים אותו סכום זויות כך נוכל להניח גם שלכל המשולשים אותו סכום זויות. 

תלמיד ג: יש לי משהו יותר פשוט. נהפוך את המשולש למרובע על-ידי הוספת קדקוד על אחת הצלעות. בקדקוד זה 180^o לכן בשאר הקדקודים יחד יש 180^o .

המורה: הנה באו אורחים מכדור הארץ. שלום אורחים יקרים. 
התוכלו לומר לנו מי צודק ומי לא?

תקציר| פירמידות המספרים

פירמידת המספרים הסודית

א. לפניכם פירמידה בה הוכנסו בשורה הראשונה המספרים: 2, 1, 4, 6
מהו הסוד של הפירמידה?
מצאו כיצד נקבעו המספרים בשאר השורות של הפירמידה.

ב. חזרו על פעולת המילוי של הפירמידה מספר פעמים כאשר אותם המספרים: 2, 1, 4 ו- 6 בתחתיתה אבל בסדר שונה. 
כמה פירמידות שונות ניתן לקבל? 

ג. מה צריך להיות סדר המספרים בשורה התחתונה כך שבפסגה יתקבל מספר הגדול ביותר? הקטן ביותר? נסו להסביר למה בסדר זה או אחר מתקבל בפסגה מספר גדול ביותר או קטן ביותר.

ד. קחו רביעיה אחרת של מספרים שלמים (חיוביים ושליליים) וחזרו על מילוי הפירמידה. נסו לקבוע בצורה כללית מה צריך להיות הסדר בין ארבעת המספרים שבתחתית הפירמידה על מנת שבפסגתה יתקבל מספר הגדול ביותר.

ה. לפירמידה הבאה הוכנסו לשורה הראשונה המספרים: -5, 2, 3, 4. באיזה סדר הוכנסו המספרים כך שבפיסגה יתקבל המספר אפס?

ו. לפירמידה הבאה הוכנסו בשורה הראשונה המספרים: 2 ו-15 ועוד שני מספרים כלשהם. בראש הפירמידה התקבל המספר 48. מצאו את הקשר בין x ו-y . כמה פירמידות ניתן לקבל?

מקור: http://nrich.maths.org

פירמידת המספרים העוקבים

רשמו מספר שלם כלשהו בפינה השמאלית של השורה התחתונה של הפירמידה.

המשיכו לרשום מספרים עוקבים בשלושת המקומות הנותרים בשורה הראשונה.

כל מספר בפירמידה הוא סכום של שני המספרים שמתחתיו.

א. עבור אילו מספרים יתקבל בפסגה של הפירמידה מספר 84? מספר 44?

ב. הסבירו אילו מספרים ניתן לקבל בפסגה? האם ניתן לקבל כל מספר בראש הפירמידה?

ג. באחד המשחקונים התקבל בראש הפירמידה 140. מהו המספר שממנו הותחלה הפירמידה?

ד. אם נשנה את סדר המספרים בשורה הראשונה, האם ישתנה המספר בראש הפירמידה? בדקו את השערתכם והסבירו מדוע.

ה. ערכו מחקר דומה לגבי פירמידות גדולות יותר, בעלות 5 ו- 6 שורות.

מקור: http://nrich.maths.org 

קישורים  נוספים:

מתכונותיו של משולש פסקל - שמואל אביטל

תקציר|  פריסות אחרות | نشورات اخرى

1. היכן מסתתרת הקוביה?

א. כל אחת מהצורות A-H הבאות מורכבות מחמישה ריבועים ושני מלבנים. רק מחלקן ניתן לקפל לפי הקווים המקווקווים, ולבנות קובייה 1x1x1, ואילו מחלק מהצורות לא ניתן לבנות קובייה. התוכלו לזהות את הקוביות?

ב. כל אחת מהצורות A-H הבאות מורכבות מחמישה ריבועים ושני משולשים. רק מחלק ן ניתן לקפל לפי הקווים המקווקווים, ולבנות קובייה 1x1x1, ואילו מחלק מהצורות לא ניתן לבנות קובייה. התוכלו לזהות את הקוביות?

2. זוג מנסרות משולשות?

