מרכז ראשונים- אולם חצבלת

רוחמה ויונטה, אורלי גוטליב, ריקי טל, גלית שאול, בת שבע תומר ומיכל קולא- אגף א' לחינוך ילדים ונוער בסיכון.

• תקציר: תלמידים רבים נוטים להימנע מפעילות מתמטית בשל תחושת תסכול וכישלון. מורים המלמדים מתמטיקה בקרב אוכלוסיות של תלמידים הלומדים בכיתות אלו, נתקלים פעמים רבות בתחושות כאלה אצל תלמידיהם. לאור זאת, מסתבר שכדי להוביל, תלמידים בעלי מאפיינים כאלה, ללמידה משמעותית במתמטיקה, המורים צריכים להצטייד בכישורים ייחודיים הנדרשים בשילוב ידע מתמטי וידע פדגוגי בכלל ובמתמטיקה בפרט.

במצגת יוצגו אסטרטגיות שונות שיכולות לסייע למורים בהוראת נושאים שונים במתמטיקה.

א. ריקי טל- מדריכה למתמטיקה באגף א לחינוך ילדים ונוער בסיכון אחד הנושאים המרכזיים שנדרשים במתמטיקה בשאלון 803 הוא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. לאור קשיים של תלמידים בשני נושאים השייכים לפרק זה: פתרון בעיות מינימום ומקסימום (בעיות קיצון) וחישוב שטחים בעזרת אינטגרל, פותחו כלים שמקלים על התלמידים. בכנס יוצגו דוגמאות לשימוש בכלים אלו.

ב. גלית שאול- רכזת ומורה למתמטיקה, תיכון עתיד מוצקין בתיכון עתיד מוצקין, נעשה שימוש במתמטיקה מוחשית כחלק מתהליך הערכה חלופית והכנה לקראת הבחינה העיונית. המתמטיקה המוחשית מוצגת באמצעות משימות חקר במטרה לפתח קוגניציה, מטה קוגניציה וכשירות בניהול משאבים. מטרות אלו יפתחו את האיכויות האישיות של התלמידים ואת המוביליות שלהם כאנשים בוגרים בחברה מעבר להתעניינות ועשייה משמעותית במתמטיקה. בכנס יוצגו כלים לעידוד חשיבה מתמטית ולמידה.

ג. בת שבע תומר- רכזת ומורה למתמטיקה ומיכל קולא - מורה למתמטיקה, מרכז טכנולוגי (מח"ט) רמלה במח"ט רמלה המורים מפתחים אקטיביות בחשיבה יצירתית לבניית 'הפתעות' קוגניטיביות ו'הפתעות' באמצעי ההוראה, המשולבים בכל חלקי השיעור. האקטיביות בהכנה חיונית ואף הכרחית במיוחד בשיעורי חזרה ובשיעורים העוסקים בטכניקה אלגברית. הכנה אקטיבית של מורים לפני השיעור תורמת לאקטיביות ברוכה של התלמידים במהלכו ולהסבת תפקיד המורה כמנהל השיעור. בכנס יוצגו מבנה של שיעורים ובתוכם שתילת 'הפתעות' קוגניטיביות ברות השגה ושילוב 'הפתעות' באמצעי הלימוד.

• מצגת

  ---

מרכז אילנות- אולם תמר

דרור אביטל ורועי חרמוני- כאן ועכשיו, אקדמית קהאן בישראל

• תקציר: לאחרונה הולך וגדל השימוש בכלי עזר ממוחשבים בהוראה בכלל ובמתמטיקה בפרט. שימוש בכלים שונים כמו, סרטונים, קוויזז, קהוט וגאוגברה ושילובם בהוראה עשוי לקדם תהליכים פדגוגיים מגוונים כמו:

- למידה עצמית

- כיתה הפוכה

- תחנות למידה

- למידת עמיתים

ויותר מכך, השימוש במערכת LMS, מאפשר ניהול כיתה און ליין וקבלת מסד נתונים לגבי כלל תלמידי הכיתה ובכך מענה אישי וכיתתי מותאם למצב הלמידה בכיתה.

