- עמוד הבית
- על"ה 61 תשפ״ג, 2023
כתב: נדב מרקו
מדור: מהמחקר בחינוך המתמטי
מקור: על"ה 61
תקציר: "הוכחה ללא מילים" היא דיאגרמה או סרטוט, הרומזת על דרך להוכחת משפט מתמטי. אומנם ברוב המקרים דיאגרמות כשלעצמן לא ייחשבו הוכחה בעיני מתמטיקאים, אך הפעולות המנטליות שמבצע המתבונן הן שבכוחן להפוך את הרמזים החזותיים שבסרטוט להוכחה. האם תלמידי בית הספר התיכון מסוגלים לבצע פעולות כאלו? מחקרים קודמים הצביעו על כך שהם אכן מסוגלים אך במידה מוגבלת. במאמר זה אציג חמישה עקרונות לעיצוב מחדש של הוכחות ללא מילים המבוססים על תאוריה בשם "תורת הפערים" מתחום ביקורת הספרות. עקרונות אלו נועדו להתאים הוכחות ללא מילים לשמש משאב למידה המסייע לתלמידי חטיבת הביניים והכיתות התיכוניות לגלות בעצמם הוכחות למשפטים בגיאומטריה, ובתוך כך להציג את ההוכחה כתוצר של פעילות אנושית. חמשת עקרונות העיצוב אף עשויים לסייע לנו, המורים, להבין כיצד תלמידים נעזרים בסרטוטים ודיאגרמות כדי להבנות ידע מתמטי חדש.
כתבו: אריה רוקח ושילה אסף
מדור: חקירה מתמטית
מקור: על"ה 61
תקציר: המאמר מתאר חקירה מתמטית שפותחת בתוצאה מפתיעה של תרגיל שהתגלתה במקרה בכיתה ליד הלוח. בתוך כדי הדגמת משפט הקוסינוסים לתלמידי כיתה יוד חישבנו את זוויות המשולש שאורכי צלעותיו: 5, 8, 7 ס"מ וביקשנו למצוא את הזווית בין הצלעות שארכיהן 5 ו־ 8 ס"מ. להפתעתנו החישוב העלה שהזווית המבוקשת היא בת 60° . לא ציפינו לקבל זווית עם מספר מעלות שלם.
צפו וענו השאלות: האם ניתן למצוא משולשים נוספים, שאורכי צלעותיהם הם מספרים טבעיים, שאינם כפולות של צלעות המשולש הנ"ל, ואשר בין שתיים מצלעותיהם יש זווית בת 60° ? האם מספר השלשות הוא אינסופי? האם יש שיטה למציאת השלשות הללו? השלשות הללו כונו בשם "שלשות פסודו־פיתגוריות" עקב הדמיון לשלשות פיתגוריות. המאמר מספק תשובה חיובית לרוב השאלות הללו, ומתאר אלגוריתם למציאת שלשות פסודו־פיתגוריות.
משפטים הפוכים בגיאומטריה של המעגל
כתב: אמיר בן בסט
מדור: חקירה מתמטית
מקור: על"ה 61
תקציר: רשימת המשפטים בגיאומטריה הנלמדים בחטיבת הביניים ובחטיבה העליונה מכילה מספר משפטים שמופיעים לצד המשפטים ההפוכים שלהם, אך גם משפטים רבים שלא מצוין לגביהם משפט הפוך.
המאמר מתמקד בשישה משפטים בנושא גיאומטריה של המעגל, שלא נכלל ברשימה משפט הפוך שלהם. בנוגע לכל אחד ממשפטים אלה נבחנות במאמר הצעות למשפטים חדשים, המתקבלים מהמשפט המקורי על ידי החלפה בין אחד מתנאי המשפט המקורי לבין התוצאה של המשפט. משפטים שהתקבלו בדרך זו מכונים במאמר משפטים הפוכים למשפטים המקוריים. חלק מההצעות למשפטים הפוכים שהתקבלו בדרך זו נמצאו נכונות מבחינה מתמטית, ולגבי חלק אחר נמצא כי ההצעות אינן נכונות, וניתן להפריכן על ידי דוגמה נגדית.
פולינומים ממעלה שלישית – חישוב נקודות קיצון ללא גזירה
כתבה: אסתר גרונהט
מדור: חקירה מתמטית
מקור: על"ה 61
תקציר: את מושג הפונקציה פוגשים התלמידים באופן מפורש בחטיבת הביניים. בתוכנית הלימודים של כיתות ח'-ט' יש טיפול מפורט בפונקציות קוויות ופונקציות ריבועיות. דרך הוראת נושאים אלו נחשפים התלמידים בהדרגתיות לעולם הפונקציות ולמושגים חשובים שישמשו אותם בעתיד בלימודי האנליזה. פונקציות פולינום ממעלה שלישית לא נלמדות כנושא בפני עצמו, אלא כמקרה פרטי של פונקציה שניתן לחקור בעזרת הכלים של החשבון הדיפרנציאלי. מציאת נקודות קיצון היא אחת מהבעיות הקלסיות העומדות בפיתוח החדו"א. בחיבור זה נעסוק בשאלה זו בהקשר של פונקציות ממעלה שלישית, ובמקום להשתמש בנגזרת לצורך החקירה נשתמש בפירוק לגורמים ובחקירת פונקציה ריבועית. הסתכלות זו מאירה את הידע הרב שנצבר בלימודי קדם־אנליזה וחושפת מעט מהעושר הגלום בפונקציות ממעלה שלישית, וכן את החוזק שמאפיין את הכלי של הנגזרת.
המדרון החלקלק של ההסתברות המותנית
כתב: מוטי בן-ארי
מדור: עיון ודיון
מקור: על"ה 61
תקציר: בעיית האסיר ובעיית מונטי הול הן שתי בעיות מפורסמות בהסתברות שמעוררות חילוקי דעות עָזים שמקורם בפרשנויות שונות של ניסוח השאלות, הנחות סמויות, ואף התעלמות ממידע שנמסר בשאלות. זיהוי מוקפד של המאורעות ושימוש זהיר בהסתברות מותנית או בחוק בייס מאפשרים את פתרון הבעיות בחישובים פשוטים. קושי נוסף נובע מאופי השאלות: הן מתייחסות לניסוי יחיד (שחרור של אסיר מסוים וזכייה של מתחרה מסוים בשעשועון) ולא בריבוי ניסויים — כגון הטלת מטבע אלפי פעמים — כמקובל בהסתברות. הפירוש הבייסיאני להסתברות מקל מאוד את הבנת הפתרונות, כי הוא מפרש הסתברות כדרגת אמונה ברגע מסוים, ולא כיחס בין ניסויים מוצלחים לכלל הניסויים. סימולציה במחשב היא דרך מצוינת להשתכנע בנכונותו של פתרון לבעיה בהסתברות.
פתרונות לקינוחים בטעם שווה צלעות
כתבו: צוות מרכז המורים
מדור: קינוחים
מקור: על"ה 61
תקציר: פתרונות לקינוחים "מנפלאות הגיאומטריה של משולש שווה צלעות" שפורסמו בגיליון 60.