כל אחת מהצורות A-H הבאות מורכבות משלושה ריבועים ושני משולשים שווה צלעות אשר ניתן לקפלן לפי הקווים המקווקווים, ולבנות מנסרה משולשת.
מצאו את זוג המנסרות המשולשות אשר יתנו מנסרה באותן צבעים בדיוק, כפי שמתוארת במרכז. 
התוכלו לזהות את השתיים?

מקור: http://www.puzzles.com/

מקורות נוספים:

משימות אוריינות- פיאונים: בין המשימות: פריסה של קובייה ותיבה, בניית מבנים מקוביות ועוד.

פעילות אינטראקטיבית לגילוי 11 הפריסות של הקובייה, מאת illuminations, NCTM

שחקו בפריסה של קובייה הונגרית – NRICH

פיצוחים בנושא גיאומטרית המרחב

תקציר| מהר יותר, גבוה יותר וחזק יותר

שימו לב כי בחלק מהבעיות עליכם להניח הנחות שאינן נתונות בשאלה, או לחפש נתונים שלא מופיעים בה.

	במשחקים האולימפיים ב-2008, דרישות הסף לריצת 200 מטר לנשים הייתה 11.32 שניות. כיצד תוכלו להשוות מהירות זו למהירות של מכונית ?
	באולימפיאדת בייג'ינג ב-2008, זכתה האצנית שלי-אן פרייזר מג'מייקה, בריצת 100 מטר לנשים, בזמן של 10.78 שניות.  אם היא הייתה ממשיכה לרוץ עוד 100 מטרים, בכמה היא הייתה משיגה אצנית שעמדה בתנאי הסף (11.32 שניות) ?
	דמיינו כי אתם מתחרים בריצת 200 מטר עם יוסיין בולט. בכמה מטרים הוא ישיג אתכם? (אם בכלל...)
	באליפות העולם לאתלטיקה 2009, שבר האלוף האולימפי יוסיין בולט, את שיא העולם בריצת 100 מטר וקבע זמן של 9.58 שניות. בולט שיפר את השיא שקבע הוא בעצמו באולימפיאדת ביג'ין 9.69 שניות. בכמה מטרים השיג בולט את עצמו?
	באימון שחיה לקראת אולימפיאדת לונדון ב-2012, שני שחיינים שוחים משני קצוות מנוגדים של הבריכה, במהירות קבועה אך שונה זה מזה. בפעם הראשונה נפגשו 30 מטר מקצה האחד של הבריכה. בפעם הבאה נפגשו 20 מטר מהקצה השני של הבריכה. מה אורכה של הבריכה ומתי יפגשו שוב?
	במרוץ אופניים בזירה סגורה במסלול הוולדרום (מלבן ושני חצאי עיגול), רוכב A מסיים סיבוב שלם כשהוא על הקו הכחול.  באותו זמן סיימו סיבוב גם רוכב B אשר רכב 1 מטר פנימה מהקו הכחול ורוכב C שרכב 2 מטר מחוץ לקו הכחול. איזה מרחקים שונים רכבו רוכבי האופניים? מיהו הרוכב המהיר ביניהם  ומהי מהירותו?

מקור הפעילות: "מתמטיקה וספורט – הספירה לאחור לאולימפיאדה 2012":
Maths and Sport: Countdown to  the Games, 
מאמרים ופעילויות בנשוא ספורט ומתמטיקה מאת אוניברסיטת קיימבריג', אנגליה.

   מקורות נוספים לפעילויות של ספורט ומתמטיקה: 

מתוך הפיצוח יום פאי שמח: "מרוץ הפאי", פעילות על תכנון מסלול המירוצים באולימפיאדה.

"מתמטיקה וספורט – הספירה לאחור לאולימפיאדה 2012":
Maths and Sport: Countdown to the Games, מאמרים ופעילויות בנושא ספורט ומתמטיקה מאת אוניברסיטת קיימבריג', אנגליה. 

מתמטיקה וספורט – Math and sport, פרק מתוך הספר The Mathematical Collage, אשר בא להמחיש את הקשר של מתמטיקה לחיי היום יום.

מתמטיקה וספורט – אוסף פעילויות, פוסטרים ומאמרים מתוך חודש המודעות המתמטית 2010 Mathematics Awareness Month, . 

על הדגל האולימפי – פעילות בהסתברות וקומבינטוריקה ועוד, מאת מחוז תל אביב 

על הלפיד האולימפי – אוסף פעילויות על מסלול הלפיד וענפי הספורט השונים באולימפיאדה, מאת מחוז תל אביב 

?Can Mathematics Help Usain Bolt Run Faster – כתבה ב- Science Daily, הצעות מתמטיות לאצן האולימפי כיצד לשפר את שיאי העולם שקבע. 

