המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי

תקציר| pdf מלבן ופרבולה| pdf מדריך למורה

בעקבות מבחן מפמ"ר תשע"ז

rectangle and parabula Q

במערכת הצירים מסורטטים שני גרפים של פונקציות ריבועיות.
גרף אחד הוא של הפונקציה f(x) = x2 (מסומן ב-i ).

1. מי מבין הפונקציות הבאות לא יכולה להיות הפונקציה שהגרף שלה מסומן ב- ii? הסבירו. (יש יותר מאשר תשובה נכונה אחת)

rectangle and parabula capture (1) $g(x)=2x^2$

(2) $g(x)=x^2+4$

(3) $g(x)=3x^2$

(4) $g(x)=x^2-2$

(5) $g(x)=x^2+6$

(6) $g(x)=(x+2)^2$

2. נתון גם שהגרף המסומן ב- (ii) מתקבל מהגרף המסומן ב- (i) על ידי הזזה 4 יחידות למעלה.

א. מהם שיעורי נקודת הקדקוד של הפרבולה המסומנת ב- ii?

ב. כתבו את הביטוי האלגברי של הפרבולה המסומנת ((ii.

3. סרטטו מלבן שאחד מקדקודיו הוא ראשית הצירים וקדקוד נגדי לו הוא M(2,4). צלע אחת של המלבן על ציר ה- y (ראו סרטוט).

א. הסבירו מדוע נובע מהנתונים שלמלבן יש גם צלע המונחת על ציר ה- x.

ב. חשבו את שטח המלבן. הציגו דרך פתרון.

ג. איזו מבין המשוואות מתאימה לייצג את הישר
עליו מונח אחד מאלכסוני המלבן.

(1)y = 2x + 4 (2) y = –2x + 4
(3) y = x + 4 (4) y = –x + 4.

4. עדן בנתה (אפשר בעזרת היישומון) מלבנים נוספים ABMP, שאחד מקדקודיהם, M, נמצא על הפרבולה $y=x^2$ , ושני קדקודים שלהם על הצירים (ראו סרטוט).

bike and bicycle Q4

השלימו בטבלה מה שטח המלבן של כל אחד מהמלבנים שיצרה עדן.

		(3,__)	(2,4)	(1,1)	הנקודה M
			8 סמ"ר	1 סמ"ר	שטח המלבן

5. עדן שמה לב ששטח כל אחד מהם הוא $AB^3$ , כאשר $AB$ אורך הצלע המונחת על ציר ה- x. למשל: אם הקדקוד M הוא בנקודה (3,9), אורך הצלע $AB$ הוא 3 יחידות ושטח המלבן 27 יחידות. האם זה מקרי? הסבירו תוכלו להיעזר ביישומון.

6. עופר ואלון בנו מלבן שקדקוד אחד שלו על הפרבולה $y=x^2+4$ ,שתי צלעות שלו על הצירים ושתי צלעות מקבילות לצירים. הם סימנו ב- $x$ את הצלע המונחת על ציר ה- $x$ , וחיפשו ביטוי אלגברי לשטח המלבן כפונקציה של $x$ . עופר קיבל את הביטוי $x(x^2+4)$ , אלון קיבל את הביטוי $x^3+4x$ .

א. מי צודק? האם ייתכן ששניהם צודקים?

ב. כיצד חישב כל אחד מהם את שטח המלבן?

7. גם יעל בנתה מלבן עבור הפרבולה המוזזת $y=x^2+4$ , כאשר קדקוד אחד שלו על הפרבולה $y=x^2+4$ , שתי צלעות שלו על הצירים ושתי צלעות נוספות מקבילות לצירים. יעל חילקה אותו לשני מלבנים באופן שונה מאשר אלון.

סמנו ב- $x$ את הצלע המונחת על ציר ה- $x$ .

ניתן להיעזר ביישומון מלבן ופרבולה מוזזת.

א. הביעו בעזרת $x$ , את אורכי הצלעות של המלבן ABCD ואת שטחו.

ב. הביעו בעזרת $x$ , את אורכי הצלעות של המלבן PMCD ואת שטחו.

ג. הסבירו כיצד ניתן להביע את שטח המלבן של הפונקציה המוזזת ((ABCD כסכום שני מלבנים.

ד. האם קיים שוויון בין הביטויים שקיבלתם בסעיף א' לסעיף ג'? הסבירו שיקולכם.