במצגת נציג, באמצעות דוגמה ספציפית, כיצד שימוש במערכת טכנולוגית, הכוללת את מגוון הכלים שהוזכרו למעלה ופותחה על ידי עמותת "כאן ועכשיו" אקדמיית קהאן בישראל, במימון קרן טראמפ, עשוי לקדם את הידע וההבנה המתמטיים של התלמידים בחט"ב וחט"ע.

• מצגת

  ---

מרכז אילנות- אולם תמר

יעל נוריק- בי"ס רב תחומי יגאל אלון, רמלה ומכון ויצמן למדע

• תקציר: בשנים האחרונות, תכניות רבות לפיתוח מקצועי של מורים בארץ ובעולם משלבות צפייה ודיון בשיעורים מוסרטים מתוך הבנה שאלו יכולים לסייע לשיפור ההוראה והידע להוראה של המורים. בתוכניות שונות מורים צופים יחד בשיעורים מוסרטים, כאשר לעתים המורה המצולם נוכח בדיון ולעתים הם צופים בשיעורים של מורים אחרים. ישנן גם תכניות שמאפשרות למורים לצפות בשיעורים מוסרטים בבית, לבד, דרך פלטפורמות אלו ואחרות ולמטרות מגוונות.

בפני מורים עומדת בנוסף אפשרות לצלם את עצמם בכיתתם ולצפות בהסרטה. צפייה עצמית כזו אמנם אינה מאפשרת את ההיזון החוזר של עין חיצונית ולא מעורבת, אך היא מאפשרת למורים, גם כאלה שנרתעים מהחשיפה בפני אחרים, ליהנות מהיתרונות של הווידאו. במקרה כזה, ניתן לשאול "מה ניתן ללמוד מצפייה של המורה בשיעור של עצמו, לבדו?".

בהרצאתי אנסה לענות על שאלה זו, כאשר אספר מה למדתי כשצפיתי בשיעור שלי. פרויקט עדש"ה (עמיתים דנים בשיעורי המתמטיקה), הפועל במחלקה להוראת המדעים במכון ויצמן, מציע מסגרת לניתוח שיעורי מתמטיקה מוסרטים כבסיס לקיום דיונים עם מורי מתמטיקה. במסגרת פרויקט זה, צולם שיעור שלי בכיתה י"ב ברמת 5 יחידות לימוד בנושא יחידות ההצגה של וקטורים. את השיעור תכננתי לעומק יחד עם שתי עמיתות. לאחר צילום השיעור צפיתי בו לבדי, ראשית ללא שאלות ולאחר מכן תוך חשיבה על מסגרת הניתוח של עדש"ה. בהרצאתי אספר מה למדתי מהצפייה בשיעור. אציג בקצרה את התהליך שעברתי בהכנת השיעור וברפלקציה על השיעור לאחר שהתרחש, אך אתרכז בהרצאה בשאלה מה למדתי מהצפייה בצילום - דברים שלולא הצפייה בווידאו לא הייתי חושבת עליהם או שמה אליהם לב – תוך התייחסות למרכיבי הניתוח של עדש"ה: (1) הרעיונות מתמטיים ומֶ טָה-מתמטיים הקשורים לנושא השיעור; (2) המטרות שהיו לי בשיעור; (3) המשימות הניתנות בשיעור; (4) אינטראקציות עם התלמידים; (5) דילמות והחלטות שקיבלתי; (6) מסרים ואמונות שיש לי על מתמטיקה, הוראתה ולמידתה. בהרצאה שולבו קטעים קצרים מהשיעור, שהיו עבורי משמעותיים במיוחד.

• מצגת

  ---

מרכז אילנות- אולם דולב

אינה וולטמן- תיכון עירוני ט', תל אביב- מחוז תל אביב, משרד החינוך

• תקציר: אחד מיעדי הוראת המתמטיקה היא טיפוח אוריינות מתמטית, תוך שימוש בקישוריות. חלק מאוריינות מתמטית היא היכולת לקשר בין מצבים מתמטיים שונים ובין נושאים שונים, כמו גם יכולת הכללה, ויכולת ניסוח ואפיון של מצב מתמטי מסוים מנקודת מבט אחרת (למשל, פרוש אלגברי למשפט גאומטרי). טיפוח אוריינות עשוי לפתח חשיבה מסדר גבוה ויצירתיות. כלומר, יצירת מצבי למידה כאלה מסייעת לפיתוח לומד ברמה של 5 יח''ל.