Math in Basketball – פעילות אינטראקטיבית מלווה בסרט וידאו המסביר כיצד ניתן לתכנן את הקליעה המושלמת לסל בעזרת המתמטיקה.

• בעיות תנועה
• פתרון גרפי

 תקציר| בתנועה מתמדת| פתרונות| حركتنا مستم ّرة

1. שני חברים יצאו לדרך, בים בם בום.... 

תמי וניר שכנים בבית משותף ולומדים באותה כיתה. כל בוקר הם יוצאים יחדיו ברגל מביתם בשביל המוביל לבית הספר. יום אחד הם התחילו ללכת ביחד באותו קצב (v₁).

ניר המשיך ללכת באותה המהירות מחצית מהזמן ולאחר מכן הלך במהירות איטית יותר (v₂) עד הגיעו לבית הספר. לעומתו תמי המשיכה באותה מהירות חצי מהדרך (v₁), ובמחצית השנייה של הדרך, האטה והלכה במהירות האיטית של ניר (v₂).

א. התוכלו לקבוע מי הגיע ראשון לבית הספר?

ב. אם היו תמי וניר מתחילים במהירות איטית יותר, ולאחר מכן מגבירים את הקצב.
   מי אז היה מגיע ראשון לבית הספר ?

הנחיה – תארו את הבעיה במערכת צירים והיעזרו ביישום הדינאמי.

2. ארבעה כלי רכב יצאו לדרך 

אופניים, טרקטור, אופנוע ומכונית נסעו בכביש דו סטרי, כל אחד מהם במהירות קבועה משלו.

המכונית עקפה את הטרקטור בשעה 12:30 , חלפה על פני האופניים בשעה 13:00 ופגשה את האופנוע בשעה 13:30. האופנוע פגש את הטרקטור ב- 13:45 וחלף על פני האופניים בשעה 14:15.

באיזו שעה נפגשו האופניים והטרקטור?

הנחיה – תארו את הבעיה במערכת צירים והיעזרו ביישום הדינאמי.
הוכיחו את טענתכם גם באופן אלגברי.

3. חידת הנזיר  

נזיר הינדי יצא מכפרו עם שחר והחל לטפס לאיטו בשביל התלול, המוליך אל המנזר שעל פסגת ההר. הנזיר הספיק להגיע למנזר, לתפילה בשעת השקיעה.

למחרת עם שחר, בדיוק באותה שעה, שהחל לטפס ביום קודם, יצא הנזיר מהמנזר והחל יורד במהירות אל הכפר לאורך אותו שביל. הוא עצר למנוחת צהריים במעיין והמשיך והגיע אל ביתו בכפר בשעת השקיעה.

האם יתכן כי בשני הימים היה מקום שאליו הגיע הנזיר בדיוק באותה שעה גם בעלייה וגם בירידה? 

מקורות: 

• "שאלות מילוליות במשתנה אחד בגישה הגרפית" ,שוש גלעד, הוצאת מטח, 2000 
• nrich

פיצוחים נוספים בנושא בעיות תנועה:

מרוץ מכוניות דינאמי - בפיצוח הפנייה לסימולציה של בעיית תנועה, למאמר העוסק בסגנונות למידה שונים, ובעיות תנועה רבות בספר האלקטרוני "לראות מתמטיקה- פונקציות" של מטח.

בעיות בתנועה בדרך אחרת - הפיצוח עוסק בפתרון בדרכים לא שגרתיות של בעיות תנועה ברמה של 4-5 יח"ל. התנועה מתוארת בגרפים של פונקציות, וסיפור הבעיה ופתרונו נקרא מתוך הגרף.

בעיית תנועה - כוונים מנוגדים - עיבוד של שאלת בגרות ברמת 3 יח"ל, מתוך מאגר היישומים הדינאמיים.

מהר יותר, גבוה יותר וחזק יותר – בעיות תנועה מתוך מציאות האולימפיאדה. שימו לב כי הבעיות מנוסחות קצת אחרת מספרי הלימוד, ובחלקן יש להניח הנחות שאינן נתונות בשאלה, או לחפש נתונים שלא מופיעים בה.