- עמוד הבית
- על"ה 61, תשפ"ג 2023
כתב: נדב מרקו
מדור: מהמחקר בחינוך המתמטי
מקור: על"ה 61
תקציר: "הוכחה ללא מילים" היא דיאגרמה או סרטוט, הרומזת על דרך להוכחת משפט מתמטי. אומנם ברוב המקרים דיאגרמות כשלעצמן לא ייחשבו הוכחה בעיני מתמטיקאים, אך הפעולות המנטליות שמבצע המתבונן הן שבכוחן להפוך את הרמזים החזותיים שבסרטוט להוכחה. האם תלמידי בית הספר התיכון מסוגלים לבצע פעולות כאלו? מחקרים קודמים הצביעו על כך שהם אכן מסוגלים אך במידה מוגבלת. במאמר זה אציג חמישה עקרונות לעיצוב מחדש של הוכחות ללא מילים המבוססים על תאוריה בשם "תורת הפערים" מתחום ביקורת הספרות. עקרונות אלו נועדו להתאים הוכחות ללא מילים לשמש משאב למידה המסייע לתלמידי חטיבת הביניים והכיתות התיכוניות לגלות בעצמם הוכחות למשפטים בגיאומטריה, ובתוך כך להציג את ההוכחה כתוצר של פעילות אנושית. חמשת עקרונות העיצוב אף עשויים לסייע לנו, המורים, להבין כיצד תלמידים נעזרים בסרטוטים ודיאגרמות כדי להבנות ידע מתמטי חדש.
המדרון החלקלק של ההסתברות המותנית
כתב: מוטי בן-ארי
מדור: עיון ודיון
מקור: על"ה 61
תקציר: בעיית האסיר ובעיית מונטי הול הן שתי בעיות מפורסמות בהסתברות שמעוררות חילוקי דעות עָזים שמקורם בפרשנויות שונות של ניסוח השאלות, הנחות סמויות, ואף התעלמות ממידע שנמסר בשאלות. זיהוי מוקפד של המאורעות ושימוש זהיר בהסתברות מותנית או בחוק בייס מאפשרים את פתרון הבעיות בחישובים פשוטים. קושי נוסף נובע מאופי השאלות: הן מתייחסות לניסוי יחיד (שחרור של אסיר מסוים וזכייה של מתחרה מסוים בשעשועון) ולא בריבוי ניסויים — כגון הטלת מטבע אלפי פעמים — כמקובל בהסתברות. הפירוש הבייסיאני להסתברות מקל מאוד את הבנת הפתרונות, כי הוא מפרש הסתברות כדרגת אמונה ברגע מסוים, ולא כיחס בין ניסויים מוצלחים לכלל הניסויים. סימולציה במחשב היא דרך מצוינת להשתכנע בנכונותו של פתרון לבעיה בהסתברות.
פולינומים ממעלה שלישית – חישוב נקודות קיצון ללא גזירה
כתבה: אסתר גרונהט
מדור: חקירה מתמטית
מקור: על"ה 61
תקציר: את מושג הפונקציה פוגשים התלמידים באופן מפורש בחטיבת הביניים. בתוכנית הלימודים של כיתות ח'-ט' יש טיפול מפורט בפונקציות קוויות ופונקציות ריבועיות. דרך הוראת נושאים אלו נחשפים התלמידים בהדרגתיות לעולם הפונקציות ולמושגים חשובים שישמשו אותם בעתיד בלימודי האנליזה. פונקציות פולינום ממעלה שלישית לא נלמדות כנושא בפני עצמו, אלא כמקרה פרטי של פונקציה שניתן לחקור בעזרת הכלים של החשבון הדיפרנציאלי. מציאת נקודות קיצון היא אחת מהבעיות הקלסיות העומדות בפיתוח החדו"א. בחיבור זה נעסוק בשאלה זו בהקשר של פונקציות ממעלה שלישית, ובמקום להשתמש בנגזרת לצורך החקירה נשתמש בפירוק לגורמים ובחקירת פונקציה ריבועית. הסתכלות זו מאירה את הידע הרב שנצבר בלימודי קדם־אנליזה וחושפת מעט מהעושר הגלום בפונקציות ממעלה שלישית, וכן את החוזק שמאפיין את הכלי של הנגזרת.