במהלך לימודי גאומטריה התלמידים נתקלים לא פעם במקרה פרטי לפני שהם לומדים את התופעה הכללית. למשל, לומדים מהו קטע אמצעים במשולש וטרפז לפני שהם לומדים את משפט תלס. הכללה ידועה נוספת (אך פחות נידונה במהלך ההוראה) היא הכללת שלושת משפטי הפרופורציה במעגל למשפט אחד. הכללה זו בונה קשרים בין המצבים המתוארים בכל אחד מהמשפטים מצד אחד ובין משפטים ומושגים אחרים (למשל, פרופורציה במשולש ישר זווית או ממוצע הנדסי). יתר על כך, בעזרת הכללת משפטי פרופורציה במעגל ניתן לפתור מספר בעיות בניה כמו בניית משיק למעגל נתון מנקודה נתונה מחוץ למעגל ומציאת נקודה דרכה עובר משיק משותף לשני מעגלים. על סמך ההכללה ניתן להציב מספר בעיות קיצון אשר ניתן לפתור בשיטות אנליטיות או גאומטריות.

בהרצאה הוצג מהלך הוראה המשלב מרכיבים של חקר וגילוי, בניה והדמיה דינמית. תואר כיצד התלמידים מגיעים באופן עצמאי להכללת משפטי פרופורציה במעגל, מפתחים את הידע ובונים קשרים בין התופעות. מהלך ההוראה מבוסס על בעיית בניה לכיתה ט': בניית ישרים מקבילים, משולשים שווי שוקיים דומים וטרפז שווה שוקיים בעזרת שני מעגלים בעלי מרכז משותף (כולל הוכחת הבנייה). מתברר כי טרפז זה קשור ישירות למשפטי הפרופורציה במעגל. בעזרת הטרפז ניתן להעביר משיק למעגל ומשיק משותף לשני מעגלים. מבחינה דידקטית, הידע החדש נוצר תוך חקר בסביבה דינמית, בעזרת רצף של שאלות ומשימות אשר יוצגו במהלך ההרצאה.

• מצגת

מרכז אילנות- אולם דולב

אלי נצר- תיכון חדש, תל אביב, שיעורטונים מתמטיים

• תקציר: "הבנת הקשרים שבין הפונקציה המורכבת לבין הפונקציות המרכיבות אותה מאפשרת, פעמים רבות, לראות בדמיון את גרף הפונקציה הנחקרת, עוד לפני התחלת החקירה." - מתוך: "ללמוד וללמד אנליזה" (משרד החינוך, 2013, עמ' 280).

כיצד ניתן לחקור פונקציה מורכבת באופן איכותני? כיצד ניתן לעבור מהתיאור הגרפי של הפונקציות המרכיבות לפונקציה המורכבת? מהם הקשרים בין הפונקציות? ומה קורה כאשר מוסיפים פרמטרים לאחת מהפונקציות?

בהרצאה זו בחנו את השאלות הנ"ל באמצעות הסתכלות מרתקת על אופן חקירה איכותנית של פונקציות מורכבות הבנויות מפונקציות פולינום ממעלה שלישית, תוך שימוש בתוכנת גיאוגברה.

מרכז אילנות- אולם ערבה

אורנה מרקוס בן צבי ונורית מאיר- היחידה לשוויון בין המינים, משרד החינוך

• תקציר: אנו מדריכות ארציות ביחידה לשוויון בין המינים, פועלות בחודשים האחרונים להעלאת המודעות להוראה רגישת מגדר במקצוע המתמטיקה. מהלך זה מתבצע במסגרת התכנית 'מתמטיקה תחילה' בראשותו של מוהנא פארס ובשיתוף פעולה עם היחידה לשוויון בין המינים.

