הרהורים על התחלקות

תקציר|הרהורים על התחלקות |פתרונות|تفكير في القسمة |تفكير في القسمة _ حلول.

המשפט הקטן של פרמה לכל p  ראשוני  n^p)-n)  מתחלק ב- p.

פרמה (1665-1601) כהרגלו לא הציג את הוכחת המשפט.

אויילר אחריו הביא שתי הוכחות, אחת המבוססת על התכונות של מקדמי הבינום והשנייה על תכונות של שאריות. 

לפניכם הוכחה באינדוקציה, מתוך אלף אפס.

קראו גם על המשפט הגדול (האחרון) של פרמה.

א. הסבירו ע"פ האיור, או בדרך אחרת, מדוע עבור כל n טבעי n²)-n) מתחלק ב- 2.

ב. התבוננו בסרטון של בניית הקובייה. כמה חלקים מכל סוג בנויה הקובייה 3x3x3: 
 

הסבירו כיצד ניתן להסיק מבניית הקובייה כי 3-(3³) מתחלק ב- 3. 

האם הביטוי מתחלק גם ב-6?

דמיינו בניית קוביית nxnxn.  
תארו את חלקי הקובייה והסבירו מדוע  לכל  n טבעי,  n³)-n) מתחלק ב- 3.
הראו כי הביטוי מתחלק גם ב-6. 

ג. דן טען שהוא יוכיח את טענה זו בעזרת פירוק לגורמים.

 (n³)-n = n.( (n²) - 1) = n(n-1)(n+1)    

מה ניתן לומר על שלושת הגורמים של הביטוי? 

מה ניתן להסיק מהפירוק לגורמים?

ד. דנה המשיכה וטענה כי באופן דומה, בעזרת פירוק לגורמים, אפשר להוכיח טענות נוספות כגון:

         1). לכל n טבעי,  n⁵) - n) מתחלק ב- 6.

         2). לכל n טבעי,  n⁵) - n)  מתחלק ב- 5. 
                    רמז- בדקו את כל האפשרויות לספרה האחרונה של המספר n.

         3). לכל n טבעי,  n⁵) - n)  מתחלק ב- 30.

ה. דן ודנה בדקו מקרים שונים של המשפט הקטן של פרמה.

הם ביקשו להראות כי (11¹⁰) - 10 מתחלק ב- 11.

המורה הציעה להם להיעזר בנוסחאות הפירוק לפי הבינום של ניוטון (מצורפות מטה) .

הכיצד?

ו. "אם כך.." אמר דן ניתן להסיק כי: " 999,9999,999 מתחלק ב-11" בדקו.

דנה מיד הוסיפה: "אז גם  999,999 מתחלק ב-7 ". ". בדקו.

דן ודנה נסחו טענה חדשה יחד: 

לכל מספר ראשוני אפשר להתאים מספר שכולו תשיעיות המתחלק בראשוני זה. מה דעתכם?

דנה חשב כמעה והוסיף , "ראה המשפט אינו נכון כאשר n=2  ו- n=5". מדוע?

התוכלו לתקן את המשפט?

נוסחאות פירוק ע"פ נוסחת הבינום של ניוטון

 פירמידה שכזו 

שימו לב לעובדה המפתיעה בפירמידה שלפנינו:

בכל שורה מספר המתחלק ב-11.

11:11 =1

1001:11=91

100001:11=9091

10000001:11=909091

כלומר המספר 10 בחזקת n ועוד 1, כאשר n טבעי אי זוגי , מתחלק ב-11.

הוכיחו בעזרת אחד נוסחאות הפירוק שבטבלה מעלה.

אחד עשר מי יודע?

א. בחרו מספר בן ארבע ספרות, חברו לו את המספר בסדר ספרות הפוך.
האם קיבלתם מספר המתחלק ב- 11? הכיצד?

ב. בחרו מספר בעל מספר זוגי של ספרות, חברו לו את המספר בסדר ספרות הפוך.
האם גם הפעם קיבלתם מספר המתחלק ב- 11? הכיצד?

ג. בחרו מספר דו ספרתי והצמידו לו את המספר בסדר ספרות הפוך. 
קיבלתם מספר פלינדרום ארבע ספרתי (abba) האם גם הוא מתחלק ב- 11?

ד. האם כל מספר פלינדרום עם מספר זוגי של ספרות מתחלק ב-11?

     
 קראו עוד: מבחן החלוקה ב-11 - אורט בראודה             קראו עוד: יבין ניבי- על פלינדרומים ועל מספרים פלינדרומים,

                                                                                 ד"ר זיווה דויטש, עקיבא קדרי, אלף אפס

מקורות נוספים:

עזרי לימוד להמחשה של מקרה פרטי של המשפט הקטן של פרמה, דן בן שאול, על"ה 35

תגובה למאמר "הוכחה בדרך אחרת", מרק אפלבאום, על"ה 35

9, 99, 999 ומספרים פלינדרומים, יפים כץ, על"ה 34

הוכחה בדרך אחרת, פתחי סלאח, על"ה 31

מה מבינים תלמידנו במושג האינדוקציה, יונתן אחיטוב, על"ה  29

החשבון המודולארי בשירות האינדוקציה, עופר ליבה, על"ה 20

פלינדרום אצל אבן עזרא - קלרה זיסקין, על"ה 33            

הלוך ושוב, בעיית החודש 6, קשר ח"ם               

סימני התחלקות א, סימני התחלקות ב' , ד"ר מריטה ברבש, מכללת אחווה

בעיות נוספות בנושא:

הוכחת משפטי התחלקות (ללא אינדוקציה) - ליקטה, יצרה וערכה קלרה זיסקין.

בעיות יפות בהתחלקות - ליקטה, יצרה וערכה קלרה זיסקין.