בהרצאה זו הצפנו את השיח המגדרי והבאנו אל מודעות הנוכחות/ים. ההרצאה כללה התייחסות לגורמים המעכבים ומקדמים שוויון הזדמנויות מגדרי במתמטיקה.

התייחסנו בהרצאתנו להבניות חברתיות, לתפיסות תרבותיות ולמסרים מגדריים גלויים וסמויים במשפחה ובמערכת החינוך ביחס למתמטיקה. בנוסף, עמדנו על השפעת הציפיות השונות מבנות ובנים ביחס ליכולתם להצליח במקצוע המתמטיקה והשפעת מסרים אלו על המוטיבציה ותחושת המסוגלות של בנות ובנים.

ממחקרים נמצא כי למורות/ים השפעה רבה על הישגי תלמידיהם, בייחוד תלמידותיהם. הצפת השיח בנושא קידום שוויון מגדרי במתמטיקה והכרת אופני הלמידה השונים של בנות ובנים, תאפשר למורים התבוננות רפלקטיבית בדרך שבה הם מתנהלים בשיעור. במסגרת הזמן הקצר שעמד לרשותנו, פתחנו צוהר לאסטרטגיות הוראה המקדמות שוויון מגדרי במתמטיקה, כפתיח להנחלת 'ארגז כלים' של דרכי למידה והערכה המקדמות שוויון מגדרי במתמטיקה.

שאלת הפערים הבין-מגדריים בהישגים במתמטיקה נמצאה כנוגעת ישירות לסוגיית שוויון ההזדמנויות בין גברים לנשים.

מתמטיקה נמצא כחסם משמעותי המונע מנשים להגיע לעמדות יוקרתיות ומכניסות יותר. על כן, יש חשיבות רבה להפיכת ההוראה במתמטיקה להוראה רגישת מגדר.

כנס זה היווה פלטפורמה והזדמנות טובה להאיר נושא זה ולהעלותו לסדר היום של האחראים לחינוך המתמטי העל יסודי של ילדינו והמשפיעים באופן ישיר על עתידם.

• מצגת

מרכז אילנות- אולם ערבה

נצה מובשוביץ- הדר, הטכניון

• תקציר: אחת הדרכים ליצור טבעת היא ע"י הדבקת שני הקצוות הצרים של רצועה ארוכה זה אל זה. קו האמצע של טבעת מחלק אותה לשתי טבעות בעלות אותו היקף ומחצית הרוחב. כדי לשרטט את קו האמצע משני צידי הטבעת הכרחי לסיים את השרטוט מנקודת המוצא עד שחוזרים אליה מצד אחד, להרים את העפרון ולעבור לשרטוט על הצד השני מנקודת המוצא עד שחוזרים אליה.

טבעת מביוס מוכרת לרוב כרצועה סגורה שיוצרים ע"י פיתול של רצועה והדבקת שני הקצוות הצרים שלה זה אל זה "במהופך". בניגוד לטבעת רגילה, אפשר לשרטט לאורכה של טבעת מביוס את קו האמצע ולהשלים הקפה מלאה מנקדות המוצא ובחזרה אליה כך שהקו עובר משני צידי הרצועה מבלי להרים את העפרון, מבלי לחדור דרך הרצועה ומבלי לעבור את קו השפה שלה.

עוד הפתעה שנודעה בשם "קסם התרבוש האפגאני" היא גזירתה של טבעת מביוס לאורך קו האמצע וקבלת טבעת אחת גדולה ומפותלת, בניגוד לקבלת שתי טבעות נפרדות אם גוזרים טבעת רגילה לאורך קו האמצע.

הגילוי של טבעת מביוס ונפלאותיה במחצית המאה ה- 19 עורר סקרנות בקהילייה המתמטית שהביאה להתפתחות מואצת של הטופולגיה הגיאומטרית ולתגליות מפתיעות נוספות. המרעישה ביניהן הייתה ההכללה התלת מימדית ל"צנצנת קליין".

בראשית המאה העשרים הציג מיכאל סדובסקי שהתמחה במכניקה של משטחים אלסטיים, בפני הקהילייה המתמטית, את בעית המודל המתמטי של טבעת מביוס, אבל פתרונה התברר רק בשנת 2007. כמו כן עשרות פטנטים רשומים ויישומים חדשניים לכימיה, מדעי החלל, רפואה, ביולוגיה מולקולרית, אדריכלות, ספורט, תכשיטנות, ועוד הם נחלת המאה ה- 21.

• מצגת

מרכז התרבות- גלריה

מועדון ה-5, קהילות מורים למתמטיקה ברמת 5 יח"ל- אוניברסיטת חיפה

• תקציר: "....פגשתי קבוצה של מורים איכותיים ובעלי דחף ותשוקה להוראת המתמטיקה ברמות הגבוהות, שנפגשת אחת לשבועיים ודנה לעומקו של עניין. התפעלתי מעומק הדיון, ומהנכונות של המשתתפים להביא את עצמם ואת הדילמות שהם חווים." (מתוך משוב של אחד מחברי אחת הקהילות).

החל מתחילת שנת הלימודים הנוכחית, פועלות במסגרת "מועדון ה- 5" בכל רחבי הארץ 10 קהילות מקצועיות לומדות של מורים למתמטיקה ברמת 5 יח"ל. מטרת המפגשים לדאוג לשיפור איכות הוראת המתמטיקה ברמה של 5 יח"ל, ולהעלאת המוטיבציה ללמוד מתמטיקה ברמה גבוהה עם העמקה והבנה ועידוד להגדלת מספר התלמידים הלומדים מתמטיקה ברמת 5 יח"ל.

אז למה לנו המורים קהילה מקצועית לומדת? לי שולמן (1997), עונה כך: "מורים צריכים להיות חברים בקהיליות שבהן הם יכולים לחקור את דרכי ההוראה שלהם באופן פעיל ומתוך תשוקה, שבהן הם יכולים להקדיש מחשבה רפלקטיבית עקיבה והולמת לפרקטיקות שבהן הם נוקטים ולתוצאותיהן הלכה למעשה, כאשר הם יכולים לפעול תוך שיתוף פעולה זה עם זה, לחקור, לדון, לגלות וללמוד זה מזה בנוגע למה שקורה כאשר גורם המקריות פועל בהוראה שלהם, ובכך הם יכולים כחברים בקהילייה, ליצור בסיס ידע החורג מעבר למה שכל אחד מהם יכול ללמוד בבידוד האופייני לכתה הנוכחית".

בכנס הוצגו פעילויות לדוגמה מקהילות מועדון ה- 5. חברי המועדון הפעילו סדנאות למידה סביב 10 שולחנות ובה הוצגו טעימות מפעילויות מתמטיות ברוח העשייה של קהילות מועדון ה- 5:

- מסלול חמש הנקודות – מבט אחר על פונקציה מורכבת

- נהפוך הוא – פעילות הבנייה על הפונקציה ההפוכה

- הפרבולה – מה למקומות גיאומטריים ולגיאומטריה

- ללמוד משגיאות של תלמידים

• מצגת

מרכז התרבות- אודיטוריום

אלכס פרידלנדר- מכון ויצמן למדע

• תקציר: חמישה סוגים של פעילויות שהן בעלות פוטנציאל לקידום יצירתיות בלימודי המתמטיקה:

1. משימות שגרתיות הניתנות בעיתוי לא שגרתי- הצגת משימות שגרתיות בפני תלמידים שטרם נחשפו לדרכי הפתרון הפורמליות הדרושות לפתרונן היא אופציה הניתנת להפעלה בקלות, ודורשת מן התלמידים שימוש באסטרטגיות יצירתיות לפתרון בעיות. כך למשל, הצגת בעיה מילולית "אלגברית" בפני תלמידים שטרם למדו פתרון משוואת מאלצת את התלמידים להשתמש באסטרטגיות של ניסוי וטעיה, מיצוי אפשרויות או בשיקולים מתמטיים מתוחכמים.

2. משימות הדורשות יצירת בעיות (problem posing)- משימות מסוג זה דורשות מן התלמידים הפעלת אסטרטגיות לגיוון ויצירת בעיות חדשות על-סמך בעיות או סיטואציות נתונות– כמו למשל, הפעלת האסטרטגיה "מה-אם-לא?" של בראון וולטר (Brown & Walter, 1983).

3. משימות הדורשות מתן דוגמאות- דרישה מן התלמידים לבנות דוגמאות ואי-דוגמאות למושג או לעקרון מתמטי מסוים מקדמת הבנה עמוקה של אותו מושג או עקרון, ואף מעודדת חשיבה יצירתית. כך למשל, בקשה לחבר מסיחים (נכונים ולא נכונים כאחד) לפריטים נתונים השייכים למבחן רב-ברירה מדומה דורשת מן התלמידים ליצור תשובות שונות אפשריות לאותה השאלה, ולחשוב על טעויות נפוצות באותו תחום היכולות לשמש כמסיחים לא נכונים טובים.

4. משימות הדורשות חשיבה רב-כיוונית- משימות מסוג זה מאפשרות )ולפעמים אף דורשות( מגוון רחב של דרכי פתרון ו/או מגוון תשובות. משימות של השלמת פרטים חסרים בתרגיל ביותר מדרך אחת ותוך הפעלת מגוון רחב של שיקולים הן דוגמה למשימות הדורשות חשיבה רב-כיוונית. 

5. משימות הדורשות חשיבה הפוכה- "משימות הפוכות" הופכות את הכיוון הסטנדרטי )שהוא בדרך כלל אלגוריתמי( ודורשות מן התלמיד לשחזר פרטים חסרים בבעיה או במשימה עצמה על-סמך פרטים נתונים הכוללים לעתים קרובות גם את התוצאה הסופית. משימות רבות השייכות לסוגים שתוארו לעיל דורשות גם חשיבה הפוכה, ולכן שייכות גם לקטגוריה הזאת.

• מצגת

מרכז התרבות- אודיטוריום

אנטולי קורפטוב- מכללת לוינסקי, רגינה אובודנקו- מטח

• תקציר: החל משנה זו מופיע בתכנית הלימודים לחטיבת הביניים הנושא "בניות גאומטריות". התכנית מציינת כי בניות הן תחום תוכן המשתלב הן עם הגישה ההיסקית הן עם תחומי התוכן הנלמדים בכיתה ט', וכי תוך כדי תכנון הפעולות המיועדות למימוש בנייה נדרשת, התלמידים יחזקו את מיומנויות ההוכחה שאליהן נחשפו לפני כן.

האם העיסוק בבניות במהלך לימוד גאומטריה אכן מקדם פיתוח חשיבה דדוקטיבית? אם כן, כיצד יש לעצב את הוראת הנושא, ומהו סוג ההוראה המתאים לקידום מטרה זו? הספרות המחקרית מציינת כי הוראת מתמטיקה בשילוב כלים טכנולוגיים מסייעת בתהליך   ההבניה של ידע מופשט במתמטיקה בכלל ובגאומטריה בפרט (Lagrange, J.B. et al., 2003). בהתבסס על כך, פותח במרכז לטכנולוגיה חינוכית (מט"ח), פרק לימוד המוקדש לנושא בניות גאומטריות בעזרת גאוגברה. השתמשנו בפרק זה בקורס גאומטריה     לפרחי הוראה המתמחים בהוראת מתמטיקה בחטיבת ביניים.

במסגרת הקורס ציפינו מהתלמידים לפתח מיומנות קונקרטית של שימוש בכלי הטכנולוגי (גאומטריה דינמית מבוססת גאוגברה), ובד בבד לפתח דימוי מנטלי שיהיה קוהרנטי עם המושג המתמטי שאנו שואפים אליו (Hershkowitz, R., 1988) – במקרה זה     המושג "בנייה גאומטרית". האינטראקציות שנצפו בקורס בין התלמידים לבין הכלי הטכנולוגי היו מגוונות ומעניינות.

בהרצאה נציג את התובנות שרכשנו בעקבות הוראת הקורס, נתייחס ליתרונות ולחסרונות של שימוש בכלים טכנולוגיים בהוראה כזו ונדון בהשלכות דידקטיות אפשריות הנובעות מכך.

• מצגת